Dynamique des Solides

Ce document traite de la dynamique des solides, un domaine fondamental de la mécanique appliquée aux ensembles matériels en mouvement. Il s’adresse aux étudiants en sciences industrielles et en mécanique, souhaitant approfondir les notions de torseurs cinétique et dynamique, d’énergie cinétique, de moment d’inertie, ainsi que les relations entre ces grandeurs dans un référentiel donné.

Cinétique

Principe de conservation de la masse

Un ensemble matériel (E) vérifie le principe de conservation de la masse si tout sous-ensemble (e) de (E) possède une masse constante au cours du temps :

m(e, t) = constante

Ce principe implique que, pour un champ vectoriel quelconque j défini en tout point P d’un ensemble matériel (E), on peut échanger la dérivation temporelle et l’intégration sur l’ensemble matériel :

d/dt ∫_E j(P, t) dm = ∫_E d/dt j(P, t) dm

La masse étant constante, cette propriété facilite les calculs d’intégrales temporelles sur des volumes, surfaces ou lignes.

Torseur cinétique d’un ensemble matériel

Le torseur cinétique d’un ensemble matériel (S) en mouvement dans un référentiel R, défini en un point A, est donné par :

{
CS R
(
/
)
} =
{
R = ∫S V(P/S/R) dm,
MA = ∫S AP ∧ V(P/S/R) dm
}

où :

• V(P/S/R) est la vitesse du point P du solide S par rapport à R,
• AP est le vecteur position de P par rapport à A,
• dm est la masse élémentaire.

La résultante cinétique est ainsi :

R = m · V(G/S/R)

avec m la masse totale de S et G son centre d’inertie.

Le torseur cinétique vérifie la relation caractéristique d’un torseur entre les moments en deux points A et B :

M_A = M_B + AB ∧ R

Torseur dynamique d’un ensemble matériel

Le torseur dynamique est analogue au torseur cinétique, mais remplace la vitesse par l’accélération :

{
DS R
(
/
)
} =
{
Rd = ∫S a(P/S/R) dm,
Md,A = ∫S AP ∧ a(P/S/R) dm
}

avec a(P/S/R) l’accélération du point P de S par rapport à R.

La résultante dynamique s’écrit :

R_d = m · a(G/S/R)

et le moment dynamique satisfait aussi la relation de torseur :

M_d,A = M_d,B + AB ∧ R_d

Relation entre les torseurs cinétique et dynamique

La dérivée temporelle du torseur cinétique donne le torseur dynamique :

d/dt {CS R} = {DS R}

Plus précisément, pour la résultante :

R_d = dR/dt

Pour le moment, la relation est :

dM_A/dt = M_d,A - V(A/S/R) ∧ R

Cas particuliers :

• Si A est fixe dans R, alors dM_A/dt = M_d,A
• Si A = G (centre d’inertie), alors V(A/S/R) = V(G/S/R) et la relation s’adapte en conséquence.

Énergie cinétique

L’énergie cinétique T d’un ensemble matériel (S) en mouvement par rapport à R est :

T = ½ ∫_S ||V(P/S/R)||² dm

Moment d’inertie d’un solide

Définitions

Soit un axe D défini par un point O et un vecteur directeur unitaire i. Le moment d’inertie I_D du solide (S) par rapport à cet axe est :

I_D = ∫_S (distance minimale de P à D)² dm

La distance minimale entre un point P et l’axe D est notée PPH, avec :

PPH = ||OP ∧ i||

En coordonnées dans un repère (O, x, y, z), avec i = (a, b, g), on a :

PPH² = ||OP||² - (OP · i)² = x² + y² + z² - (a x + b y + g z)²

En développant et intégrant sur tout le solide, on obtient :

I_D = a² A + b² B + g² C + 2 b g E + 2 a b D + 2 a g F

avec :

• A = ∫ y² + z² dm
• B = ∫ x² + z² dm
• C = ∫ x² + y² dm
• D = -∫ x y dm (produit d’inertie)
• E = -∫ x z dm (produit d’inertie)
• F = -∫ y z dm (produit d’inertie)

Matrice d’inertie

L’opérateur d’inertie J_S,O est défini par :

J_S,O(u) = ∫_S OP ∧ (u ∧ OP) dm

Dans la base orthonormée (x, y, z), la matrice d’inertie est :

	x	y	z
x	A	-D	-E
y	-D	B	-F
z	-E	-F	C

Cette matrice est symétrique.

Moment d’inertie par rapport à un axe

Le moment d’inertie par rapport à l’axe D de vecteur directeur unitaire i s’écrit :

I_D = iᵗ · J_S,O · i

Base principale d’inertie

La base principale d’inertie est la base orthonormée dans laquelle la matrice d’inertie est diagonale :

J_S,O = diag(A, B, C)

Les axes de cette base sont appelés axes principaux d’inertie, et A, B, C les moments principaux d’inertie.

Propriétés de symétrie et matrice d’inertie

Si le solide possède un plan de symétrie, les produits d’inertie associés à ce plan sont nuls. Par exemple, pour un plan de symétrie (Oxy) :

E = F = 0

La matrice d’inertie prend la forme :

	x	y	z
x	A	-D	0
y	-D	B	0
z	0	0	C

Pour un solide de révolution autour de l’axe Oz, la matrice est diagonale avec :

A = B ≠ C

Différents moments d’inertie

• Moment d’inertie par rapport à un point A : I_A = ∫ ||AP||² dm
• Moment d’inertie par rapport à un plan p : I_p = ∫ d(P, p)² dm

Ces moments sont toujours positifs et homogènes à kg·m².

Relations fondamentales entre moments d’inertie

Les moments d’inertie par rapport aux plans et axes du repère sont liés :

• I_O = I_Oxy + I_Oxz + I_Oyz
• A + B + C = I_Oxy + I_Oxz + I_Oyz

Théorème de Huygens généralisé

Ce théorème relie la matrice d’inertie en un point O à celle en son centre d’inertie G :

J_S,O = J_S,G + m · [||OG||² I₃ - OG ⊗ OG]

où I₃ est la matrice identité 3×3, OG le vecteur position de G dans O, et ⊗ le produit tensoriel.

Exemple d’application du théorème

Si l’on connaît la matrice d’inertie en G et la masse m, on peut calculer la matrice en O en ajoutant la contribution liée au déplacement OG.

Moment cinétique d’un solide

Le moment cinétique d’un solide (S) en mouvement dans un repère R, en un point A, est :

M_A = ∫_S AP ∧ V(P/S/R) dm

En utilisant la décomposition :

AP = AG + GP

et en extrayant la vitesse V(A/S/R) indépendante de P, on obtient :

M_A = J_S,A · Ω + m AG ∧ V(A/S/R)

où Ω est le vecteur vitesse de rotation du solide, et J_S,A la matrice d’inertie en A.

Glossaire des termes clés

• Ensemble matériel (E) : ensemble de points matériels formant un solide ou un système.
• Torseur cinétique : couple résultante et moment cinétique d’un solide en mouvement.
• Torseur dynamique : couple résultante et moment dynamique, liés aux accélérations.
• Centre d’inertie (G) : point représentant la position moyenne pondérée par la masse.
• Moment cinétique : moment du vecteur quantité de mouvement par rapport à un point.
• Moment dynamique : moment du vecteur force dynamique (masse × accélération) par rapport à un point.
• Moment d’inertie : mesure de la répartition de la masse par rapport à un axe, exprimée par un scalaire ou une matrice.
• Matrice d’inertie : matrice symétrique représentant l’opérateur d’inertie dans une base donnée.
• Produit d’inertie : termes hors diagonale de la matrice d’inertie, liés à la géométrie du solide.
• Base principale d’inertie : base dans laquelle la matrice d’inertie est diagonale.
• Théorème de Huygens : relation entre matrices d’inertie en deux points différents.
• Énergie cinétique : énergie liée au mouvement d’un solide, intégrale de ½ m v².

Points clés à retenir

• Le principe de conservation de la masse permet d’échanger dérivation temporelle et intégration sur un solide.
• Le torseur cinétique associe la résultante des vitesses et le moment cinétique d’un solide.
• Le torseur dynamique est la dérivée temporelle du torseur cinétique, remplaçant vitesses par accélérations.
• La relation entre moments cinétique et dynamique inclut un terme en produit vectoriel lié à la vitesse du point de calcul.
• Le moment d’inertie mesure la répartition de la masse par rapport à un axe et s’exprime via une matrice d’inertie.
• La base principale d’inertie diagonalise la matrice d’inertie, simplifiant les calculs.
• Les propriétés de symétrie du solide simplifient la matrice d’inertie en annulant certains produits d’inertie.
• Le théorème de Huygens permet de passer de la matrice d’inertie en un point à celle en un autre point.
• Le moment cinétique s’exprime en fonction de la matrice d’inertie et de la vitesse de rotation du solide.