Exercices de Mathématiques

Ce document présente une série d'exercices de mathématiques sur les familles de matrices, sous forme d'examen ou devoir surveillé. Ces exercices évaluent la compréhension des structures algébriques formées par des matrices, la manipulation des sous-algèbres, la stabilité par produit, ainsi que la recherche de conditions d'inversibilité et de corps.

Exercice 1

On demande de montrer que l'ensemble E des matrices M(λ, µ) = λI + µJ, avec J = [[0, 1], [-b, a]] et λ, µ réels, est une sous-algèbre commutative de M2(R), puis de déterminer sous quelle condition sur a et b cet ensemble est un corps.

On commence par remarquer que E est engendré par les matrices I et J, qui sont linéairement indépendantes, donc E est un plan vectoriel de dimension 2.

Calculons J² :

J² = [[0, 1], [-b, a]] × [[0, 1], [-b, a]] = [[-b, a], [-ab, a² - b]]

On peut écrire :

J² = -b I + a J

Considérons deux matrices M(λ, µ) = λI + µJ et M(λ₀, µ₀) = λ₀I + µ₀J dans E. Leur produit est :

M(λ, µ) M(λ₀, µ₀) = (λI + µJ)(λ₀I + µ₀J)
= λλ₀ I + λµ₀ J + µλ₀ J + µµ₀ J²
= λλ₀ I + (λµ₀ + µλ₀) J + µµ₀ (-b I + a J)
= (λλ₀ - b µ µ₀) I + (λ µ₀ + µ λ₀ + a µ µ₀) J
= M(λλ₀ - b µ µ₀, λ µ₀ + µ λ₀ + a µ µ₀)

Le produit reste donc dans E, et comme la multiplication est symétrique, E est une sous-algèbre commutative de M2(R).

Pour que E soit un corps, toute matrice non nulle M(λ, µ) doit être inversible dans E. Cherchons M(λ₀, µ₀) tel que :

M(λ, µ) M(λ₀, µ₀) = I = M(1, 0)

Ce qui équivaut au système :

λλ₀ - b µ µ₀ = 1
λ µ₀ + µ λ₀ + a µ µ₀ = 0

Ce système a une solution unique si et seulement si le déterminant

∆(λ, µ) = λ² + a λ µ + b µ² ≠ 0

pour tout (λ, µ) ≠ (0, 0). On peut réécrire :

∆(λ, µ) = (λ + (a/2) µ)² + (b - a²/4) µ²

Pour que ∆(λ, µ) = 0 implique λ = µ = 0, il faut que :

b > a² / 4

Conclusion : E est une sous-algèbre commutative de dimension 2 de M2(R) et c'est un corps si et seulement si b > a²/4.

Exercice 2

On considère la famille de matrices A(t) définie par :

A(t) = 
⎛
1 + t²/2   t²/2    t
- t²/2    1 - t²/2  -t
t          t        1
⎞

On demande :

1. Calculer A(s) A(t).
2. Calculer (A(t) - I)³.
3. Trouver des suites (αₙ), (βₙ), (γₙ) telles que pour tout n ∈ N, A(t)ⁿ = αₙ A(t)² + βₙ A(t) + γₙ I.

On remarque que :

A(t) = I + t J + (t² / 2) K
avec
J = 
⎛
0  0  0
0  1  1
0  0  0
⎞
et
K = 
⎛
1  -1  0
1  -1  0
0   0  0
⎞

On vérifie :

J² = K, K² = 0, JK = KJ = 0

1. Calcul de A(s) A(t) :

A(s) A(t) = (I + s J + s²/2 K)(I + t J + t²/2 K)
= I + (s + t) J + (s²/2 + t²/2 + s t) K
= I + (s + t) J + ((s + t)² / 2) K
= A(s + t)

2. Calcul de (A(t) - I)³ :

(A(t) - I) = t J + (t² / 2) K
(A(t) - I)² = t² K
(A(t) - I)³ = (A(t) - I)² (A(t) - I) = t² K (t J + t²/2 K) = t³ K J + t⁴/2 K² = 0

car K J = 0 et K² = 0.

3. Expression de A(t)ⁿ :

Posons B(t) = A(t) - I. On a B(t)³ = 0, donc :

A(t)ⁿ = (I + B(t))ⁿ = I + n B(t) + n(n-1)/2 B(t)²
= I + n (A(t) - I) + n(n-1)/2 (A(t)² - 2 A(t) + I)
= (n(n-1)/2) A(t)² - n(n-2) A(t) + ((n-1)(n-2)/2) I

On identifie :

αₙ = n(n-1)/2
βₙ = - n(n-2)
γₙ = (n-1)(n-2)/2

Conclusion : Pour tout n ∈ N, A(t)ⁿ = αₙ A(t)² + βₙ A(t) + γₙ I avec les coefficients donnés ci-dessus.

Exercice 3

Soit E l'ensemble des matrices M(a, b, c) = a I + b J + c K, où :

I = M(1, 0, 0) = matrice identité 3×3,
J = M(0, 1, 0) =
⎛
0  1  0
0  0  1
0  0  0
⎞
,
K = M(0, 0, 1) =
⎛
3  -3  0
1   0  0
0   0  0
⎞

On demande de montrer que E est une sous-algèbre de M3(R), d'en donner la dimension et une base.

Les matrices I, J, K sont linéairement indépendantes, donc E est un sous-espace vectoriel de dimension 3.

Calculons les produits :

J K = K J = 3 (I - J)
J² = K
K² = 3 (J - K)

Le produit de deux matrices de E s'exprime donc toujours comme combinaison linéaire de I, J, K. Par exemple :

M(a, b, c) M(a₀, b₀, c₀) = (a a₀ + 3 b c₀ + 3 c b₀) I
+ (a b₀ + b a₀ - 3 b c₀ - 3 c b₀ + 3 c c₀) J
+ (a c₀ + c a₀ + b b₀ - 3 c c₀) K

Ce produit est symétrique, donc E est une sous-algèbre commutative de dimension 3 de M3(R).

Conclusion : E est une sous-algèbre de M3(R) de dimension 3, de base (I, J, K).

Exercice 4

Soit D l'ensemble des matrices A = (aᵢⱼ) de Mₙ(R) telles que :

• ∀ i, j, aᵢⱼ ≥ 0
• Pour tout i, la somme des coefficients de la i-ème ligne vaut 1 : ∑ⱼ aᵢⱼ = 1

On demande :

1. Montrer que D est stable par produit matriciel.
2. Déterminer les matrices inversibles A de D telles que A⁻¹ ∈ D.

1. Stabilité :

Soient A = (aᵢⱼ) et B = (bᵢⱼ) dans D, et C = AB = (cᵢⱼ). Alors :

cᵢⱼ = ∑ₖ aᵢₖ bₖⱼ ≥ 0

car tous les coefficients sont positifs ou nuls.

De plus, pour chaque ligne i :

∑ⱼ cᵢⱼ = ∑ⱼ ∑ₖ aᵢₖ bₖⱼ = ∑ₖ aᵢₖ (∑ⱼ bₖⱼ) = ∑ₖ aᵢₖ × 1 = 1

Donc C ∈ D, d'où la stabilité de D par produit.

2. Matrices inversibles dans D dont l'inverse est aussi dans D :

Supposons que A ∈ D est inversible et que B = A⁻¹ ∈ D. Alors AB = I.

Pour i ≠ k, on a :

0 = cᵢₖ = ∑ⱼ aᵢⱼ bⱼₖ ≥ 0

Donc chaque terme de la somme est nul, ce qui implique que pour chaque i, la ligne i de A ne contient qu'un seul coefficient non nul, égal à 1, situé en colonne σ(i).

La fonction σ : {1,...,n} → {1,...,n} est une bijection (sinon A ne serait pas inversible). Ainsi A est une matrice de permutation P_σ.

De même, B = A⁻¹ = P_σ⁻¹ est aussi dans D.

Conclusion : Les matrices inversibles de D dont l'inverse appartient aussi à D sont exactement les matrices de permutation.

Exercice 5

On considère l'ensemble E des matrices M(x, y) = x I + y J, avec :

I = matrice identité 2×2,
J = 
⎛
1  4
-1 -1
⎞

On demande de montrer que E est une sous-algèbre de M2(R), d'en donner une base, la dimension, et de déterminer si c'est un corps.

On calcule :

J² = 
⎛
1  4
-1 -1
⎞
×
⎛
1  4
-1 -1
⎞
= 
⎛
-3  0
0  -3
⎞
= -3 I

Le produit de deux matrices M(x, y) et M(x₀, y₀) est :

M(x, y) M(x₀, y₀) = (x x₀ - 3 y y₀) I + (x y₀ + y x₀) J

Donc E est stable par produit et commutative, de dimension 2, base (I, J).

Pour l'inversibilité, cherchons M(x₀, y₀) tel que :

M(x, y) M(x₀, y₀) = I
⇔
{
x x₀ - 3 y y₀ = 1
y x₀ + x y₀ = 0
}

Le déterminant est :

∆ = x² + 3 y² > 0

Le système admet donc la solution unique :

x₀ = x / ∆
y₀ = - y / ∆

Donc toute matrice non nulle de E est inversible dans E.

Conclusion : E est une sous-algèbre commutative de dimension 2 de M2(R) qui est un corps.

Méthode

Ce devoir récompense la maîtrise des notions d'algèbre linéaire appliquées aux familles de matrices, notamment :

• La reconnaissance et la manipulation des sous-espaces vectoriels engendrés par des matrices données.
• La vérification de la stabilité d'un ensemble par le produit matriciel, en utilisant les relations entre générateurs.
• Le calcul explicite des produits et puissances de matrices en exploitant les relations algébriques (comme J², K², etc.).
• La résolution de systèmes linéaires pour déterminer l'inversibilité dans une sous-algèbre.
• L'interprétation des conditions algébriques (comme le discriminant ∆) pour caractériser des structures de corps.
• La compréhension des matrices de permutation et leur rôle dans les matrices stochastiques inversibles.

Les erreurs pénalisées sont notamment :

• Ne pas vérifier la stabilité complète par produit, ou confondre commutativité et stabilité.
• Omettre les conditions nécessaires pour l'inversibilité dans la sous-algèbre.
• Ne pas justifier la linéarité indépendante des générateurs.
• Confondre les calculs de puissances matricielles sans utiliser les relations algébriques simplificatrices.
• Ne pas vérifier la cohérence des solutions des systèmes linéaires associés.