ETUDE DES CHAINES FERMEES

Ce cours traite de l'étude statique des mécanismes à chaînes fermées, destiné aux étudiants en sciences industrielles. Il présente les principes fondamentaux, les méthodes de résolution, la notion d'hyperstatisme, ainsi qu'un exemple concret d'application sur un malaxeur-mélangeur.

Analyse statique des mécanismes à chaînes fermées

Objectifs

• Déterminer le degré d’hyperstaticité du mécanisme.
• Préciser les inconnues hyperstatiques.
• Modifier, si nécessaire, le mécanisme afin de le rendre isostatique.

Principe fondamental

Chaque liaison normalisée est considérée comme parfaite. Les éléments de réduction, dans le repère local (x, y, z, A) du torseur d’inter-efforts associé à la liaison L_ij, sont :

{
S
j
→
S
}
A
i
X
L
M
Y
N
Z
=
{
X
Y
Z
M
N
L
}

On applique le Principe Fondamental de la Statique (PFS) à chacun des n solides de la chaîne simple. Pour chaque solide S_i, on écrit :

S_Ai = 0

où S_Ai désigne le torseur de toutes les actions extérieures agissant sur le solide S_i.

Méthode de résolution

On projette les équations du PFS sur le repère local, ce qui conduit à un système (E) de 6n équations scalaires à N_s inconnues statiques, avec :

N_s = n (6 − γ₊) + ∑ c_i

où :

• n est le nombre de solides,
• γ₊ est la mobilité interne du mécanisme,
• c_i est le nombre d'inconnues cinématiques par liaison.

Le rang statique r_s est le nombre d’équations indépendantes du système (E), avec :

r_s ≤ 6n

et on démontre que :

r_s = 6n m − r_s

Le système s’écrit sous la forme matricielle :

(A)(X) = (B)

où (X) contient les inconnues d’inter-efforts, (B) les paramètres donnés, et (A) une matrice de coefficients géométriques.

Degré d’hyperstaticité d’un mécanisme

Définition

Le degré d’hyperstaticité h est le nombre d’inconnues d’inter-efforts à fixer pour déterminer les autres inconnues restantes :

h = N_s − r_s

Détermination rapide de h

On calcule :

h = n (6 − γ₊) + ∑ c_i − r_s

Signification de h

• h = 0 : le mécanisme est isostatique, toutes les inconnues sont déterminables, et aucune condition géométrique particulière n’est nécessaire.
• h > 0 : le mécanisme est hyperstatique d’ordre h, il faut fixer h inconnues d’inter-efforts et respecter h conditions géométriques pour un fonctionnement correct.

Comment traiter l’hyperstatisme ?

Modification du mécanisme réel en conservant le modèle d’analyse

• Annuler h inconnues d’inter-efforts n’appartenant ni aux liaisons d’entrée ni aux liaisons de sortie, réduisant ainsi le nombre d’inconnues.
• Accroître la mobilité interne en augmentant le nombre de solides du mécanisme réel.

Conservation du mécanisme réel en modifiant le modèle d’analyse

• Ajouter h équations de comportement en modélisant les solides comme déformables élastiquement, avec liaisons rigides et sans jeu.
• Ajouter h équations de compatibilité géométrique en modélisant les solides comme indéformables mais avec jeu réel dans les liaisons.

Exemple traité : Malaxeur-mélangeur

Liaisons entre solides

• L₁₀ : Pivot d’axe (y, A)
• L₃₂ : Pivot d’axe (z, C)
• L₃₀ : Pivot glissant d’axe (z, D) (entrée)
• L₂₁ : Pivot glissant d’axe (y, B) (sortie)

Paramétrage

Les vecteurs position et angles sont définis ainsi :

• r_AB = 1 z_R
• r_DA = −0 y_d
• r_CB = λ − 1 y
• r_CD = − y_l
• Angles θ₀₁, θ₁₂, θ₂₃, θ₀₃ définissent les rotations relatives des solides.

Torseurs statiques associés aux liaisons

Les torseurs d’inter-efforts pour chaque liaison sont :

{
T→S(0)A)S1 = {X01, Y01, Z01, L01, M01, N01}
{
T→S(0)B)S1 = {X21, 0, Z21, L21, 0, N21}
{
T→S(0)C)S2 = {X32, Y32, Z32, L32, M32, 0}
{
T→S(0)D)S3 = {X03, Y03, Z03, L03, 0, 0}

Application du Principe Fondamental de la Statique (PFS)

En isolant chaque solide et en appliquant le PFS, on établit un système d’équations d’équilibre. Par exemple, pour le solide 1 :

∑ forces et moments = 0

Ce qui conduit à un système de 18 équations avec 18 inconnues d’inter-efforts.

Résolution et hyperstatisme

Après résolution, on trouve que le système possède un degré d’hyperstaticité h = 1, ce qui signifie qu'une inconnue d'inter-effort doit être fixée pour déterminer les autres.

Comment rendre ce mécanisme isostatique ?

On peut annuler une inconnue d’inter-effort, par exemple :

L₃₂ = 0

Ce choix modifie la liaison L₃₂ en une liaison sphérique à doigt, ce qui réduit le degré d’hyperstaticité à zéro. Le mécanisme devient alors isostatique, et les inconnues restantes sont déterminables.

Autres modifications possibles

• Remplacer la liaison L₃₂ par une rotule de centre C.
• Calculer le degré d’hyperstaticité après modification, qui devient alors h = 0.

Affranchissement de l’hyperstatisme par modélisation

• Modéliser le solide 2 comme déformable élastiquement, avec une relation :

L₃₂ α = k₃₂

où k₃₂ est le coefficient de rigidité (N·m·rad⁻¹) et α₃₂ l’angle de rotation autour de x₀.

• Considérer les liaisons avec jeu, modélisant les défauts géométriques des solides et des liaisons.

Glossaire des termes clés

• Chaîne fermée : Ensemble de solides liés entre eux formant une boucle fermée.
• Hyperstatisme (h) : Nombre d’inconnues d’inter-efforts supplémentaires à fixer pour résoudre un mécanisme.
• Isostatisme : Situation où le mécanisme est juste contraint, sans hyperstatisme (h=0).
• Mobilité interne (γ₊) : Nombre de degrés de liberté internes du mécanisme.
• Inconnues d’inter-efforts : Forces et moments inconnus aux liaisons entre solides.
• Principe Fondamental de la Statique (PFS) : Somme des forces et moments extérieurs sur un solide est nulle à l’équilibre.
• Rang statique (r_s) : Nombre d’équations indépendantes dans le système d’équilibre.
• Torseur : Représentation des actions mécaniques (forces et moments) appliquées à un solide.
• Liaison pivot : Liaison permettant une rotation autour d’un axe fixe.
• Liaison sphérique à doigt : Liaison permettant rotation autour de plusieurs axes, avec un doigt assurant la connexion.
• Coefficient de rigidité (k) : Constante caractérisant la raideur d’une liaison élastique.

Points essentiels à retenir

• Le degré d’hyperstaticité h indique le nombre d’inconnues d’inter-efforts à fixer pour résoudre un mécanisme.
• Un mécanisme isostatique (h=0) est plus simple à analyser et ne nécessite pas de conditions géométriques particulières.
• Le Principe Fondamental de la Statique s’applique à chaque solide pour établir les équations d’équilibre.
• Le système d’équations statiques est construit à partir des torseurs d’inter-efforts aux liaisons.
• En cas d’hyperstatisme, il est possible de modifier le mécanisme ou son modèle pour le rendre isostatique.
• La modélisation des déformations élastiques ou des jeux dans les liaisons permet de traiter l’hyperstatisme sans modifier le mécanisme réel.
• L’exemple du malaxeur-mélangeur illustre la démarche complète d’analyse statique et de traitement de l’hyperstatisme.