Électromagnétisme

Ce matériel couvre les notions fondamentales de l’électrostatique, destinées aux étudiants en physique ou en sciences de l’ingénieur. Il présente les propriétés électriques de la matière, les différents types de charges, la notion de densité de charge, ainsi que la loi de Coulomb et son application pour calculer les forces électrostatiques entre charges ponctuelles.

Généralités sur les propriétés électriques de la matière

Charges électriques

Les phénomènes d’électrisation se manifestent dans la vie quotidienne, par exemple lorsqu’un bâton de verre ou de matière plastique est frotté avec un tissu, il peut attirer de petits objets légers comme des morceaux de papier. Ce phénomène est dû à l’apparition de charges électriques par frottement ou contact.

Les deux types de charges électriques :

• Charges positives (exemple : verre frotté avec un drap)
• Charges négatives (exemple : ébonite frottée avec un chiffon de laine)

Deux corps portant des charges de même signe se repoussent, tandis que des charges de signes opposés s’attirent.

Par convention, la charge portée par l’ébonite frottée est négative, celle portée par le verre frotté est positive. Un corps non chargé est dit neutre.

Charges électriques élémentaires

L’atome est constitué d’un noyau (protons et neutrons) entouré d’un nuage d’électrons. La charge élémentaire e = 1,6·10⁻¹⁹ C est la plus petite charge électrique isolable, portée par le proton (charge positive) et l’électron (charge négative).

Particule	Symbole	Masse (kg)	Charge électrique (C)
Électron	e⁻	9,1·10⁻³¹	-1,6·10⁻¹⁹
Proton	p	1,672·10⁻²⁷	+1,6·10⁻¹⁹
Neutron	n	1,674·10⁻²⁷	0

Neutralité électrique d’un corps

Un matériau constitué d’atomes liés par des liaisons moléculaires est électriquement neutre, car il comporte autant de charges positives que négatives.

Propriétés électriques de la matière

Électrisation d’un corps

Un corps peut être chargé électriquement par différents procédés :

• Par frottement : Lorsqu’un bâton de verre est frotté avec un drap, des électrons passent du verre vers le tissu. Le verre devient chargé positivement (déficit d’électrons) et le tissu chargé négativement (excès d’électrons).
• Par contact : Un corps neutre mis en contact avec un corps chargé peut acquérir une charge par transfert d’électrons.
• Par influence : Un corps chargé placé à proximité d’un corps neutre provoque une redistribution des charges sur ce dernier sans contact direct.

Le bâton de verre porte des charges positives immobiles, le drap des charges négatives.

Le bâton porte des charges négatives immobiles, la laine des charges positives.

Matériaux conducteurs et isolants

Les matériaux conducteurs (métaux) possèdent des électrons libres mobiles, ce qui permet à la charge électrique de se répartir sur toute leur surface. La densité d’électrons libres dans les métaux est de l’ordre de 10²⁷ par mètre cube.

Les matériaux isolants (plastiques, verre, bois, papier) ont des électrons fortement liés aux atomes, avec une densité quasi nulle d’électrons libres. La charge électrique excédentaire reste localisée là où elle est déposée.

Entre conducteurs et isolants, les semi-conducteurs ont une densité de porteurs libres intermédiaire, dépendant du dopage (exemple : silicium dopé avec bore ou azote).

Conservation de la charge électrique

Dans tout système isolé, la somme algébrique des charges électriques se conserve. Par exemple, lors d’une électrisation par frottement, la charge totale échangée entre deux corps est nulle : la charge positive sur l’un est compensée par la charge négative sur l’autre.

Densité de charges électriques

La charge électrique macroscopique Q d’un corps peut être modélisée comme une distribution continue de charges, caractérisée par une densité de charge qui dépend de la géométrie du corps :

• Densité volumique de charge r (rho) : charge par unité de volume (C/m³)
• Densité surfacique de charge s (sigma) : charge par unité de surface (C/m²)
• Densité linéique de charge l (lambda) : charge par unité de longueur (C/m)

Densité volumique de charge

Pour un volume V portant une charge totale Q uniformément répartie :

r = Q / V

Si la répartition n’est pas uniforme, la densité volumique r(M) au point M est définie par :

r(M) = dQ / dV

La charge élémentaire dans un volume élémentaire dV autour de M est :

dQ = r(M) dV

La charge totale est donnée par l’intégrale :

Q = ∫ r(M) dV (M ∈ V)

Densité surfacique de charge

Pour une surface S portant une charge totale Q uniformément répartie :

s = Q / S

Si la répartition n’est pas uniforme, la densité surfacique s(M) au point M est :

s(M) = dQ / dS

Charge élémentaire sur une surface élémentaire dS :

dQ = s(M) dS

Charge totale :

Q = ∫ s(M) dS (M ∈ S)

Densité linéique de charge

Pour un fil de longueur L portant une charge totale Q uniformément répartie :

l = Q / L

Si la répartition n’est pas uniforme, la densité linéique l(M) au point M est :

l(M) = dQ / dl

Charge élémentaire sur un segment élémentaire dl :

dQ = l(M) dl

Charge totale :

Q = ∫ l(M) dl (M ∈ L)

Modèle de la charge ponctuelle

Un système matériel portant une charge Q peut être assimilé à un point de l’espace si ses dimensions sont suffisamment petites, ce qui est fondamental en électrostatique.

Loi de Coulomb

La loi de Coulomb, établie en 1785, exprime la force électrostatique entre deux charges ponctuelles qA et qB situées en A et B :

F_A→B = K · (qA · qB / r_AB^2) · u_AB

où :

• r_AB est la distance entre A et B
• u_AB est le vecteur unitaire dirigé de A vers B
• K est la constante de proportionnalité, dans le vide :

K = 1 / (4πε₀) ≈ 9,10 × 10⁹ (SI)

ε₀ est la permittivité du vide.

Dans un milieu de permittivité absolue ε = ε₀ ε_r, la constante devient :

K_milieu = 1 / (4πε) = K / ε_r

La force est donc plus faible dans un milieu que dans le vide.

Le sens de la force dépend du signe des charges :

• Charges de même signe : force de répulsion
• Charges de signes opposés : force d’attraction

La force exercée par qB sur qA est égale et opposée à celle exercée par qA sur qB, conformément au principe des actions réciproques (3e loi de Newton).

Définition du coulomb : Deux charges ponctuelles de 1 C séparées par 1 m exercent une force de 9·10⁹ N l’une sur l’autre.

Principe de superposition

Pour un système de N charges ponctuelles q_i placées en A_i, la force résultante sur une charge q_k en A_k est la somme vectorielle des forces exercées par chaque charge q_i (i ≠ k) :

F_k = Σ_{i=1, i≠k}^N F_{A_i→A_k} 
    = (1 / 4πε₀) · q_k · Σ_{i=1, i≠k}^N q_i · (A_iA_k) / |A_iA_k|^3

Pour une distribution continue de charges, la somme devient une intégrale. Par exemple, pour une surface chargée S agissant sur une charge ponctuelle Q en M :

F(M) = ∫_S dF_P(M) = (1 / 4πε₀) · Q · ∫_S (dq · u_PM) / PM²

où dq = s(P) dS est la charge élémentaire portée par un élément de surface dS autour du point P.

Glossaire des termes clés

• Charge électrique : Propriété physique de la matière responsable des phénomènes électrostatiques, portée par les particules élémentaires comme l’électron et le proton.
• Densité volumique de charge (r) : Charge électrique par unité de volume (C/m³).
• Densité surfacique de charge (s) : Charge électrique par unité de surface (C/m²).
• Densité linéique de charge (l) : Charge électrique par unité de longueur (C/m).
• Électrisation : Processus par lequel un corps acquiert une charge électrique par frottement, contact ou influence.
• Conducteur : Matériau dans lequel les électrons libres peuvent se déplacer facilement, permettant la répartition de la charge sur toute la surface.
• Isolant (diélectrique) : Matériau dans lequel les électrons sont liés aux atomes, empêchant le déplacement des charges libres.
• Loi de Coulomb : Loi physique décrivant la force électrostatique entre deux charges ponctuelles.
• Permittivité du vide (ε₀) : Constante physique caractérisant le vide dans les phénomènes électrostatiques.
• Principe de superposition : La force résultante sur une charge est la somme vectorielle des forces exercées par toutes les autres charges.

Points clés à retenir

• Il existe deux types de charges électriques : positives et négatives, qui s’attirent ou se repoussent selon leur signe.
• La charge élémentaire e = 1,6·10⁻¹⁹ C est la plus petite charge isolable, portée par les électrons et protons.
• Les matériaux conducteurs permettent la mobilité des charges, les isolants non.
• La charge électrique totale d’un système isolé se conserve.
• La densité de charge peut être volumique, surfacique ou linéique selon la géométrie du corps chargé.
• La loi de Coulomb donne la force électrostatique entre deux charges ponctuelles, proportionnelle au produit des charges et inversement proportionnelle au carré de la distance.
• Le principe de superposition permet de calculer la force résultante dans un système de plusieurs charges.