Étude de Capabilité des Processus et des Systèmes de Mesure

MSP

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Capabilité

Hypothèses

Etude de capabilité

Capabilités

Int. Confiance

Index

Exemple

Figure : Densité

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Histogram of X.vecteurX.vecteurDensity6570758085900.000.020.040.060.080.100.12MSP

Capabilité

Hypothèses

Etude de capabilité

Capabilités

Int. Confiance

Index

Exemple

Figure : Probability plot

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xprobability0.010.050.100.200.300.400.500.600.700.800.900.950.99657075808590llllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllnormal probability plotnormalmean 76.78sd 3.66AD 0.33pvalue 0.51MSP

Capabilité

Hypothèses

Etude de capabilité

Capabilités

Int. Confiance

Index

Exemple

Figure : Densité

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657075808590TiTsMSP

Capabilité

Hypothèses

Etude de capabilité

Capabilités

Int. Confiance

Index

Exemple

Figure : Carte xbar

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xbar Chartfor X[, variables]GroupGroup summary statistics1612192633404754616875828996727476788082llllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllLCL UCLCLllllNumber of groups = 100Center = 76.78358StdDev = 3.65546LCL = 71.87927UCL = 81.68789Number beyond limits = 1Number violating runs = 3MSP

Capabilité

Hypothèses

Etude de capabilité

Capabilités

Int. Confiance

Index

Capabilité des processus

Hypothèses

Etude de capabilité

Indices de capabilités

Intervalles de confiance

Paragraphe

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Capabilité

Hypothèses

Etude de capabilité

Capabilités

Int. Confiance

Index

Indice de capabilité Cp

On considère un processus stable et sous-contrôle contrôlé par

une mesure X avec un risque de premiere espece de α = 0.27%

On suppose que

(cid:73) la distribution de X peut être modélisée par une normale

de moyenne µ et d’écart type σ.

(cid:73) Ces mesures doivent satisfaire les spécifications suivantes

Ti ≤ X ≤ Ts .

On appelle indice de capabilité Cp du processus contrôle par X

Cp =

Ts − Ti

6σ

Si l’écart type est inconnu, on le remplace par une estimation

(cid:99)Cp =

Ts − Ti

6(cid:98)σ

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Capabilité

Hypothèses

Etude de capabilité

Capabilités

Int. Confiance

Index

Indice Cp

L’indice de capabilité est le rapport entre

(cid:73) la longueur Ts − Ti de l’intervalle de tolérance [Ti , Ts ].

(cid:73) la longueur UCL − LCL = 6σ de l’intervalle de contrôle

[LCL, UCL] d’une carte aux mesures avec un risque de

premiere espece α = 0.27%.

Cp =

Ts − Ti

6σ

=

90 − 66

87 − 69

=∼ 1.28

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Figure : Capabilite

TI= 66TS= 90LCL= 69UCL= 87mu= 78657075808590MSP

Capabilité

Hypothèses

Etude de capabilité

Capabilités

Int. Confiance

Index

Processus Cp-capable

Définition

On dit que le processus stable et sous-contrôle ayant un indice

de capabilité Cp est Cp-capable si Cp ≥ 1, on peut le qualifier

de

2 ≤ Cp

4/3 <≤ Cp2

1.0 ≤ Cp < 4/3

Cp < 1

très performant

bon

acceptable

inaceptable

Table : Qualification de la Cp-capabilité

Dans l’exemple précédent la capabilité Cp est de 1.28, on peut

dire que le processus est acceptable.

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Capabilité

Hypothèses

Etude de capabilité

Capabilités

Int. Confiance

Index

Indice de capabilité Cpk

Avec les mêmes hypothèses que précédemment On appelle

indice de capabilité Cpk du processus contrôle par X

Cpl =

µ − Ti

3σ

Cpk = min(Cpl , Cpu)

Ts − µ

3σ

Cpu =

= min(

µ − Ti

3σ

Ts − µ

3σ

)

Si µ, σ sont inconnus on les remplace des estimations

(cid:98)Cpk = min( (cid:98)µ − Ti

3(cid:98)σ

Ts − (cid:98)µ

3(cid:98)σ

)

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Capabilité

Hypothèses

Etude de capabilité

Capabilités

Int. Confiance

Index

Processus Cpk-capable

Définition

On dit que le processus stable et sous-contrôle ayant un indice

de capabilité Cpk est Cpk -capable si Cpk ≥ 1, on peut le

qualifier de

capabilité

2.5 < Cp

2 ≤ Cp < 2.5

4/3 ≤ Cp < 2

1.0 ≤ Cp < 4/3

Cp < 1

intervalle

±7.5σ

qualité

excellent

très performant ±6σ

±4σ

bon

±3σ

acceptable

trop de pièces défecteuses

inaceptable

Table : Qualification de la Cpk -capabilité

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Capabilité

Hypothèses

Etude de capabilité

Capabilités

Int. Confiance

Index

Exemple décentrage

Une spécification pour une longueur d’une monture est de

50mm ± 6mm La statistique de qualité longueur est supposée

statistiquement maitrisée et l’estimation de l’écart type est de

1.15mm. Par contre la moyenne va varier de 48.5 mm à 53 mm,

le processus n’est donc pas stable. On va voir que les indices de

capabilités peuvent nous aider à détecter ce changement.

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Capabilité

Hypothèses

Etude de capabilité

Capabilités

Int. Confiance

Index

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Capabilité

Hypothèses

Etude de capabilité

Capabilités

Int. Confiance

Index

Capabilité des processus

Hypothèses

Etude de capabilité

Indices de capabilités

Intervalles de confiance

Paragraphe

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Capabilité

Hypothèses

Etude de capabilité

Capabilités

Int. Confiance

Index

Intervalle de confiance de Cp

On considère que l’on a processus stable contrôlé par par la

statistique X Si la statistique de contrôle X peut être

modélisée par une loi normale de moyenne µ et d’écart type σ

alors un intervalle de confiance de niveau α de Cp est :

(cid:115)

(cid:99)Cp

χ2

(1−α)/2,n−1

n − 1

≤ Cp ≤ (cid:99)Cp

(cid:115)

χ2

1−(1−α)/2,n−1

n − 1

ou

(cid:73) χ2

(1−α)/2,n−1 est le quantile d’ordre (1 − α)/2 d’une loi du

χ2 à n − 1 degrés de libertés.

(cid:73) (cid:99)Cp est estimé à partir de l’écart type d’échantillonage s

fondé sur n échantillons.

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Exemple

Capabilité

Hypothèses

Etude de capabilité

Capabilités

Int. Confiance

Index

On dispose d’une estimation du coeffient de capabilité de

(cid:99)Cp = 1.58 calculé à partir de n = 20 échantillons. Calculer un

intervalle de confiance de niveau 95% de Cp.

(cid:73) 1 − α = 0.05. Il faut calculer les quantiles d’ordre

(1 − α)/2 = 2.5% et 1 − (1 − α)/2 = 97.5% d’une loi du

χ2 à 19 degrés de libertés.

0.025,n−1 ∼ 8.9, χ2

χ2

0.975,n−1 ∼ 32.8

(cid:73) un intervalle de confiance de niveau α = 95% est de

(cid:113) 8.9

19 ,

(cid:113) 32.8

19 ] ∗ 1.58 On a donc 95 chances sur cent que le

[

vrai coefficient de capabilité Cp se trouve dans l’intervalle

[1.08, 2.076]

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Capabilité

Hypothèses

Etude de capabilité

Capabilités

Int. Confiance

Index

Valeurs minimales (cid:99)Cp

Cp(ref )

0.80

1.00

1.20

1.40

1.60

1.80

2.00

2.20

2.40

3.00

n=10

1.32

1.65

1.97

2.30

2.63

2.96

3.29

3.62

3.95

4.94

n=20

1.10

1.37

1.64

1.92

2.19

2.47

2.74

3.01

3.29

4.11

n=30

1.02

1.28

1.54

1.79

2.05

2.30

2.56

2.82

3.07

3.84

n=40

0.99

1.23

1.48

1.72

1.97

2.22

2.46

2.71

2.96

3.70

n=50

0.96

1.20

1.44

1.68

1.92

2.16

2.40

2.64

2.88

3.61

n=60

0.94

1.18

1.42

1.65

1.89

2.12

2.36

2.60

2.83

3.54

n=70

0.93

1.16

1.40

1.63

1.86

2.10

2.33

2.56

2.79

3.49

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

Table : Valeurs minimales de (cid:99)Cp requises pour avoir

H0(Cp > Cp(ref )) avec un risque de se tromper de moins de α = 5%

en fonction du nombre d’échantillons.

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Capabilité

Hypothèses

Etude de capabilité

Capabilités

Int. Confiance

Index

Intervalle de confiance de Cpk

Soit un processus stable contrôlé par par la statistique X qui

être modélisée par une loi normale de moyenne µ et d’écart type

σ. En posant A =

2(n−1) alors une approximation

+ 1

(cid:114) 1

9n(cid:100)C 2

pk

qui de devient de plus en plus précise quand n devient

grand de l’ intervalle de confiance de niveau α de Cpk est

(cid:100)Cpk (1 − z1−(1−α)/2A) ≤ Cpk ≤ (cid:100)Cpk (1 + z1−(1−α)/2A)

(cid:73) z1−(1−α)/2 est le quantile d’ordre 1 − (1 − α)/2 d’une loi

normale centrée réduite

(cid:73) (cid:99)Cp est estimé à partir de l’écart type d’échantillonage s

fondé sur n échantillons.

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Exemple

Capabilité

Hypothèses

Etude de capabilité

Capabilités

Int. Confiance

Index

On dispose d’une estimation du coeffient de capabilité de

(cid:100)Cpk = 1.58 calculé à partir de n = 20 échantillons. Les

tolérances sont [740, 760], calculer un intervalle de confiance de

niveau 95% de Cpk .

(cid:73) 1 − α = 0.05. Il faut calculer le quantile d’ordre

1 − (1 − α)/2 = 97.5% d’une loi du normale centrée

réduite z0.975 ∼ 1.98.

(cid:73) A ∼ 0.169

(cid:73) un intervalle de confiance de niveau α = 95% est de

[1 − 1.98 ∗ 0.169, 1 + 1.98 ∗ 0.169] ∗ 1.58 = On a donc 95

chances sur cent que le vrai coefficient de capabilité Cpk se

trouve dans l’intervalle

[1.03, 2.06]

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Capabilité

Hypothèses

Etude de capabilité

Capabilités

Int. Confiance

Index

Cpk(ref)

0.80

1.00

1.21

1.40

1.60

1.80

2.00

1.34

2.50

3.00

4.00

n10

1.36

1.68

2.00

2.32

2.64

2.97

3.29

2.21

4.10

4.92

6.55

n20

1.13

1.40

1.66

1.93

2.20

2.48

2.75

1.84

3.43

4.11

5.47

n50

0.99

1.22

1.46

1.70

1.93

2.17

2.41

1.62

3.01

3.61

4.81

n100

0.93

1.15

1.37

1.60

1.82

2.05

2.28

1.52

2.84

3.41

4.54

n250

0.88

1.09

1.31

1.52

1.74

1.95

2.17

1.45

2.71

3.25

4.33

n500

0.86

1.07

1.28

1.49

1.70

1.91

2.12

1.42

2.64

3.17

4.23

n1000

0.84

1.05

1.25

1.46

1.67

1.88

2.08

1.39

2.60

3.12

4.16

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

Table : Valeurs minimales requises pour l’indice (cid:100)Cpk permettant

d’affirmer que le processus est Cpk -capable selon l’indice souhaité

dans 95% des cas

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Capabilité

Hypothèses

Etude de capabilité

Capabilités

Int. Confiance

Index

Figure : (cid:100)Cpk minimale dans 95% des cas

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1.01.52.02.53.03.54.0123456CpkCpk.chapn10n20n50n100n250n500n1000MSP

Capabilité

Hypothèses

Etude de capabilité

Capabilités

Int. Confiance

Index

Index

Chapitre

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Index I

MSP

Capabilité

Hypothèses

Etude de capabilité

Capabilités

Int. Confiance

Index

Capabilité

risque α, 5

sous contrôle, 5

stabilité, 5

Tolérance, 5

inférieure, LSL , Ti, 5

supérieure, USL,Ts, 5

Indice de capabilité

Cp

Cp capable, 17

définition, 16

exemple, 20

intervalle de confiance, 23

Intervalle de confiance Cp > Cp(ref ), 25

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MSP

Capabilité

Hypothèses

Etude de capabilité

Capabilités

Int. Confiance

Index

Index II

Cpk

Cpk capable, 19

définition, 18

Intervalle de confiance, 26

Intervalle de confiance Cpk > Cpk (ref ), 28

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