Eleveur Télescopique - TD3

Étude cinématique de l'élévateur télescopique

Question 1 - Graphe des liaisons et cycles indépendants

Pour tracer le graphe des liaisons, nous recensons d'abord les classes d'équivalence (solides) et les liaisons qui les relient.

Solides : Il y a 6 solides au total : le bâti 0, la vis 1, le corps 2, la roue 3, la roue 4, et le porte-plateau 5. Remarque : le corrigé officiel indique n = 5 solides par erreur dans son décompte initial, mais le graphe qu'il dessine en montre bien 6.

Liaisons :

• L10 : Pivot (0 - 1)
• L30 : Hélicoïdale (0 - 3)
• L20 : Pivot glissant (0 - 2)
• L21 : Hélicoïdale (1 - 2)
• L32 : Pivot (2 - 3)
• L42 : Pivot (2 - 4)
• L52 : Pivot glissant (2 - 5)
• L54 : Hélicoïdale (4 - 5)
• L43 : Ponctuelle avec roulement sans glissement (3 - 4)

Il y a donc L = 9 liaisons pour n = 6 solides.

Nombre de cycles indépendants : La formule d'Euler pour déterminer le nombre de cycles (ou boucles) indépendants γ (à ne pas confondre avec la vitesse de rotation) est : γ = L - n + 1 γ = 9 - 6 + 1 = 4

Le graphe comporte bien 4 cycles indépendants.

Question 2 - Fermetures cinématiques

Pour chaque cycle, la composition des torseurs cinématiques donne une somme nulle. Pour alléger les notations (et en suivant la convention du corrigé), nous noterons γij la composante de rotation autour de l'axe z (en rad/s) et wij la composante de vitesse de translation le long de l'axe z (en mm/s).

Chaîne 0-1-2-0 : Torseur au point O2 : V(1/0) + V(2/1) + V(0/2) = 0

• Équation des rotations sur z : γ10 + γ21 - γ20 = 0
• Équation des vitesses sur y (induite par le bras de levier a2 entre N2 et O2) : a2 × γ20 = 0
• Équation des vitesses sur z : w21 - w20 = 0 (avec w21 = p1 × γ21 car L21 est hélicoïdale)

Chaîne 0-2-3-0 : Torseur au point O3 : V(2/0) + V(3/2) + V(0/3) = 0

• Équation des rotations sur z : γ20 + γ32 - γ30 = 0
• Équation des vitesses sur y (bras de levier a3 - a2) : (a3 - a2) × γ20 = 0
• Équation des vitesses sur z : w20 - w30 = 0 (avec w30 = p0 × γ30 car L30 est hélicoïdale)

Chaîne 2-4-5-2 : Torseur au point O5 : V(4/2) + V(5/4) + V(2/5) = 0

• Équation des rotations sur z : γ42 + γ54 - γ52 = 0
• Équation des vitesses sur y (bras de levier a5) : a5 × γ52 = 0
• Équation des vitesses sur z : w54 - w52 = 0 (avec w54 = p4 × γ54 car L54 est hélicoïdale)

Chaîne 2-3-4-2 : La liaison L43 impose un roulement sans glissement au point I.

• Équation des rotations sur z : γ43 + γ32 - γ42 = 0
• Condition de non-glissement : V(I ∈ 4/3) = 0. En décomposant par le solide 2 : V(I ∈ 4/2) - V(I ∈ 3/2) = 0 Calculons ces vitesses par transport depuis O4 et O3 : V(I ∈ 4/2) = V(O4 ∈ 4/2) + IO4 ∧ Ω(4/2) = 0 + (h·z - r4·x) ∧ (γ42·z) = r4 × γ42·y V(I ∈ 3/2) = V(O3 ∈ 3/2) + IO3 ∧ Ω(3/2) = 0 + (h·z + r3·x) ∧ (γ32·z) = -r3 × γ32·y On obtient donc : r4 × γ42 + r3 × γ32 = 0

Question 3 - Mobilité et paramètres cinématiques

Exprimons toutes les inconnues en fonction de la vitesse d'entrée γ10.

1. À partir de la chaîne 0-1-2-0 : Puisque a2 ≠ 0, l'équation (a2 × γ20 = 0) impose : γ20 = 0 On déduit de l'équation des rotations : γ10 + γ21 - 0 = 0, soit : γ21 = -γ10 La translation de 2 par rapport à 0 est donc : w20 = w21 = p1 × γ21 = -p1 × γ10

2. À partir de la chaîne 0-2-3-0 : Sachant que γ20 = 0, l'équation des rotations donne : γ32 = γ30 L'équation des vitesses donne w30 = w20 = -p1 × γ10. Comme L30 est hélicoïdale, w30 = p0 × γ30. On en déduit : γ30 = -(p1 / p0) × γ10 Et par conséquent : γ32 = -(p1 / p0) × γ10

3. À partir de la chaîne 2-3-4-2 : L'équation de roulement sans glissement (r4 × γ42 + r3 × γ32 = 0) permet d'isoler γ42 : γ42 = -(r3 / r4) × γ32 En remplaçant γ32 par sa valeur trouvée précédemment : γ42 = (r3 / r4) × (p1 / p0) × γ10

4. À partir de la chaîne 2-4-5-2 : Puisque a5 ≠ 0, l'équation (a5 × γ52 = 0) impose : γ52 = 0 L'équation des rotations (γ42 + γ54 - γ52 = 0) devient γ42 + γ54 = 0, soit : γ54 = -γ42 = -(r3 × p1) / (r4 × p0) × γ10 L'équation des vitesses donne w52 = w54. Comme L54 est hélicoïdale : w52 = p4 × γ54 = -p4 × (r3 × p1) / (r4 × p0) × γ10

Question 4 - Torseur cinématique du solide 5 par rapport à 0

Le torseur cinématique de 5 par rapport à 0 au point A quelconque s'obtient par composition : V(5/0) = V(5/2) + V(2/0)

Vecteur rotation Ω(5/0) : La composante sur z est γ50 = γ52 + γ20. Comme nous avons démontré que γ52 = 0 et γ20 = 0, le solide 5 n'est animé d'aucune rotation par rapport au bâti : Ω(5/0) = 0

Vecteur vitesse V(A, 5/0) : Le mouvement étant une translation pure, la vitesse est identique en tout point. Sa composante sur z est w50 = w52 + w20. En reprenant les expressions de la question précédente : w50 = [ -p4 × (r3 × p1) / (r4 × p0) × γ10 ] - [ p1 × γ10 ] En factorisant par -p1 × γ10 : w50 = -p1 × [ 1 + (r3 × p4) / (r4 × p0) ] × γ10

Question 5 - Sens des hélices et condition de synchronisation

Sens des hélices : Pour un fonctionnement correct de l'élévateur télescopique, les deux étages (le solide 2 et le solide 5) doivent se déployer dans le même sens simultanément. Cela signifie que les vitesses de translation w20 et w52 doivent avoir le même signe. Nous savons que : w20 = -p1 × γ10 w52 = -p1 × γ10 × [ (r3 × p4) / (r4 × p0) ] Pour que ces deux termes aient le même signe, il faut que le facteur multiplicatif [ (r3 × p4) / (r4 × p0) ] soit strictement positif. Les rayons r3 et r4 étant des grandeurs géométriques positives, cela impose que le rapport (p4 / p0) soit positif. Conclusion : Les pas p4 et p0 doivent avoir le même signe. Les liaisons hélicoïdales L30 et L54 doivent donc avoir le même sens d'hélice (toutes deux à droite ou toutes deux à gauche). Le pas p1 définira simplement le sens de rotation du moteur pour la montée.

Condition pour avoir w52 = w20 : Pour que le second étage (5 par rapport à 2) sorte à la même vitesse que le premier étage (2 par rapport à 0), on pose l'égalité : w52 = w20 -p1 × γ10 × [ (r3 × p4) / (r4 × p0) ] = -p1 × γ10 En simplifiant par (-p1 × γ10) de chaque côté, on obtient : (r3 × p4) / (r4 × p0) = 1 Ce qui donne la condition de conception finale : p4 = p0 × (r4 / r3)

Méthode

Face à un problème d'étude cinématique de chaînes fermées spatiales ou planes :

1. Graphe des liaisons : Identifiez scrupuleusement tous les solides (n) et toutes les liaisons (L). Appliquez la formule γ = L - n + 1 pour connaître le nombre d'équations de boucles à écrire. Attention aux erreurs de décompte des bâtis ou solides intermédiaires.
2. Choix des points de réduction : Pour écrire les fermetures (somme des torseurs = 0), réduisez tous les torseurs d'une boucle au même point. Choisissez un point stratégique (souvent le centre d'une des liaisons pivots ou hélicoïdales) pour annuler un maximum de termes de bras de levier.
3. Roulement sans glissement : C'est souvent l'équation clé qui lie les mouvements de deux branches. Traduisez-la toujours rigoureusement par l'égalité des vecteurs vitesse au point de contact, puis développez via la formule de Varignon (V(I) = V(O) + IO ∧ Ω).
4. Résolution en cascade : Cherchez d'abord les paramètres nuls (les projections hors axe de mouvement des pivots glissants) avant d'isoler les variables cinématiques et de remonter systématiquement vers la vitesse d'entrée du système.