Exercices de Math´ematiques
Espaces pr´ehilbertiens (I)
´Enonc´es
´Enonc´es des exercices
Exercice 1 [ Indication ] [ Correction ]
Soit E un espace pr´ehilbertien sur K. Soient u, v deux vecteurs de E.
On suppose que, pour tout λ de K, ku + λvk ≥ kuk.
Montrer que u et v sont orthogonaux.
Exercice 2 [ Indication ] [ Correction ]
Soit E un espace pr´ehilbertien sur C. Soit f ∈ L(E).
Montrer que f = 0 ⇔ ∀x ∈ E, < f (x), x > = 0.
Exercice 3 [ Indication ] [ Correction ]
Dans l’espace E pr´ehilbertien r´eel, soit f une application telle que f (0) = 0 et
(1) : ∀x, y ∈ E, kf (x) − f (y)k = kx − yk .
1. Montrer que f conserve le produit scalaire.
2. En d´eduire que f est lin´eaire.
Exercice 4 [ Indication ] [ Correction ]
Soit E un espace pr´ehilbertien sur C.
Montrer que ∀(u, v) ∈ E2, < u, v >=
(cid:2)ku + vk2 + i ku + ivk2 − (1 + i) kuk2 + kvk2(cid:3).
1
2
Exercice 5 [ Indication ] [ Correction ]
Soit E un espace pr´ehilbertien, et soit f une application de E dans E telle que, pour tous
vecteurs x et y : < f (x), y >=< x, f (y) >.
Montrer que f est lin´eaire.
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Jean-Michel Ferrard
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Exercices de Math´ematiques
Espaces pr´ehilbertiens (I)
Indications, r´esultats
Indications ou r´esultats
Indication pour l’exercice 1 [ Retour `a l’´enonc´e ]
´Elever au carr´e, trouver 2Re (λ < u, v >) + |λ|2 kvk2 ≥ 0.
Choisir ensuite λ = r < v, u >, avec r r´eel.
Indication pour l’exercice 2 [ Retour `a l’´enonc´e ]
Se donner x, y quelconques dans E.
D´evelopper < f (x + iy), x + iy > et < f (x + y), x + y >.
Indication pour l’exercice 3 [ Retour `a l’´enonc´e ]
1. V´erifier que f conserve la norme, puis d´evelopper kf (x) − f (y)k2.
2. Se donner deux vecteurs x, y et deux scalaires α, β.
D´evelopper kf (αx + βy) − αf (x) − βf (y)k2.
Indication pour l’exercice 4 [ Retour `a l’´enonc´e ]
On sait que ku + vk2 = < u + v, u + v > = kuk2 + 2Re < u, v > + kvk2.
D´evelopper ´egalement ku + ivk2, puis former ku + vk2 + i ku + ivk2.
Indication pour l’exercice 5 [ Retour `a l’´enonc´e ]
Se donner x, y, z dans E, et α et β dans K.
V´erifier que < z, f (αx + βy) > = < z, αf (x) + βf (y) >.
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Espaces pr´ehilbertiens (I)
Corrig´es
Corrig´es des exercices
Corrig´e de l’exercice 1 [ Retour `a l’´enonc´e ]
En ´elevant au carr´e, ku + λvk2 ≥ kuk2.
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Autrement dit, pour tout λ de K : 2Re (λ < u, v >) + |λ|2 kvk2 ≥ 0.
Choisissons λ = r < v, u >= r< u, v >, avec r r´eel, pour se “d´ebarrasser” de la partie r´eelle.
On obtient, pour tout r´eel non nul r : (2r + r2 kvk2) |< u, v >|2 ≥ 0.
Si < u, v > n’´etait pas nul, on en d´eduirait 2r + r2 kvk2 ≥ 0 pour tout r non nul, ce qui est
absurde car cette quantit´e est ´equivalente `a 2r (donc change de signe) au voisinage de l’origine.
On a donc d´emontr´e que les vecteurs u et v sont orthogonaux.
Corrig´e de l’exercice 2 [ Retour `a l’´enonc´e ]
Evidemment, si f = 0, on a < f (x), x > = 0 pour tout x de E.
Seule la r´eciproque est int´eressante.
On suppose donc que pour tout vecteur x de E, les vecteurs f (x) et x sont orthogonaux.
Le fait que E soit un espace pr´ehilbertien sur C est tr`es important.
En effet si on consid`ere une rotation r d’angle π/2 dans R2, par exemple, alors on < r(x), x >= 0
pour tout vecteur x, bien que r ne soit pas l’application nulle.
Soient x et y deux ´el´ements quelconques de E.
On va ´evaluer le produit scalaire de f (x + iy) et de x + iy (dont on sait qu’il est nul) en utilisant
l’hypothese faite sur f (et sa lin´earit´e) et les propri´et´es du produit scalaire (lin´earit´e a droite
et semi-lin´earit´e `a gauche) :
0 =< f (x + iy), x + iy > = < f (x) + if (y), x + iy > = i < f (x), y > − i < f (y), x >
Donc < f (x), y > = < f (y), x >.
Appliquons la mˆeme id´ee au produit scalaire (nul) < f (x + y), x + y > :
0 =< f (x + y), x + y > = < f (x) + f (y), x + y > = < f (x), y > + < f (y), x >
Donc < f (x), y > = − < f (y), x >.
Les deux r´esultats obtenus montrent que pour tous x, y de E : < f (x), y > = 0.
Cette ´egalit´e ´etant valable pour tout y, et notamment pour y = f (x), il en r´esulte f (x) = 0,
pour tout x de E.
L’application f est donc bien l’application nulle.
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Espaces pr´ehilbertiens (I)
Corrig´es
Corrig´e de l’exercice 3 [ Retour `a l’´enonc´e ]
1. En faisant y = 0 dans l’hypoth`ese, on trouve : ∀x ∈ E, kf (x)k = kxk.
On ´el`eve l’´egalit´e (1) au carr´e et on trouve, pour tout vecteurs x, y de E :
kf (x) − f (y)k2 = kx − yk2
⇒ kf (x)k2 + kf (y)k2 − 2 < f (x), f (y) > = kxk2 + kyk2 − 2 < x, y >
⇒ < f (x), f (y) > = < x, y >
L’application f conserve donc le produit scalaire.
2. On se donne deux vecteurs quelconques x, y et deux scalaires quelconques α, β.
On va d´evelopper kf (αx + βy) − αf (x) − βf (y)k2 en utilisant les r´esultats pr´ec´edents
(conservation de la norme et du produit scalaire.)
kf (αx + βy) − αf (x) − βf (y)k2
= kf (αx + βy)k2 + α2 kf (x)k2 + β2 kf (y)k2
− 2α < f (αx + βy), f (x) > −2 β < f (αx + βy), f (y) > + 2αβ < f (x), f (y) >
= kαx + βyk2 + α2 kxk2 + β2 kyk2
− 2α < αx + βy, x > − 2β < αx + βy, y > + 2αβ < x, y >
= kαx + βyk2 + α2 kxk2 + β2 kyk2
− 2α2 kxk2 − 2β2 kyk2 − 4αβ < x, y > + 2αβ < x, y >
= kαx + βyk2 − α2 kxk2 − β2 kyk2 − 2αβ < x, y > = 0
Ainsi kf (αx + βy) − αf (x) − βf (y)k = 0, pour tous α, β de R et tous x, y de E ce qui
prouve la lin´earit´e de f .
Si E est un espace euclidien, f est donc un automorphisme orthogonal de E.
Corrig´e de l’exercice 4 [ Retour `a l’´enonc´e ]
On sait que ku + vk2 = < u + v, u + v > = kuk2 + 2Re < u, v > + kvk2.
De mˆeme :
ku + ivk2 = < u + iv, u + iv > = kuk2 + 2Re (−i < u, v >) + kvk2
= kuk2 + 2Im < u, v > + kvk2
On en d´eduit :
Autrement dit :
ku + vk2 + i ku + ivk2 = (1 + i)(kuk2 + kvk2) + 2 < u, v >
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< u, v > =
1
2
(cid:2)ku + vk2 + i ku + ivk2 − (1 + i) kuk2 + kvk2(cid:3)
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Corrig´es
Corrig´e de l’exercice 5 [ Retour `a l’´enonc´e ]
On se donne trois vecteurs quelconque x, y, z, et deux scalaires quelconques α et β. On ´ecrit :
< z, f (αx + βy) > = < f (z), αx + βy > = α < f (z), x > + β < f (z), y >
= α < z, f (x) > + β < z, f (y) > = < z, αf (x) + βf (y) >
Autrement dit la diff´erence f (αx + βy) − (αf (x) + βf (y)) est orthogonale `a tout z de E.
Il s’ensuit que cette diff´erence est nulle.
Ainsi f (αx + βy) = αf (x) + βf (y), pour tous x, y de E et tous α, β de K.
Autrement dit f est lin´eaire.
Si E est un espace euclidien, f est donc un endomorphisme sym´etrique de E.
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