Sciences Indusrielles
TD1 : Enoncé
MECANISMES : ETUDE DES CHAINES FERMEES
TD1 : POMPE A PISTONS AXIAUX
1 DESCRIPTION
Le mécanisme dont le schéma cinématique et une vue éclatée sont donnés ci-dessus représente une pompe hydraulique à 9 pistons axiaux. Un moto-réducteur M non représenté entraîne le barillet 1 en rotation autour de l’axe ( 0 ce qui permet le déplacement du piston 2 le long de l’axe )B xr , (
0 . La plaque d’appui 3 assure le contact du piston 2 avec le plan incliné 4 lié au bati 0.
)A xr ,
SUR LE SCHEMA CINEMATIQUE UN SEUL PISTON A ETE REPRESENTE.
L’ANGLE α EST CONSTANT.
1.1 Repères associés aux solides r
lié au bâti 0
r
R 0 r
r = )z;y;x;A( 0 0 r )z;y;x;B( 2 r )z;y;x;D( 4
r
r
r
4
4
0
2
2
= =
R
R
2
4
lié au piston 2 lié au plan incliné 4
=
=
R
R
1
3
r
r
r )z;y;x;A( 1 1 r
1 r )z;y;x;D( 3
r
3
3
lié au barillet 1 lié à la plaque 3
1.2 Paramétrage AB Ry= r x= λr 1 1 CB 4 DC hx= r −r = − 3 vy DE 0
r wz
AE
= − r dx
0
x
x
x1=
4
y4=
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TD1 : Enoncé
MECANISMES : ETUDE DES CHAINES FERMEES
1.2.1 TORSEURS ASSOCIES AUX LIAISONS PARFAITES
ijL
Torseur cinématique
{ V
} )S/S( Aj
i
=
ij
ij
p
q r ij
r Ω
)S/S( j
i
=
r xp ij
+
ij
u
v ij w
iB,Aij r r + zryq
ij
ij
r )S/S,A(V i j
=
r xu ij
+
r
r + zwyv
ij
ij
avec
Torseur statique
{ →T S( i
} )S Aj
=
X
L
ij
ij MY Z N
ij
ij
ij
ij
r S(R
i
=→ j
r + zZyYxX)S
r
r
ij
ij
ij
iB,A +
r S,A(M
i
=→ j
r + zNyMxL)S
+
r
r
ij
ij
ij
avec
TRAVAIL DEMANDE
2 ETUDE DES LIAISONS
Question 2.1 :
Question 2.2 :
Tracer le graphe du mécanisme en indiquant le nom des liaisons et leurs caractéristiques. Démontrer que la liaison notée 23 Let
24L cinématiquement équivalente à l’association
est une liaison ponctuelle de normale
des liaisons
r )x,D( 3
L
.
34
3 ETUDE GEOMETRIQUE
Question 3.1 :
Question 3.2 :
En partant du point A et en passant par les points B, C, D et E, écrire la fermeture géométrique du mécanisme. En déduire une équation vectorielle (a) liant Effectuer la projection de (a) sur les axes du repère R ( 3 équations scalaires liant les paramètres géométriques
) 0 . En déduire d,
λα et .
,h ,R
θα ,
w,
d,
v,
et
λ .
r
r
01
r , , A x y z , 0 0 ,h ,R v, w, θα d, ,h ,R et le
.
01
vecteur
vitesse
Question 3.3 : Question 3.4 : en )1/2,C(V
fonction
Donner les expressions de Par ,R de
la méthode de
θαω , et
10
01
et du vecteur unitaire
0xr .
wv, et votre
λ en fonction de . choix, déterminer
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TD1 : Enoncé
MECANISMES : ETUDE DES CHAINES FERMEES
4 ETUDE CINEMATIQUE
Question 4.1. : 1.1.1. sans tenir compte de la question 2.2.
Exprimer les torseurs cinématiques suivants en utilisant la notation donnée en
{ V
)S/S(
1
A0
} { V ;
)S/S(
2
C1
} { V ;
)S/S(
3
C2
} { V ;
)S/S(
3
D0
}
Question 4.2. : tous ces torseurs traduisant la fermeture cinématique du mécanisme ?
Exprimer tous ces torseurs au point C. Ecrire une relation torsorielle (b) entre
Question 4.3. :
Question 4.4 :
Question 4.5 :
. En déduire Effectuer la projection de (b) sur les axes du repère un système (c) de 6 équations scalaires liant les paramètres géométriques cinématiques les ,h ,R v, αα , . 10
θα , 01 βα , , 30
w, d, α ,
paramètres
v,u , 21
λ . γ ,
et w
et
et
R
32
30
30
21
32
32
0
0
r
r )z,y,x,A( 0
r
Justifier que la mobilité cinématique m de ce mécanisme est égale à 3. Déterminer βα , 32
relations entrée-sortie c’est-à-dire exprimer explicitement ,
en fonction de
les v,u , 21
ααα
θα et
et w
,R,
.
,
,
γ
30
30
01
21
10
32
32
30
.
Si S désigne la section d’un piston, exprimer le débit volumique instantané d’un piston noté 21 Distinguer les phases aspiration et .uet
en fonction de
(q v
S
θ
01
)
refoulement. Que devient ce débit quand α varie entre
0
et
π
2
?
5 ETUDE DES INTER-EFFORTS DANS LES LIAISONS
Les actions mécaniques du moto-réducteur M agissant sur le barillet 1 sont modélisables par le torseur suivant :
{ →T
} )SM(
A1
=
C0 m 0 0 0 0
0B,A
Les actions mécaniques dues à la pression du fluide F agissant sur le piston 2 sont modélisables par le torseur suivant :
{ →T F(
} )S
B2
=
pS
0
0 0
0 0
Question 5.1. :
{ T
S(
Question 5.2. :
0
0B,B Exprimer les torseurs statiques suivants en utilisant la notation donnée en 1.1.1. } )S
} )S
} )S
} )S
{ T
{ T
{ T
→
→
→
→
S(
S(
S(
;
;
;
B,A1
0
2
B,C1
0
3
B,C2
0
0
B,C3
4
Appliquer le théorème de la résultante statique au solide 2. Projeter cette équation vectorielle (d). En déduire 3 équations scalaires notées de (1) à (3) liant p ,Z ,Y ,Z ,Y ,X 32
Set
.
21
32
32
21
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TD1 : Enoncé
MECANISMES : ETUDE DES CHAINES FERMEES
Question 5.3 :
Question 5.4 :
Appliquer le principe fondamental de la statique au solide 1. Tous les moments seront calculés au point A. En déduire 6 équations scalaires notées de (4) à (9) liant
,N ,M ,N ,M ,Z ,Y ,Z ,Y ,X 21
Cet
.
01
01
21
21
21
01
01
01
m
Appliquer le principe fondamental de la statique au solide 3. Tous les moments seront calculés au point C. En déduire 6 équations scalaires notées de (10) à . (15) liant
α etN ,M ,X ,Z ,Y ,X 03
03
03
32
32
32
Question 5.5 :
En déduire la relation liant
,S ,p ,C
R,
m
θα et
.
01
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TD1 : Corrigé
MECANISMES : ETUDE DES CHAINES FERMEES
TD1 : ELEMENTS DE CORRIGE
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1 ETUDE DES LIAISONS
Liaisons entre solides
)A xr L10 : Pivot d’axe ( 0 , L32 : Rotule de centre C )D xr 3 L30 : Plane de normale ( , )B xr 0 L21 : Pivot glissant d’axe ( ,
nb de solides n = 3 nb de liaisons l = 4 nb de cycles indépéndants γ = 1
L
10
0
L
30
L
32
2
3
1.1 Etude géométrique
1.1.1 FERMETURE VECTORIELLE
r yR 1
AB λ−
+ r x
0
BC −
+ r xh
CD −
+ + DE EA r r − + zwyv
3
0
3
= r xd
r 0
0
=
r 0
(1)
1.1.2 RESOLUTION
Projection de (1) sur R (
r
r A x y z , 0
r
,
,
0
0 )
1.1.3 BILAN
−λ−
h
cos
+α
=+α d
0
cosR
sinw =−θ
v 01 −α sinh
0
sinR
+θ 01
cosw
=α
0
paramètres géométriques: λ ; h ; v ; w ; d; α ; θ01 N=7 rang géométrique: r=3 paramètres géométriques donnés: h ; d ; α ; θ01 paramètres géométriques inconnus : w ; v; λ
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MECANISMES : ETUDE DES CHAINES FERMEES
Finalement, il vient (si cosα ≠ 0)
w
=
01
θ α
sinR cos = cosRv 2 sin cos
+α
h
+
α
htg
θ 01 α α
+
sinR
θ
01
α
tg
−=λ
hd
cos
1.1.4 SIGNIFICATION GEOMETRIQUE
Remarque : La vitesse instantanée du point C lié au piston 2 en mouvement par rapport au
barillet 1 s'écrit :
r )1/2,C(V
=
dBC dt
R
1
=
λ−
(d
r )x 1
dt
R
1
( V C
2 1 , / )
= −
λ
d dt
= −
ω
R
α
tg
cos
θ 01
10
2 ETUDE CINEMATIQUE
{ V
} )S/S(
C0
1
{ V
+
} )S/S( 2
C1
{ V
+
} )S/S(
C2
3
{ V
−
} )S/S(
C0
3
=
{ }0
r Ω
)S/S( 0
1
r Ω+
)S/S( 2 1
r Ω+
)S/S( 2
3
r Ω−
r 0)S/S( 0
=
3
r r r 0)S/S,C(V)S/S,C(V)S/S,C(V)S/S,C(V
−
=
+
+
r
r
2
1
3
2
3
0
1
0
)3(
)4(
Calcul de
r = )S/S,A(V)S/S,C(V 0
r
1
1
0
+
CA
r Ω∧
)S/S( 0
1
donc
r )S/S,C(V 1 0
[ λ=
r x
1
−
]
r yR 1
α∧
10
r x
1
α=
r zR 10 1
*Projections de (3) et (4) sur R0
)1(
)2( )3(
)4( )5(
)6(
α
10
α+
21
α+
32
α−
cos
30
=α
β
32
γ
32
α+
sin
30
u
21
+
+
−
θ
01 θ
01
α
R
10
sin
R
α
10
cos
w
sin 30 v
30 cos
w
30
0
0
0
0 0
0
=
=α
=α
=
=α
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*Bilan
Inconnues cinématiques: α32; β32; γ32;u21; v30; w30;α10; α21; α30 Rang cinématique: Mobilité du mécanisme Paramètres cinématiques donnés: α10; α21; α30 Paramètres cinématiques inconnus: α32; β32; γ32;u21; v30; w30
rc = 6 m = Nc-rc=3
Nc = 9
(mu=1; mi=2)
*Système linéaire associé
0001 0010 0100 1000 0000 0000
0
0 0
0 − 1 0
0
0 0
sin 0 cos
α
α
α
32
β γ
32
32
u v w
21
30
30
=
α+α−α−
10
cos
α
30
α−
α
21 0 sin
30 0 sin cos
α α
R R
10
10
θ 01 θ
01
1
4444
2
4444
3
: (X)
(A)
d’où
32
32
α β γ
32 u
21
v
30
w
30
=
=
10
α+α−α−= = = =
21 0 sin α
α−
30 tg
α
α− R 10 α− R
10
α− R
10
θ
cos θ 01 θ 01 α
sin cos cos
1
4444
2
4444
3
(B)
cos
α
30
01
si det A= - cosα≠0
3 ETUDE DES INTER-EFFORTS
Formule de mobilité
h=m+6-NC h=2+6-(1+2+5)=0
soit
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*Torseurs statiques associés aux liaisons
{ →T S(
0
} A)S
1
=
X
01
0
Publicité
MY
01
01
Z
01
N
01
R
0
{ →T S(
2
} C)S
1
=
0
0
MY
21
21
Z
21
N
21
R
0
{ T
→
(
S
3
} ) CS
2
=
X
32
Y
32
Z
32
0
0
0
R
0
{ →T S(
0
} C)S
3
=
0
03 M0
X
0
03
N
03
R
4
{ T
(
ext
→
} 1) AS
=
X
E
→ 1
Y
Z
E
→ 1
E
→ 1
L
E M
→ 1
E
→ 1
N
E
→ 1
R
0
{ T
(
ext
→
} ) CS
2
=
X
E
→
2
Y
Z
E
→
2
E
→
2
L
2
→ E 0
N
E
→
2
R
0
*Application du P.F.S
*Isolement de S1
{ T
→
(
S
0
} AS )
1
{ T
+
→
(
S
2
} AS )
1
{ T
+
(
ext
→
} AS )
1
=
0
soit
r SR (
0
+→ S 1
)
r SR (
+→ S 1
)
2
r R
(
ext
=→ S 1
)
r 0
r SAM (
,
+→ S 1
)
0
r SAM (
,
+→ S 1
)
2
r extAM ,
(
=→ S 1
)
r 0
Calcul
r SAM de (
,
=→ S 1
)
2
r SCM (
,
+→ S 1
)
2
→ AC
∧
r SR (
2
→
S
1
)
r SAM (
,
=→ S 1
)
2
0
M
N
21
21
−
λ
+
R
cos
θ
01
∧
R
sin
θ
01
0
Y
21
Z
21
r SAM (
,
=→ S 1
)
2
RZ
21
cos
θ
01
−
21
RY λ Z λ Y
21
21
sin
θ
01
R 0
M
21
N
21
+
−
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Finalement, on obtient le système d’équations suivant:
1 ( )
2 ( )
3 ( )
4 ( )
(5)
6 ( )
X
01
Y
01
Z
01
M
01
N
01
+
+
+
+
Y
21
Z
RZ
21
cos
θ
01
21 −
sin
θ
01
21
RY λ Z λ Y
21
21
M
21
N
21
+
−
−=
X
−=
Y
−=
Z
E
→ 1
E
→ 1
E
→ 1
−=
−=
L
E M
→ 1
E
→ 1
−=
N
E
→ 1
*Isolement de S2
{ T
−
→
(
S
2
} CS )
1
{ T
+
→
(
S
3
} CS )
2
{ T
+
(
ext
→
} CS )
2
=
0
soit
−
r SR (
+→ S 1
)
2
r SR (
+→ S 2
)
3
r R
(
ext
Publicité
=→ S 2
)
r 0
−
r SCM (
,
+→ S 1
)
2
r SCM (
,
+→ S 2
)
3
r extCM ,
(
→
S
2
)
=
r 0
Finalement, on obtient le système d’équations suivant :
7 ( )
(8)
9 ( )
10 ( )
11 ( )
12 (
)
X
32
Y
32
Z
32
+
+
−
−
Y
21
21
Z
0
−
−
M
N
21
21
−=
X
E
→
2
=
=
=
−
Y
E
→
2
→
2
−
Z
E 0
−=
−=
M
N
E
→
2
E
→
2
*Isolement de S3
{ T
→
(
S
0
} ) CS
3
{ T
−
→
(
S
3
} ) CS
2
=
0
soit
r SR (
0
−→ S 3
)
r SR (
3
→
S
2
)
=
r 0
r SCM (
,
−→ S 3
)
0
r SCM (
,
3
→
S
2
)
=
r 0
Finalement, on obtient le système d’équations suivant:
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13 ( )
14 (
)
15 ( )
16 ( )
17 (
)
18 ( )
+
−
−
X
32
−
−
Y
32
32
Z
0
*Bilan
X
03
cos
α
−
N
03
α
sin
X
03
α
sin
M
03 cos
α
N
03
=
=
=
=
=
=
0
0
0
0
0
0
Inconnues statiques d’inter-efforts N
15
Mobilité du mécanisme Rang statique Degré d’hyperstaticité
Résolution
s
si
n
=
=
+ 1 n ∑ = 1 i m = 3 rs = 6n-m=15 h=Ns-rs=0
X
01
Y
01
Z
01
M
01
N
01
Y
21
Z
21
M
21
N
21
X
32
Y
32
Z
32
=
=
=
−
→
2
X
E 0
X
E
→
2
α
tg
=
=
=
=
=
=
=
=
−=
M
E
−
X
−
Y −
→ 1 E Z
→ 1 E − Y E −
→ 2 E [ λ − Z
−
Z → 1 E − M
→ 1 −
E
→ 2 −
N
E
→ 1
N
E
→
2
→ X
2
E
→ E +
2 λ Y
→ 2 +
α
tg
X
E
→
2
tg
] α
[ Z
E
→
2
Y → E + X
2
E
] α
tg
→
2
M
N
E
→
2
E
→
2
E
→
2
N
03
M
03
X
03
=
=
−=
0
0 X → E 2 α cos
Relation entrée sortie
−
L
E
→ 1
=
[ ZR
E
→
2
+
X
E
→
2
tg
] θα cos
01
−
RY
E
→
2
sin
θ
01
Cas particulier:
X
X
X
→
2
E
→
2
E
→
2
E
=
=
=
pS
0
0
− → LE 1
=
RpStg
cosθα 01
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