Exercices de Math´ematiques
Familles de matrices
´Enonc´es
´Enonc´es des exercices
Exercice 1 [ Indication ] [ Correction ]
Soient a, b deux r´eels, et E l’ensemble des matrices M (λ, µ) =
Montrer que E est une sous-alg`ebre commutative de M2(R).
A quelle condition sur a, b est-ce un corps ?
(cid:18) λ
µ
(cid:19)
−µb λ + µa
, (λ, µ ∈ R).
Exercice 2 [ Indication ] [ Correction ]
Pour tout r´eel t, on d´efinit la matrice A(t) par A(t) =
1 + t2
2
t2
2
t
− t2
2
1 − t2
2
−t
t
t
1
1. Calculer A(s)A(t).
2. Calculer (A(t) − I)3.
3. Trouver (αn), (βn), (γn) telles que : ∀ n ∈ N, A(t)n = αn A(t)2 + βn A(t) + γn I.
Exercice 3 [ Indication ] [ Correction ]
M (a, b, c) =
Soit E =
a
3c
b
a − 3c
c
b
, avec a, b, c r´eels
3b −3b + 3c a − 3c
Montrer que E est une sous-alg`ebre de M3(R).
En donner la dimension et une base.
.
Exercice 4 [ Indication ] [ Correction ]
Soit D l’ensemble des A = (aij) de Mn(R) qui v´erifient le syst`eme
1. Montrer que D est stable pour le produit des matrices.
2. D´eterminer les matrices A de D, inversibles et telles que A−1 ∈ D.
∀i,
∀(i, j), aij ≥ 0
n
P
j=1
aij = 1
Exercice 5 [ Indication ] [ Correction ]
Montrer que l’ensemble E des M (x, y) =
(cid:18) x + y
−y
4y
(cid:19)
x − y
est une sous-alg`ebre de M2(R).
En donner une base et la dimension. Est-ce un corps ?
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Jean-Michel Ferrard
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Familles de matrices
Indications, r´esultats
Indications ou r´esultats
Indication pour l’exercice 1 [ Retour `a l’´enonc´e ]
1
E est le plan de M2(R) engendr´e par I et J =
(cid:18) 0
(cid:19)
.
−b a
Calculer J 2 et en d´eduire la stabilit´e de E pour le produit.
Chercher `a quelle condition M (λ, µ) est inversible dans E.
En d´eduire que E est un corps si et seulement si b > a2
4 .
Indication pour l’exercice 2 [ Retour `a l’´enonc´e ]
– Remarquer que A(t) s’´ecrit A(t) = I + tJ + t2
2 K.
V´erifier J 2 = K, K 2 = 0 et JK = KJ = 0. En d´eduire A(t)A(s) = A(t + s).
– Prouver que (A(t) − I)2 = t2K, puis (A(t) − I)3 = 0.
– Poser A(t) = I + B(t) avec B(t) = A(t) − I.
Calculer alors A(t)n en utilisant la formule du binˆome.
On trouve A(t)n =
n(n − 1)
2
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A(t)2 − n(n − 2)A(t) +
(n − 1)(n − 2)
2
I.
Indication pour l’exercice 3 [ Retour `a l’´enonc´e ]
E est le sous-espace de M3(R) engendr´e par I = M (1, 0, 0), J = M (0, 1, 0), K = M (0, 0, 1).
V´erifier que I, J, K sont libres.
Calculer JK et KJ et en d´eduire que E est une sous-alg`ebre de dimension 3 de M3(R).
Indication pour l’exercice 4 [ Retour `a l’´enonc´e ]
– Constater que si A ∈ D, alors ses coefficients de A sont inf´erieurs ou ´egaux `a 1.
V´erifier que si A = (aij) et B = (bij) sont dans D, alors C = AB = (cij) est dans D.
– Avec les mˆemes notations, supposer que C soit ´egale `a la matrice identit´e.
Montrer que chaque ligne de A ne porte qu’un seul coefficient non nul, et qui vaut 1.
Noter σ(i) le num´ero de colonne o`u se trouve ce coefficient.
Montrer que σ est une bijection de {1, . . . , n}. ´Etablir une r´eciproque.
Indication pour l’exercice 5 [ Retour `a l’´enonc´e ]
4
E est le plan de M2(R) engendr´e par I et J =
(cid:18) 1
−1 −1
(cid:19)
.
Calculer J 2 et en d´eduire que E est une sous-alg`ebre commutative de M2(R).
Montrer que tout matrice non nulle de E est inversible dans E (qui est donc un corps.)
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Familles de matrices
Corrig´es
Corrig´es des exercices
Corrig´e de l’exercice 1 [ Retour `a l’´enonc´e ]
On constate que M (λ, µ) = λI + µJ, avec J =
(cid:18) 0
(cid:19)
1
−b a
.
Il en d´ecoule que E est le sous-espace vectoriel de M2(R) engendr´e par I et J.
Puisque les matrices I et J sont lin´eairement ind´ependantes, E est un plan vectoriel.
Pour montrer que E est une sous-algebre de M2(R), il reste a v´erifier que E contient la matrice
identit´e (´evident : I = M (1, 0)) et que E est stable pour le produit des matrices.
On a J 2 =
(cid:18) 0
(cid:19)(cid:18) 0
1
(cid:19)
1
−b a
−b a
=
(cid:18) −b
a
(cid:19)
−ab a2 − b
Il en d´ecoule que pour tous r´eels λ, µ, λ0, µ0 :
= −bI + aJ.
M (λ, µ)M (λ0, µ0) = (λI + µJ)(λ0I + µ0J) = (λλ0 − bµµ0)I + (λµ0 + µλ0 + aµµ0)J
On constate donc que M (λ, µ)M (λ0, µ0) = M (λ0, µ0)M (λ, µ) est dans E.
Ainsi E est une sous-alg`ebre commutative (de dimension 2) de M2(R).
E est un corps si toute matrice non nulle de E poss`ede un inverse dans E.
M (λ, µ) poss`ede un inverse M (λ0, µ0) dans E si et seulement si :
(cid:26) λλ0 − bµµ0
M (λ, µ)M (λ0, µ0) = I = M (1, 0) ⇔
C’est un syst`eme dont le d´eterminant est ∆(λ, µ) =
(cid:12)
(cid:12)
(cid:12)
(cid:12)
= 1
µλ0 + (λ + aµ)µ0 = 0
(cid:12)
(cid:12)
(cid:12)
(cid:12)
λ −bµ
µ λ + aµ
= λ2 + aλµ + bµ2.
Ainsi E est un corps si et seulement si on a la condition : ∆(λ, µ) = 0 ⇔ λ = µ = 0.
On constate qu’on peut ´ecrire : ∆(λ, µ) = (λ + aµ
On en d´eduit que l’´equivalence ∆(λ, µ) = 0 ⇔ λ = µ = 0 ´equivaut `a b > a2
4 .
Conclusion : l’ensemble E est un corps si et seulement si b > a2
4 .
2 )2 + (b − a2
4 )µ2.
Corrig´e de l’exercice 2 [ Retour `a l’´enonc´e ]
Pour tout t de R, on a A(t) = I + tJ + t2
2 K, avec J =
0
0
0
0
1
1
et K =
1 −1 0
1 −1 0
.
0
1. On a J 2 = K, K 2 = 0 et JK = KJ = 0. Pour tout r´eels s, t, on en d´eduit :
1 −1
0
0
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0
A(t)A(s) =
(cid:16)
I + tJ +
(cid:17)(cid:16)
K
t2
2
I + sJ +
(cid:17)
K
s2
2
(cid:17)
= I + (t + s)J +
(cid:16) s2
2
+
t2
2
+ st
K = I + (t + s)J +
(t + s)2
2
K = A(t + s)
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Corrig´es
2. On a : (A(t) − I)2 =
(cid:16)
tJ +
t2
2
(cid:17)2
= t2K, puis (A(t) − I)3 = t2(cid:16)
K
tJ +
(cid:17)
K
t2
2
K = 0.
3. On a A(t) = I + B(t) avec B(t) = A(t) − I. On sait que B(t)3 = 0.
On en d´eduit, en utilisant la formule du binˆome :
A(t)n = I + nB(t) +
n(n − 1)
2
B(t)2
= I + n(A(t) − I) +
n(n − 1)
2
(A(t)2 − 2A(t) + I)
=
n(n − 1)
2
A(t)2 − n(n − 2)A(t) +
(n − 1)(n − 2)
2
I
On a ainsi obtenu, pour tout n de N : A(t)n = αnA(t)2 + βnA(t) + γnI, avec :
αn =
n(n − 1)
2
,
βn = −n(n − 2),
γn =
(n − 1)(n − 2)
2
Par acquis de conscience, on v´erifie que le r´esultat est correct si n ∈ {0, 1, 2}.
Corrig´e de l’exercice 3 [ Retour `a l’´enonc´e ]
On constate que M (1, 0, 0) = I (matrice identit´e).
0
1
0
0
0
Posons J = M (0, 1, 0) =
0
0
1
et K = M (0, 0, 1) =
3 −3
1
0
.
0
3 −3
3 −3
Avec ces notations, on a M (a, b, c) = aI + bJ + cK, pour tous r´eels a, b, c.
On en d´eduit que E est le sous-espace vectoriel de M3(R) engendr´e par I, J, K.
I, J, K sont libres. En effet, aI + bJ + cK = 0 ⇒ M (a, b, c) = 0 ⇒ a = b = c = 0.
Ainsi E est un sous-espace de dimension 3 de M3(R).
On sait que I ∈ E. Il reste `a prouver que E est stable pour le produit.
0
On constate que JK = KJ =
3 −3
0
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0
3 −3
= 3(I − J).
0
0
3 −3
1
0
0
3 −3
D’autre part J 2 =
On en d´eduit :
3
9
−9
= K, et K 2 =
0
−9
3
9
9 −18
−3
= 3(J − K).
3
9
M (a, b, c)M (a0, b0, c0) = (aI + bJ + cK)(a0I + b0J + c0K)
= (aa0 + 3bc0 + 3cb0)I + (ab0 + ba0 − 3bc0 − 3cb0 + 3cc0)J + (ac0 + ca0 + bb0 − 3cc0)K
= M (a0, b0, c0)M (a, b, c)
Conclusion : E est une sous-alg`ebre de dimension 3 de M3(R).
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Corrig´es
Corrig´e de l’exercice 4 [ Retour `a l’´enonc´e ]
Dire qu’une matrice A est dans D, c’est dire que tous ses coefficients sont positifs ou nuls et
que la somme des coefficients de chacune de ses lignes vaut 1.
En particulier, tous les coefficients de A sont inf´erieurs ou ´egaux `a 1.
Soient A = (aij) et B = (bij) deux ´el´ements de D. Soit C = AB = (cij).
1. Pour tout couple d’indices i et j, on a bien sˆur cij =
D’autre part, pour tout indice de ligne i :
n
P
k=1
aik bkj ≥ 0.
n
P
j=1
cij =
n
P
j=1
(cid:16) n
P
k=1
aik bkj
(cid:17)
=
n
P
k=1
(cid:16) n
P
j=1
aik bkj
(cid:17)
=
n
P
k=1
aik
(cid:16) n
P
j=1
(cid:17)
bkj
=
n
P
k=1
aik = 1
L’ensemble D est donc stable pour le produit des matrices.
2. Supposons que C = AB soit ´egale `a la matrice identit´e In.
Pour tous indices distincts i et k : 0 = cik =
n
P
j=1
aij bjk
| {z }
≥0
⇒ ∀j, aij = 0 ou bjk = 0.
On choisit un coefficient aij non nul dans A.
Le calcul pr´ec´edent montre alors que pour tout indice k 6= i, on a bjk = 0.
Donc tous les coefficients de la j-`eme ligne de B sont nuls sauf bji qui vaut n´ecessairement
1 (car la somme des coefficients de chaque ligne de B vaut 1.)
En inversant les rˆoles de A et B, le fait que bji soit non nul implique que tous les coefficients
de la i-`eme ligne de A sont nuls sauf aij qui vaut n´ecessairement 1.
Ainsi chaque ligne de A ne porte qu’un seul coefficient non nul, et ce coefficient vaut 1.
Appelons σ(i) le num´ero de colonne o`u il se trouve.
L’application σ est n´ecessairement surjective sinon l’une au moins des colonnes de A serait
nulle et A ne serait pas inversible.
Donc σ est une bijection de {1, . . . , n} et on peut ´ecrire, pour tous i, j : aij = δσ(i)j.
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On dit que A est la matrice de la permutation σ et on note A = Pσ.
Le calcul pr´ec´edent montre que le seul coefficient non nul dans la ligne j = σ(i) de B est
situ´e dans la colonne i, c’est-`a-dire dans la colonne i = σ−1(j). Ainsi B = Pσ−1.
R´eciproquement A = Pσ et B = Pσ−1 sont dans D et sont inverses l’une de l’autre :
∀i, j : cij =
n
P
k=1
aik bkj = aiσ(i)bσ(i)j = bσ(i)j est ´egal `a 1 si j = σ−1(σ(i)) = i et 0 sinon.
Conclusion :
Les matrices de D qui sont inversibles et qui ont leur inverse dans D sont les matrices de
permutation A = Pσ et on a alors A−1 = Pσ−1.
0
0
1
et A−1 = Pσ−1 =
σ(1) = 2
σ(2) = 3
σ(3) = 1
Exemple : si n = 3 et
0 1
0 0
1 0
, A = Pσ =
0
1
0
1
0
0
0
1
0
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Corrig´es
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On constate que M (x, y) =
(cid:18) x + y
−y
4y
(cid:19)
x − y
= xI + yJ avec J =
(cid:18) 1
(cid:19)
4
−1 −1
.
Ainsi E est le plan de M2(R) engendr´e par les matrices libres I et J.
On a J 2 =
(cid:18) −3
(cid:19)
0
0 −3
= −3I. La stabilit´e de E pour le produit en d´ecoule.
Plus pr´ecis´ement M (x, y)M (x0, y0) = (xx0 − 3yy0)I + (xy0 + yx0)J.
Ainsi E est une sous-alg`ebre commutative de dimension 2 de M2(R).
Cherchons si une matrice M (x, y) non nulle poss`ede un inverse M (x0, y0) dans E.
L’´egalit´e M (x, y)M (x0, y0) = I ´equivaut au syst`eme
Le d´eterminant est ∆ =
(cid:12)
(cid:12)
(cid:12)
(cid:12)
x −3y
y
x
(cid:12)
(cid:12)
(cid:12)
(cid:12)
= x2 + 3y2 > 0.
(cid:26) xx0 − 3yy0 = 1
yx0 + xy0 = 0
.
Ce systeme possede donc la solution unique : x0 =
et y0 =
Ainsi l’inverse de M (x, y) est M (x0, y0) =
1
∆
−y
∆
.
x
∆
(cid:18) x − y −4y
x + y
y
(cid:19)
.
Conclusion : l’ensemble E est muni d’une structure de corps.
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