Examen Probabilités Appliquées

Exercice 1 - Probabilités conditionnelles

Question 1 - Traduction des énoncés en langage probabiliste

D'après l'énoncé, nous pouvons définir les événements suivants et leurs probabilités associées :

• A : "la boîte est abîmée"
• non A (ou A barre) : "la boîte n'est pas abîmée"
• D : "la boîte contient au moins un CD-ROM défectueux"
• non D : "la boîte ne contient aucun CD-ROM défectueux"

Les données du problème se traduisent ainsi :

• La probabilité qu'une boîte soit abîmée est de 5% : P(A) = 0,05
• Par déduction, la probabilité qu'elle ne soit pas abîmée est : P(non A) = 1 - 0,05 = 0,95
• Sachant qu'une boîte est abîmée, la probabilité d'avoir au moins un CD défectueux est de 60% : P(D | A) = 0,60
• Sachant qu'une boîte n'est pas abîmée, la probabilité de n'avoir aucun CD défectueux est de 98% : P(non D | non A) = 0,98
• Par déduction, la probabilité d'avoir au moins un CD défectueux sachant que la boîte n'est pas abîmée est : P(D | non A) = 1 - 0,98 = 0,02

Question 2 - Calcul de P(D)

Pour calculer la probabilité totale de l'événement D, nous utilisons la formule des probabilités totales, car les événements A et (non A) forment une partition de l'univers.

P(D) = P(D ∩ A) + P(D ∩ non A) P(D) = [P(D | A) × P(A)] + [P(D | non A) × P(non A)] P(D) = (0,60 × 0,05) + (0,02 × 0,95) P(D) = 0,03 + 0,019 P(D) = 0,049

La probabilité que la boîte achetée contienne au moins un CD-ROM défectueux est de 0,049 (soit 4,9%).

Question 3 - Calcul de P(A \ D)

Note de correction : Le symbole \ dans le document source (P(A \ D)) désigne mathématiquement la différence d'ensembles ("A privé de D", c'est-à-dire A ∩ non D). Cependant, dans ce type d'exercice, il arrive très fréquemment que le symbole d'intersection ∩ soit mal imprimé ou numérisé et apparaisse comme un \. Étant donné que la question 4 requiert l'intersection P(A ∩ D), nous allons calculer les deux pour être rigoureux.

Interprétation 1 (Intersection, lecture la plus probable pour la suite) : P(A ∩ D) représente la probabilité que la boîte soit abîmée ET contienne au moins un CD défectueux. P(A ∩ D) = P(D | A) × P(A) P(A ∩ D) = 0,60 × 0,05 = 0,03

Interprétation 2 (Différence d'ensembles, lecture littérale de A \ D) : P(A \ D) représente la probabilité que la boîte soit abîmée mais NE contienne AUCUN CD défectueux. P(A \ D) = P(A ∩ non D) = P(non D | A) × P(A) Sachant que P(non D | A) = 1 - P(D | A) = 1 - 0,60 = 0,40 P(A \ D) = 0,40 × 0,05 = 0,02

Question 4 - Probabilité de boîte abîmée sachant CD défectueux

Le client constate un défaut, l'événement D est donc réalisé. On cherche la probabilité conditionnelle P(A | D). On utilise la formule de Bayes :

P(A | D) = P(A ∩ D) / P(D) P(A | D) = 0,03 / 0,049 P(A | D) = 30 / 49 ≈ 0,6122

La probabilité qu'il ait acheté une boîte abîmée sachant qu'elle contient un CD défectueux est d'environ 61,22%.

Exercice 2 (5 pts) - Ensembles et Probabilités Conditionnelles

Soit l'univers Ω des 100 personnes interrogées. Nous définissons les sous-ensembles :

• A : "la personne utilise le produit A" (Cardinal de A = 40)
• B : "la personne utilise le produit B" (Cardinal de B = 28)
• A ∩ B : "la personne utilise les deux produits" (Cardinal de A ∩ B = 10)

L'expérience étant un tirage au hasard d'une personne parmi 100, la probabilité d'un événement est égale à son cardinal divisé par 100.

Question 1 - Probabilité d'utiliser au moins l'un des deux produits

Il s'agit de l'événement A ∪ B (Union). P(A ∪ B) = P(A) + P(B) - P(A ∩ B) P(A ∪ B) = (40/100) + (28/100) - (10/100) P(A ∪ B) = 58/100 = 0,58

Question 2 - Probabilité de n'utiliser aucun des deux produits

C'est l'événement complémentaire de (A ∪ B). P(Aucun) = 1 - P(A ∪ B) P(Aucun) = 1 - 0,58 = 0,42

Question 3 - Probabilité d'utiliser un seul des deux produits

Cet événement correspond à (A ∩ non B) ∪ (B ∩ non A). Le nombre de personnes utilisant uniquement A est : 40 - 10 = 30. Le nombre de personnes utilisant uniquement B est : 28 - 10 = 18. P(Un seul) = (30 + 18) / 100 = 48/100 = 0,48

Question 4(a) - Probabilité de réussir l'entretien

Définissons les événements formant une partition de notre population :

• U_A : "utilise uniquement A" (Probabilité = 0,30)
• U_B : "utilise uniquement B" (Probabilité = 0,18)
• U_AB : "utilise les deux" (Probabilité = 0,10)
• U_0 : "n'utilise aucun" (Probabilité = 0,42)

Soit R l'événement "réussir l'entretien". L'énoncé nous donne les probabilités conditionnelles :

• P(R | U_A) = 3/10 = 0,3
• P(R | U_B) = 2/10 = 0,2
• P(R | U_AB) = 4/10 = 0,4
• P(R | U_0) = 0 (déduit implicitement de la phrase "Ces deux produits sont nécessaires...")

En utilisant la loi des probabilités totales : P(R) = [P(R | U_A) × P(U_A)] + [P(R | U_B) × P(U_B)] + [P(R | U_AB) × P(U_AB)] + [P(R | U_0) × P(U_0)] P(R) = (0,3 × 0,30) + (0,2 × 0,18) + (0,4 × 0,10) + (0 × 0,42) P(R) = 0,09 + 0,036 + 0,04 + 0 P(R) = 0,166

La probabilité globale de réussir l'entretien est de 16,6%.

Question 4(b) - Probabilité d'avoir utilisé les deux produits sachant l'échec

L'événement "entretien non réussi" est noté (non R). On cherche P(U_AB | non R). Par la formule de Bayes : P(U_AB | non R) = P(U_AB ∩ non R) / P(non R)

1. Calcul de P(non R) : P(non R) = 1 - P(R) = 1 - 0,166 = 0,834

2. Calcul de P(U_AB ∩ non R) : P(U_AB ∩ non R) = P(non R | U_AB) × P(U_AB) P(non R | U_AB) = 1 - P(R | U_AB) = 1 - 0,4 = 0,6 P(U_AB ∩ non R) = 0,6 × 0,10 = 0,06

3. Calcul final : P(U_AB | non R) = 0,06 / 0,834 = 60 / 834 = 10 / 139 ≈ 0,0719

La probabilité est d'environ 7,19%.

Exercice 2 (11 pts) - Variables Aléatoires

Note : Le document source numérote cet exercice "Exercice 2" alors qu'il s'agit du troisième.

Question 1 - Un client appelle n reprises

La probabilité d'un retard à chaque appel est p, et les appels sont indépendants. X est le nombre de retards subis sur n appels.

Question 1(a) - Loi de probabilité de X L'expérience consiste en la répétition de n épreuves de Bernoulli identiques et indépendantes. Le succès est ici "subir un retard" de probabilité p. X suit donc une loi Binomiale de paramètres n et p. Notation : X ~ B(n, p) Pour tout k allant de 0 à n : P(X = k) = C(n, k) × p^k × (1-p)^(n-k) (Où C(n, k) représente le coefficient binomial "k parmi n" : n! / (k!(n-k)!))

Question 1(b) - Espérance de X Pour une variable aléatoire suivant une loi binomiale B(n, p), l'espérance est le produit du nombre d'essais par la probabilité de succès. E(X) = n × p

Question 1(c) - Probabilité d'au moins un retard Il s'agit de l'événement (X ≥ 1). Il est plus simple de passer par l'événement contraire (X = 0) "aucun retard". P(X ≥ 1) = 1 - P(X = 0) D'après la loi binomiale : P(X = 0) = C(n, 0) × p^0 × (1-p)^n = (1-p)^n Donc : P(X ≥ 1) = 1 - (1-p)^n

Question 2 - Loi de Poisson et Fonction Génératrice

Y suit une loi de Poisson de paramètre λ. P(Y = k) = e^(-λ) × λ^k / k! Note de correction : L'énoncé définit GY(t) = E(tY). Ceci est une erreur typographique courante (issue de la numérisation). Il s'agit en réalité de la fonction génératrice des probabilités qui est définie par l'espérance de t puissance Y, soit E(t^Y). Calculer E(tY) n'aurait aucun intérêt mathématique ici car cela donnerait simplement t×E(Y). Nous répondons à la question classique attendue.

Question 2(a) - Déterminer GY(t) GY(t) = E(t^Y) Par définition de l'espérance (théorème de transfert) : GY(t) = Σ (de k=0 à l'infini) [ t^k × P(Y = k) ] GY(t) = Σ [ t^k × e^(-λ) × λ^k / k! ] GY(t) = e^(-λ) × Σ [ (tλ)^k / k! ] On reconnait dans la somme le développement en série entière de l'exponentielle (Σ x^k / k! = e^x). Ici x = tλ, donc la somme vaut e^(tλ). GY(t) = e^(-λ) × e^(tλ) = e^(λ(t - 1))

Question 2(b) - Calculer E(Y) Une propriété fondamentale de la fonction génératrice est que l'espérance s'obtient en dérivant GY(t) et en évaluant cette dérivée en t = 1. E(Y) = GY'(1) Calculons la dérivée GY'(t) : GY'(t) = λ × e^(λ(t - 1)) Évaluons en t = 1 : GY'(1) = λ × e^(λ(1 - 1)) = λ × e^0 = λ Donc E(Y) = λ.

Question 3 - Nombre d'appels traités en retard

Y ~ Poisson(λ) est le nombre total d'appels. R est le nombre d'appels en retard parmi ces Y appels. La probabilité qu'un appel soit en retard est p.

Question 3(a) - Loi conditionnelle de R sachant Y = k Si l'on sait que Y = k (il y a eu k appels en tout), le nombre de retards R correspond au nombre de succès (de probabilité p) parmi k essais indépendants. La loi de R conditionnée par Y = k est donc une loi Binomiale de paramètres k et p. P(R = r | Y = k) = C(k, r) × p^r × (1-p)^(k-r) pour 0 ≤ r ≤ k P(R = r | Y = k) = 0 pour r > k.

Question 3(b) - Loi de probabilité conjointe de R et Y Par définition de la probabilité conditionnelle : P(R = r, Y = k) = P(R = r | Y = k) × P(Y = k) Pour 0 ≤ r ≤ k : P(R = r, Y = k) = [ C(k, r) × p^r × (1-p)^(k-r) ] × [ e^(-λ) × λ^k / k! ] On peut simplifier cette expression en développant C(k, r) = k! / (r!(k-r)!) : P(R = r, Y = k) = [ k! / (r!(k-r)!) ] × p^r × (1-p)^(k-r) × e^(-λ) × λ^k / k! Les k! s'annulent : P(R = r, Y = k) = [ p^r × (1-p)^(k-r) × e^(-λ) × λ^k ] / [ r!(k-r)! ]

Question 3(c) - Déterminer la loi de R Pour trouver la loi marginale de R, il faut sommer les probabilités conjointes sur toutes les valeurs possibles de k. Puisque R = r, il faut au moins r appels (k ≥ r). P(R = r) = Σ (de k=r à l'infini) P(R = r, Y = k) P(R = r) = Σ [ p^r × (1-p)^(k-r) × e^(-λ) × λ^k ] / [ r!(k-r)! ] On extrait de la somme les termes indépendants de k : P(R = r) = [ p^r × e^(-λ) / r! ] × Σ (de k=r à l'infini) [ (1-p)^(k-r) × λ^k ] / (k-r)! Faisons un changement d'indice dans la somme : soit j = k - r (donc k = j + r). Quand k varie de r à l'infini, j varie de 0 à l'infini. P(R = r) = [ p^r × e^(-λ) / r! ] × Σ (de j=0 à l'infini) [ (1-p)^j × λ^(j+r) ] / j! On sépare λ^(j+r) en λ^j × λ^r. Le terme λ^r sort de la somme : P(R = r) = [ (pλ)^r × e^(-λ) / r! ] × Σ (de j=0 à l'infini) [ (λ(1-p))^j ] / j! On reconnait la série exponentielle pour x = λ(1-p) : Σ [ (λ(1-p))^j ] / j! = e^(λ(1-p)) Donc : P(R = r) = [ (pλ)^r × e^(-λ) / r! ] × e^(λ - λp) En regroupant les exponentielles : e^(-λ) × e^(λ - λp) = e^(-λp) P(R = r) = e^(-λp) × (λp)^r / r! On reconnait la formule d'une loi de Poisson de paramètre λp. R suit donc une loi de Poisson de paramètre (λ × p).

Question 3(d) - Expression de P(R = r | Y ≥ y) Par définition de la probabilité conditionnelle : P(R = r | Y ≥ y) = P(R = r ∩ Y ≥ y) / P(Y ≥ y) L'énoncé demande de ne pas faire le calcul, juste de donner l'expression formelle avec les sommes. Le numérateur est la somme des probabilités conjointes pour k allant du maximum entre r et y jusqu'à l'infini (car il faut k ≥ r et k ≥ y simultanément). Le dénominateur est la somme des P(Y = k) pour k allant de y à l'infini. Expression : P(R = r | Y ≥ y) = [ Σ_{k = max(r, y)}^{∞} P(R = r, Y = k) ] / [ Σ_{k=y}^{∞} P(Y = k) ]

Question 3(e) - Expression de P(R = r, Y ≥ y) C'est simplement le numérateur de l'expression précédente, c'est-à-dire la somme des probabilités conjointes sur les k respectant la condition. Expression : P(R = r, Y ≥ y) = Σ_{k = max(r, y)}^{∞} P(R = r, Y = k)

Question 4 - Loi de U, "le premier appel traité en retard"

L'expérience consiste à observer une succession d'appels indépendants (des épreuves de Bernoulli), où chaque appel a une probabilité p d'être traité en retard (succès) et (1-p) d'être à l'heure (échec). U est la variable aléatoire représentant le rang du premier succès (le nombre d'essais nécessaires pour obtenir le premier appel en retard). Par définition, U suit une loi Géométrique de paramètre p. Pour tout entier k ≥ 1 : P(U = k) = (1 - p)^(k - 1) × p (Explication : il faut avoir exactement k-1 appels à l'heure suivis d'un appel en retard).

Méthode

Face à ce type de sujet de Probabilités Appliquées, voici les points de rigueur à conserver :

1. Identifier formellement les événements et les lois : Le plus difficile est souvent la traduction du texte en langage probabiliste. Avant tout calcul, nommez chaque événement par une lettre (A, B, D) et écrivez les probabilités brutes et conditionnelles données par l'énoncé.
2. Reconnaître les schémas classiques de variables aléatoires :
   • Des épreuves identiques, indépendantes, à deux issues comptabilisées sur un nombre fixe n = Loi Binomiale.
   • Une file d'attente, un standard téléphonique, un nombre d'événements par unité de temps = Loi de Poisson.
   • Le temps d'attente avant le premier succès dans une répétition d'épreuves = Loi Géométrique.
3. Méfiance vis-à-vis des coquilles d'énoncés (ou de numérisation) : Comme vu à l'exercice 1 avec A \ D ou l'exercice 2 avec E(tY), un recul critique est nécessaire. Si une formule donnée par l'énoncé vous semble mener à une impasse mathématique par rapport au cours (comme dériver E(tY) au lieu de E(t^Y)), il est important de signaler l'erreur probable et de résoudre la forme classique attendue pour prouver votre compréhension.
4. Calcul de probabilités conjointes complexes (Ex 2 - Q3) : Quand on a une variable dont le paramètre dépend d'une autre variable aléatoire (ici R sachant Y=k), la méthode universelle consiste à écrire la probabilité conjointe P(R=r, Y=k), puis à sommer sur l'indice de la variable à éliminer pour trouver la loi marginale. Soyez très méthodique sur les bornes de vos sommes (ex: k doit toujours être supérieur ou égal à r).