Exercices de Mathématiques

Exercice 1 - Orthogonalité de deux vecteurs

Soit E un espace préhilbertien sur K. L'énoncé indique que pour tout scalaire λ de K, on a la relation ||u + λv|| ≥ ||u||. Nous voulons démontrer que les vecteurs u et v sont orthogonaux.

Note relative à l'extraction : le document source utilise les symboles k...k pour la norme, une altération typographique fréquente. Nous utiliserons la notation standard ||...||.

Commençons par élever cette inégalité au carré, les deux membres étant positifs : ||u + λv||² ≥ ||u||²

En développant le membre de gauche avec les propriétés classiques du produit scalaire (linéarité à gauche et semi-linéarité à droite) : <u + λv, u + λv> = ||u||² + <u, λv> + <λv, u> + ||λv||² = ||u||² + conjugué(λ)<u, v> + λ<v, u> + |λ|²||v||²

On sait que λ<v, u> + conjugué(λ)<u, v> correspond à 2 Re(λ<v, u>). L'inégalité devient : ||u||² + 2 Re(λ<v, u>) + |λ|²||v||² ≥ ||u||² Soit en simplifiant : 2 Re(λ<v, u>) + |λ|²||v||² ≥ 0

Cette relation est valable pour tout scalaire λ. Pour exploiter cette inégalité, choisissons un λ spécifique. Posons λ = t<u, v>, où t est un nombre réel. (Le document source omet la conjugaison sur le produit scalaire dans son indication, mais multiplier par t<u, v> permet d'obtenir directement un terme réel positif).

On a alors : λ<v, u> = t <u, v><v, u> = t |<u, v>|² Et pour le module au carré : |λ|² = t² |<u, v>|²

L'inégalité se réécrit donc en substituant λ : 2t |<u, v>|² + t² |<u, v>|² ||v||² ≥ 0

En factorisant par |<u, v>|², on obtient : |<u, v>|² (2t + t²||v||²) ≥ 0

Supposons par l'absurde que <u, v> n'est pas nul. On peut alors diviser par la quantité strictement positive |<u, v>|², ce qui donne : 2t + t²||v||² ≥ 0 pour tout t réel. Cette expression factorisée donne t(2 + t||v||²) ≥ 0. Or, pour un t réel strictement négatif et très proche de zéro (par exemple t = -1 / (||v||² + 1)), la quantité (2 + t||v||²) est strictement positive, tandis que t est négatif. Le produit devient donc strictement négatif, ce qui contredit l'inégalité.

L'hypothèse initiale est donc fausse. On en déduit nécessairement que <u, v> = 0, ce qui signifie que les vecteurs u et v sont orthogonaux.

Exercice 2 - Endomorphisme et produit scalaire nul

Soit E un espace préhilbertien sur C, et f un endomorphisme de E. Il faut montrer l'équivalence : f = 0 ⇔ ∀x ∈ E, <f(x), x> = 0

L'implication directe (⇒) est évidente : si f est l'application nulle, alors pour tout x, f(x) = 0. Par propriété du produit scalaire, <0, x> = 0.

Démontrons la réciproque (⇐). Supposons que ∀x ∈ E, <f(x), x> = 0. Soulignons que le corps des complexes (C) est fondamental ici. Sur R, une rotation d'angle π/2 conserverait cette propriété sans pour autant être l'application nulle.

Soient x et y deux vecteurs quelconques de E. Évaluons le produit scalaire de f(x + y) avec x + y : 0 = <f(x + y), x + y> Par linéarité de f et du produit scalaire : 0 = <f(x) + f(y), x + y> = <f(x), x> + <f(x), y> + <f(y), x> + <f(y), y>

Puisque par hypothèse <f(x), x> = 0 et <f(y), y> = 0, l'équation se simplifie en : <f(x), y> + <f(y), x> = 0 (Équation 1)

Répétons l'opération en remplaçant y par iy. Évaluons <f(x + iy), x + iy> : 0 = <f(x + iy), x + iy> = <f(x) + i f(y), x + iy> En développant avec la convention française usuelle (linéarité à gauche et semi-linéarité à droite), le scalaire complexe "i" sort à droite avec une conjugaison, devenant "-i". 0 = <f(x), x> - i<f(x), y> + i<f(y), x> - i²<f(y), y> Comme <f(x), x> = 0 et <f(y), y> = 0, il reste : -i<f(x), y> + i<f(y), x> = 0 En divisant cette équation par i, on obtient : -<f(x), y> + <f(y), x> = 0 (Équation 2)

Additionnons maintenant l'Équation 1 et l'Équation 2 : (<f(x), y> + <f(y), x>) + (-<f(x), y> + <f(y), x>) = 0 2<f(y), x> = 0 Donc <f(y), x> = 0.

Cette relation est valable pour tous vecteurs x et y de E. En posant x = f(y), on obtient : <f(y), f(y)> = 0, ce qui équivaut à ||f(y)||² = 0. Ainsi, f(y) = 0 pour tout y de E. L'application f est donc bien l'application nulle.

Exercice 3 - Conservation de la distance et linéarité

L'espace E est un espace préhilbertien réel. On a f(0) = 0 et pour tous x, y, ||f(x) - f(y)|| = ||x - y||.

Question 1 - Conservation du produit scalaire

Commençons par montrer que f conserve la norme. En choisissant y = 0 dans l'hypothèse de l'énoncé : ||f(x) - f(0)|| = ||x - 0|| Puisque f(0) = 0, on obtient ||f(x)|| = ||x|| pour tout x de E.

Pour vérifier la conservation du produit scalaire, élevons au carré l'égalité de départ : ||f(x) - f(y)||² = ||x - y||² Développons chaque membre grâce à la relation liant norme et produit scalaire : ||f(x)||² - 2<f(x), f(y)> + ||f(y)||² = ||x||² - 2<x, y> + ||y||²

Puisque nous venons de démontrer que ||f(x)||² = ||x||² et ||f(y)||² = ||y||², ces termes s'annulent de chaque côté de l'égalité. Il nous reste : -2<f(x), f(y)> = -2<x, y> En divisant par -2, on conclut : <f(x), f(y)> = <x, y> L'application f conserve donc bien le produit scalaire.

Question 2 - Linéarité de l'application f

Pour montrer la linéarité, soient deux vecteurs quelconques x et y, et deux scalaires réels α et β. L'objectif est de montrer que le vecteur u = f(αx + βy) - αf(x) - βf(y) est le vecteur nul en calculant sa norme au carré.

Développons : ||f(αx + βy) - αf(x) - βf(y)||² = ||f(αx + βy)||² + α²||f(x)||² + β²||f(y)||² - 2α<f(αx + βy), f(x)> - 2β<f(αx + βy), f(y)> + 2αβ<f(x), f(y)>

Utilisons les résultats de la Question 1 (conservation des normes et des produits scalaires) pour substituer toutes les occurrences contenant la fonction f par leurs antécédents respectifs : = ||αx + βy||² + α²||x||² + β²||y||² - 2α<αx + βy, x> - 2β<αx + βy, y> + 2αβ<x, y>

Développons à nouveau les termes croisés : = ||αx + βy||² + α²||x||² + β²||y||² - 2α(α||x||² + β<y, x>) - 2β(α<x, y> + β||y||²) + 2αβ<x, y> En sachant que dans un espace réel, le produit scalaire est symétrique (<y, x> = <x, y>) : = ||αx + βy||² + α²||x||² + β²||y||² - 2α²||x||² - 2αβ<x, y> - 2αβ<x, y> - 2β²||y||² + 2αβ<x, y> = ||αx + βy||² - α²||x||² - β²||y||² - 2αβ<x, y>

Or, si nous développons le premier terme ||αx + βy||², nous avons exactement : α²||x||² + β²||y||² + 2αβ<x, y>. En substituant cette expression, tous les termes s'annulent parfaitement : = (α²||x||² + β²||y||² + 2αβ<x, y>) - α²||x||² - β²||y||² - 2αβ<x, y> = 0.

La norme de f(αx + βy) - αf(x) - βf(y) étant nulle, ce vecteur est nul. Ainsi, f(αx + βy) = αf(x) + βf(y), prouvant que f est une application linéaire (et s'agissant d'une conservation de norme, un automorphisme orthogonal).

Exercice 4 - Identité de polarisation complexe

Soit E un espace préhilbertien sur C. Montrons l'identité demandée.

Développons tout d'abord les deux termes normés de l'énoncé. D'une part : ||u + v||² = <u + v, u + v> = ||u||² + <u, v> + <v, u> + ||v||² Sachant que <v, u> est le conjugué de <u, v>, leur somme vaut 2 Re(<u, v>). Donc : ||u + v||² = ||u||² + 2 Re(<u, v>) + ||v||².

D'autre part : ||u + iv||² = <u + iv, u + iv> = ||u||² + <u, iv> + <iv, u> + ||iv||² En utilisant la linéarité à gauche et semi-linéarité à droite : <u, iv> = -i<u, v> <iv, u> = i<v, u> ||iv||² = |i|² ||v||² = ||v||² Donc : ||u + iv||² = ||u||² - i<u, v> + i<v, u> + ||v||²

Calculons l'expression -i<u, v> + i<v, u> : -i<u, v> + i<v, u> = -i ( <u, v> - <v, u> ) Puisque la différence d'un nombre complexe et de son conjugué donne 2i Im(<u, v>), on a : -i (2i Im(<u, v>)) = -2i² Im(<u, v>) = 2 Im(<u, v>). Ainsi, ||u + iv||² = ||u||² + 2 Im(<u, v>) + ||v||².

Formons maintenant la combinaison linéaire suggérée dans l'indication : ||u + v||² + i||u + iv||² = (||u||² + 2 Re(<u, v>) + ||v||²) + i(||u||² + 2 Im(<u, v>) + ||v||²) En regroupant les termes en normes d'un côté et les produits scalaires de l'autre : = ||u||² + i||u||² + ||v||² + i||v||² + 2 Re(<u, v>) + 2i Im(<u, v>) = (1 + i)(||u||² + ||v||²) + 2(Re(<u, v>) + i Im(<u, v>))

Puisque tout nombre complexe z vérifie z = Re(z) + i Im(z), le dernier terme équivaut exactement à 2<u, v>. ||u + v||² + i||u + iv||² = (1 + i)(||u||² + ||v||²) + 2<u, v>

En isolant <u, v>, on retrouve la formule de l'énoncé : 2<u, v> = ||u + v||² + i||u + iv||² - (1 + i)(||u||² + ||v||²) <u, v> = 1/2 [ ||u + v||² + i||u + iv||² - (1 + i)(||u||² + ||v||²) ]

Exercice 5 - Endomorphisme symétrique

L'application f vérifie pour tout x et y l'égalité de produit scalaire : <f(x), y> = <x, f(y)>. On veut montrer que f est linéaire.

Soient x, y, z trois vecteurs de E et α, β deux scalaires. Considérons le vecteur cible de notre preuve de linéarité : le scalaire appliqué f(αx + βy). Évaluons le produit scalaire d'un vecteur arbitraire z avec ce vecteur : <z, f(αx + βy)>

En appliquant la propriété définie dans l'énoncé (symétrie par rapport au produit scalaire), cela équivaut à : = <f(z), αx + βy>

En utilisant la linéarité du produit scalaire à droite : = α<f(z), x> + β<f(z), y>

Nous appliquons à nouveau l'hypothèse de l'énoncé, sur chaque terme individuellement, en ramenant f du côté droit : = α<z, f(x)> + β<z, f(y)>

Par la linéarité du produit scalaire à droite, nous pouvons factoriser : = <z, αf(x)> + <z, βf(y)> = <z, αf(x) + βf(y)>

Nous avons donc l'égalité <z, f(αx + βy)> = <z, αf(x) + βf(y)>, que l'on peut soustraire pour obtenir : <z, f(αx + βy) - (αf(x) + βf(y))> = 0

Cette relation est valable pour n'importe quel vecteur z de E. Le vecteur f(αx + βy) - (αf(x) + βf(y)) est donc orthogonal à l'espace entier, ce qui prouve qu'il est nécessairement égal au vecteur nul : f(αx + βy) - (αf(x) + βf(y)) = 0 f(αx + βy) = αf(x) + βf(y)

L'application f respecte donc les règles de l'addition vectorielle et de la multiplication scalaire : elle est linéaire.

Méthode

Voici les principes clés pour aborder les épreuves sur les espaces préhilbertiens :

1. Maîtriser les propriétés élémentaires : Identifiez immédiatement le corps de référence (C ou R). Sur R, le produit scalaire est symétrique. Sur C, c'est une forme hermitienne : n'oubliez jamais de conjuguer les scalaires qui sortent de la seconde variable (linéarité à gauche, semi-linéarité à droite selon la convention employée par ces exercices).
2. Utiliser le passage au carré : Une norme algébrique brute est peu manipulable. Son carré s'exprime sous forme de produit scalaire, permettant l'émergence des termes croisés (vu dans les exercices 1, 3 et 4).
3. Exploiter l'orthogonalité pour trouver le vecteur nul : Pour prouver qu'un vecteur u = 0, une approche radicale consiste à démontrer que ∀x ∈ E, <x, u> = 0 (c'est-à-dire que le vecteur est orthogonal à tous les autres, donc à lui-même). C'est la mécanique centrale des exercices 2 et 5.
4. Rester vigilant face aux erreurs d'énoncé : Les exercices issus de banques de concours numériques souffrent souvent de défauts d'extraction (des doubles barres de normes traduites par "k x k", l'oubli de barres de conjugaison dans les produits complexes). Ne courbez pas vos calculs pour les faire correspondre à une faute de frappe : refaites le développement complet de l'identité remarquable pour en déduire les bons coefficients ou conjugués mathématiques.