Exercices de Mathématiques

Ce document propose une série d'exercices corrigés sur les racines n-ièmes complexes, destinés à tester les compétences en résolution d'équations complexes, manipulation des racines de l'unité, factorisation polynomiale et interprétation géométrique dans le plan complexe.

Exercice 1

Résoudre l’équation (z + 1)^n = cos 2na + i sin 2na, puis en déduire la valeur de Pn = sin a · sin(a + π/n) · ... · sin(a + (n−1)π/n).

Étape 1 : On note ω_k = exp(2ikπ/n) les racines n-ièmes de l’unité. L’équation s’écrit :

(z + 1)^n = e^(i2na)

Les solutions sont donc :

z_k + 1 = e^(i2a) ω_k = e^(i2a + i2kπ/n)

Donc :

z_k = e^(i(2a + 2kπ/n)) - 1

Étape 2 : On utilise la formule d’Euler pour écrire :

z_k = e^(i(2a + 2kπ/n)) - 1 = 2i e^(i(a + kπ/n)) sin(a + kπ/n)

Étape 3 : Calcul du produit des z_k :

∏_(k=0)^(n-1) z_k = ∏_(k=0)^(n-1) [2i e^(i(a + kπ/n)) sin(a + kπ/n)]

Ce produit se décompose en :

• Un facteur (2i)^n
• Un facteur exponentiel : e^(i n a + i π (n-1)/2)
• Le produit Pn = ∏_(k=0)^(n-1) sin(a + kπ/n)

On obtient :

∏ z_k = (2i)^n e^(i n a + i π (n-1)/2) Pn

Étape 4 : D’autre part, les z_k sont racines du polynôme A(z) = (z + 1)^n - e^(i 2na).

Le coefficient constant de A(z) est :

1 - e^(i 2na) = - e^(i n a) 2i sin(na)

Ce coefficient constant vaut aussi :

(-1)^n ∏ z_k

On en déduit :

∏ z_k = (-1)^(n+1) e^(i n a) 2i sin(na)

Étape 5 : En égalant les deux expressions du produit :

(-1)^(n+1) 2^n i^n e^(i n a + i π (n-1)/2) Pn = (-1)^(n+1) e^(i n a) 2i sin(na)

On simplifie et obtient :

Pn = sin(na) / 2^(n-1)

Réponse finale : La valeur de Pn est

Pn = sin(na) / 2^(n-1)

Exercice 2

Soient ω_0, ..., ω_(n−1) les racines n-ièmes de l’unité. Pour p ∈ ℤ, calculer S_p = ∑_(k=0)^(n−1) ω_k^p.

Étape 1 : On rappelle que ω_k = ω_1^k avec ω_1 = exp(2iπ/n).

Donc :

S_p = ∑_(k=0)^(n-1) (ω_1^p)^k

C’est la somme des n premiers termes d’une suite géométrique de raison q = ω_1^p.

Étape 2 : Si q = 1, c’est-à-dire si p est multiple de n, alors :

S_p = n

Sinon :

S_p = (1 - q^n) / (1 - q) = 0

car q^n = (ω_1^p)^n = (e^(2iπ p/n))^n = e^(2iπ p) = 1.

Réponse finale :

• Si n divise p, alors S_p = n.
• Sinon, S_p = 0.

Exercice 3

Calculer le produit ∏_(k=0)^(n−1) (2 − ω_k), où ω_k sont les racines n-ièmes de l’unité.

Étape 1 : On utilise la factorisation classique :

X^n - 1 = ∏_(k=0)^(n-1) (X - ω_k)

En évaluant en X = 2 :

2^n - 1 = ∏_(k=0)^(n-1) (2 - ω_k)

Réponse finale :

∏_(k=0)^(n-1) (2 - ω_k) = 2^n - 1

Exercice 4

Dans ℂ, résoudre l’équation z^(2n) − 2 z^n cos(nθ) + 1 = 0.

Étape 1 : Factoriser :

z^(2n) − 2 z^n cos(nθ) + 1 = (z^n − e^(i n θ)) (z^n − e^(−i n θ))

Étape 2 : Résoudre chacune des équations :

• z^n = e^(i n θ) ⇒ z_k = e^(i θ + 2i k π / n), k = 0,..., n−1
• z^n = e^(−i n θ) ⇒ z_k = e^(−i θ + 2i k π / n), k = 0,..., n−1

Réponse finale : Les solutions sont les 2n nombres complexes :

z_k = e^(i θ + 2i k π / n) et z_k = e^(−i θ + 2i k π / n), pour k = 0,..., n−1

Exercice 5

Dans ℂ, résoudre l’équation

((1 − i z) / (1 + i z))^n = (1 + i a) / (1 − i a)

avec n ∈ ℕ*, a ∈ ℝ.

Étape 1 : Posons a = tan θ avec −π/2 < θ < π/2.

On remarque :

(1 + i a) / (1 − i a) = e^(2 i θ)

L’équation devient :

((1 − i z) / (1 + i z))^n = e^(2 i θ)

Étape 2 : Posons :

u = e^(2 i θ / n)

Alors :

(1 − i z) / (1 + i z) = u^k, k = 0,..., n−1

Étape 3 : Résolvons pour z :

1 − i z = u^k (1 + i z)

1 − i z = u^k + i z u^k

1 − u^k = i z (u^k + 1)

z = (1 − u^k) / (i (u^k + 1))

Étape 4 : En utilisant les identités trigonométriques :

z_k = − tan((θ + k π) / n), k = 0,..., n−1

Cas particulier : Si a = 0 (θ = 0) et n pair, alors la solution pour k = n/2 n’est pas définie (division par zéro). L’équation possède donc n−1 solutions distinctes.

Réponse finale :

• Pour a = tan θ, les solutions sont z_k = − tan((θ + k π)/n), k = 0,..., n−1.
• Si a = 0 et n pair, il y a n−1 solutions, obtenues en excluant k = n/2.

Exercice 6

Soient z_1, ..., z_n les solutions de z^n = a avec |a| = 1, n ∈ ℕ. Montrer que les points d’affixes (1 + z_k)^n sont alignés.

Étape 1 : Posons a = e^(i θ), alors les solutions sont :

z_k = e^(i ϕ_k), avec ϕ_k = (θ + 2 k π) / n, k = 0,..., n−1

Étape 2 : Calculons :

1 + z_k = 1 + e^(i ϕ_k) = 2 cos(ϕ_k / 2) e^(i ϕ_k / 2)

Étape 3 : Élevons à la puissance n :

(1 + z_k)^n = (2 cos(ϕ_k / 2))^n e^(i n ϕ_k / 2)

Or :

n ϕ_k / 2 = n (θ + 2 k π) / (2 n) = (θ / 2) + k π

Donc :

(1 + z_k)^n = 2^n (cos(ϕ_k / 2))^n e^(i (θ/2 + k π)) = 2^n (cos(ϕ_k / 2))^n (-1)^k e^(i θ / 2)

Étape 4 : L’argument de (1 + z_k)^n est donc :

arg((1 + z_k)^n) = θ / 2 (mod π)

Ce qui signifie que tous les points (1 + z_k)^n sont situés sur une même droite passant par l’origine et faisant un angle θ/2 avec l’axe réel.

Réponse finale : Les points d’affixes (1 + z_k)^n sont alignés sur une droite passant par l’origine et d’angle polaire θ/2.

Méthode

Ce sujet récompense la maîtrise des racines n-ièmes de l’unité, la manipulation des expressions complexes sous forme exponentielle, et la capacité à factoriser des polynômes complexes. Il est essentiel de bien utiliser les propriétés des racines de l’unité, notamment la somme et le produit, ainsi que les identités trigonométriques liées à la forme exponentielle. La rigueur dans le calcul des arguments et des modules est cruciale, notamment pour les interprétations géométriques. Les erreurs fréquentes concernent la confusion entre indices, la mauvaise gestion des exposants complexes, et l’oubli des cas particuliers (comme dans l’exercice 5). Une attention particulière doit être portée à la cohérence des notations et à la justification des étapes, notamment lors de l’égalisation des coefficients dans les polynômes.