Exercices de révision

Question 1

Soit deux événements A et B relatifs à une même expérience aléatoire, tels que : P ( A ) = 0.3, P ( B ) = 0.5

et P ( A  B ) = 0.2 .

Est-ce que les événements A et B sont incompatibles ?
Calculer les probabilités suivantes :

a. P ( A  B / B )

b. P ( A  B / B )

c. P ( A  B / B )

d. P ( A / B )

Question 2

Soit X une variable aléatoire dont la loi de probabilité est donnée par :

Valeurs possibles de X	0	1	2	3	4	5
( ) i P X x =	0.1	0.3	0.4	0.1	0.05	0.05

Calculer l’espérance et la variance de X.
Déterminer la fonction de répartition de X.
Calculer les probabilités suivantes : P(X < 4), P(X > 2), P(3 < X ≤ 4.5) et P(2 < X < 4).
Soit Y = 3X -5. Calculer E(Y) et Var(Y).

Question 3

Le tableau suivant a été adapté à partir des résultats d’une enquête sur les habitudes de consommation en Tunisie. Il représente la répartition des répondants selon leur niveau de combativité potentielle et l’âge de ceux-ci. Pour les fins de cette étude, le terme combativité réfère à ce sentiment de confiance qui inciterait le consommateur qui se croit lésé lors d’une transaction à vouloir agir. La combativité potentielle correspond aux attitudes de combativité manifestées par les répondants à propos de leurs rapports éventuels avec les commerçants ou les professionnels en cas de conflit.

Col1	Âge	Col3	Col4	Col5	Col6
Niveau de combativité	18 à 30 ans (D)	31 à 44 ans (E)	45 à 54 ans (F)	55 ans et plus (G)	Total
Faible (A)	10	75	90	125	300
Moyen (B)	25	225	35	40	325
Élevé (C)	75	75	100	25	275
Total	110	375	225	190	900

On choisit au hasard un de ces répondants.

Quelle est la probabilité qu’il soit âgé de moins de 55 ans ?
Quelle est la probabilité qu’il présente un niveau de combativité moyen sachant que le répondant

est âgé entre 31 et 44 ans ?

Quelle est la probabilité que le répondant présente un niveau de combativité élevé et soit âgé de 55

ans ou plus ?

Quelle est la probabilité que le répondant présente un niveau de combativité moyen et soit âgé de

44 ans ou moins ?

Quelle est la probabilité que le répondant présente un niveau de combativité moyen ou faible

sachant qu’il est âgé entre 45 et 54 ans ?

Question 4

Les ordinateurs de la firme Info-MQT sont reliés à un réseau informatique dont le temps d'accès est loué à un fournisseur externe. On estime que la variable aléatoire X, représentant le temps réseau utilisé en centaines d'heures pendant un mois, a la fonction de densité suivante :

 0 si x  2  =  k (7 - x ) si 2  x  

0 si x  4



 0 si x  2 

f ( x ) =  k (7 - x ) si 2  x



0 si x  4

 0 si x  2 

( x ) =  k (7 - x ) si 2  x  4



0 si x  4

Trouver la constante k pour que f soit une fonction de densité.
Calculer la probabilité que le temps d'accès réseau dépasse 300 heures un mois donné.
Calculer l’espérance E(X).

Question 5

D’après la responsable de la mise en marché de l’entreprise Sicom, la demande annuelle D pour les appareils de traitement de texte suit une loi normale. Elle précise également qu’il y a une probabilité de 0.195 pour que la demande soit inférieure à 1500 unités et une probabilité de 0.025 d’être supérieure à 2910 unités.

Déterminer la moyenne et l’écart-type de la demande annuelle D .
Déterminer la probabilité que la demande annuelle D soit comprise entre 2000 et 2500 unités.
Déterminer la valeur particulière d 0 de D tel que P ( D  d 0 ) = 0.25 .

Question 6

Une entreprise fabrique des brioches en grande quantité. On pèse les boules de pâte avant cuisson. On note

X la variable aléatoire qui, à chaque boule de pâte, associe sa masse en gramme ( g ). On admet que X

suit approximativement une loi normale. On sait par ailleurs que P ( X  700 g ) = 0.5 et que P ( X  720 g ) = 0.159 .

Déterminer la moyenne  X et l’écart-type  X de cette loi normale.
Seules les boules dont la masse est comprise entre 666 g et 732 g sont acceptées à la cuisson. Quelle

est la probabilité qu’une boule, prise au hasard dans la production, soit acceptée à la cuisson ?

Déterminer le réel positif h afin que l’on ait : P (700 - h  X  700 + h ) = 0.95 .