Cours de Mathématiques: Séries numériques ou vectorielles

Un+1 − Un ∼

1 − α

nα

La regle d’équivalence pour les série a termes positifs montre ainsi que la série

convergente lorsque α > 1 .

(1.4)

X 1

nα est

+ Règle de Riemann : Soit u une suite réelle telle qu’il existe un réel non nul M et un

réel α vérifiant un ∼

M

nα · La série P un est convergente si et seulement si α > 1 .

+ Sommation des relations de domination, de négligeabilité et d’équivalence :

Soient u et v deux suites réelles positives telles que un = O(vn) . Alors Un = O(Vn) , c’est

. Si un = o(vn) et si P un diverge, alors Un = o(Vn) . Enfin si

uk = O

(cid:16) n

X

à dire

n

X

vk

(cid:17)

k=0

k=0

un ∼ vn et si P un diverge, alors Un ∼ Vn .

Soient u et v deux suites réelles positives telles que un = O(vn) et la série P vn soit

(cid:17)

(cid:17)

(cid:16) ∞

X

(cid:16) ∞

X

∞

X

∞

X

vk

. Si un = o(vn) alors

uk = o

vk

.

convergente. Alors

uk = O

Enfin si un ∼ vn alors

k=n+1

∞

X

k=n+1

∞

X

vk.

uk ∼

k=n+1

k=n+1

Par exemple la sommation des relations d’équivalence (1.3) donne

k=n+1

k=n+1

ln n ∼

n

X

k=1

1

k

(1.5)

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Séries numériques ou vectorielles

Partie II : Séries à termes réels positifs

La sommation des relations d’équivalence (1.4) pour α < 1 donne

n1−α

1 − α

∼

n

X

k=1

1

kα

De même la sommation des relations d’équivalence (1.4) pour α > 1 donne

1

(α − 1)nα−1 ∼

∞

X

k=n+1

1

kα

II.2 Comparaison à une série géométrique

(1.6)

(1.7)

Une série numérique géométrique a pour terme général un = u0rn où le réel non nul r est la

raison de u . Pour r ∈ R\{1}, Un =

· Une série géométrique non nulle est

uk = u0

n

X

1 − rn+1

1 − r

k=0

convergente si et seulement si sa raison r vérifie |r| < 1 . Lorsque cette condition est vérifiée

∞

X

· Une série géométrique non nulle P un est caractérisée par la relation

uk =

= r .

un+1

un

u0

1 − r

k=0

Proposition

Si u et v sont deux suites réelles a termes strictement positifs et si, a partir d’un certain

rang,

alors un = O(vn) .

un+1

un

6 vn+1

vn

En particulier lorsque v est une suite géométrique, on a la

Proposition Règle de d’Alembert

Si u est une suite réelle a termes strictement positifs et s’il existe un réel r < 1 tel qu’a

partir d’un certain rang

un+1

un

6 r , alors P un est convergente et

∞

X

k=n+1

un = O(rn) .

+ La regle de d’Alembert s’applique notamment lorsque la suite u a termes strictement

positifs est telle que la suite de terme général

converge vers un réel ‘ < 1 .

un+1

un

+ lorsque z ∈ C∗ la règle de d’Alembert s’applique pour

X zn

tout z ∈ C la série numérique

n!

appelle sa somme exponentielle de z .

X |z|n

n!

(ici ‘ = 0) si bien que pour

est absolument convergente donc convergente. On

+ Lorsque la suite u a termes strictement positifs est telle qu’a partir d’un certain rang N ,

> 1 , la suite (un)n>N est croissante donc la série P un est grossièrement divergente.

un+1

un

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Séries numériques ou vectorielles

Partie II : Séries à termes réels positifs

II.3 Série et intégrale de fonction positive et décroissante

Théorème

Soit f une fonction continue par morceaux sur [0 , +∞[ à valeurs dans [0 , +∞[ et

Z n+1

décroissante. La série de terme général vn = f (n) −

f est convergente. En particulier

la série de terme général un = f (n) est convergente si et seulement si f est intégrable sur

[0 , +∞[ .

n

En effet cela résulte directement de l’encadrement 0 6 vn 6 un − un+1 et du théorème de

majoration des sommes partielles puisqu’alors Vn =

n

X

vk 6 u0 .

+ Par exemple pour f (t) =

1

t + 1

k=0

le théorème ci-dessus permet de préciser l’équivalence

(1.5) par la convergence de la suite de terme général Vn =

n

X

k=0

1

k + 1

− ln(n + 2) . La limite

de cette suite s’appelle constante d’Euler et se note γ . On a ainsi un développement limité

à l’ordre 0 de la somme de la série harmonique :

n

X

k=1

1

k

= ln n + γ + o(1)

(1.8)

+ Pour f (t) =

1

(t + 2) lnα(t + 2)

, f est intégrable sur [0 , +∞[ si et seulement si le réel α

est strictement supérieur a 1. Le théoreme ci- dessus montre que la série de terme général

1

n lnα n

est convergente si et seulement si α > 1 .

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Partie III : Séries à valeurs dans un espace vectoriel normé de dimension finie

Séries numériques ou vectorielles

III Séries à valeurs dans un espace vectoriel normé de

dimension finie

Le Critere de Cauchy et de la regle de domination pour les séries à termes réels positifs

conduisent au

Théorème de domination

Soit u = (un)n∈N une suite à valeurs dans un espace vectoriel normé de dimension finie,

pour laquelle il existe une suite à valeurs réelles positives v telle que kunk = O(vn) et

P vn converge. Alors la série P un est (normalement) convergente et sa somme vérifie

∞

(cid:12)

(cid:12)

X

(cid:12)

(cid:12)

(cid:12)

(cid:12)

∞

X

vn .

(cid:12)

(cid:12)

(cid:12)

(cid:12)

(cid:12)

(cid:12)

un

6

n=0

n=0

Une K-algèbre A est dite normée lorsqu’elle est munie d’une norme k · k vérifiant

∀(a , b) ∈ A2, kabk 6 kak kbk .

Par exemple (cid:0)K , | · |(cid:1) est une K-algèbre normée. Lorsque (cid:0)E , k · k(cid:1) est un espace vectoriel

normé de dimension finie, la norme définie sur L(E) par

∀u ∈ L(E) , |||u||| = sup {ku(x)k ; x ∈ E , kxk = 1}

fait de L(E) une K-algèbre normée.

Le théorème de domination a les corollaires suivants :

Corollaire série géométrique

Soit (cid:0)A , k·k(cid:1) une K-algèbre normée de dimension finie. Pour tout u ∈ A vérifiant kuk < 1 ,

la série P un est (normalement) convergente et sa somme

1A − u .

∞

X

n=0

un est inversible, d’inverse

Corollaire série exponentielle

Soit (cid:0)A , k · k(cid:1) une K-algèbre normée de dimension finie. Pour tout u ∈ A , la série

X un

n!

est (normalement) convergente. Sa somme

exp u .

+∞

X

n=0

un

n!

s’appelle exponentielle de u et se note

Sous les conditions du Corollaire on a aussi k exp uk 6 exp(kuk) .

III.1 Cas des séries à valeurs réelles et alternées

Une suite réelle u est dite alternée lorsque la suite de terme général (−1)nun est de signe

constant. Lorsque la suite de terme général |un| est décroissante les suites de terme général

U2n =

2n

X

k=0

uk et U2n+1 =

2n+1

X

k=0

uk sont monotones de sens contraire. Il en résulte le

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Partie III : Séries à valeurs dans un espace vectoriel normé de dimension finie

Séries numériques ou vectorielles

Théorème des séries alternées

Soit u une suite réelle alternée telle que la suite de terme général |un| soit décroissante

de limite nulle. Alors la série P un est convergente, sa somme

un a le signe de u0 et

∞

X

(cid:12)

(cid:12)

(cid:12)

∞

X

n=0

(cid:12)

(cid:12)

(cid:12)

un

6 |u0| .

n=0

+ Par exemple les séries riemanniennes alternées

X (−1)n

(n + 1)α convergent si et seulement si

le réel α est strictement positif et alors leur reste de Cauchy est tel que

(cid:12)

(cid:12)

(cid:12)

+∞

X

k=n

(−1)k

(k + 1)α

(cid:12)

(cid:12)

(cid:12)

6

1

(n + 1)α ·

+ Une série numérique peut être convergente sans être absolument convergente (cas

précédent pour α ∈]0 , 1]).

+ deux suites réelles peuvent être équivalentes sans que les séries associées soient de même

· Ici un ∼ vn et P un converge

et vn = un +

nature. C’est le cas pour un =

alors que P vn diverge.

(−1)n

√

n + 1

1

n + 1

III.2 Comparaison d’une série à une intégrale

Lorsque le théoreme de domination n’est pas applicable, et que l’on a affaire a une série de

terme général un = f (n) ou f est une fonction de classe C1 réelle ou a valeurs dans un espace

vectoriel normé de dimension finie, on peut penser au théorème suivant :

Théorème de comparaison série-intégrale

Étant donnée une fonction f de classe C1 sur [0 , +∞[ à valeurs dans un espace vectoriel

normé de dimension finie E telle que sa dérivée f 0 soit intégrable sur [0 , +∞[ , la série de

terme général vn = f (n) −

f est (normalement) convergente. La suite de terme général

f est de même nature (du point de vue de la convergence) que la série de terme

Z n

In =

0

général un = f (n) .

+ Cela résulte de l’égalité vn = −

Z n+1

n

Z n+1

Z n+1

n

(n + 1 − t)f 0(t) dt (intégration par parties) qui donne

la domination ||vn|| 6

de celle de P wn , elle même due à l’intégrabilité de f 0 (donc de ||f 0||) sur [0 , +∞[ .

||f 0(t)|| dt = wn . La convergence (normale) de P vn résulte

n

+ Par exemple la fonction f définie par f (t) =

sin ln(t + 1)

t + 1

est de classe C1 sur [0 , +∞[

et |f 0(t)| 6

2

(t + 1)2 qui est intégrable sur [0 , +∞[ . Le théoreme de comparaison a une

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Partie III : Séries à valeurs dans un espace vectoriel normé de dimension finie

Séries numériques ou vectorielles

intégrale s’applique donc pour la série

X

f (n − 1)

(n > 1) : Elle est de même nature

que la suite de terme général In =

X sin ln n

Ainsi la série

n

du théorème donnent

Z n

1

sin ln t

t

dt qui diverge puisque In = 1 − cos ln n .

est divergente. Cependant les inégalités dans la preuve ci-dessus

∀ n ∈ N∗,

(cid:12)

(cid:12)

(cid:12)

(cid:12)

(cid:12)

n

X

k=1

sin ln k

k

(cid:12)

(cid:12)

(cid:12)

(cid:12)

(cid:12)

6

Z +∞

|f 0| + In+1 6 4 .

0

+ En application du théorème de comparaison série-intégrale, le lecteur pourra montrer les

points suivants :

• pour chaque θ ∈ R la série

n1+iθ est divergente

• pour tout réel non nul θ les sommes partielles de la série sont bornées, en module

X 1

majorées par

1 + θ2 +

√

2

θ

·

+ Considérons la série de terme général un =

(θ ∈ R\2πZ) . Cette série n’est

pas absolument convergente et si l’on cherche a appliquer le théoreme de comparaison

einθ

n

eixθ

x

·

série-intégrale, on doit envisager l’intégrabilité de f 0 sur [1 , +∞[ où f (x) =

1

x

Malheureusement f 0 n’est pas intégrable, en revanche la “partie”

est à dérivée

intégrable. Une intégration de f par parties conduirait ici à primitiver eixθ . On “somme”

donc einθ : Sk =

posant S0 = 0 ,

k

X

n=1

einθ, pour que sa “dérivée” Sk − Sk−1 soit bien eikθ. On a ainsi, en

Un =

n

X

k=1

uk =

n

X

k=1

Sk − Sk−1

k

=

(cid:18) 1

k

n

X

k=1

Sk

|

1

k + 1

(cid:19)

}

−

{z

vk

+

Sn

n + 1

6

(cid:12)

(cid:12)

(cid:12)

(cid:12)

2

|1 − eiθ |

2

|1 − eiθ |

1

k2 donc la série de terme général vk est absolument convergente et

converge vers 0. Donc la série P un est convergente (mais non

Ici |vk| 6

(cid:12)

1

Sn

(cid:12)

(cid:12)

n + 1

n + 1

(cid:12)

absolument convergente ).

La transformation ainsi faite sur les sommes partielles de la série P un s’appelle Trans-

formation d’Abel (c’est l’analogue d’une intégration par parties). Cette transformation

donnera des résultats lorsque :

un = anbn , bn = Bn − Bn−1 , ou bn = Bn − Bn+1 ,

où Bn est le terme général d’une suite bornée et la série P(an − an+1) est absolument

convergente : Bn est la somme partielle de la série P bn ou son reste de Cauchy si elle

converge.

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Séries numériques ou vectorielles

Partie IV : Familles sommables

IV Familles sommables

IV.1 Définition et caractérisation des familles sommables

Une famille u = (ui)i∈I indexée par un ensemble I est une application de source I . On s’intéresse

ici au cas ou I est strictement dénombrable c’est a dire qu’il existe une bijection σ de N sur

I . On suppose également que la famille u est à valeurs dans un espace vectoriel normé E de

dimension finie. Dans ces conditions, on dit que la famille u est sommable si l’on peut choisir la

bijection σ de sorte que la fonction uσ en escalier sur [0 , +∞[ , co¨ıncidant sur chaque intervalle

[n , n + 1[ (n ∈ N) avec la constante uσ(n) , soit intégrable sur [0 , +∞[ . On montre enfin que

l’intégrale

uσ est indépendante du choix de la bijection σ . Sa valeur s’appelle somme de la

Z

R+

famille (sommable) u et se note

X

i∈I

ui . On a ainsi

X

i∈I

ui =

Z

uσ =

R+

∞

X

n=0

uσ(n) .

Théorème Caractérisation des familles sommables

Soit u = (ui)i∈I une famille indexée par un ensemble dénombrable à valeurs dans un espace

vectoriel normé de dimension finie E . Les conditions suivantes sont équivalentes :

(i) La famille u est sommable

(ii) Il existe une bijection σ : N 7−→ E telle que la série P uσ(n) soit normalement

convergente

(iii) Pour toute bijection σ : N 7−→ E la série P uσ(n) est normalement convergente

(iv) L’ensemble des sommes

||ui|| , où J décrit l’ensemble des parties finies de N , est

X

une partie majorée de R+

i∈J

(v) Il existe une suite (Jn)n∈N croissante de parties finies de I recouvrant I (i.e

telle que les sommes

X

i∈Jn

||ui|| soient majorées

[

n∈N

Jn = I)

(vi) Pour toute suite (Jn)n∈N croissante de parties finies de I recouvrant I les sommes

X

||ui|| sont majorées

i∈Jn

Lorsque l’une de ces conditions est vérifiée la somme de u est donnée par

X

i∈I

ui =

X

n∈N

uσ(n) = lim

n→∞

X

i∈Jn

ui

(1.9)

+ L’assertion (iv) montre que toute sous-famille d’une famille sommable est sommable. La

formule (1.9) est encore valable pour tout recouvrement croissant de I par une suite

croissante de parties (pas spécialement finies) de I .

+ L’assertion (ii) montre qu’une suite à valeurs dans un espace vectoriel normé de dimension

finie est sommable si et seulement si la série associée est normalement convergente.

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Séries numériques ou vectorielles

Partie IV : Familles sommables

+ Prenons la suite anharmonique : I = N∗ et u =

(cid:19)

(cid:18) (−1)i

i

i∈I

recouvrement croissant de I par les segments Jn = [[ 1 , 2n ]] donne

. Le choix dans (v) du

X

i∈Jn

X

i∈Jn

ui =

ui =

n

X

k=1

n

X

k=1

1

2k

−

n

X

k=1

1

2k − 1

=

n

X

k=1

1

2k

−

2n

X

k=1

1

k

−

n

X

k=1

1

2k

!

soit encore

1

k

−

2n

X

k=1

1

k

= (ln n + γ) − (cid:0)ln(2n) + γ(cid:1) + o(1) = − ln 2 + o(1)

d’après la formule (1.8) du §II.3 . On a donc

lim

n→+∞

X

i∈Jn

ui = − ln 2 =

+∞

X

i=1

ui . Mais on

peut aussi former un recouvrement croissant (J 0

que les sommes partielles

n)n∈N∗ de I par des parties finies telles

ui de la famille u le long de ce recouvrement divergent en

X

convergeant dans R :

L’exemple J 0

i∈J 0

n

n = {2k | k ∈ [[ 1 , n2 ]]} S{2k − 1 | k ∈ [[ 1 , n ]]} donne en effet (par l’usage

ui ∼

comme ci-dessus de la formule (9) du §2.3)

ln n .

X

L’exemple J 00

n = {2k | k ∈ [[ 1 , n ]]} S{2k − 1 | k ∈ [[ 1 , n2 ]]} donne un recouvrement

croissant de I par des parties finies telles que

ui ∼ −

ln n .

1

2

1

2

i∈J 0

n

X

i∈J 00

n

+ Si u = (ui)i∈I et v = (vj)j∈J sont deux familles sommables a valeurs dans une algebre

normée A de dimension finie, alors la famille produit w = (uivj)(i,j)∈I×J est sommable et

X

uivj =

X

X

ui

vj .

(i,j)∈I×J

i∈I

j∈J

+ Étude de la sommabilité de la famille de réels positifs u indexée par N∗p définie par

u(n1, ··· ,np) =

(n1 + · · · + np)α (p fixé dans N∗ et α dans R∗

+) :

1

La moyenne géométrique de p réels positifs étant inférieure à leur moyenne arithmétique,

on a u(n1, ··· ,np) 6

= v(n1, ··· ,np) . La famille v est la famille produit de la suite

1

α

p

p

α

p

n

1 · · · n

(cid:19)

(cid:18) 1

n

n∈N∗

α

p

riemannienne

p fois par elle même. Elle est donc sommable lorsque α > p .

Par domination, la famille u est sommable lorsque α > p et sa somme vérifie

X

(n1, ··· ,np)∈N∗p

1

(n1 + · · · + np)α

6

+∞

X

n=1

1

α

p

n

!p

.

Lorsque α 6 p , on a u(n1, ··· ,np) >

(n1 + · · · + np)p = w(n1, ··· ,np) . Pour n ∈ N∗, po-

sons Jn = {(n1, · · · , np) ∈ N∗p | n1 + · · · + np 6 n} . (Jn)n>p est un recouvre-

ment croissant de N∗p par une suite de parties finies vérifiant Card(Jn) = Cp

n . D’où

1

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Partie IV : Familles sommables

X

w(n1, ··· ,np) =

Cp−1

n−1

np

∼

n→+∞

1

(p − 1)! n

· La série harmonique étant divergente

(n1, ··· ,np)∈Jn\Jn−1

l’assertion (vi) du théorème de caractérisation des familles sommables est niée : ceci

montre que la famille w n’est pas sommable, et ainsi la famille u (majorant w > 0) n’est

pas sommable. Finalement la famille u est sommable si et seulement si α > p .

+ (Développement de Fourier d’une fonction 1-périodique) La famille c(f ) = (cid:0)ck(f )(cid:1)

k∈Z des

coefficients de Fourier d’une fonction f 1-périodique et continue par morceaux sur R à

valeurs dans K vérifie

|ck(f )|2 6

X

k∈J

Z 1

0

|f |2 pour toute partie finie J de Z : c(f ) est donc

une famille de carré sommable. Mais c(f ) n’est pas toujours sommable : On montre que si

f est de classe C1 par morceaux et continue sur R alors c(f ) est une famille sommable. Le

théorème de Parseval peut s’énoncer sous la forme : Pour tout couple de fonctions (f, g)

continues par morceaux sur R et 1-périodiques, la famille

est sommable

ck(f ) ck(g)

(cid:17)

(cid:16)

k∈Z

et sa somme vaut

Z 1

0

f g .

IV.2 Suites doubles et interversion des sommations

Une suite double est une famille indexée par l’ensemble dénombrable N2. Voici deux corollaires

du théorème de caractérisation des familles sommables :

Corollaire Interversion des sommations

Soit u = (ui,j)(i,j)∈N2 une suite double à valeurs dans un espace vectoriel normé de dimension

finie. Si u est sommable, alors les suites (ui,j)i∈N et (ui,j)j∈N sont sommables ainsi que les

suites de leurs sommes. De plus

X

ui,j =

∞

X

∞

X

!

ui,j

=

∞

X

∞

X

!

ui,j

.

(i,j)∈N2

i=0

j=0

j=0

i=0

Corollaire Produit de Cauchy de séries]

Soient P un et P vn des séries normalement convergentes a valeurs dans une algebre normée

de dimension finie . La série de terme général (u?v)n =

uivj est dite produit de Cauchy

X

des séries P un et P vn . Cette série est normalement convergente et

i+j=n

∞

X

n=0

(u ? v)n =

∞

X

un

∞

X

n=0

n=0

vn .

Le théorème de caractérisation formule (1.9) pour la famille sommable u et les recouvrements

(cid:16)

croissants de N2 par

donnent le corollaire d’interversion

(voir la premiere remarque suivant le théoreme ).

[[ 0 , n ]] ×N

et N ×

[[ 0 , n ]]

n∈N

n∈N

(cid:17)

(cid:16)

(cid:17)

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Partie IV : Familles sommables

Le second corollaire est le résultat du théorème de caractérisation formule (1.9) pour la famille

sommable w = (uivj)(i,j)∈N2 en prenant le recouvrement croissant de N2 par les ensembles finis

Jn =

(voir la deuxieme et la quatrieme remarque suivant le

théorème).

{(i, j) ∈ N2 | i + j 6 n}

n∈N

(cid:17)

(cid:16)

+ Propriété de l’exponentielle : Soit A une algèbre normée de dimension finie. Pour

est normalement convergente, donc par produit

tout a ∈ A la série exponentielle

de Cauchy, pour tout (a , b) ∈ A2,

X an

n!

exp(a) exp(b) =

∞

X

X

n=0

i+j=n

aibj

i! j!

=

∞

X

n=0

1

n!

n

X

i=0

Ci

n aibn−i

si ab=ba,

la formule du binôme donne alors exp(a) exp(b) = exp(a + b) . Et pour

b = −a , exp(a) exp(−a) = exp(OA) = exp(−a) exp(a) = 1A . Ainsi l’exponentielle est

une application de A à valeurs dans l’ensemble des éléments inversibles de A et pour

tout a ∈ A , (cid:0)exp(a)(cid:1)−1 = exp(−a) .

+ Exemple de suite double (non sommable) où les séries associées aux suites (ui,j)i∈N et

(ui,j)j∈N convergent mais où les séries associées aux suites de leurs sommes ne sont pas

de même nature :

Pour (i...