Exercices de Mathématiques

Ce document présente une série d'exercices corrigés sur les polynômes, portant sur l'arithmétique, le pgcd (plus grand commun diviseur) et le ppcm (plus petit commun multiple). Ces exercices testent les compétences en algèbre polynomiale, notamment la manipulation d'identités de Bézout, l'algorithme d'Euclide appliqué aux polynômes, et la résolution d'équations polynomiales avec conditions de degré.

Exercice 1

Montrer que deux polynômes A et B sont premiers entre eux si et seulement si leurs produits AB et leur somme A + B sont premiers entre eux.

On commence par supposer que (AB) et (A + B) sont premiers entre eux, c’est-à-dire que leur pgcd est 1. Par définition, il existe des polynômes U, V tels que :

(AB)U + (A + B)V = 1

On peut réécrire cette égalité en regroupant les termes :

A(BU + V) + B V = 1

Ceci est une identité de Bézout pour A et B, ce qui implique que A et B sont premiers entre eux.

Inversement, supposons que A et B soient premiers entre eux, donc il existe U, V tels que :

AU + BV = 1

En utilisant cette identité, on peut écrire deux autres identités de Bézout :

(A + B)U + B(V − U) = 1

A(U − V) + (A + B)V = 1

Cela montre que (A + B) est premier avec B et avec A. Par conséquent, (A + B) est premier avec le produit AB.

Conclusion : A et B sont premiers entre eux si et seulement si (A + B) et AB sont premiers entre eux.

Exercice 2

Montrer que le pgcd de X^n − 1 et X^p − 1 est X^pgcd(n,p) − 1.

Soit n = p q + r la division euclidienne de n par p avec 0 ≤ r < p.

On écrit :

X^n − 1 = X^{p q + r} − 1 = X^r (X^{p q} − 1) + X^r − 1

Or, on peut factoriser :

X^{p q} − 1 = (X^p − 1) (X^{p(q−1)} + X^{p(q−2)} + ... + 1)

Donc :

X^n − 1 = X^r (X^p − 1) * (somme) + X^r − 1

Le reste de la division de X^n − 1 par X^p − 1 est donc X^r − 1.

L'algorithme d'Euclide appliqué aux entiers n et p donne une suite de divisions :

n = p q_1 + r_1,

p = r_1 q_2 + r_2,

r_1 = r_2 q_3 + r_3, ...

Le dernier reste non nul r_n est le pgcd de n et p.

En appliquant l'algorithme d'Euclide aux polynômes X^n − 1 et X^p − 1, on obtient une suite de restes :

R_1 = X^{r_1} − 1, R_2 = X^{r_2} − 1, ..., R_n = X^{r_n} − 1

Le dernier reste non nul R_n est donc :

X^{pgcd(n,p)} − 1

Conclusion : Le pgcd de X^n − 1 et X^p − 1 est X^{pgcd(n,p)} − 1.

Exercice 3

Soient P et Q deux polynômes de ℂ[X], premiers entre eux, tels que P^2 + Q^2 admette a pour racine double. Montrer que a est racine de P'² + Q'².

Comme P et Q sont premiers entre eux, il existe U, V dans ℂ[X] tels que :

U P + V Q = 1

On considère les polynômes complexes :

P + iQ et P − iQ

On a :

P^2 + Q^2 = (P + iQ)(P − iQ)

De plus, on peut écrire :

A (P + iQ) + B (P − iQ) = 1

avec :

A = 1/2 (U − iV), B = 1/2 (U + iV)

Ce qui montre que P + iQ et P − iQ sont premiers entre eux.

Si a est racine double de P^2 + Q^2, alors a est racine double de (P + iQ)(P − iQ). Ainsi, a est racine double de P + iQ ou de P − iQ.

Par conséquent, a est racine de la dérivée correspondante :

P' + iQ' ou P' − iQ'

Donc a est racine de leur produit :

(P' + iQ')(P' − iQ') = P'^2 + Q'^2

Conclusion : a est racine de P'^2 + Q'^2.

Exercice 4

Soient A, B dans IK[X] (non tous deux nuls) et soient U, V tels que AU + BV = pgcd(A, B). Montrer que U et V sont premiers entre eux.

Soit D = pgcd(A, B) ≠ 0. On peut écrire :

A = D b_A et B = D b_B

Alors :

AU + BV = D (b_A U + b_B V) = D

Ce qui implique :

b_A U + b_B V = 1

Cette identité de Bézout montre que U et V sont premiers entre eux.

Conclusion : U et V sont premiers entre eux.

Exercice 5

Trouver tous les polynômes U et V tels que (X − 1)^3 U + (X + 1)^2 V = 1.

Les polynômes (X − 1)^3 et (X + 1)^2 sont premiers entre eux, donc il existe des solutions (U, V).

On applique l'algorithme d'Euclide :

• (X − 1)^3 = (X + 1)^2 (X − 5) + 12X + 4
• 36 (X + 1)^2 = (12X + 4)(3X + 5) + 16

On exprime 16 en fonction de (X − 1)^3 et (X + 1)^2 :

16 = 36 (X + 1)^2 − (12X + 4)(3X + 5)

= 36 (X + 1)^2 − (3X + 5)((X − 1)^3 − (X + 1)^2 (X − 5))

= −(3X + 5)(X − 1)^3 + (3X^2 − 10X + 11)(X + 1)^2

On obtient donc une solution particulière :

(X − 1)^3 U_0 + (X + 1)^2 V_0 = 1

avec :

U_0 = −(3X + 5) / 16

V_0 = (3X^2 − 10X + 11) / 16

Pour toute solution (U, V), on a :

(X − 1)^3 (U − U_0) = (X + 1)^2 (V_0 − V)

Par le théorème de Gauss, il existe un polynôme C tel que :

U = U_0 + (X + 1)^2 C

V = V_0 − (X − 1)^3 C

Conclusion : L'ensemble des solutions est donné par :

U = U_0 + (X + 1)^2 C, V = V_0 − (X − 1)^3 C, où C ∈ ℝ[X]

Remarque : la solution (U_0, V_0) minimise les degrés, avec deg U_0 ≥ 2 et deg V_0 ≥ 3.

Exercice 6

Déterminer deux polynômes S et T de degré 5 tels que (1 − X)^6 S + X^6 T = 1.

Comme (1 − X)^6 et X^6 sont premiers entre eux, il existe S, T tels que :

(1 − X)^6 S + X^6 T = 1

Cette égalité est équivalente à :

∀ x ∈ ]−1, 1[, (1 − x)^6 S(x) + x^6 T(x) = 1

On peut écrire :

1 = (1 − x)^6 S(x) + x^6 T(x)

En divisant par (1 − x)^6, on obtient :

1 / (1 − x)^6 = S(x) + x^6 / (1 − x)^6 T(x)

Pour que deg S ≤ 5, on considère le développement limité de 1 / (1 − x)^6 en 0 jusqu'à l'ordre 5 :

1 / (1 − x)^6 = 1 + 6x + 21x^2 + 56x^3 + 126x^4 + 252x^5 + o(x^5)

On en déduit :

S = 1 + 6X + 21X^2 + 56X^3 + 126X^4 + 252X^5

On remarque que :

(1 − X)^6 S(X) + X^6 T(X) = 1 ⇔ (1 − X)^6 T(1 − X) + X^6 S(1 − X) = 1

Ce qui signifie que :

T(X) = S(1 − X)

On calcule alors :

T(X) = 1 + 6(1 − X) + 21(1 − X)^2 + 56(1 − X)^3 + 126(1 − X)^4 + 252(1 − X)^5

En développant, on obtient :

T(X) = −252X^5 + 1386X^4 − 3080X^3 + 3465X^2 − 1980X + 462

Conclusion :

S = 1 + 6X + 21X^2 + 56X^3 + 126X^4 + 252X^5

T = −252X^5 + 1386X^4 − 3080X^3 + 3465X^2 − 1980X + 462

Méthode

Ce sujet récompense la maîtrise des techniques suivantes :

• Utilisation des identités de Bézout pour polynômes et leur manipulation algébrique.
• Application rigoureuse de l'algorithme d'Euclide aux polynômes, en suivant le parallélisme avec l'algorithme sur les entiers.
• Capacité à factoriser des polynômes complexes et à raisonner sur les racines multiples via la dérivation.
• Utilisation du théorème de Gauss pour décrire l'ensemble des solutions d'équations polynomiales linéaires.
• Emploi des développements limités pour déterminer des polynômes satisfaisant des relations fonctionnelles précises.

Les erreurs à éviter sont notamment :

• Confondre les polynômes premiers entre eux avec des polynômes sans racines communes, sans vérifier l'existence d'identités de Bézout.
• Omettre de justifier le passage de l'algorithme d'Euclide sur les entiers à celui sur les polynômes.
• Ne pas vérifier la cohérence des degrés dans les solutions proposées.
• Ignorer la nécessité de solutions minimales en degré, ce qui peut conduire à des réponses incorrectes ou incomplètes.