Sciences Indusrielles
Dynamique des solides
Mécanique - Dynamique
MECANIQUE
DYNAMIQUE DES SOLIDES
1
Cinétique
1.1 Principe de conservation de la masse
Enoncé du principe : Un ensemble matériel (E) vérifie le principe de conservation de la masse si
tout sous ensemble (e) de cet ensemble matériel (E) a une masse m(e) constante au cours du temps
Ce qui donne avec une écriture mathématique :
( ) ) ( eEt m e
,
=
( )
constante
Remarque : Ce modèle (principe) n’est plus vérifié dans le modèle de mécanique relativiste.
Conséquence pratique pour nos applications futures : Soit
);P t
r j
(
un champ quelconque de vecteur défini et différentiable en tout point P d’un ensemble
matériel (E) qui vérifie le principe de conservation de la masse. Alors on peut écrire la relation suivante :
d dtdt
r j PEP E
(
) Ptdmdm
,
=
r ( dP t j
),
La masse étant constante au cours du temps, on peut à souhait rentrer ou sortir les dérivées par rapport au temps des intégrations sur les ensembles matériels (intégration sur des volumes, des surfaces ou des lignes)
Rappel : Un champ de vecteur est une répartition (fonction) de vecteurs en tout point de
l’espace.
1.2 Torseur cinétique d’un ensemble matériel
Définition :
On appelle torseur cinétique d’un ensemble matériel (S) en mouvement dans un référentiel d’étude R, et on note : { CS R ( / quelconque de l’espace de la façon suivante : uurur ( RSRVPS Rdm / C P S
, le torseur défini en un point A
} )
=
)
(
)
/
{ CS R / (
} )
= í
uuruuurur ( s / A
)
=Ù
( SRAP V P SRdm P S
A
)
/
Avec dm la masse élémentaire. En générale pour un volume homogène (constitué du même matériaux sur tout son volume : l’ensemble matériel et dv un volume élémentaire de cet ensemble matériel.
avec r la masse volumique du matériaux constituant
dmdv r=
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" Î " Î é ù ê ú ë û ò ò
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F
F
)
uur ( CRS R / rapport à R. uur ) ( s A S R / rapport à R.
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Mécanique - Dynamique
est la résultante cinétique de l’ensemble matériel S dans son mouvement par
est le moment cinétique en A de l’ensemble matériel S dans son mouvement par
Déterminons la résultante cinétique :
On reprend la définition de cette résultante : uurur ( RSRVPS Rdm // P S
=
(
)
)
C
uur ( CRS R /
)
Or d’après la définition du vecteur
uuur dOP dt
vitesse :
ur V P S R
(
/
) = ê
uur ( RSRdm / C
)
=
uuur dOP dt
R
P S
avec O, l’origine du repère d’étude R. Donc on a :
R
. Or d’après le principe de conservation de la masse, on peut sortir la
dérivation par rapport au temps de l’intégrale, ce qui nous donne l’écriture suivante :
uur ( RS R / C
)
=
uuur
dOPdm P S
dt
÷
Or la définition du centre d’inertie G d’un ensemble matériel (E)
étant :
uuuruuur = ò mOGOPdm P S
uur ) ( RSR m C
/
=
uuur dOG dt
R
, on trouve l’expression suivante pour la résultante cinétique :
R
Soit :
uurur ( ) CRSRmVG S R
=
/
( /
)
avec m la masse totale de l’ensemble matériel (S) et G son centre d’inertie.
Vérifions que ce champ de vecteur est bien un torseur : Nous devons vérifier que le champ de vecteur défini ci-dessus a bien une structure de torseur, c’est à dire que nous devons retrouver la relation caractéristique d’un torseur qui relie les moments de ce torseur en deux points quelconque de l’espace.
On considère donc 2 points A et B quelconque de l’espace. On part de la définition énoncée ci- dessus du moment cinétique en A de l’ensemble matériel S dans son mouvement par rapport au repère d’étude R : uuruuurur ( s / A uuruuuruuurur ( ) s
( SRAP V P SRdm P S
. D’après la relation de Chasles, on peut écrire :
=+
=Ù
)
)
)
(
/
/
A
/
SRABBPV P SRdm P S
uuururuuurur ( ) BP V P SRdmAB V P SRdm
=Ù
Î+Ù
( 14444244443 PSP S (
)
S R /
uur s
/
B
)
/
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Î
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, ne dépendant pas du point d’intégration courant P, on peut le sortir de l’intégrale
A
//
Dynamique des solides uuur Or le vecteur AB ainsi que le produit vectoriel. On trouve donc la relation suivante : uuruuruuurur ) ( s
) s =+Ù SRSRABVPS Rdm
/ 144424443 P S uur ( R S R C uuur torseur : Moment en A = Moment en B + AB s=+ SRSRAB RS R
uuruuruuuruur ) ( s
//
(
(
)
)
)
/
/
B
A
B
C
vectoriel la résultante du torseur : (
)
(
. Soit la relation caractéristique d’un
Remarque : On verra plus tard dans le cours comment déterminer (autrement que par intégration) le moment cinétique (en un point A quelconque) d’un ensemble matériel (S) dans son mouvement par rapport à un référentiel d’étude R :
( A S R /
)
uur s
Bilan : Le torseur cinétique est bien un torseur qui s’écrit : uurur ) ( = = RSRVP S / C
) Rdm
(
/
{ CS R / (
} )
= í
P S
uuruuurur ( s / A
)
=Ù
( SRAP V P SRdm P S
relation :
A uuruuruuurur ( ) s SRSRABmVG S R B
s=+Ù
//
)
(
A
/
(
ur ( mV G
)
S R /
)
/
)
, donc on peut écrire la
1.3 Torseur dynamique d’un ensemble matériel
Le torseur dynamique est semblable au torseur cinétique mais au lieu de « parler » de vitesse, on parle d’accélération. Il suffit donc de replacer les vitesses des points courants P dans la définition du torseur cinétique par les accélérations de ces mêmes points courants P pour obtenir la définition du torseur dynamique. On obtient ainsi :
Définition :
On appelle torseur dynamique d’un ensemble matériel (S) en mouvement dans un référentiel d’étude R, et on note : { DS R ( / quelconque de l’espace de la façon suivante : uurur ( RSRPS Rdm /
, le torseur défini en un point A
} )
=G
)
)
(
/
D
{
DS R ( /
} )
= í
uur d
(
A
P S uuurur
=Ù SRAPPS Rdm
/
)
(
)
/
A
P S
Avec dm la masse élémentaire. En générale pour un volume homogène (constitué du même matériaux sur tout son volume : l’ensemble matériel et dv un volume élémentaire de cet ensemble matériel.
avec r la masse volumique du matériaux constituant
dmdv r=
F
)
uur ( DRS R / rapport à R.
est la résultante dynamique de l’ensemble matériel S dans son mouvement par
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" Î " Î ì ü Î ï ï ï ï ý G Î ï ï ï ï î þ ò ò
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est le moment dynamique en A de l’ensemble matériel S dans son mouvement
uur d F par rapport à R.
( A S R /
)
Déterminons la résultante dynamique :
On reprend la définition de cette résultante :
)
uur ( DRS R / uurur ( RSRPS Rdm //
=G
)
D
définition du vecteur accélération
ur
(
= PS R /
)
P S
ur
( dVPS R
dt
uur ( RSRdm / D
)
=
ur
( dVPS R
/
)
P S
dt
R
(
)
/
)
Or d’après la
on a :
R
. Mais d’après le principe de conservation de la masse, on
peut sortir la dérivation par rapport au temps de l’intégrale, ce qui nous donne l’écriture suivante :
uur ( RSR D
/
)
==
ur ( dV P S Rdm / = dtdtdt
P S
)
÷
uurur ( C
dRSRdVG S R /
)
m
(
)
/
R
R
R
Avec G centre d'inertie de l'ensemble matériel (E). D’où : uurur ) ( ) ( DRSR mG S R
=G
/
/
Soit :
uurur ( ( ) DRSR mG S R
=G
/
)
/
avec m la masse totale de l’ensemble matériel (S) et G son centre d’inertie.
Vérifions que ce champ de vecteur est bien un torseur : Nous devons vérifier que le champ de vecteur défini ci-dessus a bien une structure de torseur, c’est à dire que nous devons retrouver la relation caractéristique d’un torseur qui relie les moments de ce torseur en deux points quelconque de l’espace.
On considère donc 2 points A et B quelconque de l’espace. On part de la définition énoncée ci- dessus du moment dynamique en A de l’ensemble matériel S dans son mouvement par rapport au repère d’étude R : uur ) d uur d
. D’après la relation de Chasles, on peut écrire :
=Ù SRAPP SRdm
uuuruuurur
uuurur
=+Ù
P S
(
(
)
(
(
)
)
/
/
/
A
A
/
SRABBPP SRdm P S
=Ù
Î+Ù
uuururuuurur BPP SRdmABP SRdm
( 14444244443 PSP S (
)
)
/
S R /
uur d
B
(
)
/
uuur Or le vecteur AB ainsi que le produit vectoriel. On trouve donc la relation suivante :
, ne dépendant pas du point d’intégration courant P, on peut le sortir de l’intégrale
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Î
" Î G Î ò " Î " Î " Î é ù G Î ë û G G Î ò ò ò
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Dynamique des solides
uuruur ( d
A
d =+ SRSRABPS Rdm
//
B
)
(
uuurur
)
)
(
/ 144424443 P S uur ( RS R / D
)
uuur Moment en A = Moment en B + AB
uuruur ( d
A
vectoriel la résultante du torseur : ) )
uuuruur /
d=+ SRSRAB RS R
//
)
(
(
B
D
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. Soit la relation caractéristique d’un torseur :
Bilan : Le torseur dynamique est bien un torseur qui s’écrit : )
uurur ( RSRPS Rdm /
=G
=
)
(
/
D
ur ( mG S
)
/
R
{
DS R ( /
} )
= í
uur d
P S
(
A
S R /
)
=Ù
uuurur ( APRdm P
S
/
)
, donc on peut écrire la
A
relation :
uuruur ( d
A
( SRSRAB m GS R B
d=+Ù
//
)
Publicité
)
(
)
P S uuurur /
1.4 Relation entre les torseurs cinétique et dynamique
On a vu que les définitions des torseurs cinétique et dynamique étaient très semblables. La seule différence est que l’on « parle » de vitesse dans le torseur cinétique et d’accélération dans le torseur dynamique. Or il y une relation de dérivation entre la vitesse et l’accélération. On s’attend donc à retrouver cette relation de dérivation entre les composantes (résultante et moment) des torseurs cinétique et dynamique.
Rappelons ce que l’on a déjà démontré sur les résultantes des torseurs cinétique et dynamique :
uurur ( ) ( CRSRmVGS R= / uurur ( ( ) DRSR mG S R / ( dVGS R
ur
=G
/
/
/
) ) )
ur
(
Or
= G S R
/
)
dt
R
. D’après le principe de conservation de la masse, celle-ci
est constante au cours du temps, donc on peut écrire :
uur ( RS R / D
)
= ê
uur ( dRS R C dt
/
)
R
Ce résultat n’est pas de première importance puisque l’on sait calculer aussi bien la vitesse que l’accélération d’un centre d’inertie. On se rend cependant compte de ce caractère de dérivation entre les composantes des torseurs cinétique et dynamique.
Qu’en est-il sur les moments ?
On part de la définition du moment dynamique de (S/R) en un point A quelconque : uur d
=Ù SRAPP SRdm
et introduisons le fait que l’accélération est la dérivée de la
uuurur
(
)
)
(
/
/
A
P S
vitesse :
uur d
(
A
) SRAPdm
=
/
uuur
P S
ur
(
dV P S R
/
dt
)
R
. Or la dérivée d’un vecteur résultat d’un
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" Î G Î ò " Î é ù Î Ù ê ú ê ú ë û ò Sciences Indusrielles
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) dtdtdt r dvdu dtdtdt R
r u
Ù=
uur d
(
A
produit vectoriel est la même que la dérivée d’un produit de deux fonctions scalaires : )uvuvuv ( = r ( du v
, ce qui donne dans le cas du produit vectoriel : r
+
r
r dudv +
=Ù
r v
r u
, ce qui peut encore s’écrire :
R
r ( du v
R r
)
-
r
R
R
ur
(
/
dV P S R dt
) SRAPdm
=
/
uuur
P S
uuurur
( ( dAP V P S R /
dtdt
=-
PSP S
R
. Appliquons cette relation à notre moment dynamique :
r v
)
R
)
)
R
uuur dAP dmVPS Rdm
ur
(
)
/
R
Or d’après le principe de conservation de la masse énoncé au début du cours, on peut écrire :
uuurur
( dAP VPS R
(
P S
dtdt
)
)
/
uuurur
( dAP VPS Rdm
)
/
÷
dm
= ê
P S
R
uuur ( s dS R A dt
= ê
)
/
R
R
On trouve donc la relation entre moment dynamique et moment cinétique : uur d
uuur ( s dS R ) =- A SRVPS Rdm dtdt
uuur dAP
ur
(
)
(
)
/
/
/
A
R
P S
R
En introduisant l’origine du repère d’étude R notée O par Chasles entre les point A et P dans le uuuruuuruuuruuuruuur = = vecteur APAOOPOPOA uuuruuuruuur d APdOPdOA
+
, on trouve : urur ( ( VPSRV A S R /
)
, en injectant cela dans la relation
)
/
-=Î
=
dtdtdt R
R
R
trouvée ci-dessus, on obtient :
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¢ ¢ ¢
é ù Ù é ù é ù Ù ê ú ê ú ê ú ë û ë û ë û é ù Ù é ù é ù Ù ê ú ê ú ê ú ë û ë û ë û " Î " Î " Î é ù Î Ù ê ú ê ú ë û é ù Ù Î é ù ê ú Ù Î ê ú ê ú ë û ë û ò ò ò
" Î " Î é ù æ ö Ù Î ê ú ç é ù Ù Î ê ú è ø ê ú ú ê ú ê ú ë û ê ú ë û é ù ú ê ú ë û ò ò
" Î é ù é ù Ù Î ê ú ê ú ê ú ë û ë û ò
- é ù é ù é ù - Î ê ú ê ú ê ú ë û ë û ë û Mécanique - Dynamique
ururur (
)
(
)
(
)
urur ( V A SRVPS Rdm /
(
)
)
/
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uur d
(
A
R
R
/
/
/
/
)
)
)
)
=-
P S
///
=+Î
=+Î
uuur ( s dS R A SRVPSRV A SRVPS Rdm dt P S uuur ( s dS R A dt uuur ( s dS R A dt uuur ( s dS R A dt uuur ( s dS R A dt uuur ( s dS R A dt
=+Î
=+Î
=+Î
)
)
)
/
/
/
R
R
R
R
urur ( V A SRVPS Rdm / P S
)
(
)
/
÷
ur V A S R
(
/
)
uur ( RS R / C
)
urur ( ( V A SRmVGS R /
)
urur (
( mV A SRVGS R
)
/
)
)
/
/
Le moment dynamique en un point A de (S/R) n’est pas tout à fait la dérivée du moment cinétique en A de (S/R). Il ne faut pas oublier de rajouter le terme en produit vectoriel. : uuur ( ) sé uururur dS R ( A SRmV A SRVGS R / / d A dt
=+Î
)
(
)
)
(
/
/
R
Cas particuliers fréquemment rencontrés : Si le point où l’on calcule ces moments est :
c
c
ur ( ) = V A S R
(
/
Fixe dans R : A fixe dans R uuur ( sé dS R A dt
uur d A
S R /
= ê
)
(
)
/
R
urur ( ( ) = VGSRVGS R Le centre d’inertie G : A=G uuur ( ) sé dS R G dt
dérivation :
uur d G
S R /
= ê
//
(
)
/
R
r 0
)
( 0
, on a la relation de dérivation :
)
r
)
, on a la relation de
1.5 Energie cinétique
Définition : L’énergie cinétique d’un ensemble matériel (S) dans son mouvement par rapport au
repère R est le scalaire positif suivant :
) T SRVPSRdm
=
(
/
1 2 P S
ur
(
) 2
/
1.6 Moment d’inertie d’un solide
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ù Ù Î ê ú ê ú ë û
Î ù ú ê ú ë û
Î Ù Î ù ú ê ú ë û
" Î é ù Î ë û ò
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1.6.1
Définitions
Mécanique - Dynamique
r ( ,O i r r ROx y z , 0
Soit (
, 0
00
)
r un axe défini par un point O et un vecteur directeur unitaire i r
)
,
. Posons
r i
=
a
r x 0
+
b
r y 0
+
g
r z 0
r i =
1
avec
dans un repère
HP
r 0z
O
r 0x
r i
r 0y
P
S
Soit (S) un solide quelconque. Soit P un point courant du solide (S). On associé à chaque point P du solide (S), un point de D , noté HP tel que la distance entre P et HP soit minimale : uuuuur PPH
minimale
Soit (x, y, z) les coordonnées de P dans le repère R0 :
uuur r + = OPxxyyz z 0
r 0
+
r 0
Définition : Le moment d’inertie du solide (S) par rapport à l’axe D
est le scalaire positif
homogène à des
.K g m :
2
) ( D = ISPHdm /
P S
uuuuur P
2
Ces moments d’inertie correspondent à la somme (intégrale) des distances minimales des points du solide à l’axe au carré Ce scalaire est aussi noté ID
et une autre définition équivalente pourrait être :
) ( D= ISdPdm /
(
;
)2
P S
soit la somme sur tout le solide (S) des distances minimales des
points du solide à l’axe D
au carré
r En se plaçant dans le plan passant par le point courant P et les deux vecteurs i tracer la figure ci-dessous :
uuur et OP
, on peut
r i
O
HP
P
On remarque que : uuuuuruuuruuur r ( = sin ; PPHOPiOP
) ( r sin ;
)
uuuruuurr OPiiOP uuur r iOP
=
=
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Ó
D
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" Î D ò
D
Ù
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r Ù= iOPy
uuur Ù=
Or
ab
xz g
y
x bg ga
z a zy b
x
uuuuuruuur r 2 =Ù= PPHiOPzyxzy
on obtient :
(
2 -+-+ x
bggaa uuuuur ( =+++++- 22222222 PPHyzxzxzxyxzyz
a
2
Mécanique - Dynamique
, donc :
22
)
(
b
)
2
(
)
)
2
( bgabagbg
)
(
. En développant cette expression, )
.
2
2
Publicité
2
Ensuite, en intégrant cette expression sur tout le solide (S), on obtient l’expression du moment d’inertie de (S) par rapport à l’axe D
( ( ISyzdmxzdmxydmxydmxzdmyzdm
D=+++++- ,2
22222222
2 2
a
)
)
2 bgabagbg
(
(
)
: )
PSPSPSPSPSP S
On note les intégrales figurant dans l’expression ci-dessus avec les lettres A, B, C, D, E et F de la façon suivante : ( + = Ayzdm P S
= Cxydm P S
= Bxzdm P S
et
+
+
)
(
)
)
(
,
,
2
2
2
2
2
2
= ò Dxydm P S
,
= ò Exzdm P S
et
= ò Fyzdm P S
Définitions : A est le cas particulier avec
r
r
0
0
b
r ,O x
g= = , soit quand iOx= ) a g= = , soit quand iOy= r ) ,O y = , soit quand iOz= r ,O z
d’inertie de (S) par rapport à l’axe ( B est le cas particulier avec d’inertie de (S) par rapport à l’axe ( a b= C est le cas particulier avec d’inertie de (S) par rapport à l’axe ( D, est appelé produit d’inertie par rapport aux axes ( E, est appelé produit d’inertie par rapport aux axes ( F, est appelé produit d’inertie par rapport aux axes (
0
)
r
r ,O y r ,O x r ,O x
) et ( et ( ) et ( )
r ) ,O z r ) ,O z r ) ,O y
r
r
, A est donc le moment
, B est donc le moment
r
, C est donc le moment
1.6.2
Matrice d’inertie d’un solide
Commençons par définir l’opérateur d’inertie d’un solide (S) en un point O : Définition :
L’opérateur d’inertie d’un solide (S) en un point O est l’opérateur qui à tout r vecteur u
fait correspondre le vecteur :
(
)
r
uuruuuruuurr ( ) JSuOPuOPdm , P S
=Ù
O
Constituons la matrice composée de l’opérateur d’inertie appliqué aux trois vecteurs de la base orthonormée d’étude, c’est à dire aux trois vecteurs du repère d’étude : ( (
r r r x y z 0 0 0
. Soit la
)
)
)
;
;
matrice :
uuruuruuurr ( ) JSy JSx ,;,; 0 O
r ( JS z , 0 O
r 0
:
O
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" Î Ù ò
é ù ë û Sciences Indusrielles
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Mécanique - Dynamique
Commençons par déterminer cet opérateur d’inertie appliqué à
r 0x
puis à
r 0y
r et à 0z
: Soit P le point
courant du solide (S) de coordonnées (x, y, z) soit :
uuur r = OPxxyyzz 0
+
r 0
+
r y 0
=
uuruuuruuurr ( ) JSxOP , O
0
Ù=Ù
=Ù xOPdmyydmyzdm
Ù=Ù
(
r 0
PSPSP S
)
xx
zzz
ç÷ç ç÷ç ç÷ç
1 0 0
y
x
÷ ÷ ÷
(
r r r x y z ; ; 0 0 0
)
0
x
z
uur JS O
(
r x 0
)
,
=-=
(
2
y
+
2
z
)
(
+ 2 yzdm
2
)
P S
= xydmxydm xz
PSP S
F
A
E
xz
m d
P S
De la même façon :
uur J O
(
r S y , 0
)
=Ù
Ù=Ù
Ù=+
uuuruuur r ) ( = OP yOPdmyydmx 0
PSP S
uur J O
(
r 0
)
Sz ,
=Ù
Ù=Ù
Ù=-
uuuruuur r ( OP
) zOPdmyydmyzd 0
=
PSP S
z
x
z
x
z
0
1
0
0
0
1
x ÷ ÷ ÷ z
x ÷ ÷ ÷ z
xydm
P S
2
(
)
2
dm
P S
F
B
et :
D
dm z y
xzdm
P S
P S
m
)
P S
+ 2 yzdm
2
(
E
D
C
On obtient ainsi la matrice d’inertie de (S) en 0 dans la base ( E
F
A
P S r r r x y z 0 0 0
;
;
)
notée :
( ISFB O
)
D r r r ; x y z ; 0 0 0
(
)
=-
ED C
(
r x 0
r y 0
;
r z 0
)
;
dont on remarque qu’elle est symétrique
Expression du moment d’inertie d’un solide (S) par rapport à un axe
D =
(
r ),O i
:
Dans le repère d’étude :
r ROx y z ; 0
(
; 0
r
00
r
;
)
On reprend la définition de ce moment d’inertie : uuuuuruuur uuuuur 2 ù = PPHiOP P
( = D= ISIPHdm D /
or
)
2
r
2
. Donc on peut écrire ce moment
P S
d’inertie de la façon suivante :
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Ó
" Î " Î " Î " Î " Î " Î " Î æ ö æ ö - è ø è ø - - - - - ò ò ò ò ò ò ò
" Î " Î " Î " Î " Î - æ ö ç ç ç è ø - - - ò ò ò ò ò " Î " Î " Î " Î " Î - æ ö ç ç ç è ø - - ò ò ò ò ò
- - é ù ê ú é ù - ë û ê ú ê ú - - ë û
" Î é ù ë û ò é ù é Ù ë û ë û Sciences Indusrielles
Dynamique des solides
uuuruuuruuur r rr 2 IiOPdmiOP iOPdm
=Ù=Ù
PSP S
.
{ { r a
r b
permutation circulaire du produit mixte : ( expression de ce moment d’inertie : uuuruuuruuuruuuruuuruuur rrrr Ù=Ù Ù=Ù IiOP iOPdmiOP iOPdmiOP { { r r a b PSPSP S
.. 14243 r c
=Ù
r
Mécanique - Dynamique
14243 r c rr ) rrrrr r ) Ù=Ù= a bccabb c a
r (
.
r
iOPdm .
(
)
. En utilisant la propriété d’invariance par
(
.
)
.
, on obtient la nouvelle
( 14444244443 r r ); ( JS i O
)
On trouve donc la relation :
urr D == .; IiJSiI S O
(
r
)
;
(
)
Intéressons nous désormais à l’expression de la matrice d’inertie en O appliquée au vecteur directeur unitaire de D (on obtient ici un vecteur). Le tout en produit scalaire avec ce vecteur directeur r unitaire : i
. Soit le calcul suivant :
r , soit i
r r ) . i
(
.
( ) OI S i
(
(
S
)
I
O
r r ) . iiFBDF
=
A -=-
D
FEA +
.
B
F
+ EDCE
(
rr rrrrrrrrr ;;;;;;;;; yzx yzx x 0 000 000 000 000 0 0
r ) ; yzx
yzx
y
z
rr
D
C
)
(
)
(
S
=
OI
r r ) .2 iiA
+ 2 2 BCF a
( pour le moment d’inertie du solide (S) par rapport à l’axe D On a donc le résultat pratique suivant :
gabagbg
+- E 2
D
b
2
2
E aaa ÷ ÷ bba ÷ ÷ gga
(
bg
bg
bg )
r
a
b
.
g
)
(
(
)
soit l’expression trouvée plus haut
.
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Ó
D " Î " Î é ù é ù é ù Ù ê ú ë û ë û ë û ò ò Ù D " Î " Î " Î é ù é ù é ù é ù Ù ê ú ë û ë û ë û ë û ò ò ò
D
é ù ë û
æ ö - - - - é ù ç ê ú é ù - - ç ë û ê ú ç ê ú - - - - ç ë û è ø
é ù - - ë û Sciences Indusrielles
Dynamique des solides
Mécanique - Dynamique
Le moment d’inertie d’un solide (S) par rapport à un axe
D =
(
r ); Oi
r
i étant un vecteur
r directeur de D est le produit scalaire entre le vecteur directeur unitaire i r vecteur obtenu en appliquant i r que tout soit décomposé dans la même base de l’espace ( i
à la matrice d’inertie de (S) en O. A la condition bien sûr
et la matrice d’inertie en O) :
de cet axe et le
(
(
S
)
OI
r r ). i i
=
ID
1.6.3
Base principale d’inertie
Définitions :
La base principale d’inertie du solide (S) est la base orthonormée directe pour laquelle la matrice d’inertie de(S) est diagonale. On la note en général avec des indices 1 :(
r r r x y z ; 1 1 1
)
;
(
IS O
) ù =
A 1 B 0 0
0
1 0
0
0 C 1
(
r r r x y z ; ; 1 1 1
)
;
r r r ) ; x y z 1 1 1 r ) ( OxOyOz 1
;
F ( F ( F 1
est la base principale d’inertie (orthonormée directe) du solide (S) r 1
sont les axes principaux d’inertie du solide (S)
r 1
;
)
)
(
A B C sont donc les moments principaux d’inertie du solide (S)
;
; 1
1
Propriétés de symétrie du solide (S) et matrice d’inertie: Cas d’un plan de symétrie : rr )Oxy Soit (S) un solide ayant un plan de symétrie : par exemple ( . Cela signifie qu’à tout point M de (S) ayant comme coordonnées ( symétrique par rapport au plan de symétrie ( Alors on peut écrire : = xzdmxzdm
yzdmyzdm
rr )Oxy
et
E
=
=
Publicité
0
x y z correspond son , . Soit le point M’ de coordonnées (
xy ,
,
,
z-
)
.
)
=
D
0
.
PSP S z 0
z
0
PSP S z 0
z
0
c La matrice d’inertie de ce solide (S) admettant le plan (
rr )Oxy
comme plan de symétrie est
donc de la forme :
( ISF O
) ù = - B
A
0
F
0
0
0 C
(
r r r ; x y z ;
)
Par analogie : on obtient dans le cas des autres plans de symétrie du repère d’étude :
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Ó
é ù ë û
é ù ê ú é ë û ê ú ê ú ë û
" Î " Î ³ £ Þ - ò ò
" Î " Î ³ £ Þ - ò ò - é ù ê ú é ë û ê ú ê ú ë û
Sciences Indusrielles
Dynamique des solides c Dans le cas où (S) admet le plan ( A
rr )Oxz 0
(
) ù =
IS O
alors de la forme :
0 0 E rr )Oxz c Dans le cas où (S) admet le plan (
B
Mécanique - Dynamique
comme plan de symétrie ; la matrice d’inertie est
E
0 C
(
r r r ; x y z ;
)
comme plan de symétrie ; la matrice d’inertie est
alors de la forme :
r z
Cas d’un axe de symétrie :(solides de révolution) r )Oz Si le solide (S) admet ( révolution (voir figure ci-contre), alors tout plan contenant l’axe de symétrie est un plan de et ( symétrie. Soit ici, en particulier (
comme axe de
rr )Oxz
rr )Oyz
.
r x
O
r y
Donc d’après le résultat du paragraphe précédent (cas d’un plan de symétrie) ; on en conclut que la
matrice d’inertie de (S) est alors diagonale
(
IS O
) ù =
A
0
B 0 0
0
0
0 C
(
r r r ; x y z ;
)
, c’est à dire que la base
(
r r r ; x y z ;
)
est base principale d’inertie et que A, B et C sont les moments principaux d’inertie
1.6.4
Différents moments d’inertie
On vient de voir les moments d’inertie d’un solide (S) par rapport à un axe
D =
(
r ),O i
.
Ces moments d’inertie correspondent à la somme (intégrale) des distances minimales des points du solide à l’axe au carré. On peut reprendre cette interprétation de la définition mathématique et l’étendre à :
Ö La distance minimale par rapport à un point (on obtient alors une inertie par rapport à un
point) : Soit A un point de l’espace, la distance de A à un point courant P du solide (S) étant uuur AP
on a comme moment d’inertie de (S) par rapport au point A, la quantité
suivante :
= IAPdm A
P S
uuur
2
encore homogène à des
2 .K g m
Ö La distance minimale par rapport à un plan (on obtient alors une inertie par rapport à un
plan). Soit p notée ( ;
un plan de l’espace, la distance de p )
d P p on a comme moment d’inertie de (S) par rapport au plan p
à un point courant P du solide (S) étant , la quantité
suivante :
= IdPdmp
(
) 2
;
p
encore homogène à des
2 .K g m
P S
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Ó
- é ù ê ú é ë û ê ú ê ú - ë û
é ù ê ú é ë û ê ú ê ú ë û
" Î é ù ë û ò " Î é ù ë û ò
Mécanique - Dynamique
r z
)
=+ y
(
+ 2 z
2
)
2
P
O
( ( d POxy ;
rr
)
)
z=
r y
( ( d POyz ;
rr
)
)
x=
(
( d POxz ;
rr
)
)
y=
Sciences Indusrielles
Dynamique des solides
,
Cas particuliers très importants : ) En notant ( solide (S)) dans le repère d’étude uuur r r + = OPxxyyz z 0 0
r 0
x y z les coordonnées de P (point courant du , (
r R Ox y z , , 0
r 0
r 0
:
+
)
,
( d POx
;
r x
uuur OPx
2
=
2
y
+
z
2
+
2
Ö Lorsque A=O centre du repère : ) 2
donc :
=+
2
2
Ix O
( + yzdm P S
Ö Lorsque
p =
(
r r O x y
)
on a
( dP
) zp =
;
donc :
Izdm Oxy
= ò
Ö Lorsque
p =
(
r r zO x
)
on a
( dP
) yp =
;
Ö Lorsque
p =
(
r r O y z
)
on a
( dP
) xp =
;
P S
donc:
Iydm Oxz
= ò
P S
donc :
Ixdm Oyz
= ò
P S
2
2
2
Relations fondamentales entre les différents moments d’inertie :
=
I II rrr OOxyOxzOyz
+
+
I rr
r
= AI
+rr I OxyOxz
rr
1 [ =+ + OIA B C 2
= BI
+rr I OxyOyz
]
r r
= CI
+r I r OxzOyz
r
r
1.6.5
Théorème de Huygens généralisé
But : Trouver une relation entre la matrice d’inertie d’un solide écrite à son centre d’inertie et sa
matrice d’inertie écrite au centre du repère d’étude
r z
r z
O
r x
Solide (S)
G
r y
r x
r y
)
base
( r r r ; x y z ;
Soit un repère r r r ; R O x y z ; ; d’étude : ) avec ( orthonormée directe. Soit (s) un solide de l’espace de centre d’inertie G. r r r S G x y z ; ; ;
étant
(
)
alors un repère lié au solide (S)
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Ó
é ù ë û
" Î ò
" Î
" Î
" Î
Sciences Indusrielles
Dynamique des solides
On pose : Matrice d’inertie en O :
( ISFB OOO
) ù =-
Mécanique - Dynamique
A O
D O ED OO
A G
F O
E O
C O
F G
E
G
(
r r r ; x y z ;
)
( ISFB GGG
) ù =-
Matrice d’inertie en G :
D G ED GG uuur + = Soit P un point courant du solide(S) : OPxxyyz z r r + y x
G centre d’inertie de (S) :
uuur OG x
C G r
+
=
y
z
G
G
G
)
r r r ( x y z ; ; r
r z
r + , on peut poser ( r r r ) ( S G x y z ; ; ;
x y z , , S S
S
)
les
coordonnées de P dans le repère lié au solide (S)
. Soit l’écriture
suivante :
uuur + GPxxy y z S
=
r
=
0
= xdmydmzdm S
S
PSPSP S
S
+
r z =
S
r
S
. De plus G étant centre d’inertie du solide (S) :
On peut écrire
uuuruuuruuur + = OPOGGP
x
=++++ x x 12314243123 GSGSG
y
y
÷ ÷
÷ ÷
r + y S
r z
=
=
y
r
z
z
÷ ÷
= z
( (
2
+
)
2
(
+ yyzzdm GSG
= Ayzdm O
P S
=++
P S
2
)
S
(
)
2
)
=+++-
222
(
( ) 2 yzdmmyzyydmzzdm SSGGGSG S 144424443 A G
PSPSP S
D’où le résultat :
=+
A OGG
Amy G
(
2
+ z
x
)
2
2
)
2
1424314243 = 0
= 0
De la même façon on obtient pour les coefficients de la diagonale de la matrice d’inertie : = Bxzdm
+
(
)
2
2
O
P S
=+++-
222
(
PSPSP S
( ) 2 xzdmmxzxxdmzzdm SSGGGSG S 144424443 B G ( + z )
=+ Bmx G (
OGG
)
+
2
2
2
2
et :
soit :
B
= Cxydm
O
P S
=
soit :
(
( ) +++- 222 2 xydmmxyxxdmyydm SSGGGSG S 144424443 C G
PSPSP S
C
=+
Cmx G
OGG
(
2
+ y
2
)
)
2
2 14