Exercices de Mathématiques: Matrices symétriques ou orthogonales (I)

Ce document propose une série d’exercices sur les matrices symétriques et orthogonales, destinés à tester les compétences en algèbre linéaire, notamment la compréhension des propriétés spectrales, la diagonalisation, les formes bilinéaires, et l’analyse des valeurs propres.

Exercice 1

Montrer que les deux conditions suivantes sont équivalentes :

• a) Il existe M dans M_n(ℝ) telle que A = T(M) M.
• b) La matrice A est symétrique et ses valeurs propres sont ≥ 0.

Solution :

1. Montrons que a) implique b) :

• Si A = T(M) M, alors T(A) = T(T(M) M) = T(M) T(T(M)) = T(M) M = A, donc A est symétrique.
• Soit λ une valeur propre de A et X un vecteur propre associé, alors AX = λX.
• On a λ X = A X = T(M) M X.
• En prenant le produit scalaire avec X, on obtient : T(X) A X = λ T(X) X = λ ||X||².
• Mais T(X) A X = T(X) T(M) M X = T(M X) M X = ||M X||² ≥ 0.
• Donc λ ||X||² = ||M X||² ≥ 0, et comme ||X||² > 0, on a λ ≥ 0.

2. Montrons que b) implique a) :

• Si A est symétrique réelle, elle est diagonalisable par une matrice orthogonale P : A = T(P) D P, avec D diagonale contenant les valeurs propres λ₁, ..., λ_n, toutes ≥ 0.
• Posons µ_k = √λ_k et Δ la matrice diagonale de coefficients µ_k.
• On a alors Δ² = D, donc A = T(P) Δ² P = T(P) Δ T(Δ) P = T(Δ P) Δ P = T(M) M avec M = Δ P.

Conclusion : Les deux conditions sont bien équivalentes.

Exercice 2

Soit A une matrice symétrique réelle d’ordre n. On définit pour toute matrice colonne X, Y ∈ M_n,1(ℝ) la forme bilinéaire ϕ(X, Y) = T(X) A Y.

1. Exprimer ϕ(X, Y) en fonction des composantes de X et Y dans une base orthonormée de vecteurs propres de A, et en fonction des valeurs propres de A.
2. Montrer que ϕ définit un produit scalaire si et seulement si toutes les valeurs propres de A sont strictement positives.

Solution :

1. Soit (U₁, ..., U_n) une base orthonormée de vecteurs propres de A associée aux valeurs propres λ₁, ..., λ_n.

Soient x_i et y_i les coordonnées respectives de X et Y dans cette base :

X = ∑ x_i U_i, Y = ∑ y_j U_j.

Alors :

ϕ(X, Y) = T(X) A Y
          = (∑ x_i T(U_i)) A (∑ y_j U_j)
          = ∑∑ x_i y_j T(U_i) A U_j

Or, A U_j = λ_j U_j, donc :

T(U_i) A U_j = λ_j T(U_i) U_j = λ_j δ_ij (car la base est orthonormée)

Donc :

ϕ(X, Y) = ∑ λ_i x_i y_i.

2. Pour que ϕ soit un produit scalaire, il faut que ϕ soit bilinéaire symétrique définie positive.

• ϕ est bilinéaire et symétrique car A est symétrique.
• Pour tout X, ϕ(X, X) = ∑ λ_i x_i².
• Si tous les λ_i > 0, alors ϕ(X, X) > 0 pour tout X ≠ 0, donc ϕ est définie positive.
• Inversement, si ϕ est définie positive, alors pour chaque vecteur propre U_i, ϕ(U_i, U_i) = λ_i > 0.

Conclusion : ϕ définit un produit scalaire si et seulement si toutes les valeurs propres de A sont strictement positives.

Exercice 3

Soit A = (a_ij) une matrice symétrique réelle d’ordre n, de valeurs propres λ₁, ..., λ_n. Montrer que :

∑_i,j=1ⁿ a_ij² = ∑_k=1ⁿ λ_k².

Solution :

On remarque que :

∑_i,j=1ⁿ a_ij² = ∑_i,j=1ⁿ a_ij a_ij = tr(A²),

car la trace de A² est la somme des coefficients diagonaux de A², et A² = (∑ a_ik a_kj).

Comme A est diagonalisable, A² l’est aussi, avec valeurs propres λ_k².

La trace étant la somme des valeurs propres, on a :

tr(A²) = ∑ λ_k².

Conclusion : La somme des carrés des coefficients de A est égale à la somme des carrés des valeurs propres de A.

Exercice 4

Considérons la matrice carrée A d’ordre n dont le terme général est :

a_ij = 1 / (i + j - 1).

Montrer que les valeurs propres de A sont strictement positives.

Solution :

Soit X = (x₁, ..., x_n) un vecteur propre de A associé à la valeur propre λ.

On a :

T(X) A X = λ T(X) X = λ ||X||².

Calculons aussi T(X) A X directement :

T(X) A X = ∑_i,j=1ⁿ x_i a_ij x_j = ∑_i,j=1ⁿ x_i x_j / (i + j - 1).

On remarque que :

1 / (i + j - 1) = ∫₀¹ t^i+j-2 dt.

Donc :

T(X) A X = ∑_i,j=1ⁿ x_i x_j ∫₀¹ t^i+j-2 dt = ∫₀¹ (∑_i=1ⁿ x_i t^i-1) (∑_j=1ⁿ x_j t^j-1) dt.

On pose le polynôme P(t) = ∑_i=1ⁿ x_i t^i-1.

Alors :

T(X) A X = ∫₀¹ (P(t))² dt.

Comme X ≠ 0, P(t) n’est pas le polynôme nul, donc (P(t))² > 0 sur un ensemble de mesure non nulle.

Par conséquent :

∫₀¹ (P(t))² dt > 0, donc T(X) A X > 0.

On en déduit :

λ ||X||² = T(X) A X > 0, donc λ > 0.

Conclusion : Toutes les valeurs propres de la matrice A sont strictement positives.

Méthode

Ce sujet récompense la maîtrise des propriétés spectrales des matrices symétriques, notamment la diagonalisation par une base orthonormée, et l’interprétation des valeurs propres via des formes quadratiques. La capacité à exprimer des formes bilinéaires dans une base adaptée est essentielle, tout comme la compréhension des liens entre trace, norme de matrices et valeurs propres.

Les erreurs fréquentes à éviter sont :

• Confondre symétrie et orthogonalité.
• Omettre de justifier la positivité des valeurs propres à partir des formes quadratiques associées.
• Ne pas exploiter la base orthonormée de vecteurs propres pour simplifier les expressions.
• Oublier que la trace d’une matrice diagonalisable est la somme de ses valeurs propres.
• Dans l’exercice 4, ne pas utiliser la représentation intégrale pour démontrer la positivité.

En résumé, ce sujet valorise une approche rigoureuse, fondée sur les définitions et propriétés fondamentales des matrices symétriques, et l’usage judicieux des bases propres pour simplifier les calculs.