Cours de Mathématiques: Séries numériques ou vectorielles

Ce cours traite des séries numériques et vectorielles, en présentant les notions fondamentales de convergence, les critères associés, ainsi que les techniques d’étude des séries à termes positifs, alternés, et vectorielles dans des espaces normés de dimension finie. Il s’adresse aux étudiants en mathématiques souhaitant approfondir la théorie des séries et leurs applications.

Généralités sur les séries

Soit K le corps des réels ℝ ou des complexes ℂ, et (E, k·k) un espace vectoriel normé sur K. À toute suite u = (uₙ)ₙ∈ℕ à valeurs dans E, on associe la suite des sommes partielles U = (Uₙ)ₙ∈ℕ définie par :

Uₙ = ∑ₖ₌₀ⁿ uₖ

Le couple (u, U) est appelé série associée à la suite u, et la série de terme général uₙ se note ∑ uₙ. On a la relation :

Uₙ₊₁ − Uₙ = uₙ₊₁

La suite U est la suite des sommes partielles de la série.

Espace vectoriel des séries et séries convergentes

On note S(E) l’ensemble des séries à valeurs dans E :

S(E) = { (u, U) = ∑ uₙ | u = (uₙ)ₙ∈ℕ ∈ E^ℕ }

Une série ∑ uₙ est dite convergente si la suite U des sommes partielles converge dans (E, k·k). Sa limite s’appelle la somme de la série et se note :

s = limₙ→∞ Uₙ = ∑ₙ₌₀^∞ uₙ

L’ensemble S(E) est un sous-espace vectoriel de (E^ℕ)², et le sous-ensemble S₀(E) des séries convergentes est un sous-espace vectoriel de S(E). L’application qui à une série convergente associe sa somme est linéaire.

L’application qui à une série associe sa suite des sommes partielles est un isomorphisme entre S(E) et l’espace vectoriel E^ℕ. L’isomorphisme réciproque associe à une suite U = (Uₙ) la série de terme général :

uₙ = Uₙ − Uₙ₋₁, pour n ≥ 1 et u₀ = U₀

Quelques propriétés importantes :

• Si une série ∑ uₙ converge, alors la suite uₙ converge vers 0.
• Si la suite uₙ diverge ou converge vers une limite non nulle, la série ∑ uₙ diverge (on dit qu’elle est grossièrement divergente).
• Une suite U et la série dérivée de terme général Uₙ₊₁ − Uₙ sont de même nature vis-à-vis de la convergence.

Critère de Cauchy et séries normalement convergentes

Une série ∑ uₙ à valeurs dans (E, k·k) vérifie le critère de Cauchy :

∀ ε > 0, ∃ N ∈ ℕ, ∀ n > N, ∀ p ∈ ℕ*, ‖∑ₖ₌ₙ₊₁^{n+p} uₖ‖ ≤ ε

Dans un espace vectoriel normé de dimension finie, ce critère est nécessaire et suffisant pour la convergence de la série.

Une série ∑ uₙ est dite normalement convergente si la série des normes ∑ ‖uₙ‖ converge. Toute série normalement convergente est convergente et l’ensemble des séries normalement convergentes forme un sous-espace vectoriel de S₀(E).

Dans le cas E = K, on parle de séries numériques et de convergence absolue (convergence de ∑ |uₙ|). Toute série absolument convergente est convergente.

Pour un espace vectoriel normé de dimension finie de dimension q avec une base e, une série ∑ uₙ est convergente (resp. normalement convergente) si et seulement si les q séries numériques associées aux composantes de uₙ dans la base e sont convergentes (resp. absolument convergentes).

Séries à termes réels positifs

Pour une série ∑ uₙ avec uₙ ≥ 0, la suite des sommes partielles Uₙ est croissante. La série converge si et seulement si cette suite est majorée.

Règles de comparaison : O, o, ∼

Soient u = (uₙ) et v = (vₙ) deux suites réelles positives. On dit que :

• u est dominée par v (notation uₙ = O(vₙ)) s’il existe M > 0 et N ∈ ℕ tels que ∀ n > N, 0 ≤ uₙ ≤ M vₙ.
• u est négligeable devant v (notation uₙ = o(vₙ)) s’il existe une suite εₙ → 0 telle que uₙ = εₙ vₙ.
• u est équivalente à v (notation uₙ ∼ vₙ) si uₙ − vₙ = o(vₙ).

Propriétés :

• Si uₙ = O(vₙ) et ∑ vₙ converge, alors ∑ uₙ converge.
• Si uₙ = o(vₙ) et ∑ uₙ diverge, alors ∑ vₙ diverge.
• Si uₙ ∼ vₙ, alors ∑ uₙ et ∑ vₙ sont de même nature (convergentes ou divergentes).

Exemples de séries de Riemann

• La série harmonique ∑ 1/n diverge.
• Pour α ≤ 1, la série ∑ 1/n^α diverge.
• Pour α > 1, la série ∑ 1/n^α converge.

Règle de Riemann : Si uₙ ∼ M / n^α avec M ≠ 0, alors ∑ uₙ converge si et seulement si α > 1.

Comparaison à une série géométrique

Une série géométrique a pour terme général uₙ = u₀ rⁿ avec r ≠ 1. Elle converge si et seulement si |r| < 1, et sa somme est :

∑ₙ₌₀^∞ uₙ = u₀ / (1 − r)

Règle de d’Alembert : Si uₙ > 0 et il existe r < 1 tel que pour n assez grand :

uₙ₊₁ / uₙ ≤ r

alors ∑ uₙ converge et le reste est de l’ordre de O(rⁿ).

Série et intégrale de fonction positive et décroissante

Soit f : [0, +∞[ → [0, +∞[ continue par morceaux et décroissante. La série de terme général :

vₙ = f(n) − f(n+1)

est convergente. La série ∑ f(n) converge si et seulement si f est intégrable sur [0, +∞[.

Exemple : Pour f(t) = 1/(t+1), on a l’équivalence (constante d’Euler γ) :

∑ₖ₌₁^n 1/k = ln n + γ + o(1)

Pour f(t) = 1 / ((t+2) ln^α(t+2)), la série ∑ 1/(n ln^α n) converge si et seulement si α > 1.

Séries à valeurs dans un espace vectoriel normé de dimension finie

Soit u = (uₙ) une suite à valeurs dans un espace vectoriel normé de dimension finie E. Si une suite réelle positive v existe telle que k uₙ k = O(vₙ) et que ∑ vₙ converge, alors ∑ uₙ est normalement convergente.

Une algèbre normée A est un espace vectoriel normé muni d’un produit vérifiant :

∀ a,b ∈ A, k a b k ≤ k a k · k b k

Exemple : (K, |·|) est une algèbre normée. L’espace L(E) des endomorphismes de E est une algèbre normée.

Corollaires importants

• Si u ∈ A avec k u k < 1, la série géométrique ∑ uⁿ est normalement convergente et sa somme est (1_A − u)^{-1}.
• Pour tout u ∈ A, la série exponentielle :

exp u = ∑ₙ₌₀^∞ uⁿ / n!

est normalement convergente. On a k exp u k ≤ exp(k u k).

Cas des séries à valeurs réelles et alternées

Une suite réelle u est alternée si la suite (−1)ⁿ uₙ est de signe constant. Si |uₙ| est décroissante et tend vers 0, alors la série ∑ uₙ converge. Sa somme a le même signe que u₀ et :

|∑ uₙ| ≤ |u₀|

Exemple : Les séries de Riemann alternées ∑ (−1)ⁿ / (n+1)^α convergent si et seulement si α > 0.

Une série peut converger sans être absolument convergente (par exemple pour α ∈ ]0,1]).

Comparaison d’une série à une intégrale

Soit f de classe C¹ sur [0, +∞[ à valeurs dans un espace vectoriel normé de dimension finie E, telle que f' soit intégrable sur [0, +∞[. Alors la série de terme général :

vₙ = f(n) − f(n+1)

est normalement convergente. La série ∑ f(n) est de même nature que l’intégrale :

Iₙ = ∫₀^n f(t) dt

Cette propriété résulte de l’intégration par parties et de la domination par l’intégrale de la norme de f'.

Exemple : Pour f(t) = sin(ln(t+1)) / (t+1), la série ∑ f(n) est divergente, mais les sommes partielles sont bornées.

La transformation d’Abel, analogue à une intégration par parties, permet d’étudier des séries où la dérivée n’est pas intégrable mais où une partie l’est.

Familles sommables

Définition et caractérisation

Une famille u = (u_i)_{i ∈ I} indexée par un ensemble dénombrable I est sommable si, pour une bijection σ : ℕ → I, la fonction en escalier associée u_σ est intégrable sur [0, +∞[. La somme de la famille est alors :

∑_{i ∈ I} u_i = ∫₀^∞ u_σ(t) dt = ∑_{n=0}^∞ u_σ(n)

Les conditions suivantes sont équivalentes :

1. La famille u est sommable.
2. Il existe une bijection σ telle que la série ∑ u_σ(n) soit normalement convergente.
3. Pour toute bijection σ, la série ∑ u_σ(n) est normalement convergente.
4. L’ensemble des sommes des normes sur les parties finies de I est majoré.
5. Il existe une suite croissante de parties finies couvrant I avec sommes des normes majorées.
6. Pour toute suite croissante de parties finies couvrant I, les sommes des normes sont majorées.

La somme de la famille est donnée par :

∑_{i ∈ I} u_i = lim_{n→∞} ∑_{i ∈ J_n} u_i

où (J_n) est une suite croissante de parties finies couvrant I.

Exemple : La suite anharmonique u_i = (−1)^i / i (i ∈ ℕ*) est sommable et sa somme vaut −ln 2.

Propriétés supplémentaires

• Une sous-famille d’une famille sommable est sommable.
• Le produit de deux familles sommables dans une algèbre normée de dimension finie est sommable, et la somme du produit est le produit des sommes.

Exemple de sommabilité dans N*^p

Pour u(n₁, ..., n_p) = 1 / (n₁ + ... + n_p)^α, la famille est sommable si et seulement si α > p.

Coefficients de Fourier

Les coefficients de Fourier (c_k(f))_{k ∈ ℤ} d’une fonction 1-périodique f continue par morceaux sont une famille de carrés sommables. Si f est de classe C¹ par morceaux, alors c(f) est une famille sommable. Le théorème de Parseval s’énonce :

∑_{k ∈ ℤ} c_k(f) c_k(g) = ∫₀¹ f(t) g(t) dt

Suites doubles et interversion des sommations

Soit u = (u_{i,j})_{(i,j) ∈ ℕ²} une suite double sommable dans un espace vectoriel normé de dimension finie. Alors les suites (u_{i,j})_i et (u_{i,j})_j sont sommables, ainsi que les suites de leurs sommes. De plus :

∑_{(i,j) ∈ ℕ²} u_{i,j} = ∑_{i=0}^∞ ∑_{j=0}^∞ u_{i,j} = ∑_{j=0}^∞ ∑_{i=0}^∞ u_{i,j}

Le produit de Cauchy de deux séries normalement convergentes ∑ uₙ et ∑ vₙ dans une algèbre normée de dimension finie est la série :

(u ? v)_n = ∑_{i+j=n} u_i v_j

Cette série est normalement convergente et :

∑_{n=0}^∞ (u ? v)_n = (∑_{n=0}^∞ u_n)(∑_{n=0}^∞ v_n)

Si ab = ba dans l’algèbre, on a la formule du binôme pour l’exponentielle :

exp(a) exp(b) = exp(a + b)

et exp(a) est inversible avec inverse exp(−a).

Exemple de suite double non sommable

Considérons u_{i,j} = (−1)^j / (i + j + 1) si i ≤ j, et 0 sinon. Les séries associées aux suites (u_{i,j})_i et (u_{i,j})_j convergent, mais les séries associées aux suites de leurs sommes ne sont pas de même nature, donc l’interversion des sommations n’est pas possible.

Exemple d’interversion des sommations

Pour tout complexe z non entier relatif :

1/(2z) (1/z − π cotan(π z)) = ∑_{k=1}^∞ 1 / (k² − z²)

Pour |z| < 1, on peut écrire :

1/(k² − z²) = ∑_{n=0}^∞ z^{2n} / k^{2(n+1)}

La famille double u_{k,n} = z^{2n} / k^{2(n+1)} est sommable, ce qui permet d’intervertir les sommations et d’obtenir :

1/(2z) (1/z − π cotan(π z)) = ∑_{n=0}^∞ ζ(2n+2) z^{2n}

où ζ est la fonction de Riemann définie par :

ζ(x) = ∑_{k=1}^∞ 1 / k^x, x > 1

Les valeurs ζ(2n) / π^{2n} sont des nombres rationnels.

Glossaire des termes clés

• Série : Somme formelle ∑ uₙ associée à une suite u = (uₙ).
• Sommes partielles : Suite Uₙ = ∑ₖ₌₀ⁿ uₖ.
• Série convergente : Série dont la suite des sommes partielles converge.
• Série normalement convergente : Série ∑ uₙ telle que ∑ ‖uₙ‖ converge.
• Convergence absolue : Dans ℝ ou ℂ, convergence de ∑ |uₙ|.
• Critère de Cauchy : Condition nécessaire et suffisante pour la convergence d’une série dans un espace normé.
• Relation de domination O : uₙ = O(vₙ) signifie que uₙ est bornée par vₙ à un facteur constant.
• Relation de négligeabilité o : uₙ = o(vₙ) signifie que uₙ / vₙ tend vers 0.
• Relation d’équivalence ∼ : uₙ ∼ vₙ signifie que uₙ / vₙ tend vers 1.
• Série géométrique : Série de terme général uₙ = u₀ rⁿ.
• Règle de d’Alembert : Critère de convergence basé sur le rapport uₙ₊₁ / uₙ.
• Transformation d’Abel : Technique analogue à l’intégration par parties pour séries.
• Famille sommable : Famille indexée (u_i) telle que la somme des normes sur les parties finies est bornée.
• Produit de Cauchy : Série dont le terme général est la somme des produits u_i v_j avec i + j = n.
• Exponentielle d’un élément d’une algèbre normée : Série ∑ uⁿ / n! convergente dans l’algèbre.

Points clés à retenir

• Une série converge si et seulement si la suite de ses sommes partielles converge.
• Le critère de Cauchy est un outil fondamental pour étudier la convergence dans les espaces normés.
• Les séries à termes positifs ont une convergence caractérisée par la majoration de la suite des sommes partielles.
• Les relations O, o, et ∼ permettent de comparer la nature des séries à termes positifs.
• La règle de d’Alembert est un critère pratique pour les séries à termes strictement positifs.
• Les séries vectorielles dans un espace normé de dimension finie peuvent être étudiées via leurs composantes numériques.
• Les séries alternées convergent sous conditions sur la décroissance des termes absolus.
• La transformation d’Abel et la comparaison à une intégrale sont des outils puissants pour l’étude des séries.
• Les familles sommables généralisent la notion de série à des indexations plus larges, avec des critères équivalents de convergence.
• L’interversion des sommes est possible pour les familles sommables, ce qui est crucial pour le produit de Cauchy et les séries doubles.