Sciences Indusrielles
Dynamique des solides
M canique - Dynamique
MECANIQUE
DYNAMIQUE DES SOLIDES
1
Cin tique
1.1 Principe de conservation de la masse
Enonc du principe : Un ensemble mat riel (E) v rifie le principe de conservation de la masse si
tout sous ensemble (e) de cet ensemble mat riel (E) a une masse m(e)
constante au cours du temps
Ce qui donne avec une criture math matique :
( )
)
(
eEt m e
,
=
( )
constante
Remarque : Ce mod le (principe) nest plus v rifi dans le mod le de m canique relativiste.
Cons quence pratique pour nos applications futures :
Soit
);P t
r
j
(
un champ quelconque de vecteur d fini et diff rentiable en tout point P dun ensemble
mat riel (E) qui v rifie le principe de conservation de la masse. Alors on peut crire la relation
suivante :
d
dtdt
r
j
PEP E
(
)
Ptdmdm
,
=
r
(
dP t
j
),
La masse tant constante au cours du temps, on peut souhait rentrer ou sortir les d riv es par
rapport au temps des int grations sur les ensembles mat riels (int gration sur des volumes, des
surfaces ou des lignes)
Rappel : Un champ de vecteur est une r partition (fonction) de vecteurs en tout point de
lespace.
1.2 Torseur cin tique dun ensemble mat riel
D finition :
On appelle torseur cin tique dun ensemble mat riel (S) en mouvement dans un
r f rentiel d tude R, et on note : {
CS R
(
/
quelconque de lespace de la fa on suivante :
uurur
(
RSRVPS Rdm
/
C
P S
, le torseur d fini en un point A
}
)
=
)
(
)
/
{
CS R
/
(
}
)
=
uuruuurur
(
s
/
A
)
=
(
SRAP V P SRdm
P S
A
)
/
Avec dm la masse l mentaire. En g n rale pour un volume homog ne (constitu du m me
mat riaux sur tout son volume :
lensemble mat riel et dv un volume l mentaire de cet ensemble mat riel.
avec r la masse volumique du mat riaux constituant
dmdv r=
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"
"
"
"
"
"
F
F
)
uur
(
CRS R
/
rapport R.
uur
)
(
s
A S R
/
rapport R.
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Dynamique des solides
M canique - Dynamique
est la r sultante cin tique de lensemble mat riel S dans son mouvement par
est le moment cin tique en A de lensemble mat riel S dans son mouvement par
D terminons la r sultante cin tique :
On reprend la d finition de cette r sultante :
uurur
(
RSRVPS Rdm
//
P S
=
(
)
)
C
uur
(
CRS R
/
)
Or dapr s la d finition du vecteur
uuur
dOP
dt
vitesse :
ur
V P S R
(
/
)
=
uur
(
RSRdm
/
C
)
=
uuur
dOP
dt
R
P S
avec O, lorigine du rep re d tude R. Donc on a :
R
. Or dapr s le principe de conservation de la masse, on peut sortir la
d rivation par rapport au temps de lint grale, ce qui nous donne l criture suivante :
uur
(
RS R
/
C
)
=
uuur
dOPdm
P S
dt
Or la d finition du centre dinertie G dun ensemble mat riel (E)
tant :
uuuruuur
=
mOGOPdm
P S
uur
)
(
RSR m
C
/
=
uuur
dOG
dt
R
, on trouve lexpression suivante pour la r sultante cin tique :
R
Soit :
uurur
(
)
CRSRmVG S R
=
/
(
/
)
avec m la masse totale de lensemble
mat riel (S) et G son centre dinertie.
V rifions que ce champ de vecteur est bien un torseur :
Nous devons v rifier que le champ de vecteur d fini ci-dessus a bien une structure de torseur, cest
dire que nous devons retrouver la relation caract ristique dun torseur qui relie les moments de ce
torseur en deux points quelconque de lespace.
On consid re donc 2 points A et B quelconque de lespace. On part de la d finition nonc e ci-
dessus du moment cin tique en A de lensemble mat riel S dans son mouvement par rapport au
rep re d tude R :
uuruuurur
(
s
/
A
uuruuuruuurur
(
)
s
(
SRAP V P SRdm
P S
. Dapr s la relation de Chasles, on peut crire :
=+
=
)
)
)
(
/
/
A
/
SRABBPV P SRdm
P S
uuururuuurur
(
)
BP V P SRdmAB V P SRdm
=
+
(
14444244443
PSP S
(
)
S R
/
uur
s
/
B
)
/
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"
"
"
"
"
"
"
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, ne d pendant pas du point dint gration courant P, on peut le sortir de lint grale
A
//
Dynamique des solides
uuur
Or le vecteur AB
ainsi que le produit vectoriel. On trouve donc la relation suivante :
uuruuruuurur
)
(
s
)
s
=+
SRSRABVPS Rdm
/
144424443
P S
uur
(
R S R
C
uuur
torseur : Moment en A = Moment en B + AB
s=+
SRSRAB RS R
uuruuruuuruur
)
(
s
//
(
(
)
)
)
/
/
B
A
B
C
vectoriel la r sultante du torseur :
(
)
(
. Soit la relation caract ristique dun
Remarque :
On verra plus tard dans le cours comment d terminer (autrement que par int gration) le moment
cin tique (en un point A quelconque) dun ensemble mat riel (S) dans son mouvement par rapport
un r f rentiel d tude R :
(
A S R
/
)
uur
s
Bilan :
Le torseur cin tique est bien un torseur qui s crit :
uurur
)
(
=
=
RSRVP S
/
C
)
Rdm
(
/
{
CS R
/
(
}
)
=
P S
uuruuurur
(
s
/
A
)
=
(
SRAP V P SRdm
P S
relation :
A
uuruuruuurur
(
)
s
SRSRABmVG S R
B
s=+
//
)
(
A
/
(
ur
(
mV G
)
S R
/
)
/
)
, donc on peut crire la
1.3 Torseur dynamique dun ensemble mat riel
Le torseur dynamique est semblable au torseur cin tique mais au lieu de parler de vitesse, on
parle dacc l ration. Il suffit donc de replacer les vitesses des points courants P dans la d finition du
torseur cin tique par les acc l rations de ces m mes points courants P pour obtenir la d finition du
torseur dynamique. On obtient ainsi :
D finition :
On appelle torseur dynamique dun ensemble mat riel (S) en mouvement dans un
r f rentiel d tude R, et on note : {
DS R
(
/
quelconque de lespace de la fa on suivante :
uurur
(
RSRPS Rdm
/
, le torseur d fini en un point A
}
)
=G
)
)
(
/
D
{
DS R
(
/
}
)
=
uur
d
(
A
P S
uuurur
=
SRAPPS Rdm
/
)
(
)
/
A
P S
Avec dm la masse l mentaire. En g n rale pour un volume homog ne (constitu du m me
mat riaux sur tout son volume :
lensemble mat riel et dv un volume l mentaire de cet ensemble mat riel.
avec r la masse volumique du mat riaux constituant
dmdv r=
F
)
Publicité
uur
(
DRS R
/
rapport R.
est la r sultante dynamique de lensemble mat riel S dans son mouvement par
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"
"
"
"
G
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est le moment dynamique en A de lensemble mat riel S dans son mouvement
uur
d
F
par rapport R.
(
A S R
/
)
D terminons la r sultante dynamique :
On reprend la d finition de cette r sultante :
)
uur
(
DRS R
/
uurur
(
RSRPS Rdm
//
=G
)
D
d finition du vecteur acc l ration
ur
(
=
PS R
/
)
P S
ur
(
dVPS R
dt
uur
(
RSRdm
/
D
)
=
ur
(
dVPS R
/
)
P S
dt
R
(
)
/
)
Or dapr s la
on a :
R
. Mais dapr s le principe de conservation de la masse, on
peut sortir la d rivation par rapport au temps de lint grale, ce qui nous donne l criture suivante :
uur
(
RSR
D
/
)
==
ur
(
dV P S Rdm
/
=
dtdtdt
P S
)
uurur
(
C
dRSRdVG S R
/
)
m
(
)
/
R
R
R
Avec G centre d'inertie de l'ensemble mat riel (E). Do :
uurur
)
(
)
(
DRSR mG S R
=G
/
/
Soit :
uurur
(
(
)
DRSR mG S R
=G
/
)
/
avec m la masse totale de lensemble
mat riel (S) et G son centre dinertie.
V rifions que ce champ de vecteur est bien un torseur :
Nous devons v rifier que le champ de vecteur d fini ci-dessus a bien une structure de torseur, cest
dire que nous devons retrouver la relation caract ristique dun torseur qui relie les moments de ce
torseur en deux points quelconque de lespace.
On consid re donc 2 points A et B quelconque de lespace. On part de la d finition nonc e ci-
dessus du moment dynamique en A de lensemble mat riel S dans son mouvement par rapport au
rep re d tude R :
uur
)
d
uur
d
. Dapr s la relation de Chasles, on peut crire :
=
SRAPP SRdm
uuuruuurur
uuurur
=+
P S
(
(
)
(
(
)
)
/
/
/
A
A
/
SRABBPP SRdm
P S
=
+
uuururuuurur
BPP SRdmABP SRdm
(
14444244443
PSP S
(
)
)
/
S R
/
uur
d
B
(
)
/
uuur
Or le vecteur AB
ainsi que le produit vectoriel. On trouve donc la relation suivante :
, ne d pendant pas du point dint gration courant P, on peut le sortir de lint grale
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G
"
"
"
G
"
"
"
G
G
G
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uuruur
(
d
A
d
=+
SRSRABPS Rdm
//
B
)
(
uuurur
)
)
(
/
144424443
P S
uur
(
RS R
/
D
)
uuur
Moment en A = Moment en B + AB
uuruur
(
d
A
vectoriel la r sultante du torseur :
)
)
uuuruur
/
d=+
SRSRAB RS R
//
)
(
(
B
D
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. Soit la relation caract ristique dun torseur :
Bilan :
Le torseur dynamique est bien un torseur qui s crit :
)
uurur
(
RSRPS Rdm
/
=G
=
)
(
/
D
ur
(
mG S
)
/
R
{
DS R
(
/
}
)
=
uur
d
P S
(
A
S R
/
)
=
uuurur
(
APRdm
P
S
/
)
, donc on peut crire la
A
relation :
uuruur
(
d
A
(
SRSRAB m GS R
B
d=+
//
)
)
(
)
P S
uuurur
/
1.4 Relation entre les torseurs cin tique et dynamique
On a vu que les d finitions des torseurs cin tique et dynamique taient tr s semblables. La
seule diff rence est que lon parle de vitesse dans le torseur cin tique et dacc l ration dans le
torseur dynamique. Or il y une relation de d rivation entre la vitesse et lacc l ration. On sattend
donc retrouver cette relation de d rivation entre les composantes (r sultante et moment) des
torseurs cin tique et dynamique.
Rappelons ce que lon a d j d montr sur les r sultantes des torseurs cin tique et dynamique :
uurur
(
)
(
CRSRmVGS R=
/
uurur
(
(
)
DRSR mG S R
/
(
dVGS R
ur
=G
/
/
/
)
)
)
ur
(
Or
=
G S R
/
)
dt
R
. Dapr s le principe de conservation de la masse, celle-ci
est constante au cours du temps, donc on peut crire :
uur
(
RS R
/
D
)
=
uur
(
dRS R
C
dt
/
)
R
Ce r sultat nest pas de premi re importance puisque lon sait calculer aussi bien la vitesse que
lacc l ration dun centre dinertie. On se rend cependant compte de ce caract re de d rivation
entre les composantes des torseurs cin tique et dynamique.
Quen est-il sur les moments ?
On part de la d finition du moment dynamique de (S/R) en un point A quelconque :
uur
d
=
SRAPP SRdm
et introduisons le fait que lacc l ration est la d riv e de la
uuurur
(
)
)
(
/
/
A
P S
vitesse :
uur
d
(
A
)
SRAPdm
=
/
uuur
P S
ur
(
dV P S R
/
dt
)
R
. Or la d riv e dun vecteur r sultat dun
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G
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"
"
G
G
G
G
"
G
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)
dtdtdt
r
dvdu
dtdtdt
R
r
u
=
uur
d
(
A
produit vectoriel est la m me que la d riv e dun produit de deux fonctions scalaires :
)uvuvuv
(
=
r
(
du v
, ce qui donne dans le cas du produit vectoriel :
r
+
r
r
dudv
+
=
r
v
r
u
, ce qui peut encore s crire :
R
r
(
du v
R
r
)
-
r
R
R
ur
(
/
dV P S R
dt
)
SRAPdm
=
/
uuur
P S
uuurur
(
(
dAP V P S R
/
dtdt
=-
PSP S
R
. Appliquons cette relation notre moment dynamique :
r
v
)
R
)
)
R
uuur
dAP
dmVPS Rdm
ur
(
)
/
R
Or dapr s le principe de conservation de la masse nonc au d but du cours, on peut crire :
uuurur
(
dAP VPS R
(
P S
dtdt
)
)
/
uuurur
(
dAP VPS Rdm
)
/
dm
=
P S
R
uuur
(
s
dS R
A
dt
=
)
/
R
R
On trouve donc la relation entre moment dynamique et moment cin tique :
uur
d
uuur
(
s
dS R
)
=-
A
SRVPS Rdm
dtdt
uuur
dAP
ur
(
)
(
)
/
/
/
A
R
P S
R
En introduisant lorigine du rep re d tude R not e O par Chasles entre les point A et P dans le
uuuruuuruuuruuuruuur
=
=
vecteur APAOOPOPOA
uuuruuuruuur
d APdOPdOA
+
, on trouve :
urur
(
(
VPSRV A S R
/
)
, en injectant cela dans la relation
)
/
-=
=
dtdtdt
R
R
R
trouv e ci-dessus, on obtient :
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-
-
M canique - Dynamique
ururur
(
)
(
)
(
)
urur
(
V A SRVPS Rdm
/
(
)
)
/
Sciences Indusrielles
Dynamique des solides
uur
d
(
A
R
R
/
/
/
/
)
)
)
)
=-
P S
///
=+
=+
uuur
(
s
dS R
A
SRVPSRV A SRVPS Rdm
dt
P S
uuur
(
s
dS R
A
dt
uuur
(
s
dS R
A
dt
uuur
(
s
dS R
A
dt
uuur
(
s
dS R
A
dt
uuur
(
s
dS R
A
dt
=+
=+
=+
)
)
)
/
/
/
R
R
R
R
urur
(
V A SRVPS Rdm
/
P S
)
(
)
/
ur
V A S R
(
/
)
uur
(
RS R
/
C
)
urur
(
(
V A SRmVGS R
/
)
urur
(
(
mV A SRVGS R
)
/
)
)
/
/
Le moment dynamique en un point A de (S/R) nest pas tout fait la
d riv e du moment cin tique en A de (S/R). Il ne faut pas oublier de
rajouter le terme en produit vectoriel. :
uuur
(
)
s
uururur
dS R
(
A
SRmV A SRVGS R
/
/
d
A
dt
=+
)
Publicité
(
)
)
(
/
/
R
Cas particuliers fr quemment rencontr s :
Si le point o lon calcule ces moments est :
c
c
ur
(
)
=
V A S R
(
/
Fixe dans R : A fixe dans R
uuur
(
s
dS R
A
dt
uur
d
A
S R
/
=
)
(
)
/
R
urur
(
(
)
=
VGSRVGS R
Le centre dinertie G : A=G
uuur
(
)
s
dS R
G
dt
d rivation :
uur
d
G
S R
/
=
//
(
)
/
R
r
0
)
(
0
, on a la relation de d rivation :
)
r
)
, on a la relation de
1.5 Energie cin tique
D finition : L nergie cin tique dun ensemble mat riel (S) dans son mouvement par rapport au
rep re R est le scalaire positif suivant :
)
T SRVPSRdm
=
(
/
1
2 P S
ur
(
) 2
/
1.6 Moment dinertie dun solide
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"
"
-
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1.6.1
D finitions
M canique - Dynamique
r
(
,O i
r
r
ROx y z
,
0
Soit
(
,
0
00
)
r
un axe d fini par un point O et un vecteur directeur unitaire i
r
)
,
. Posons
r
i
=
a
r
x
0
+
b
r
y
0
+
g
r
z
0
r
i =
1
avec
dans un rep re
HP
r
0z
O
r
0x
r
i
r
0y
P
S
Soit (S) un solide quelconque.
Soit P un point courant du solide
(S).
On associ chaque point P du
solide (S), un point de D
, not
HP tel que la distance entre P et
HP soit minimale :
uuuuur
PPH
minimale
Soit (x, y, z) les coordonn es de P dans le rep re R0 :
uuur
r
+
=
OPxxyyz z
0
r
0
+
r
0
D finition : Le moment dinertie du solide (S) par rapport laxe D
est le scalaire positif
homog ne des
.K g m :
2
)
(
D =
ISPHdm
/
P S
uuuuur
P
2
Ces moments dinertie correspondent la somme (int grale) des distances minimales des points du
solide laxe au carr
Ce scalaire est aussi not ID
et une autre d finition quivalente pourrait tre :
)
(
D=
ISdPdm
/
(
;
)2
P S
soit la somme sur tout le solide (S) des distances minimales des
points du solide laxe D
au carr
r
En se pla ant dans le plan passant par le point courant P et les deux vecteurs i
tracer la figure ci-dessous :
uuur
et OP
, on peut
r
i
O
HP
P
On remarque que :
uuuuuruuuruuur
r
(
=
sin ;
PPHOPiOP
)
(
r
sin ;
)
uuuruuurr
OPiiOP
uuur
r
iOP
=
=
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D
"
"
D
D
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r
=
iOPy
uuur
=
Or
ab
xz
g
y
x
bg
ga
z
a
zy
b
x
uuuuuruuur r
2
= =
PPHiOPzyxzy
on obtient :
(
2
-+-+
x
bggaa
uuuuur
(
=+++++-
22222222
PPHyzxzxzxyxzyz
a
2
M canique - Dynamique
, donc :
22
)
(
b
)
2
(
)
)
2
(
bgabagbg
)
(
. En d veloppant cette expression,
)
.
2
2
2
Ensuite, en int grant cette expression sur tout le solide (S), on obtient lexpression du moment
dinertie de (S) par rapport laxe D
(
(
ISyzdmxzdmxydmxydmxzdmyzdm
D=+++++-
,2
22222222
2
2
a
)
)
2
bgabagbg
(
(
)
:
)
PSPSPSPSPSP S
On note les int grales figurant dans lexpression ci-dessus avec les lettres A, B, C, D, E et F de la
fa on suivante :
(
+
=
Ayzdm
P S
=
Cxydm
P S
=
Bxzdm
P S
et
+
+
)
(
)
)
(
,
,
2
2
2
2
2
2
=
Dxydm
P S
,
=
Exzdm
P S
et
=
Fyzdm
P S
D finitions : A est le cas particulier avec
r
r
0
0
b
r
,O x
g= = , soit quand iOx=
)
a g= = , soit quand iOy=
r
)
,O y
= , soit quand iOz=
r
,O z
dinertie de (S) par rapport laxe (
B est le cas particulier avec
dinertie de (S) par rapport laxe (
a b=
C est le cas particulier avec
dinertie de (S) par rapport laxe (
D, est appel produit dinertie par rapport aux axes (
E, est appel produit dinertie par rapport aux axes (
F, est appel produit dinertie par rapport aux axes (
0
)
r
r
,O y
r
,O x
r
,O x
)
et (
et (
)
et (
)
r
)
,O z
r
)
,O z
r
)
,O y
r
r
, A est donc le moment
, B est donc le moment
r
Publicité
, C est donc le moment
1.6.2
Matrice dinertie dun solide
Commen ons par d finir lop rateur dinertie dun solide (S) en un point O :
D finition :
Lop rateur dinertie dun solide (S) en un point O est lop rateur qui tout
r
vecteur u
fait correspondre le vecteur :
(
)
r
uuruuuruuurr
(
)
JSuOPuOPdm
,
P S
=
O
Constituons la matrice compos e de lop rateur dinertie appliqu aux trois vecteurs de la base
orthonorm e d tude, cest dire aux trois vecteurs du rep re d tude : (
(
r
r
r
x y z
0
0
0
. Soit la
)
)
)
;
;
matrice :
uuruuruuurr
(
)
JSy
JSx
,;,;
0
O
r
(
JS z
,
0
O
r
0
:
O
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autre que la consultation individuelle et priv e sont interdites.
Emmanuel FARGES
EduKlub S.A.
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Sciences Indusrielles
Dynamique des solides
M canique - Dynamique
Commen ons par d terminer cet op rateur dinertie appliqu
r
0x
puis
r
0y
r
et 0z
: Soit P le point
courant du solide (S) de coordonn es (x, y, z) soit :
uuur
r
=
OPxxyyzz
0
+
r
0
+
r
y
0
=
uuruuuruuurr
(
)
JSxOP
,
O
0
=
=
xOPdmyydmyzdm
=
(
r
0
PSPSP S
)
xx
zzz
1
0
0
y
x
(
r
r
r
x y z
;
;
0
0
0
)
0
x
z
uur
JS
O
(
r
x
0
)
,
=-=
(
2
y
+
2
z
)
(
+
2
yzdm
2
)
P S
=
xydmxydm
xz
PSP S
F
A
E
xz
m
d
P S
De la m me fa on :
uur
J
O
(
r
S y
,
0
)
=
=
=+
uuuruuur r
)
(
=
OP
yOPdmyydmx
0
PSP S
uur
J
O
(
r
0
)
Sz
,
=
=
=-
uuuruuur r
(
OP
)
zOPdmyydmyzd
0
=
PSP S
z
x
z
x
z
0
1
0
0
0
1
x
z
x
z
xydm
P S
2
(
)
2
dm
P S
F
B
et :
D
dm
z
y
xzdm
P S
P S
m
)
P S
+
2
yzdm
2
(
E
D
C
On obtient ainsi la matrice dinertie de (S) en 0 dans la base (
E
F
A
P S
r
r
r
x y z
0
0
0
;
;
)
not e :
(
ISFB
O
)
D
r
r
r
;
x y z
;
0
0
0
(
)
=-
ED C
(
r
x
0
r
y
0
;
r
z
0
)
;
dont on remarque quelle est sym trique
Expression du moment dinertie dun solide (S) par rapport un axe
D =
(
r
),O i
:
Dans le rep re d tude :
r
ROx y z
;
0
(
;
0
r
00
r
;
)
On reprend la d finition de ce moment dinertie :
uuuuuruuur
uuuuur
2
=
PPHiOP
P
(
=
D=
ISIPHdm D
/
or
)
2
r
2
. Donc on peut crire ce moment
P S
dinertie de la fa on suivante :
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Sciences Indusrielles
Dynamique des solides
uuuruuuruuur
r
rr
2
IiOPdmiOP iOPdm
= =
PSP S
.
{ {
r
a
r
b
permutation circulaire du produit mixte : (
expres...