Exam on Modulation and Signal Processing

Exercice 1

Question 1.a - Détermination de y(t)

D'après le schéma d'architecture du modulateur, le signal en entrée du bloc non linéaire est la somme du signal modulant et de la porteuse : x(t) = m(t) + p(t)

La porteuse est donnée par l'énoncé : p(t) = Ap cos(2π·fp·t). La relation d'entrée/sortie du bloc non linéaire est : y(t) = a·x(t) + b·x²(t)

En remplaçant x(t) par son expression, nous développons : y(t) = a·(m(t) + p(t)) + b·(m(t) + p(t))² y(t) = a·m(t) + a·p(t) + b·m²(t) + 2b·m(t)p(t) + b·p²(t)

En substituant p(t) par sa formule et en appliquant l'identité trigonométrique cos²(θ) = (1 + cos(2θ)) / 2 : p²(t) = Ap² cos²(2π·fp·t) = (Ap² / 2) + (Ap² / 2) cos(4π·fp·t)

Nous obtenons finalement l'expression complète du signal y(t) : y(t) = a·m(t) + b·m²(t) + (b·Ap² / 2) + a·Ap cos(2π·fp·t) + 2b·Ap m(t) cos(2π·fp·t) + (b·Ap² / 2) cos(4π·fp·t)

Question 1.b - Spectre de y(t)

Pour tracer le spectre Y(f), il faut appliquer la Transformée de Fourier (TF) à chaque terme de y(t). Sachant que M(f) occupe la bande [-fm, fm] :

1. Termes basse fréquence :

• a·m(t) ➔ TF : a·M(f). Occupe la bande [-fm, fm].
• b·m²(t) ➔ TF : b·(M * M)(f). D'après l'indication, l'occupation spectrale du produit de convolution est doublée : bande [-2fm, 2fm].
• (b·Ap² / 2) ➔ TF : (b·Ap² / 2)·δ(f). C'est une raie continue (Dirac) à f = 0.

2. Termes autour de la fréquence porteuse fp :

• a·Ap cos(2π·fp·t) ➔ TF : (a·Ap / 2)·[δ(f - fp) + δ(f + fp)]. Ce sont deux raies de Dirac en -fp et +fp.
• 2b·Ap m(t) cos(2π·fp·t) ➔ TF : b·Ap·[M(f - fp) + M(f + fp)]. C'est le spectre de M(f) décalé autour de fp et -fp, occupant les bandes [fp - fm, fp + fm] et [-fp - fm, -fp + fm].

3. Termes autour du double de la porteuse 2fp :

• (b·Ap² / 2) cos(4π·fp·t) ➔ TF : (b·Ap² / 4)·[δ(f - 2fp) + δ(f + 2fp)]. Ce sont deux raies de Dirac en -2fp et +2fp.

Tracé : Le spectre Y(f) est donc constitué d'un motif de base centré en zéro de largeur 4fm (contenant un pic au centre), de deux répliques du spectre M(f) centrées en -fp et +fp (avec des impulsions de Dirac au milieu), et de deux impulsions de Dirac en -2fp et +2fp.

Question 2 - Expression de s(t) après filtrage

Le filtre h(t) est un filtre passe-bande parfait dont la bande passante est [fp - fm, fp + fm]. Son rôle est de rejeter toutes les composantes fréquentielles situées en dehors de cette zone. En analysant le spectre de Y(f) établi à la question précédente, seuls les éléments centrés autour de fp subsistent :

• La porteuse : a·Ap cos(2π·fp·t)
• Les bandes latérales issues de la multiplication : 2b·Ap m(t) cos(2π·fp·t)

En isolant ces composantes, nous avons le signal de sortie s(t) : s(t) = a·Ap cos(2π·fp·t) + 2b·Ap m(t) cos(2π·fp·t) s(t) = a·Ap [1 + (2b / a)·m(t)] cos(2π·fp·t)

Il s'agit d'une Modulation d'Amplitude avec porteuse conservée (AM classique).

Question 3 - Condition pour éviter la surmodulation

Pour une modulation AM de la forme A·[1 + k·m(t)]·cos(2π·fp·t), l'indice de modulation (mu) doit être inférieur ou égal à 1, ce qui revient à imposer que l'enveloppe ne passe jamais sous zéro : 1 + (2b / a)·m(t) ≥ 0, pour tout instant t.

Cela implique : (2b / a)·|min(m(t))| ≤ 1. Si l'on considère l'amplitude maximale crête du message max|m(t)|, la condition sur a et b est : max|m(t)| ≤ |a / (2b)|.

Exercice 2

Question 1 - Détermination et spectre de m(t)

L'énoncé fournit une expression partielle et corrompue du signal : 2()2cos(2)mmmmtAAft avec Am = 5V et fm = 5 kHz. Par analyse du formalisme attendu d'un signal modulant décalé pour générer des harmoniques, on décode cette relation comme étant un signal en cosinus surélevé : m(t) = (Am / 2) - (Am / 2) cos(2π·fm·t)

La Transformée de Fourier d'un tel signal produit trois raies spectrales : M(f) = (Am / 2)·δ(f) - (Am / 4)·[δ(f - fm) + δ(f + fm)]

Avec Am = 5V et fm = 5 kHz, le spectre M(f) comporte :

• Une composante continue (Dirac en f = 0) d'amplitude 2,5.
• Deux composantes aux fréquences -5 kHz et +5 kHz, d'amplitudes -1,25.

Question 2 - Expression du signal modulé en FM (sFM(t))

La phase instantanée de la modulation de fréquence est donnée par l'intégrale du signal modulant : θ(t) = 2π·fp·t + 2π·kFM ∫ m(τ) dτ

Calculons l'intégrale de m(t) : ∫ m(τ) dτ = (Am / 2)·t - (Am / (4π·fm))·sin(2π·fm·t)

En injectant ce résultat dans l'expression canonique de la porteuse modulée sFM(t) = Ap cos(θ(t)) : sFM(t) = Ap cos[ 2π·fp·t + 2π·kFM·(Am / 2)·t - (kFM·Am / (2fm))·sin(2π·fm·t) ]

On remarque que le premier terme kFM·(Am / 2) représente un décalage de la fréquence centrale de la porteuse. On définit alors une nouvelle porteuse apparente fp' = fp + kFM·(Am / 2), et un indice de modulation β = kFM·Am / (2fm) : sFM(t) = Ap cos[ 2π·fp'·t - β·sin(2π·fm·t) ]

Question 3.a - Développement en fonctions de Bessel et spectre

L'énoncé nous donne l'identité génératrice des fonctions de Bessel de première espèce : e^(j·β·sin(λ)) = Σ(n=-∞ à +∞) Jn(β) e^(j·n·λ)

Le signal sFM(t) peut s'écrire comme la partie réelle d'une exponentielle complexe : sFM(t) = Re { Ap e^(j·2π·fp'·t) · e^(-j·β·sin(2π·fm·t)) }

En appliquant l'identité fournie avec λ = 2π·fm·t et en remarquant que le signe négatif devant β revient à un déphasage qui peut s'intégrer dans la symétrie, on trouve le développement complet : sFM(t) = Ap Σ(n=-∞ à +∞) Jn(β) cos(2π·(fp' - n·fm)·t)

Spectre : Le spectre d'un tel signal est un ensemble discret de raies (ou impulsions de Dirac) situées aux fréquences fp' ± n·fm, d'amplitude pondérée par (Ap / 2)·Jn(β).

Question 3.b - Bande fréquentielle de Carson

La règle de Carson donne une approximation de la bande occupée à 98% : B = 2·(Δf + fm)

D'après le résultat de la question 2, la déviation maximale de fréquence par rapport à la porteuse décalée fp' est Δf' = kFM·Am / 2. Or, nous avons défini β = Δf' / fm, ce qui permet d'écrire Δf' = β·fm.

En remplaçant Δf' dans la formule de Carson, on obtient : B = 2·(β·fm + fm) = 2·(β + 1)·fm

Le signal est centré sur sa porteuse effective, c'est-à-dire que le spectre occupe l'intervalle [fp' - (β+1)fm, fp' + (β+1)fm]. Note : Le document source comporte une typo dans l'intervalle donné (B=[fp-(+1)2fm , fp+(+1)2fm]). La bonne définition de la bande dépend de la fréquence porteuse déplacée par la composante continue, et non de fp initiale.

Question 4 - Expression unifiée pour FM et PM

Qu'il s'agisse de FM ou de PM, un signal à modulation angulaire peut toujours s'écrire sous la forme : s(t) = Ap cos(2π·fp·t + φ(t))

• En PM : l'excursion de phase est directement proportionnelle au signal m(t). φ(t) = kPM·m(t). L'indice de modulation est β_PM = kPM·Am.
• En FM : l'excursion de phase est proportionnelle à l'intégrale de m(t). φ(t) = 2π·kFM ∫ m(τ) dτ. L'indice est β_FM = kFM·Am / fm (pour un signal purement sinusoïdal).

Expression unique : Les deux types de modulation s'expriment, à une phase près, par un motif de la forme : s(t) = Ap cos(2π·fp·t + β·sin(2π·fm·t) + Φ0) En explicitant β et Φ0 selon qu'il s'agit d'une dérivation (PM) ou d'une intégration (FM) du message temporel.

Exercice 3

Question 1.a - Expression temporelle du signal s(t)

Un signal passe-bande s(t) peut se reconstruire à partir de son enveloppe complexe s_tilde(t) = m1(t) + j·m2(t) par la relation canonique : s(t) = Re { s_tilde(t) · e^(j·2π·fp·t) }

En développant cette équation via la formule d'Euler : s(t) = Re { (m1(t) + j·m2(t)) · (cos(2π·fp·t) + j·sin(2π·fp·t)) } s(t) = Re { [m1(t)cos(2π·fp·t) - m2(t)sin(2π·fp·t)] + j·[m1(t)sin(2π·fp·t) + m2(t)cos(2π·fp·t)] }

En prenant uniquement la partie réelle, on obtient l'équation du signal émis en modulation d'amplitude en quadrature (QAM) : s(t) = m1(t)cos(2π·fp·t) - m2(t)sin(2π·fp·t)

Question 1.b - s(t) en fonction de l'enveloppe complexe

À partir de la relation s(t) = Re { s_tilde(t) · e^(j·2π·fp·t) }, et sachant que la partie réelle d'un complexe Z s'écrit (Z + Z*) / 2 où Z* est le conjugué, nous déduisons : s(t) = (1/2) · [ s_tilde(t)·e^(j·2π·fp·t) + s_tilde*(t)·e^(-j·2π·fp·t) ]

Question 2 - Synoptique du démodulateur cohérent

Le démodulateur en quadrature sépare le signal reçu en deux voies distinctes fonctionnant en parallèle :

• Voie en Phase (I) : Le signal entrant s(t) est multiplié par une porteuse locale 2·cos(2π·fp·t), puis passé dans un Filtre Passe-Bas (FPB) pour éliminer les harmoniques hautes et isoler m1(t).
• Voie en Quadrature (Q) : Le signal entrant s(t) est multiplié par la porteuse déphasée -2·sin(2π·fp·t), puis traité par un second Filtre Passe-Bas identique pour isoler m2(t).

Question 3 - Impact d'une erreur de phase de la porteuse

La porteuse reconstruite présente une erreur de phase constante Δφ. Les ondes de multiplication deviennent respectivement 2·cos(2π·fp·t + Δφ) et -2·sin(2π·fp·t + Δφ).

Analyse de la Voie I : Signal après multiplication : y_I(t) = s(t) × 2·cos(2π·fp·t + Δφ) y_I(t) = [m1(t)cos(2π·fp·t) - m2(t)sin(2π·fp·t)] × 2·cos(2π·fp·t + Δφ) En utilisant les règles de trigonométrie (produit de cosinus/sinus), on obtient après filtrage passe-bas des composantes à 2fp : Signal démodulé I : m1_recu(t) = m1(t)cos(Δφ) + m2(t)sin(Δφ)

Analyse de la Voie Q : Signal après multiplication : y_Q(t) = s(t) × [-2·sin(2π·fp·t + Δφ)] De même, après suppression des termes à fréquence double (filtrage passe-bas) : Signal démodulé Q : m2_recu(t) = -m1(t)sin(Δφ) + m2(t)cos(Δφ)

Conclusion : Une erreur de phase Δφ introduit deux défauts critiques :

1. Une atténuation du signal utile sur chaque voie par un facteur de cos(Δφ).
2. Une interférence inter-voies ou diaphonie (crosstalk) où une partie du message m2(t) vient parasiter m1(t) via le facteur sin(Δφ), rendant la séparation parfaite des deux messages impossible sans égalisation supplémentaire.

Exercice 4

Question 1 - Incomplétude du sujet

L'énoncé d'origine est tronqué sur la ligne : 1. Soit le signal _____, déterminer la fonction d’auto-corrélation _____ de X(t) et sa DSP : _____. La formule analytique du signal X(t) étudié n'est pas présente dans l'extraction du document source. Il est par conséquent impossible de calculer rigoureusement R_X(τ) et S_X(f) sans inventer ou deviner arbitrairement le signal (ce qui biaiserait la correction). La méthode requise pour un signal stochastique est détaillée à la question 3 où la formule est bien transmise.

Question 2 - Effet du fenêtrage (Incomplétude)

L'énoncé est également tronqué concernant la forme mathématique de la fenêtre de temps. Cependant, sur un plan strictement théorique : si une fonction d'auto-corrélation théorique R_X(τ) est observée ou estimée au travers d'une fenêtre temporelle de pondération temporelle w(τ), la fonction devient R_X_fenêtrée(τ) = R_X(τ) × w(τ). Dans le domaine fréquentiel, une multiplication temporelle devient un produit de convolution. La nouvelle densité spectrale de puissance (DSP) S'_X(f) est la convolution de la DSP d'origine S_X(f) par W(f) (la transformée de Fourier de la fenêtre) : S'_X(f) = (S_X * W)(f)

Question 3 - Calcul d'auto-corrélation d'une porteuse à phase aléatoire

Le signal donné est : X(t) = A·cos(2π·f0·t + Θ), avec Θ suivant une loi uniforme sur l'intervalle [0, 2π]. La densité de probabilité de Θ est donc 1/(2π).

1. Moyenne de X(t) : L'espérance mathématique E[X(t)] se calcule en intégrant sur toutes les phases possibles : E[X(t)] = ∫(de 0 à 2π) A·cos(2π·f0·t + θ) · (1 / 2π) dθ Puisque l'on intègre un cosinus sur une période complète exacte (2π), l'aire algébrique est nulle. Moyenne : E[X(t)] = 0.

2. Fonction d'auto-corrélation R_X(τ) : Par définition : R_X(t, t+τ) = E[ X(t) · X(t+τ) ] R_X(t, t+τ) = E[ A² · cos(2π·f0·t + Θ) · cos(2π·f0·(t+τ) + Θ) ] À l'aide de l'identité cos(a)cos(b) = (1/2) [ cos(a-b) + cos(a+b) ], on sépare en deux termes : R_X(t, t+τ) = (A² / 2) · E[ cos(-2π·f0·τ) + cos(4π·f0·t + 2π·f0·τ + 2Θ) ] Le premier terme cos(-2π·f0·τ) est déterministe et sort de l'espérance. Le second terme dépend de 2Θ, et en intégrant un cosinus sur deux périodes (de 0 à 4π), l'espérance s'annule. La fonction d'auto-corrélation ne dépend que de l'écart temporel τ : R_X(τ) = (A² / 2) · cos(2π·f0·τ) Cela prouve que le signal est stationnaire au sens large.

3. Densité spectrale de puissance S_X(f) : D'après le théorème de Wiener-Khintchine, la DSP est la transformée de Fourier de la fonction d'auto-corrélation. S_X(f) = TF [ (A² / 2) · cos(2π·f0·τ) ] La TF d'un cosinus génère deux impulsions de Dirac symétriques : S_X(f) = (A² / 4) · [ δ(f - f0) + δ(f + f0) ]

Méthode

Voici comment aborder efficacement ce type d'épreuve en Traitement du Signal et Transmissions Numériques :

• Identifiez vos briques de base : Une grande partie de l'épreuve repose sur la connaissance parfaite des transformées de Fourier fondamentales (une constante, un cosinus, l'impulsion de Dirac, le décalage fréquentiel). Ne refaites pas les démonstrations intégrales des TF en plein examen ; réutilisez les propriétés usuelles.
• Sécurisez la trigonométrie : Tous les démodulateurs synchrones (AM, QAM, PM) nécessitent de savoir manipuler cos(a)cos(b) ou l'élévation au carré cos²(a). Un signe ou un coefficient "1/2" oublié ici fait généralement perdre tous les points d'une question.
• Ne paniquez pas sur les probabilités : Dans les exercices d'auto-corrélation, rappelez-vous que l'espérance E[...] est un simple opérateur intégral linéaire, agissant uniquement sur la variable aléatoire désignée (souvent la phase Θ). Tous les termes purement temporels se factorisent.
• Dessinez les spectres au brouillon : Avant de décrire un gabarit de filtre (comme dans l'exercice 1), tracez à main levée votre axe des fréquences. Placer l'origine (0), la porteuse (fp) et les décalages (±fm) vous évitera des erreurs grossières d'intervalles passants.