Exercices corrigés

Exercice 1 - Le paradoxe des trois coffres de Bertrand

L'énoncé présente une variante classique du paradoxe de la boîte de Bertrand. Nous sommes en présence de trois coffres :

• Coffre 1 : contient 1 pièce d'or et 1 pièce d'argent.
• Coffre 2 : contient 2 pièces d'or.
• Coffre 3 : contient 2 pièces d'argent.

L'objectif : Une pièce est tirée au hasard dans un coffre choisi au hasard. Sachant que cette première pièce est en or, quelle est la probabilité que la seconde pièce de ce même coffre soit également en or ?

Modélisation et calcul des probabilités

Conformément à la correction fournie dans le document source, définissons les deux événements :

• X1 : « la première pièce tirée est en or »
• X2 : « la seconde pièce tirée est en or »

Nous cherchons à évaluer la probabilité conditionnelle de X2 sachant que X1 est réalisé, soit P(X2|X1). La définition des probabilités conditionnelles nous donne la formule : P(X2|X1) = P(X2, X1) / P(X1)

1. Calcul du numérateur P(X2, X1) L'événement (X2, X1) signifie que les deux pièces du coffre choisi sont en or. Cette situation ne peut se produire que si nous avons sélectionné le Coffre 2. Le choix du coffre initial se fait de manière équiprobable (1 chance sur 3). Ainsi : P(X2, X1) = P(choisir le Coffre 2) = 1/3

2. Calcul du dénominateur P(X1) Il faut ici déterminer la probabilité totale de tirer une pièce d'or au premier tirage, en tenant compte des trois coffres. On applique la loi des probabilités totales : P(X1) = P(Or | Coffre 1) × P(Coffre 1) + P(Or | Coffre 2) × P(Coffre 2) + P(Or | Coffre 3) × P(Coffre 3)

• La probabilité de choisir chaque coffre est de 1/3.
• P(Or | Coffre 1) = 1/2 (une pièce sur deux est en or).
• P(Or | Coffre 2) = 1 (les deux pièces sont en or).
• P(Or | Coffre 3) = 0 (aucune pièce n'est en or).

L'équation devient : P(X1) = (1/2 × 1/3) + (1 × 1/3) + (0 × 1/3) P(X1) = 1/6 + 1/3 P(X1) = 1/6 + 2/6 = 3/6 = 1/2

3. Calcul de la probabilité finale P(X2|X1) Il suffit maintenant de remplacer ces valeurs dans notre première équation : P(X2|X1) = (1/3) / (1/2) P(X2|X1) = (1/3) × 2 = 2/3

Contrairement à l'intuition qui pourrait suggérer une probabilité de 1/2 (puisqu'il reste un coffre avec de l'argent et un avec de l'or), la probabilité réelle que la deuxième pièce soit en or est de 2/3.

Exercice 2 - Réseau Bayésien pour le problème de satisfaction de contraintes

Cet exercice demande de modéliser un Problème de Satisfaction de Contraintes (CSP) à l'aide d'un réseau bayésien. Nous devons trouver l'âge de trois enfants (Albert, Bianca, Cornélie) compris entre 0 et 6 ans, en respectant trois contraintes spécifiques.

Structure du réseau bayésien

Pour modéliser ce CSP, nous devons définir des nœuds pour les variables du problème, ainsi que des nœuds pour évaluer l'état de satisfaction des contraintes.

Nœud	Nature	Variables parentes	Description et Distribution
A	Variable d'âge (0 à 6)	Aucune	Âge d'Albert. Faute d'information préalable, on applique une distribution a priori uniforme (1/7 pour chaque valeur).
B	Variable d'âge (0 à 6)	Aucune	Âge de Bianca. Distribution uniforme a priori.
C	Variable d'âge (0 à 6)	Aucune	Âge de Cornélie. Distribution uniforme a priori.
S	Variable de somme	A, B, C	Somme des trois âges (S = A + B + C). Ce nœud modélise la contrainte C1 de manière déterministe.
C2	Variable booléenne	A, B	Modélise la contrainte C2. Vaut Vrai si et seulement si B > A, sinon Faux.
C3	Variable booléenne	B, C	Modélise la contrainte C3. Vaut Vrai si et seulement si l'écart absolu entre B et C est exactement 2, sinon Faux.

Propagation des informations (évidences)

Dans un réseau bayésien, l'exploitation des informations se fait en observant des variables (on fixe leur état) et en propageant cette évidence pour mettre à jour les probabilités des nœuds parents.

• Exploitation de C1 (« La somme des âges est égale à 15 ») : On fixe la variable S à la valeur 15 (observation S = 15) et on propage dans le réseau. Déduction du réseau : L'âge maximal possible pour un enfant étant 6 ans, si deux enfants ont 6 ans, leur somme est 12. Pour atteindre 15, le troisième enfant doit avoir au minimum 3 ans (15 - 12 = 3). La propagation élimine donc automatiquement les probabilités pour les âges 0, 1 et 2. Il devient impossible qu'un des enfants ait moins de 3 ans.

• Exploitation de C2 (« Bianca est strictement plus âgée qu'Albert ») : On fixe la variable booléenne C2 à Vrai. La propagation de cette information va annuler les probabilités de tous les états où l'âge d'Albert est supérieur ou égal à celui de Bianca.

• Exploitation de C3 (« Bianca et Cornélie ont deux ans d'écart ») : On fixe la variable booléenne C3 à Vrai. Le réseau mettra à jour les distributions pour ne conserver (probabilité non nulle) que les cas où la valeur absolue de la différence entre B et C est égale à 2.

La combinaison simultanée de ces trois évidences (S=15, C2=Vrai, C3=Vrai) obligera les nœuds A, B et C à converger vers une probabilité de 100% pour la seule combinaison d'âges qui satisfait l'ensemble du système.

Méthode

Pour réussir ce type d'épreuve :

1. Calculs de probabilités conditionnelles (Ex 1) : Ne vous fiez jamais à l'intuition face à un problème de probabilités conditionnelles (phénomène de Monty Hall, boîtes de Bertrand). Identifiez clairement les événements, écrivez explicitement la formule de Bayes P(A|B) = P(A,B) / P(B), et développez toujours le dénominateur en utilisant la loi des probabilités totales. Une erreur classique est d'oublier de sommer tous les cas possibles pour l'événement conditionnant.
2. Modélisation CSP par Réseaux Bayésiens (Ex 2) : Lorsqu'on utilise un réseau bayésien pour résoudre un problème logique ou mathématique déterministe, la méthode est toujours la même :
   • Les variables de décision du problème sont les nœuds racines (sans parents) avec des probabilités uniformes.
   • Les contraintes sont des nœuds enfants conditionnés par les variables qu'ils évaluent.
   • La résolution algorithmique (inférence) consiste simplement à "forcer" les nœuds de contraintes à l'état Vrai (ou à la valeur cible) et à laisser le moteur bayésien recalculer les probabilités des nœuds racines pour filtrer les configurations impossibles.