Exercices corrigés
Exercice1 : trois coffres (dû au mathématicien Joseph Bertrand)
(cid:1) Trois coffres contiennent respectivement :
(cid:2) une pièce d’or et une pièce d’argent ; (cid:2) deux pièces d’or ; (cid:2) deux pièces d’argent.
(cid:1) On choisit une pièce dans un des trois coffres. La pièce est en or. Quelle est la probabilité que
la seconde pièce du coffre le soit également ?
Corrigé :
(cid:1) La probabilité que la seconde pièce soit en or, sachant que la première est en or, est égale à
2/3, et non à 1/2 comme on pourrait le supposer…
(cid:1) On note respectivement X1 et X2 les événements:
(cid:2) X1: « la première pièce tirée est en or » (cid:2) X2: « la seconde pièce tirée est en or »
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(cid:1) P(X2|X1) = P(X2,X1) / P(X1)
(cid:2) P(X2,X1): on est dans le coffre 2.
(cid:2) équiprobabilité d’être dans un des coffres: 1/3
(cid:3) P(x2,X1) = 1/3
(cid:2) P(X1) ? 2/3 ? Non.. Il faut tenir compte des coffres.
(cid:2) P(X1) = P(Or, coffre1)+ P(Or,coffre2)
(cid:3) P(X1)= 1/3*1/2 + 1/3*1= ½
(cid:4) P(X2|X1) = 1/3 / ½ = 2/3
Modélisation avec un réseau Bayésien :
Exercice2 : Réseau Bayésien pour le problème de satisfaction de contraintes
Réseau Bayésien pour le problème de satisfaction de contraintes (CSP)
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(CSP):
Une personne a trois enfants, Albert, Bianca et Cornélie, dont les âges sont compris entre 0 Une personne a trois enfants, Albert, Bianca et Cornélie, dont les âges sont compris entre 0 Une personne a trois enfants, Albert, Bianca et Cornélie, dont les âges sont compris entre 0 et 6 ans.
n de ses collègues, il lui donne Afin de faire deviner les âges de ses enfants à l’un de ses collègues, il lui donne Afin de faire deviner les âges de ses enfants à l’u successivement les trois informations suivantes: successivement les trois informations suivantes:
(cid:2)
C1 : « La somme des âges d’Albert, Bianca et Cornélie est égale à 15». C1 : « La somme des âges d’Albert, Bianca et Cornélie est égale à 15». C1 : « La somme des âges d’Albert, Bianca et Cornélie est égale à 15».
(cid:2) C2 : « Bianca est strictement plus âgée qu’Albert ». C2 : « Bianca est strictement plus âgée qu’Albert ».
(cid:2) C3 : « Bianca et Cornélie ont deux ans d’écart
C3 : « Bianca et Cornélie ont deux ans d’écart ».
Construire un réseau bayésien pour exploiter ces informations. Construire un réseau bayésien pour exploiter ces informations
Corrigé :
• Un réseau bayésien avec trois
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Un réseau bayésien avec trois nœuds correspondant aux âges des enfants. Faute correspondant aux âges des enfants. Faute d’information particulière, on peut affecter a priori aux trois variables variables une distribution d’information particulière, on peut affecter ges potentiels). uniforme sur l’ensemble de valeurs {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6} (les âges potentiels) uniforme sur l’ensemble de valeurs {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6}
•
La prise en compte de la contrainte C1 s’effectue en introduisant une variable S, dont les La prise en compte de la contrainte C1 s’effectue en introduisant une variable S, dont les La prise en compte de la contrainte C1 s’effectue en introduisant une variable S, dont les variables parentes sont les âges des trois enfants, et qui est définie comme la somme des variables parentes sont les âges des trois enfants, et qui est définie comme la somme des variables parentes sont les âges des trois enfants, et qui est définie comme la somme des » à travers le réseau bayésien. trois âges. On peut alors propager l’information « S = 15 » à travers le réseau bayésien trois âges. On peut alors propager l’information « S = 15
(cid:5) Après propagation, on ret ans.
mpossible qu’un des trois enfants ait 0, 1 ou 2 propagation, on retrouve que c’est impossible qu’un des trois enfants ait 0, 1 ou 2
(cid:1) C2: on introduit une variable C2, booléenne,
vraie si et seulement si la contrainte C2 est C2: on introduit une variable C2, booléenne, vraie si et seulement si la contrainte C2 est dire si Bianca est plus âgée qu’Albert). On peut alors propager l’information satisfaite (c’est-à-dire si Bianca est plus âgée qu’Albert). On peut alors propager l’information dire si Bianca est plus âgée qu’Albert). On peut alors propager l’information « C2 est vraie ».
(cid:1) C3: On procède de même pour la contrainte C3. C3: On procède de même pour la contrainte C3.