Exercices de Math´ematiques
Polynˆomes : arithm´etique, pgcd, ppcm
´Enonc´es
´Enonc´es des exercices
Exercice 1 [ Indication ] [ Correction ]
Montrer que deux polynˆomes A et B sont premiers entre eux ⇔ AB et A + B le sont.
Exercice 2 [ Indication ] [ Correction ]
Montrer que le Pgcd de X n − 1 et de X p − 1 est X pgcd(n,p) − 1.
Exercice 3 [ Indication ] [ Correction ]
Soient P, Q deux polynˆomes de lC[X], premiers entre eux, et tels que P 2 + Q2 admette a pour
racine double. Montrer que a est racine de P 02 + Q02.
Exercice 4 [ Indication ] [ Correction ]
Soient A, B dans IK[X] (non tous deux nuls) et soient U, V tels que AU + BV = pgcd(A, B).
Montrer que U et V sont premiers entre eux.
Exercice 5 [ Indication ] [ Correction ]
Trouver tous les polynˆomes U et V tels que (X − 1)3U + (X + 1)2V = 1.
Exercice 6 [ Indication ] [ Correction ]
D´eterminer deux polynˆomes S et T de degr´e 5 tels que (1 − X)6S + X 6T = 1.
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Jean-Michel Ferrard
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Polynˆomes : arithm´etique, pgcd, ppcm
Indications, r´esultats
Indications ou r´esultats
Indication pour l’exercice 1 [ Retour `a l’´enonc´e ]
Montrer qu’on peut passer d’une identit´e de Bezout pour A et B `a une identit´e de Bezout pour
A + B et AB (et r´eciproquement.)
Indication pour l’exercice 2 [ Retour `a l’´enonc´e ]
Consid´erer la division euclidienne n = pq + r de n par p.
Publicité
Montrer que X r − 1 est le reste dans la division de X n − 1 par X p − 1.
Constater alors que l’algorithme d’Euclide appliqu´e aux polynˆomes X n − 1 et X p − 1 suit en
parallele l’algorithme d’Euclide appliqu´e a n et p.
Indication pour l’exercice 3 [ Retour `a l’´enonc´e ]
Utiliser Bezout pour montrer que P + iQ et P − iQ sont premiers entre eux.
En d´eduire que a est racine double de P + iQ ou de P − iQ.
Indication pour l’exercice 4 [ Retour `a l’´enonc´e ]
On a D = A ∧ B 6= 0. Simplifier par D dans une ´egalit´e de Bezout pour A, B.
Indication pour l’exercice 5 [ Retour `a l’´enonc´e ]
Appliquer l’algorithme d’Euclide `a (X − 1)3 et (X + 1)2.
En d´eduire (X − 1)3U0 + (X + 1)2V0 = 1 avec U0 = −1
Trouver toutes les solutions en utilisant le th´eor`eme de Gauss.
16 (3X + 5) et V0 = −1
16 (3X 2 − 10X + 11).
Indication pour l’exercice 6 [ Retour `a l’´enonc´e ]
Remarquer que (1 − X)6S + X 6T = 1 ´equivaut `a ∀ x ∈] − 1, 1[, (1 − x)6S(x) + x6T (x) = 1.
Utiliser alors un d´eveloppement limit´e. On trouve S = 1 + 6X + 21X 2 + 56X 3 + 126X 4 + 252X 5.
Un changement de variable donne T (X) = −252X 5+1386X 4−3080X 3+3465X 2−1980X +462.
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Corrig´es
Corrig´es des exercices
Corrig´e de l’exercice 1 [ Retour `a l’´enonc´e ]
– Si (AB) ∧ (A + B) = 1 il existe U, V dans IK[X] tels que (AB)U + (A + B)V = 1.
Cette ´egalit´e s’´ecrit aussi A(BU + V ) + BV = 1.
Sous cette forme c’est une ´egalit´e de Bezout pour A et B.
On en d´eduit que les polynˆomes A et B sont premiers entre eux.
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– Inversement, supposons que A et B soient premiers entre eux.
Il existe U, V dans IK[X] tels que AU + BV = 1.
Les ´egalit´es de Bezout
(cid:26) (A + B)U + B(V − U ) = 1
A(U − V ) + (A + B)V = 1
montrent que
(cid:26) (A + B) ∧ B = 1
A ∧ (A + B) = 1
Puisque A + B est premier avec A et B, il est premier avec leur produit.
Conclusion : on a l’´equivalence A ∧ B = 1 ⇔ (A + B) ∧ (AB) = 1.
Corrig´e de l’exercice 2 [ Retour `a l’´enonc´e ]
Soit n = pq + r la division euclidienne de n par p.
On a : X n − 1 = X pq+r − 1 = X r(X pq − 1) + X r − 1 = X r(X p − 1)
q−1
P
k=0
X kp + X r − 1.
Puisque 0 ≤ r < p, il en d´ecoule que X r − 1 est le reste dans la division de X n − 1 par X p − 1.
On forme la suite des divisions de l’algorithme d’Euclide appliqu´e au couple (n, p) :
n = pq1 + r1,
p = r1q2 + r2,
r1 = r2q3 + r3, . . . ,
rn−1 = rnqn+2
L’entier rn, dernier reste non nul dans cet algorithme, est le pgcd de n et de p.
Ce qui pr´ec`ede montre que l’algorithme d’Euclide appliqu´e aux polynˆomes X n − 1 et X p − 1
conduit aux restes successifs R1 = X r1 − 1, R2 = X r2 − 1, . . . , Rn = X rn − 1.
Dans cet algorithme Rn est le dernier reste non nul (car rn | rn−1 ⇒ Rn | Rn−1.)
Il en d´ecoule que le pgcd de X n − 1 et de X p − 1 est Rn = X rn − 1 = X pgcd (n,p) − 1.
Corrig´e de l’exercice 3 [ Retour `a l’´enonc´e ]
Puisque P ∧ Q = 1, il existe U, V dans lC[X] tels que U P + V Q = 1.
On en d´eduit A(P + iQ) + B(P − iQ) = 1, avec A = 1
Il en d´ecoule que P + iQ et P − iQ sont premiers entre eux.
Or a est racine double de P 2 + Q2 = (P + iQ)(P − iQ).
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2 (U − iV ) et B = 1
2 (U + iV ).
Il est donc ou bien racine double de P + iQ, ou bien racine double de P − iQ.
Ainsi a est racine de P 0 + iQ0 ou de P 0 − iQ0.
Dans tous les cas, il est racine de leur produit (P 0 + iQ0)(P 0 − iQ0) = P 02 + Q02.
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Corrig´es
Corrig´e de l’exercice 4 [ Retour `a l’´enonc´e ]
Puisque A, B ne sont pas tous deux nuls, leur pgcd D est non nul.
Il existe deux polynˆomes bA et bB tels que A = D bA et B = D bB.
L’´egalit´e AU + BV = D donne alors D( bAU + bBV ) = D donc bAU + bBV = 1.
Cette ´egalit´e de Bezout prouve que U et V sont premiers entre eux.
Corrig´e de l’exercice 5 [ Retour `a l’´enonc´e ]
(X − 1)3 et (X + 1)2 ´etant premiers entre eux, il existe des solutions (U, V ).
On trouve l’une d’elles en appliquant l’algorithme d’Euclide `a (X − 1)3 et (X + 1)2.
D’abord (X − 1)3 = (X + 1)2(X − 5) + 12X + 4, puis 36(X + 1)2 = (12X + 4)(3X + 5) + 16.
On en d´eduit : 16 = 36(X + 1)2 − (12X + 4)(3X + 5)
= 36(X + 1)2 − (3X + 5)((X − 1)3 − (X + 1)2(X − 5))
= −(3X + 5)(X − 1)3 + (3X 2 − 10X + 11)(X + 1)2
Ainsi (X − 1)3U0 + (X + 1)2V0 = 1 avec U0 = −1
Pour tout couple (U, V ) on a alors :
16 (3X + 5) et V0 = −1
16 (3X 2 − 10X + 11).
(X − 1)3U + (X + 1)2V = 1 ⇔ (X − 1)3U + (X + 1)2V = (X − 1)3U0 + (X + 1)2V0
⇔ (X − 1)3(U − U0) = (X + 1)2(V0 − V )
Cela ´equivaut (Gauss) `a l’existence de C dans IR[X] tel que
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(cid:26) U = U0 + (X + 1)2C
V = V0 − (X − 1)3C
.
Remarque : la solution (U0, V0) obtenue par la m´ethode pr´ec´edente est “optimale”, car elle
minimise les degr´es. Pour toute autre solution (U, V ), on a deg U ≥ 2 et deg V ≥ 3.
Corrig´e de l’exercice 6 [ Retour `a l’´enonc´e ]
Puisque (1 − X)6 ∧ X 6 = 1, il existe des polynˆomes S, T tels que (1 − X)6S + X 6T = 1.
Remarquons que (1 − X)6S + X 6T = 1 ´equivaut `a ∀ x ∈] − 1, 1[, (1 − x)6S(x) + x6T (x) = 1.
Sous cette forme le probl`eme devient :
1
(1 − x)6 = S(x) + x6 T (x)
(1 − x)6 = S(x) + o(x5).
Cela signifie (puisqu’on veut deg S ≤ 5) que S(x) est le DL de
1
Or
(1 − x)6 = (1 − x)−6 = 1 + 6x + 21x2 + 56x3 + 126x4 + 252x5 + o(x5).
1
(1 − x)6 en 0 `a l’ordre 5.
On en d´eduit donc S = 1 + 6X + 21X 2 + 56X 3 + 126X 4 + 252X 5.
On remarque enfin que (1 − X)6S(X) + X 6T (X) = 1 ⇔ (1 − X)6T (1 − X) + X 6S(1 − X) = 1.
Cela signifie que le polynˆome T est donn´e par T (X) = S(1 − X). On trouve alors :
T (X) = 1 + 6(1 − X) + 21(1 − X)2 + 56(1 − X)3 + 126(1 − X)4 + 252(1 − X)5
= −252X 5 + 1386X 4 − 3080X 3 + 3465X 2 − 1980X + 462
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