Sciences Indusrielles
Cours
MECANISMES : ETUDE DES CHAINES FERMEES
ETUDE DES CHAINES FERMEES (2ème partie)
Plan (Cliquer sur le titre pour accéder au paragraphe) **********************
ETUDE DES CHAINES FERMEES ............................................................................................................1 (2ème partie)....................................................................................................................................................1 2.4 Analyse statique des mécanismes à chaînes fermées .....................................................................1 2.4.1 Objectifs ....................................................................................................................................1 2.4.2 Principe fondamental ................................................................................................................1 2.4.3 Méthode de résolution...............................................................................................................2 2.4.4 Degré d’hyperstaticité d’un mécanisme....................................................................................2 2.4.5 Comment traiter l’hyperstatisme ?............................................................................................3 2.4.6 Exemple traité : Malaxeur-mélangeur.......................................................................................4 Synthèse: Ce qu’il faut absolument savoir ...................................................................................10
2.5
**********************
2.4 Analyse statique des mécanismes à chaînes fermées
2.4.1 OBJECTIFS
• • •
Déterminer le degré d’hyperstaticité du mécanisme. Préciser les inconnues hyperstatiques. Modifier, si nécessaire, le mécanisme afin de le rendre isostatique.
2.4.2 PRINCIPE FONDAMENTAL
Chaque liaison normalisée est considérée comme parfaite. Les éléments de réduction, dans le repère local
rrr )z,y,x,A(
R
, du torseur
d’inter-efforts associé à la liaison
ijL sont :
{ S
j
→
S
} Ai
ji
X L MY N Z
ji
ji
=
avec
ji
ji
ji
R
r S(R
j
=→ i
r + zZyYxX)S
+
r
r
ji
ji
ji
r S,A(M
j
=→ i
r + zNyMxL)S
+
r
r
ji
ji
ji
On applique le Principe Fondamental de la Statique à chacun des n Si {
désigne le torseur de toutes les actions extérieures agissant
Ai
S → i
solides de la chaîne simple. } S sur le solide Si, on peut écrire: { S i
]n,1 [
i ∈∀
→
S
}
Ai
=
0
)1(
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soit
2.4.3.1
i ∈∀
]n,1 [
∑
r S(R
j
r 0)S
=→ i
≠ j
i
∑
r S,A(M
r 0)S
=→ i
j
≠
j
i
)2(
)3(
2.4.3
METHODE DE RESOLUTION
Projection de (2) et (3) sur On obtient un système (E) de 6n équations scalaires à Ns paramètres
0
0
R
r
r )z,y,x,A( 0
r
statiques inconnus avec :
=
N
s
γ+
n
γ+
n
∑∑ = n
si
− )n6( ci
soit
N
s
=
n(6
−γ+ )
n
γ+
∑
= 1i
= 1i
n
ci
=
n(6
−γ+
N)
c
= 1i
2.4.3.2
Rang statique
Le rang statique sr est le nombre d’équations indépendantes du système ≤ n6
(E). On a bien sûr
.
rs
On peut démontrer que
= n6m
−
sr
Le système (E) s’écrit alors :
où
et donc que : r ) (
)( A X
= −6 n m s ) ( B=
(X) désigne un vecteur unicolonne contenant sr inconnues d’inter-efforts. N − paramètres (B) désigne un vecteur unicolonne contenant
r s
s
(A) désigne une matrice
statiques à fixer et les paramètres donnés. )r,r( s
s
de coefficients géométriques du mécanisme.
2.4.4
DEGRE
D’HYPERSTATICITE
D’UN
MECANISME
2.4.4.1
Définition
On appelle degré d’hyperstaticité d’un mécanisme, noté h, le nombre de sr inconnues d’inter-
paramètres d’inter-efforts à fixer pour déterminer les efforts restantes.
=
rNh s
s
−
2.4.4.2
Détermination rapide de h Une détermination globale de h est nécessaire si on veut connaître
rapidement la nature isostatique d'un mécanisme.
On a donc
=
h
n(6
−γ+
N)
−
r s
c
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soit
d’où
=
h
n(6
−γ+
N)
−
− )mn6(
c
6mh
−γ+
=
cN
2.4.4.3 h = 0
N = r s
s
h > 0
N
s
=
r s
+
h
Signification de h
Le mécanisme est isostatique
Toutes les inconnues d’inter-efforts sont déterminables. Le fonctionnement correct de ce mécanisme ne nécessite aucune condition géométrique particulière.
Le mécanisme est hyperstatique d’ordre h. Il faut fixer h inconnues d’inter-efforts afin de déterminer les rs inconnues restantes. Le fonctionnement correct de ce mécanisme nécessite h conditions géométriques à respecter.
2.4.5
COMMENT TRAITER L’HYPERSTATISME
?
2.4.5.1
Modification du mécanisme réel en conservant
le modèle d’analyse
• On annule h inconnues d’inter-efforts n’appartenant ni aux liaisons d’entrée ni aux sr inconnues d’inter-
sr équations à
liaisons de sortie. Il reste à résoudre un système de efforts.
• On accroît la mobilité interne du mécanisme en augmentant le nombre de solides du
mécanisme réel.
le modèle d’analyse
2.4.5.2
Conservation du mécanisme réel en modifiant
• On rajoute h équations de comportement en modélisant les solides comme
déformables élastiquement et les liaisons rigides et sans jeu.
• On rajoute h équations de compatibilité géométrique en modélisant les solides
comme indéformables et en tenant compte du jeu réel dans les liaisons.
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2.4.6
EXEMPLE TRAITE : MALAXEUR-MELANGEUR
2.4.6.1
Liaisons entre solides
r L10 : Pivot d’axe )y,A( 0 r L32 : Pivot d’axe )z,C( 0 L30 : Pivot glissant d’axe L21 : Pivot glissant d’axe
(entrée)
(sortie)
r )z,D( 0 r )y,B( 0
2.4.6.2
Paramétrage
AB
DA
r= 1zR r−= 0yd
CB
CD
rλ−= 1y r − yl 3
=
r zh
0
x1
x0
x2
x1
θ01
z1
z0
y0=y1
y3
y2
y1=y2
y3
y0
θ12
z2
z1
x3
x2
θ23
x3
x0
θ03
z3=z0
z3=z2
2.4.6.3
Torseurs statiques associés aux liaisons
{ T
→
S(
0
} A)S
1
=
X Y
01
01
Z
01
L 01 0 RN
01
0
{ T
Publicité
→
S(
2
} B)S
1
=
X 21 0
Z
21
L 21 0 RN
21
0
{ →T S( 3
} C)S
2
=
32
X L MY
32
32
Z
32
R
0
{ T
→
S(
0
} D)S
3
=
03
X L MY
03
03 0
03 0
R
0
32 0
{ T
(
ext
→
} B)S
1
=
0 0 M0 0
R0
ext
{ T
(
ext
→
} D)S
3
=
0
0 0
0 0
Z
ext
N
ext
R
0
2.4.6.4
Application du P.F.S
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L'isolement de
{ T
1S permet d'écrire : } S( B)S
{ T
→
S(
+
2
0
1
→
} B)S
1
{ T
+
(
ext
→
} 0B)S
=
1
r S(R
0
+→ 1
S(R)S
r
+→ 1
(R)S
r
ext
=→ )S 1
r 0
2
r S,B(M
0
r S,B(M)S
+→ 1
2
r ,B(M)S
+→ 1
ext
=→ )S 1
r 0
r S,B(M
0
r S,A(M)S
=→ 1
0
+→ )S 1
BA
∧
r S(R
0
→
)S 1
soit
avec
d’où
r S,B(M
=→ )S 1
0
+
L 01 0
N
01
θ
01
−
sinR 0
−
cosR
θ
01
∧
X Y
01
01
Z
01
soit
r S,B(M
=→ )S 1
0
RZ
L 01 sin 01 N
01
+ RY −θ 01 − RY
cos
θ
01 01 RX cos 01 θ sin
01
01
θ
01
B 0
Finalement, on obtient le système d’équations suivant :
)1(
)2( )3( )4( )5(
)6(
RZ
X Y Z
01
01
01
L 01 sin
01 N
01
+
+
+ − +
θ
01
RX
X
21
Z
21
L 21 cos
+ +
θ
01
01 N
21
= = =
= = =
0 0 0
0 0 0
θ
01
RY
cos
01 M
ext
2
S(
→
L'isolement de -{ T soit
r S,C(M
r S(R
−
−
2
2
2S permet d'écrire : } } S( C)S C)S
+{ T
→
1
2
3
=0
+→ 1
S(R)S
r
=→ )S 2
3
r 0
r S,C(M)S
+→ 1
=→ )S 2
3
r 0
Calcul de
r S,C(M
2
r S,B(M)S
=→ 1
2
+→ )S 1
CB
∧
r S(R
2
→
)S 1
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r S,C(M
=→ )S 1
2
L 21 0
N
21
0 ∧λ−+
0
X 21 0
Z
21
soit
r S,C(M
=→ )S 1
2
λ−
L
21
0 λ+
N
21
21
Z
RX
21
0
Finalement, on obtient le système d’équations suivant :
)7(
)8( )9(
)10(
)11( )12(
+
+ +
−
X
21
− −
Z L
Publicité
21
21
−
N
21
X Y
32
32
Z L
32
32
λ+
Z
21
M 32 X
21
λ−
= =
= =
= =
0 0
0 0
0 0
L'isolement de
3S permet d'écrire :
{ T
→
S(
0
} C)S
3
{ T
−
→
S(
3
} C)S
2
{ T
+
(
ext
→
} 0C)S
=
3
soit r S(R
0
−→ 3
S(R)S
r
+→ 2
(R)S
r
ext
=→ )S 3
r 0
3
r S,C(M
0
r S,C(M)S
−→ 3
3
+→ 2
,C(M)S
r
Calcul de
r S,C(M
0
r S,D(M)S
=→ 3
0
+→ )S 3
CD
∧
r S(R
0
→
)S 3
r S,C(M
=→ )S 3
0
−
l
+
L 03 0 N
03
θ sinl θ cos − h
03
03
ext
=→ )S 3
r 0
∧
03
X Y 03 0
r S,C(M
=→ )S 3
0
L
03 −
N
03
−
lY
03
sin
+
hY
03
hX 03 −θ 03
lX
03
cos
θ
03
B 0
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Finalement, on obtient le système d’équations suivant :
)13(
)14( )15(
)16( )17(
)18(
−
− −
− −
X
32
Y
32
Z L
32
32
M
32 sin
+
+ +
+ +
−
θ
03
−
lY
ext
X
03
Y
03
L
03
+ −
lX
ext
cos
θ
03
+ +
Z
lZ
ext
ext cos
sin
lZ ext + N
ext
θ θ
03
03
hY
03
hX N
+
03
03
Le bilan est le suivant :
Inconnues d’inter-efforts
N
s
γ+
n
= ∑
n
si
=
18
Mobilité du mécanisme Rang statique Degré d'hyperstaticité
= 1i = Nm = rs = Nh
− c −
= r 1 c = 17mn6 −
=
1
r s
s
Le système d’équations est le suivant:
RZ
)1( )2(
)3( )4( )5( )6(
)7( )8( )9( )10(
)11( )12(
)13( )14(
)15( )16(
)17( )18(
X Y
01
01
01
Z L 01 sin
01 N
01
θ
01
+
+ +
+ −
− −
−
− −
− −
−
X Y
32
32
Z L
32
32
M
−
lY
ext
32 sin
θ
03
X
21
Z L
21
21
N
X
21
21
Z L
21
21
N 21 + +
+
− −
RY RX
01
01
cos cos
θ
θ
01
01
X Y Z L
32
32
32
32
M
32
+
− − +
+
λ+
Z
21
+
λ−
X
21
X Y
03
03
L
03
+
hY
03
−=
lZ
ext
lX
ext
cos
θ
03
−=
hX + N
03
03
lZ ext −= N
ext
−=
Z ext cos
sin
Publicité
θ
03
θ
03
=
= =
= =
=
0
0
0 0
0 0
0 0
ext
0 0 −= M = 0 = =
= = = =
= = = =
= =
0 0 0 0
0 0
0 0
Après résolution on obtient :
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Y
01
Z
01
X
01
=
=
Y
32
=
Y
03
M Z
32
32
=
Z
21
−=
X
32
=
X
03
−=
X
21
N
21
= =
=
=
=
M
03
−=
−
0
0 Z N cos λ N cos
ext
ext θ
03
ext θ sin
03 θ
−
l
−
l lZ
ext
03
Il reste un système de 3 équations indépendantes (4), (10) et (16) avec les 03L .
4 inconnues suivantes :
32L ,
01L ,
21L ,
soit
−
−
L
32
= 0 21 λ−= Z
L
01 +
L 21 + L
03
+
L
L 32 −=
ext cos
θ
03
lZ
ext
Le mécanisme est donc hyperstatique d’ordre h=1.
2.4.6.5
Comment rendre ce mécanisme isostatique ?
On peut annuler 1 inconnue d'inter-effort (L01 ou L21 ou L32 ou L03) afin de déterminer les 3 inconnues restantes en modifiant les liaisons du mécanisme.
Par exemple, posons
L32=0
Il vient:
L
01
−=
L
21
λ−=
Z
ext
L
03
−=
(Z ext
+λ
l
cos
θ
)
03
soit
{ →T S( 3
} C)S
2
=
32
X 0 MY 32 0 Z
32
32
R
0
avec
Y M
32
32
= =
0 0
Modification n°1
{ →T S( 3
} C)S
2
=
32
X 0 MY
32
Z
32
Liaison sphérique à doigt (
C x zr r , , )
R
0
32 0
A yr ,
L10 : Pivot d’axe ( C x zr r L32 : Liaison sphérique à doigt ( , ) , )D zr , L30 : Pivot glissant d’axe ( 0
) 0
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L21 : Pivot glissant d’axe (
B yr ,
) 0
Calcul du degré d’hyperstaticité
Inconnues cinématiques
Mobilité du mécanisme Degré d’hyperstaticité
N
c
+ 1n
= ∑
= 1i
n
ci
=
7
mu=1 mi=0 m=1 h=m+6-Nc=0
Modification n°2
{ T
→
S(
3
} C)S
2
=
X Y
32
32
Z
32
0 0
0
R
0
Liaison rotule de centre C
A yr ,
) 0
L10 : Pivot d’axe ( L32 : Linéaire rotule de centre C )D zr , L30 : Pivot glissant d’axe ( 0 B yr ) , L21 : Pivot glissant d’axe ( 0
Calcul du degré d’hyperstaticité
Inconnues cinématiques
Mobilité du mécanisme Degré d’hyperstaticité
N
c
+ 1n
= ∑
= 1i
n
ci
=
8
mu=1 mi=1 m=2 h=m+6-Nc=0
Comment s'affranchir de l'hyperstatisme ?
On modélise le solide 2 comme déformable élastiquement (les liaisons étant toujours supposées sans jeu)
c’est-à-dire:
L
32
α= k
32
avec
k: α
32
coefficient de rigidité(m.N.rd-1)
angle de rotation autour de x0 de L3/2 (rd)
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On suppose les liaisons avec jeu (les solides ne sont plus parfaits mais présentent des défauts géométriques)
c’est-à-dire :
3
3
∑∑ ≤α i
α
+ 1i/i
= 0i
= 0i
avec 1i/i +α
α i
défaut angulaire du solide Si autour de x0 débattement angulaire de la liaison Li/i+1 autour de x0
2.5 Synthèse: Ce qu’il faut absolument savoir
Point de vue Inconnues
Equations
Equations indépendantes ou rang du système. Mobilité / Hyperstaticité
Dégradation du système d'équations Calcul de h par la formule de mobilité
Cinématique γ+ n ∑
N
=
n
ci
c
= 1i γ= 6 γ≤ 6
E c rc
= Nm
−
r c c −= cr6
h
Statique
γ+
n
= ∑
=
n
si
N
s
N)1n(6
−
+
c
= 1i
=
n6
≤
n6
E s rs
= Nh s = n6m
−
−
r s sr
= =
−γ+ 6mh cN − + sNn6mh
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