Exercices de Mathématiques

Se donner x, y quelconques dans E.

Développer < f (x + iy), x + iy > et < f (x + y), x + y >.

Indication pour l’exercice 3 [ Retour à l’énoncé ]

1. Vérifier que f conserve la norme, puis développer kf (x) − f (y)k2.

2. Se donner deux vecteurs x, y et deux scalaires α, β.

Développer kf (αx + βy) − αf (x) − βf (y)k2.

Indication pour l’exercice 4 [ Retour à l’énoncé ]

On sait que ku + vk2 = < u + v, u + v > = kuk2 + 2Re < u, v > + kvk2.

Développer également ku + ivk2, puis former ku + vk2 + i ku + ivk2.

Indication pour l’exercice 5 [ Retour à l’énoncé ]

Se donner x, y, z dans E, et α et β dans K.

Vérifier que < z, f (αx + βy) > = < z, αf (x) + βf (y) >.

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Exercices de Mathématiques

Espaces préhilbertiens (I)

Corrigés

Corrigés des exercices

Corrigé de l’exercice 1 [ Retour à l’énoncé ]

En élevant au carré, ku + λvk2 ≥ kuk2.

Autrement dit, pour tout λ de K : 2Re (λ < u, v >) + |λ|2 kvk2 ≥ 0.

Choisissons λ = r < v, u >= r< u, v >, avec r réel, pour se “débarrasser” de la partie réelle.

On obtient, pour tout réel non nul r : (2r + r2 kvk2) |< u, v >|2 ≥ 0.

Si < u, v > n’était pas nul, on en déduirait 2r + r2 kvk2 ≥ 0 pour tout r non nul, ce qui est

absurde car cette quantité est équivalente à 2r (donc change de signe) au voisinage de l’origine.

On a donc démontré que les vecteurs u et v sont orthogonaux.

Corrigé de l’exercice 2 [ Retour à l’énoncé ]

Evidemment, si f = 0, on a < f (x), x > = 0 pour tout x de E.

Seule la réciproque est intéressante.

On suppose donc que pour tout vecteur x de E, les vecteurs f (x) et x sont orthogonaux.

Le fait que E soit un espace préhilbertien sur C est très important.

En effet si on considère une rotation r d’angle π/2 dans R2, par exemple, alors on < r(x), x >= 0

pour tout vecteur x, bien que r ne soit pas l’application nulle.

Soient x et y deux éléments quelconques de E.

On va évaluer le produit scalaire de f (x + iy) et de x + iy (dont on sait qu’il est nul) en utilisant

l’hypothese faite sur f (et sa linéarité) et les propriétés du produit scalaire (linéarité a droite

et semi-linéarité à gauche) :

0 =< f (x + iy), x + iy > = < f (x) + if (y), x + iy > = i < f (x), y > − i < f (y), x >

Donc < f (x), y > = < f (y), x >.

Appliquons la même idée au produit scalaire (nul) < f (x + y), x + y > :

0 =< f (x + y), x + y > = < f (x) + f (y), x + y > = < f (x), y > + < f (y), x >

Donc < f (x), y > = − < f (y), x >.

Les deux résultats obtenus montrent que pour tous x, y de E : < f (x), y > = 0.

Cette égalité étant valable pour tout y, et notamment pour y = f (x), il en résulte f (x) = 0,

pour tout x de E.

L’application f est donc bien l’application nulle.

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Espaces préhilbertiens (I)

Corrigés

Corrigé de l’exercice 3 [ Retour à l’énoncé ]

1. En faisant y = 0 dans l’hypothèse, on trouve : ∀x ∈ E, kf (x)k = kxk.

On élève l’égalité (1) au carré et on trouve, pour tout vecteurs x, y de E :

kf (x) − f (y)k2 = kx − yk2

⇒ kf (x)k2 + kf (y)k2 − 2 < f (x), f (y) > = kxk2 + kyk2 − 2 < x, y >

⇒ < f (x), f (y) > = < x, y >

L’application f conserve donc le produit scalaire.

2. On se donne deux vecteurs quelconques x, y et deux scalaires quelconques α, β.

On va développer kf (αx + βy) − αf (x) − βf (y)k2 en utilisant les résultats précédents

(conservation de la norme et du produit scalaire.)

kf (αx + βy) − αf (x) − βf (y)k2

= kf (αx + βy)k2 + α2 kf (x)k2 + β2 kf (y)k2

− 2α < f (αx + βy), f (x) > −2 β < f (αx + βy), f (y) > + 2αβ < f (x), f (y) >

= kαx + βyk2 + α2 kxk2 + β2 kyk2

− 2α < αx + βy, x > − 2β < αx + βy, y > + 2αβ < x, y >

= kαx + βyk2 + α2 kxk2 + β2 kyk2

− 2α2 kxk2 − 2β2 kyk2 − 4αβ < x, y > + 2αβ < x, y >

= kαx + βyk2 − α2 kxk2 − β2 kyk2 − 2αβ < x, y > = 0

Ainsi kf (αx + βy) − αf (x) − βf (y)k = 0, pour tous α, β de R et tous x, y de E ce qui

prouve la linéarité de f .

Si E est un espace euclidien, f est donc un automorphisme orthogonal de E.

Corrigé de l’exercice 4 [ Retour à l’énoncé ]

On sait que ku + vk2 = < u + v, u + v > = kuk2 + 2Re < u, v > + kvk2.

De même :

ku + ivk2 = < u + iv, u + iv > = kuk2 + 2Re (−i < u, v >) + kvk2

= kuk2 + 2Im < u, v > + kvk2

On en déduit :

Autrement dit :

ku + vk2 + i ku + ivk2 = (1 + i)(kuk2 + kvk2) + 2 < u, v >

< u, v > =

1

2

(cid:2)ku + vk2 + i ku + ivk2 − (1 + i) kuk2 + kvk2(cid:3)

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Espaces préhilbertiens (I)

Corrigés

Corrigé de l’exercice 5 [ Retour à l’énoncé ]

On se donne trois vecteurs quelconque x, y, z, et deux scalaires quelconques α et β. On écrit :

< z, f (αx + βy) > = < f (z), αx + βy > = α < f (z), x > + β < f (z), y >

= α < z, f (x) > + β < z, f (y) > = < z, αf (x) + βf (y) >

Autrement dit la différence f (αx + βy) − (αf (x) + βf (y)) est orthogonale à tout z de E.

Il s’ensuit que cette différence est nulle.

Ainsi f (αx + βy) = αf (x) + βf (y), pour tous x, y de E et tous α, β de K.

Autrement dit f est linéaire.

Si E est un espace euclidien, f est donc un endomorphisme symétrique de E.

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