Étude de Capabilité des Processus et des Systèmes de Mesure

75.68

80.09

R

6.30

10.89

10.66

7.35

14.58

12.28

1

2

3

4

5

6

Table : Premiers ´echantillons

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MSP

11 d´ecembre 2016

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MSP

Capabilit´e

Hypoth`eses

Etude de capabilit´e

Capabilit´es

Int. Confiance

Index

Exercice

1. Etudier la stabilit´e, la maitrise statistique du processus ?

2. Calculer l’´etendue de chaque ´echantillon

3. Calculer la moyenne ¯x et l’´etendue de chaque ´echantillon R.

4. Calculer la moyenne des moyennes ¯¯x et l’´etendue moyenne ¯R.

5. Calculer une estimation de l’´ecart type (cid:98)σ = s = ¯R

6. Construire un histogramme de toutes les observations, ajouter la

densit´e d’une loi normale de moyenne ¯¯x et d’´ecart type s. Est ce

que la distribution des donn´ees est bien approxim´ee par une loi

normale.

d2(n=5)

7. Construire un diagramme de type ”probability plot”, doit-on

refuser l’hypoth`ese que les observations suivent une loi normale ?

8. Calculer P1 = Pr ([X < Ti ]), P2 = Pr ([X > Ts ]) ou

X ∼ N (¯¯x, s). En d´eduire la proportion moyenne de pi`eces

d´efectueuses. Si on fabrique un million de pi`eces quel sera le

nombre moyen de pi`eces d´efectueuses.

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Capabilit´e

Hypoth`eses

Etude de capabilit´e

Capabilit´es

Int. Confiance

Index

Exemple

Figure : Densit´e

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Histogram of X.vecteurX.vecteurDensity6570758085900.000.020.040.060.080.100.12MSP

Capabilit´e

Hypoth`eses

Etude de capabilit´e

Capabilit´es

Int. Confiance

Index

Exemple

Figure : Probability plot

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xprobability0.010.050.100.200.300.400.500.600.700.800.900.950.99657075808590llllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllnormal probability plotnormalmean 76.78sd 3.66AD 0.33pvalue 0.51MSP

Capabilit´e

Hypoth`eses

Etude de capabilit´e

Capabilit´es

Int. Confiance

Index

Exemple

Figure : Densit´e

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657075808590TiTsMSP

Capabilit´e

Hypoth`eses

Etude de capabilit´e

Capabilit´es

Int. Confiance

Index

Exemple

Figure : Carte xbar

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xbar Chartfor X[, variables]GroupGroup summary statistics1612192633404754616875828996727476788082llllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllLCL UCLCLllllNumber of groups = 100Center = 76.78358StdDev = 3.65546LCL = 71.87927UCL = 81.68789Number beyond limits = 1Number violating runs = 3MSP

Capabilit´e

Hypoth`eses

Etude de capabilit´e

Capabilit´es

Int. Confiance

Index

Capabilit´e des processus

Hypoth`eses

Etude de capabilit´e

Indices de capabilit´es

Intervalles de confiance

Paragraphe

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Capabilit´e

Hypoth`eses

Etude de capabilit´e

Capabilit´es

Int. Confiance

Index

Indice de capabilit´e Cp

On consid`ere un processus stable et sous-contrˆole contrˆol´e par

une mesure X avec un risque de premiere espece de α = 0.27%

On suppose que

(cid:73) la distribution de X peut ˆetre mod´elis´ee par une normale

de moyenne µ et d’´ecart type σ.

(cid:73) Ces mesures doivent satisfaire les sp´ecifications suivantes

Ti ≤ X ≤ Ts .

On appelle indice de capabilit´e Cp du processus contrˆole par X

Cp =

Ts − Ti

6σ

Si l’´ecart type est inconnu, on le remplace par une estimation

(cid:99)Cp =

Ts − Ti

6(cid:98)σ

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Capabilit´e

Hypoth`eses

Etude de capabilit´e

Capabilit´es

Int. Confiance

Index

Indice Cp

L’indice de capabilit´e est le rapport entre

(cid:73) la longueur Ts − Ti de l’intervalle de tol´erance [Ti , Ts ].

(cid:73) la longueur UCL − LCL = 6σ de l’intervalle de contrˆole

[LCL, UCL] d’une carte aux mesures avec un risque de

premiere espece α = 0.27%.

Cp =

Ts − Ti

6σ

=

90 − 66

87 − 69

=∼ 1.28

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Figure : Capabilite

TI= 66TS= 90LCL= 69UCL= 87mu= 78657075808590MSP

Capabilit´e

Hypoth`eses

Etude de capabilit´e

Capabilit´es

Int. Confiance

Index

Processus Cp-capable

D´efinition

On dit que le processus stable et sous-contrˆole ayant un indice

de capabilit´e Cp est Cp-capable si Cp ≥ 1, on peut le qualifier

de

2 ≤ Cp

4/3 <≤ Cp2

1.0 ≤ Cp < 4/3

Cp < 1

tr`es performant

bon

acceptable

inaceptable

Table : Qualification de la Cp-capabilit´e

Dans l’exemple pr´ec´edent la capabilit´e Cp est de 1.28, on peut

dire que le processus est acceptable.

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Capabilit´e

Hypoth`eses

Etude de capabilit´e

Capabilit´es

Int. Confiance

Index

Indice de capabilit´e Cpk

Avec les mˆemes hypoth`eses que pr´ec´edemment On appelle

indice de capabilit´e Cpk du processus contrˆole par X

Cpl =

µ − Ti

3σ

Cpk = min(Cpl , Cpu)

Ts − µ

3σ

Cpu =

= min(

µ − Ti

3σ

Ts − µ

3σ

)

Si µ, σ sont inconnus on les remplace des estimations

(cid:98)Cpk = min( (cid:98)µ − Ti

3(cid:98)σ

Ts − (cid:98)µ

3(cid:98)σ

)

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Capabilit´e

Hypoth`eses

Etude de capabilit´e

Capabilit´es

Int. Confiance

Index

Processus Cpk-capable

D´efinition

On dit que le processus stable et sous-contrˆole ayant un indice

de capabilit´e Cpk est Cpk -capable si Cpk ≥ 1, on peut le

qualifier de

capabilit´e

2.5 < Cp

2 ≤ Cp < 2.5

4/3 ≤ Cp < 2

1.0 ≤ Cp < 4/3

Cp < 1

intervalle

±7.5σ

qualit´e

excellent

tr`es performant ±6σ

±4σ

bon

±3σ

acceptable

trop de pi`eces d´efecteuses

inaceptable

Table : Qualification de la Cpk -capabilit´e

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Capabilit´e

Hypoth`eses

Etude de capabilit´e

Capabilit´es

Int. Confiance

Index

Exemple d´ecentrage

Une sp´ecification pour une longueur d’une monture est de

50mm ± 6mm La statistique de qualit´e longueur est suppos´ee

statistiquement maitris´ee et l’estimation de l’´ecart type est de

1.15mm. Par contre la moyenne va varier de 48.5 mm `a 53 mm,

le processus n’est donc pas stable. On va voir que les indices de

capabilit´es peuvent nous aider `a d´etecter ce changement.

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Capabilit´e

Hypoth`eses

Etude de capabilit´e

Capabilit´es

Int. Confiance

Index

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Capabilit´e

Hypoth`eses

Etude de capabilit´e

Capabilit´es

Int. Confiance

Index

Capabilit´e des processus

Hypoth`eses

Etude de capabilit´e

Indices de capabilit´es

Intervalles de confiance

Paragraphe

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Capabilit´e

Hypoth`eses

Etude de capabilit´e

Capabilit´es

Int. Confiance

Index

Intervalle de confiance de Cp

On consid`ere que l’on a processus stable contrˆol´e par par la

statistique X Si la statistique de contrˆole X peut ˆetre

mod´elis´ee par une loi normale de moyenne µ et d’´ecart type σ

alors un intervalle de confiance de niveau α de Cp est :

(cid:115)

(cid:99)Cp

χ2

(1−α)/2,n−1

n − 1

≤ Cp ≤ (cid:99)Cp

(cid:115)

χ2

1−(1−α)/2,n−1

n − 1

ou

(cid:73) χ2

(1−α)/2,n−1 est le quantile d’ordre (1 − α)/2 d’une loi du

χ2 `a n − 1 degr´es de libert´es.

(cid:73) (cid:99)Cp est estim´e `a partir de l’´ecart type d’´echantillonage s

fond´e sur n ´echantillons.

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Exemple

Capabilit´e

Hypoth`eses

Etude de capabilit´e

Capabilit´es

Int. Confiance

Index

On dispose d’une estimation du coeffient de capabilit´e de

(cid:99)Cp = 1.58 calcul´e `a partir de n = 20 ´echantillons. Calculer un

intervalle de confiance de niveau 95% de Cp.

(cid:73) 1 − α = 0.05. Il faut calculer les quantiles d’ordre

(1 − α)/2 = 2.5% et 1 − (1 − α)/2 = 97.5% d’une loi du

χ2 `a 19 degr´es de libert´es.

0.025,n−1 ∼ 8.9, χ2

χ2

0.975,n−1 ∼ 32.8

(cid:73) un intervalle de confiance de niveau α = 95% est de

(cid:113) 8.9

19 ,

(cid:113) 32.8

19 ] ∗ 1.58 On a donc 95 chances sur cent que le

[

vrai coefficient de capabilit´e Cp se trouve dans l’intervalle

[1.08, 2.076]

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Capabilit´e

Hypoth`eses

Etude de capabilit´e

Capabilit´es

Int. Confiance

Index

Valeurs minimales (cid:99)Cp

Cp(ref )

0.80

1.00

1.20

1.40

1.60

1.80

2.00

2.20

2.40

3.00

n=10

1.32

1.65

1.97

2.30

2.63

2.96

3.29

3.62

3.95

4.94

n=20

1.10

1.37

1.64

1.92

2.19

2.47

2.74

3.01

3.29

4.11

n=30

1.02

1.28

1.54

1.79

2.05

2.30

2.56

2.82

3.07

3.84

n=40

0.99

1.23

1.48

1.72

1.97

2.22

2.46

2.71

2.96

3.70

n=50

0.96

1.20

1.44

1.68

1.92

2.16

2.40

2.64

2.88

3.61

n=60

0.94

1.18

1.42

1.65

1.89

2.12

2.36

2.60

2.83

3.54

n=70

0.93

1.16

1.40

1.63

1.86

2.10

2.33

2.56

2.79

3.49

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

Table : Valeurs minimales de (cid:99)Cp requises pour avoir

H0(Cp > Cp(ref )) avec un risque de se tromper de moins de α = 5%

en fonction du nombre d’´echantillons.

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Capabilit´e

Hypoth`eses

Etude de capabilit´e

Capabilit´es

Int. Confiance

Index

Intervalle de confiance de Cpk

Soit un processus stable contrˆol´e par par la statistique X qui

ˆetre mod´elis´ee par une loi normale de moyenne µ et d’´ecart type

σ. En posant A =

2(n−1) alors une approximation

+ 1

(cid:114) 1

9n(cid:100)C 2

pk

qui de devient de plus en plus pr´ecise quand n devient

grand de l’ intervalle de confiance de niveau α de Cpk est

(cid:100)Cpk (1 − z1−(1−α)/2A) ≤ Cpk ≤ (cid:100)Cpk (1 + z1−(1−α)/2A)

(cid:73) z1−(1−α)/2 est le quantile d’ordre 1 − (1 − α)/2 d’une loi

normale centr´ee r´eduite

(cid:73) (cid:99)Cp est estim´e `a partir de l’´ecart type d’´echantillonage s

fond´e sur n ´echantillons.

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MSP

Exemple

Capabilit´e

Hypoth`eses

Etude de capabilit´e

Capabilit´es

Int. Confiance

Index

On dispose d’une estimation du coeffient de capabilit´e de

(cid:100)Cpk = 1.58 calcul´e `a partir de n = 20 ´echantillons. Les

tol´erances sont [740, 760], calculer un intervalle de confiance de

niveau 95% de Cpk .

(cid:73) 1 − α = 0.05. Il faut calculer le quantile d’ordre

1 − (1 − α)/2 = 97.5% d’une loi du normale centr´ee

r´eduite z0.975 ∼ 1.98.

(cid:73) A ∼ 0.169

(cid:73) un intervalle de confiance de niveau α = 95% est de

[1 − 1.98 ∗ 0.169, 1 + 1.98 ∗ 0.169] ∗ 1.58 = On a donc 95

chances sur cent que le vrai coefficient de capabilit´e Cpk se

trouve dans l’intervalle

[1.03, 2.06]

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MSP

Capabilit´e

Hypoth`eses

Etude de capabilit´e

Capabilit´es

Int. Confiance

Index

Cpk(ref)

0.80

1.00

1.21

1.40

1.60

1.80

2.00

1.34

2.50

3.00

4.00

n10

1.36

1.68

2.00

2.32

2.64

2.97

3.29

2.21

4.10

4.92

6.55

n20

1.13

1.40

1.66

1.93

2.20

2.48

2.75

1.84

3.43

4.11

5.47

n50

0.99

1.22

1.46

1.70

1.93

2.17

2.41

1.62

3.01

3.61

4.81

n100

0.93

1.15

1.37

1.60

1.82

2.05

2.28

1.52

2.84

3.41

4.54

n250

0.88

1.09

1.31

1.52

1.74

1.95

2.17

1.45

2.71

3.25

4.33

n500

0.86

1.07

1.28

1.49

1.70

1.91

2.12

1.42

2.64

3.17

4.23

n1000

0.84

1.05

1.25

1.46

1.67

1.88

2.08

1.39

2.60

3.12

4.16

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

Table : Valeurs minimales requises pour l’indice (cid:100)Cpk permettant

d’affirmer que le processus est Cpk -capable selon l’indice souhait´e

dans 95% des cas

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MSP

Capabilit´e

Hypoth`eses

Etude de capabilit´e

Capabilit´es

Int. Confiance

Index

Figure : (cid:100)Cpk minimale dans 95% des cas

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1.01.52.02.53.03.54.0123456CpkCpk.chapn10n20n50n100n250n500n1000MSP

Capabilit´e

Hypoth`eses

Etude de capabilit´e

Capabilit´es

Int. Confiance

Index

Index

Chapitre

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Index I

MSP

Capabilit´e

Hypoth`eses

Etude de capabilit´e

Capabilit´es

Int. Confiance

Index

Capabilit´e

risque α, 5

sous contrˆole, 5

stabilit´e, 5

Tol´erance, 5

inf´erieure, LSL , Ti, 5

sup´erieure, USL,Ts, 5

Indice de capabilit´e

Cp

Cp capable, 17

d´efinition, 16

exemple, 20

intervalle de confiance, 23

Intervalle de confiance Cp > Cp(ref ), 25

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31 / 34

MSP

Capabilit´e

Hypoth`eses

Etude de capabilit´e

Capabilit´es

Int. Confiance

Index

Index II

Cpk

Cpk capable, 19

d´efinition, 18

Intervalle de confiance, 26

Intervalle de confiance Cpk > Cpk (ref ), 28

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