Étude de Capabilité des Processus et des Systèmes de Mesure

Cette conférence porte sur l’étude de la capabilité des processus et des systèmes de mesure dans le cadre du management de la production et de la qualité. Elle s’inscrit dans un cours de statistiques industrielles et vise à présenter les hypothèses, méthodes et indices permettant d’évaluer la capacité d’un procédé à respecter des tolérances spécifiées.

Capabilité des processus : hypothèses et cadre d’étude

La capabilité d’un processus se mesure sous l’hypothèse que le procédé est stable et sous contrôle statistique. Cela signifie que seules les causes communes affectent le processus, les causes spéciales ayant été éliminées. Le processus est alors contrôlé par une statistique quantitative X_t, mesurée sur des échantillons de taille n_t. Les mesures doivent rester comprises entre une tolérance inférieure Ti (ou LSL) et une tolérance supérieure Ts (ou USL).

On suppose que la loi de X_t est une loi normale de moyenne µ et d’écart type σ constants dans le temps. Le contrôle statistique est assuré par une carte de contrôle avec un risque de première espèce α = 0,27%, ce qui correspond à des limites de contrôle LCL et UCL fixées à ±3σ autour de la moyenne.

Étude de capabilité : objectifs et démarche

L’étude de capabilité vise à répondre aux questions suivantes :

• Le processus est-il stable ?
• La distribution des mesures suit-elle une loi normale constante ?
• Quelle est la proportion de pièces non conformes, c’est-à-dire hors tolérances ?
• Quels sont les indices de capabilité qui quantifient la capacité du processus à respecter les tolérances ?

Exemple pratique : mesure d’une longueur de pièce

Une machine fabrique des pièces dont une dimension doit respecter la spécification 78 mm ± 12 mm. Cent échantillons de 5 mesures chacun ont été réalisés. Les premières données montrent des moyennes d’échantillons (x̄) et des étendues (R) variables :

Échantillon	1	2	3	4	5	6
x̄	77.54	78.74	77.59	77.18	75.68	80.09
R	6.30	10.89	10.66	7.35	14.58	12.28

Les étapes d’analyse comprennent :

1. Étudier la stabilité et la maîtrise statistique du processus.
2. Calculer l’étendue R de chaque échantillon.
3. Calculer la moyenne des moyennes (x̄̄) et l’étendue moyenne (R̄).
4. Estimer l’écart type σ par s = R̄ / d₂(n=5), où d₂ est un facteur statistique.
5. Construire un histogramme des observations et superposer la densité d’une loi normale N(x̄̄, s).
6. Réaliser un diagramme de probabilité (probability plot) pour vérifier l’hypothèse de normalité.
7. Calculer les probabilités P1 = Pr(X < Ti) et P2 = Pr(X > Ts) pour estimer la proportion moyenne de pièces défectueuses.
8. Déduire le nombre moyen de pièces défectueuses si un million de pièces sont fabriquées.

Indices de capabilité

Indice Cp

L’indice Cp mesure la capacité intrinsèque du processus à respecter les tolérances, sans tenir compte du centrage. Il est défini par :

Cp = (Ts − Ti) / (6σ)

Si σ est inconnu, on utilise une estimation s :

Cp = (Ts − Ti) / (6s)

Cp correspond au rapport entre la largeur de l’intervalle de tolérance et six fois l’écart type (l’intervalle de contrôle ±3σ). Par exemple, pour Ts = 90, Ti = 66, UCL = 87, LCL = 69, on obtient :

Cp = (90 − 66) / (87 − 69) ≈ 1.28

Un processus est dit Cp-capable si Cp ≥ 1. La qualité est qualifiée selon :

Valeur de Cp	Qualification
≥ 2	Très performant
4/3 < Cp < 2	Bon
1 ≤ Cp ≤ 4/3	Acceptable
< 1	Inacceptable

Dans l’exemple, Cp = 1.28 indique une capabilité acceptable.

Indice Cpk

Contrairement à Cp, l’indice Cpk prend en compte le centrage du processus par rapport aux tolérances. Il est défini par :

Cpl = (µ − Ti) / (3σ)
Cpu = (Ts − µ) / (3σ)
Cpk = min(Cpl, Cpu)

Si µ et σ sont inconnus, on utilise leurs estimations :

Cpk = min((x̄̄ − Ti) / (3s), (Ts − x̄̄) / (3s))

Un processus est Cpk-capable si Cpk ≥ 1. La qualité est qualifiée selon :

Valeur de Cpk	Qualité	Intervalle
> 2.5	Excellent	±7.5σ
2 ≤ Cpk ≤ 2.5	Très performant	±6σ
4/3 ≤ Cpk < 2	Bon	±4σ
1 ≤ Cpk < 4/3	Acceptable	±3σ
< 1	Inacceptable	Trop de pièces défectueuses

Exemple d’effet de décentrage

Une spécification de longueur est 50 mm ± 6 mm, avec un écart type estimé à 1,15 mm. Si la moyenne varie entre 48,5 mm et 53 mm, le processus n’est pas stable. Les indices de capabilité Cpk permettent de détecter ce décentrage et d’évaluer l’impact sur la qualité.

Intervalles de confiance pour les indices de capabilité

Intervalle de confiance pour Cp

Pour un processus stable modélisé par une loi normale N(µ, σ), un intervalle de confiance à un niveau α pour Cp est donné par :

( (n−1) / χ²1−(1−α)/2, n−1 )^0.5 * Cp̂ ≤ Cp ≤ ( (n−1) / χ²(1−α)/2, n−1 )^0.5 * Cp̂

où Cp̂ est l’estimation de Cp basée sur l’écart type d’échantillonnage s, n est le nombre d’échantillons, et χ²_q,ν est le quantile d’ordre q d’une loi du χ² à ν degrés de liberté.

Par exemple, avec Cp̂ = 1,58 calculé sur n = 20 échantillons, un intervalle de confiance à 95% est :

[ (19 / 32.8)^0.5 * 1.58 , (19 / 8.9)^0.5 * 1.58 ] ≈ [1.08, 2.08]

Ce qui signifie que l’on a 95% de chances que le vrai Cp soit dans cet intervalle.

Valeurs minimales de Cp pour valider la capabilité

Le tableau suivant donne les valeurs minimales de Cp nécessaires pour affirmer que Cp > Cp(ref) avec un risque d’erreur α = 5%, en fonction du nombre d’échantillons :

n	Cp(ref)=0.80	1.00	1.20	1.40	1.60	1.80	2.00	2.20	2.40	3.00
10	1.32	1.65	1.97	2.30	2.63	2.96	3.29	3.62	3.95	4.94
20	1.10	1.37	1.64	1.92	2.19	2.47	2.74	3.01	3.29	4.11
30	1.02	1.28	1.54	1.79	2.05	2.30	2.56	2.82	3.07	3.84
40	0.99	1.23	1.48	1.72	1.97	2.22	2.46	2.71	2.96	3.70
50	0.96	1.20	1.44	1.68	1.92	2.16	2.40	2.64	2.88	3.61

Intervalle de confiance pour Cpk

Pour Cpk, l’intervalle de confiance à un niveau α est approximé par :

Cpk * (1 − z1−(1−α)/2 * A) ≤ Cpk ≤ Cpk * (1 + z1−(1−α)/2 * A)

avec A = √(2/(n−1) + 1/(9nCpk²)) et z_q le quantile d’ordre q d’une loi normale centrée réduite.

Par exemple, avec Cpk = 1,58 et n = 20, à 95% de confiance :

z0.975 ≈ 1.98, A ≈ 0.169
Intervalle = [1 − 1.98*0.169, 1 + 1.98*0.169] * 1.58 = [1.03, 2.06]

Valeurs minimales de Cpk pour valider la capabilité

Le tableau suivant donne les valeurs minimales de Cpk requises pour affirmer que le processus est Cpk-capable selon l’indice souhaité avec un risque α = 5%, en fonction du nombre d’échantillons :

n	Cpk(ref)=0.80	1.00	1.21	1.40	1.60	1.80	2.00	1.34	2.50	3.00	4.00
10	1.36	1.68	2.00	2.32	2.64	2.97	3.29	2.21	4.10	4.92	6.55
20	1.13	1.40	1.66	1.93	2.20	2.48	2.75	1.84	3.43	4.11	5.47
50	0.99	1.22	1.46	1.70	1.93	2.17	2.41	1.62	3.01	3.61	4.81
100	0.93	1.15	1.37	1.60	1.82	2.05	2.28	1.52	2.84	3.41	4.54

Points clés

• La capabilité d’un processus stable et sous contrôle statistique s’évalue par des indices Cp et Cpk basés sur la distribution normale des mesures.
• Cp mesure la capacité intrinsèque sans tenir compte du centrage, tandis que Cpk intègre le décentrage du processus.
• Un processus est considéré capable si Cp et Cpk sont supérieurs ou égaux à 1, avec des seuils qualitatifs définissant la performance.
• Les intervalles de confiance pour Cp et Cpk permettent d’évaluer la précision des estimations en fonction du nombre d’échantillons.
• Les tableaux de valeurs minimales de Cp et Cpk aident à valider la capabilité avec un risque d’erreur contrôlé.
• Les analyses graphiques (histogramme, probability plot, cartes de contrôle) complètent l’évaluation statistique de la capabilité.