Étude géométrique et cinématique des chaînes fermées de pompe à pistons axiaux

Ce travaux pratiques porte sur l'étude géométrique et cinématique d'une pompe hydraulique à pistons axiaux, constituée d'une chaîne fermée de mécanismes. L'objectif est de comprendre le fonctionnement du mécanisme, d'analyser ses liaisons, de déterminer ses équations géométriques et cinématiques, puis d'étudier les efforts mécaniques dans les liaisons. Pour réaliser ce TP, il est nécessaire de disposer du schéma cinématique de la pompe, des repères associés aux solides, ainsi que des notions de torseurs cinématiques et statiques.

Objectifs

• Analyser les liaisons d'une chaîne fermée dans un mécanisme complexe.
• Écrire et résoudre la fermeture géométrique du mécanisme.
• Déterminer les torseurs cinématiques associés aux différents solides.
• Établir les relations cinématiques entrée-sortie du mécanisme.
• Étudier les efforts mécaniques dans les liaisons en appliquant le principe fondamental de la statique.
• Calculer le débit volumique instantané d'un piston en fonction des paramètres cinématiques.

Prérequis et mise en place

• Connaissance des mécanismes à chaînes fermées et des liaisons mécaniques (pivot, rotule, pivot glissant, etc.).
• Maîtrise des torseurs cinématiques et statiques.
• Notions de projection vectorielle dans différents repères.
• Accès au schéma cinématique de la pompe à pistons axiaux et aux repères associés aux solides.
• Matériel nécessaire : schéma de la pompe, calculatrice ou logiciel de calcul matriciel pour résoudre les systèmes d'équations.

Étude des liaisons

Commencez par tracer le graphe du mécanisme en indiquant le nom des liaisons et leurs caractéristiques. Le mécanisme comporte 3 solides et 4 liaisons :

• L10 : pivot d’axe (A, xr0)
• L21 : pivot glissant d’axe (B, xr0)
• L30 : liaison plane de normale (D, xr3)
• L32 : rotule de centre C

Vérifiez que la liaison notée 23 est cinématiquement équivalente à l’association des liaisons 24 et 34, et qu’elle constitue une liaison ponctuelle de normale r(x, D)3.

Le nombre de solides est n = 3, le nombre de liaisons l = 4, et le nombre de cycles indépendants γ = l - n = 1.

Étude géométrique

Écrivez la fermeture géométrique du mécanisme en partant du point A et en passant par les points B, C, D et E. La fermeture vectorielle s’écrit :

r_yR1 (λ - AB) + r_x0 BC + r_xh CD + DE + EA = 0

Projetez cette équation sur les axes du repère R0 (Ax, Ay, Az) pour obtenir trois équations scalaires liant les paramètres géométriques λ, h, d, α, θ01, v, w.

Résolvez ce système pour exprimer w, v et λ en fonction des paramètres donnés h, d, α, θ01 :

w = θ01 / cos α
v = (h + α * h * tg θ01) / cos α
λ = - (d / cos α) + (h / tg α) + α

Interprétez géométriquement ces résultats : la vitesse instantanée du point C lié au piston 2 par rapport au barillet 1 est donnée par :

V_C^(1/2) = (dBC/dt) R1 = (d/dt (λ - r_x1)) R1 = - (dλ/dt) R1 = - ω R α tg θ01

Étude cinématique

Exprimez les torseurs cinématiques des différents solides en utilisant la notation :

• {V)S/S(1) A0}
• {V)S/S(2) C1}
• {V)S/S(3) C2}
• {V)S/S(3) D0}

Écrivez la relation de fermeture cinématique sous forme de torseurs au point C :

{V)S/S,C} = {V)S/S,C(1)} + {V)S/S,C(2)} + {V)S/S,C(3)} = 0

Projetez cette relation sur les axes du repère R0 et obtenez un système de 6 équations scalaires liant les paramètres cinématiques α32, β32, γ32, u21, v30, w30, α10, α21, α30.

Calculez la mobilité cinématique m du mécanisme :

m = Nc - rc = 9 - 6 = 3

Déterminez les relations entrée-sortie en exprimant explicitement les paramètres α32, β32, γ32, u21, v30, w30 en fonction de α10, α21, α30.

Si S désigne la section d’un piston, exprimez le débit volumique instantané qv d’un piston en fonction de θ01 :

qv = S * v(θ01)

Discutez les phases d’aspiration et de refoulement. Le débit devient nul lorsque α varie entre 0 et π/2.

Étude des inter-efforts dans les liaisons

Modélisez les actions mécaniques du moto-réducteur M sur le barillet 1 par le torseur :

{
→T
}
)SM(
A1
=
{
C0m
0
0
0
0
0
}

Modélisez les actions mécaniques dues à la pression du fluide F sur le piston 2 par le torseur :

{
→T
}
)S(
B2
=
{
pS
0
0
0
0
0
0
}

Exprimez les torseurs statiques associés aux liaisons 0/1, 2/1, 3/2, 0/3 en notation :

• {T)S(0) A1} = {X01, 0, MY01, 0, Z01, N01}
• {T)S(2) C1} = {0, 0, MY21, 0, Z21, N21}
• {T)S(3) C2} = {X32, Y32, Z32, 0, 0, 0}
• {T)S(0) C3} = {0, X03, 0, M03, N03, 0}

Appliquez le principe fondamental de la statique (PFS) au solide 2, puis projetez cette équation vectorielle pour obtenir trois équations scalaires liant p, Z32, Y32, Z21, Y21, X21.

Appliquez le PFS au solide 1 en calculant tous les moments au point A, puis déduisez six équations scalaires liant les composantes des torseurs d’effort.

Appliquez le PFS au solide 3 en calculant les moments au point C, puis déduisez six équations scalaires supplémentaires.

En combinant ces équations, déduisez la relation liant la pression p, la section S, le couple moteur Cm, et l’angle θ01 :

LE1 = [ZR_E2 + XE2 tg θα01] cos θ01 - RY_E2 sin θ01

Dans le cas particulier où les efforts extérieurs sont uniquement dus à la pression sur le piston :

LE1 = p S R tg cos θα01

Résultats attendus

• Le graphe du mécanisme avec les liaisons correctement identifiées.
• La fermeture géométrique exprimée par un système de trois équations scalaires, avec les paramètres w, v, λ calculés.
• Les torseurs cinématiques exprimés au point C et la mobilité cinématique m = 3 confirmée.
• Les relations entrée-sortie explicites entre les paramètres cinématiques.
• Le débit volumique instantané d’un piston exprimé en fonction de θ01, avec identification des phases d’aspiration et de refoulement.
• Les torseurs statiques des efforts dans les liaisons et les équations scalaires issues de l’application du PFS sur les solides 1, 2 et 3.
• La relation finale liant la pression, la section, le couple moteur et l’angle θ01.

Pièges courants

• Confondre les repères associés aux différents solides (0, 1, 2, 3, 4) et leurs axes lors des projections vectorielles.
• Omettre de considérer l’angle α constant lors des calculs géométriques et cinématiques.
• Ne pas vérifier la condition cos α ≠ 0 pour la résolution des équations géométriques.
• Mal appliquer les torseurs cinématiques en ne respectant pas les points d’application (notamment au point C).
• Oublier d’inclure tous les torseurs d’efforts lors de l’application du principe fondamental de la statique sur chaque solide.
• Ne pas distinguer correctement les phases d’aspiration et de refoulement dans l’expression du débit volumique.
• Confondre les notations des torseurs statiques et cinématiques, ce qui peut entraîner des erreurs dans les équations.