Cours de Mathématiques: Séries numériques ou vectorielles

d´efinie sur l’ensemble RN des suites r´eelles est r´eflexive, sym´etrique et transitive, c’est

pourquoi on l’appelle relation d’´equivalence. Un d´eveloppement limit´e de un lorsqu’il est

possible donnera ainsi un ´equivalent simple de un , pour lequel la r`egle d’´equivalence

ci-dessous permet de conclure quant-`a la nature de P un .

Corollaire R`egle d’´equivalence

Soient u et v deux suites r´eelles positives telles que un ∼ vn . Alors les s´eries associ´ees P un

et P vn sont de mˆeme nature (du point de vue de la convergence).

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Cours de Math´ematiques

S´eries num´eriques ou vectorielles

Partie II : S´eries `a termes r´eels positifs

En effet lorsque un ∼ vn on a aussi un = O(vn) et vn = O(un) .

Voici quelques exemples simples mais utiles (s´eries de Riemann) :

+ La suite r´eelle de terme g´en´eral Un = ln n est divergente donc la s´erie de terme g´en´eral

Un+1 − Un est divergente. Or

Un+1 − Un = ln

(cid:16)

1 +

(cid:17)

1

n

∼

1

n

(1.3)

Donc la s´erie harmonique

X 1

n

diverge.

+ Pour tout r´eel α 6 1 et tout n ∈ N∗, 0 <

diverge lorsque α 6 1 .

1

n

6 1

nα Donc par la r`egle de domination

X 1

nα

+ Pour tout r´eel α > 1 la suite de terme g´en´eral Un =

1

nα−1 converge (vers 0) donc la s´erie

de terme g´en´eral Un+1 − Un est convergente. Un d´eveloppement limit´e quand n tend vers

l’infini donne

Un+1 = Un

1 +

(cid:18)

(cid:19)1−α

1

n

= Un +

1 − α

nα + o

(cid:19)

(cid:18) 1

nα

soit encore

Un+1 − Un ∼

1 − α

nα

La regle d’´equivalence pour les s´erie a termes positifs montre ainsi que la s´erie

convergente lorsque α > 1 .

(1.4)

X 1

nα est

+ R`egle de Riemann : Soit u une suite r´eelle telle qu’il existe un r´eel non nul M et un

r´eel α v´erifiant un ∼

M

nα · La s´erie P un est convergente si et seulement si α > 1 .

+ Sommation des relations de domination, de n´egligeabilit´e et d’´equivalence :

Soient u et v deux suites r´eelles positives telles que un = O(vn) . Alors Un = O(Vn) , c’est

. Si un = o(vn) et si P un diverge, alors Un = o(Vn) . Enfin si

uk = O

(cid:16) n

X

`a dire

n

X

vk

(cid:17)

k=0

k=0

un ∼ vn et si P un diverge, alors Un ∼ Vn .

Soient u et v deux suites r´eelles positives telles que un = O(vn) et la s´erie P vn soit

(cid:17)

(cid:17)

(cid:16) ∞

X

(cid:16) ∞

X

∞

X

∞

X

vk

. Si un = o(vn) alors

uk = o

vk

.

convergente. Alors

uk = O

Enfin si un ∼ vn alors

k=n+1

∞

X

k=n+1

∞

X

vk.

uk ∼

k=n+1

k=n+1

Par exemple la sommation des relations d’´equivalence (1.3) donne

k=n+1

k=n+1

ln n ∼

n

X

k=1

1

k

(1.5)

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S´eries num´eriques ou vectorielles

Partie II : S´eries `a termes r´eels positifs

La sommation des relations d’´equivalence (1.4) pour α < 1 donne

n1−α

1 − α

∼

n

X

k=1

1

kα

De mˆeme la sommation des relations d’´equivalence (1.4) pour α > 1 donne

1

(α − 1)nα−1 ∼

∞

X

k=n+1

1

kα

II.2 Comparaison `a une s´erie g´eom´etrique

(1.6)

(1.7)

Une s´erie num´erique g´eom´etrique a pour terme g´en´eral un = u0rn o`u le r´eel non nul r est la

raison de u . Pour r ∈ R\{1}, Un =

· Une s´erie g´eom´etrique non nulle est

uk = u0

n

X

1 − rn+1

1 − r

k=0

convergente si et seulement si sa raison r v´erifie |r| < 1 . Lorsque cette condition est v´erifi´ee

∞

X

· Une s´erie g´eom´etrique non nulle P un est caract´eris´ee par la relation

uk =

= r .

un+1

un

u0

1 − r

k=0

Proposition

Si u et v sont deux suites r´eelles a termes strictement positifs et si, a partir d’un certain

rang,

alors un = O(vn) .

un+1

un

6 vn+1

vn

En particulier lorsque v est une suite g´eom´etrique, on a la

Proposition R`egle de d’Alembert

Si u est une suite r´eelle a termes strictement positifs et s’il existe un r´eel r < 1 tel qu’a

partir d’un certain rang

un+1

un

6 r , alors P un est convergente et

∞

X

k=n+1

un = O(rn) .

+ La regle de d’Alembert s’applique notamment lorsque la suite u a termes strictement

positifs est telle que la suite de terme g´en´eral

converge vers un r´eel ‘ < 1 .

un+1

un

+ lorsque z ∈ C∗ la r`egle de d’Alembert s’applique pour

X zn

tout z ∈ C la s´erie num´erique

n!

appelle sa somme exponentielle de z .

X |z|n

n!

(ici ‘ = 0) si bien que pour

est absolument convergente donc convergente. On

+ Lorsque la suite u a termes strictement positifs est telle qu’a partir d’un certain rang N ,

> 1 , la suite (un)n>N est croissante donc la s´erie P un est grossi`erement divergente.

un+1

un

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S´eries num´eriques ou vectorielles

Partie II : S´eries `a termes r´eels positifs

II.3 S´erie et int´egrale de fonction positive et d´ecroissante

Th´eor`eme

Soit f une fonction continue par morceaux sur [0 , +∞[ `a valeurs dans [0 , +∞[ et

Z n+1

d´ecroissante. La s´erie de terme g´en´eral vn = f (n) −

f est convergente. En particulier

la s´erie de terme g´en´eral un = f (n) est convergente si et seulement si f est int´egrable sur

[0 , +∞[ .

n

En effet cela r´esulte directement de l’encadrement 0 6 vn 6 un − un+1 et du th´eor`eme de

majoration des sommes partielles puisqu’alors Vn =

n

X

vk 6 u0 .

+ Par exemple pour f (t) =

1

t + 1

k=0

le th´eor`eme ci-dessus permet de pr´eciser l’´equivalence

(1.5) par la convergence de la suite de terme g´en´eral Vn =

n

X

k=0

1

k + 1

− ln(n + 2) . La limite

de cette suite s’appelle constante d’Euler et se note γ . On a ainsi un d´eveloppement limit´e

`a l’ordre 0 de la somme de la s´erie harmonique :

n

X

k=1

1

k

= ln n + γ + o(1)

(1.8)

+ Pour f (t) =

1

(t + 2) lnα(t + 2)

, f est int´egrable sur [0 , +∞[ si et seulement si le r´eel α

est strictement sup´erieur a 1. Le th´eoreme ci- dessus montre que la s´erie de terme g´en´eral

1

n lnα n

est convergente si et seulement si α > 1 .

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Partie III : S´eries `a valeurs dans un espace vectoriel norm´e de dimension finie

S´eries num´eriques ou vectorielles

III S´eries `a valeurs dans un espace vectoriel norm´e de

dimension finie

Le Critere de Cauchy et de la regle de domination pour les s´eries `a termes r´eels positifs

conduisent au

Th´eor`eme de domination

Soit u = (un)n∈N une suite `a valeurs dans un espace vectoriel norm´e de dimension finie,

pour laquelle il existe une suite `a valeurs r´eelles positives v telle que kunk = O(vn) et

P vn converge. Alors la s´erie P un est (normalement) convergente et sa somme v´erifie

∞

(cid:12)

(cid:12)

X

(cid:12)

(cid:12)

(cid:12)

(cid:12)

∞

X

vn .

(cid:12)

(cid:12)

(cid:12)

(cid:12)

(cid:12)

(cid:12)

un

6

n=0

n=0

Une K-alg`ebre A est dite norm´ee lorsqu’elle est munie d’une norme k · k v´erifiant

∀(a , b) ∈ A2, kabk 6 kak kbk .

Par exemple (cid:0)K , | · |(cid:1) est une K-alg`ebre norm´ee. Lorsque (cid:0)E , k · k(cid:1) est un espace vectoriel

norm´e de dimension finie, la norme d´efinie sur L(E) par

∀u ∈ L(E) , |||u||| = sup {ku(x)k ; x ∈ E , kxk = 1}

fait de L(E) une K-alg`ebre norm´ee.

Le th´eor`eme de domination a les corollaires suivants :

Corollaire s´erie g´eom´etrique

Soit (cid:0)A , k·k(cid:1) une K-alg`ebre norm´ee de dimension finie. Pour tout u ∈ A v´erifiant kuk < 1 ,

la s´erie P un est (normalement) convergente et sa somme

1A − u .

∞

X

n=0

un est inversible, d’inverse

Corollaire s´erie exponentielle

Soit (cid:0)A , k · k(cid:1) une K-alg`ebre norm´ee de dimension finie. Pour tout u ∈ A , la s´erie

X un

n!

est (normalement) convergente. Sa somme

exp u .

+∞

X

n=0

un

n!

s’appelle exponentielle de u et se note

Sous les conditions du Corollaire on a aussi k exp uk 6 exp(kuk) .

III.1 Cas des s´eries `a valeurs r´eelles et altern´ees

Une suite r´eelle u est dite altern´ee lorsque la suite de terme g´en´eral (−1)nun est de signe

constant. Lorsque la suite de terme g´en´eral |un| est d´ecroissante les suites de terme g´en´eral

U2n =

2n

X

k=0

uk et U2n+1 =

2n+1

X

k=0

uk sont monotones de sens contraire. Il en r´esulte le

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Partie III : S´eries `a valeurs dans un espace vectoriel norm´e de dimension finie

S´eries num´eriques ou vectorielles

Th´eor`eme des s´eries altern´ees

Soit u une suite r´eelle altern´ee telle que la suite de terme g´en´eral |un| soit d´ecroissante

de limite nulle. Alors la s´erie P un est convergente, sa somme

un a le signe de u0 et

∞

X

(cid:12)

(cid:12)

(cid:12)

∞

X

n=0

(cid:12)

(cid:12)

(cid:12)

un

6 |u0| .

n=0

+ Par exemple les s´eries riemanniennes altern´ees

X (−1)n

(n + 1)α convergent si et seulement si

le r´eel α est strictement positif et alors leur reste de Cauchy est tel que

(cid:12)

(cid:12)

(cid:12)

+∞

X

k=n

(−1)k

(k + 1)α

(cid:12)

(cid:12)

(cid:12)

6

1

(n + 1)α ·

+ Une s´erie num´erique peut ˆetre convergente sans ˆetre absolument convergente (cas

pr´ec´edent pour α ∈]0 , 1]).

+ deux suites r´eelles peuvent ˆetre ´equivalentes sans que les s´eries associ´ees soient de mˆeme

· Ici un ∼ vn et P un converge

et vn = un +

nature. C’est le cas pour un =

alors que P vn diverge.

(−1)n

√

n + 1

1

n + 1

III.2 Comparaison d’une s´erie `a une int´egrale

Lorsque le th´eoreme de domination n’est pas applicable, et que l’on a affaire a une s´erie de

terme g´en´eral un = f (n) ou f est une fonction de classe C1 r´eelle ou a valeurs dans un espace

vectoriel norm´e de dimension finie, on peut penser au th´eor`eme suivant :

Th´eor`eme de comparaison s´erie-int´egrale

´Etant donn´ee une fonction f de classe C1 sur [0 , +∞[ `a valeurs dans un espace vectoriel

norm´e de dimension finie E telle que sa d´eriv´ee f 0 soit int´egrable sur [0 , +∞[ , la s´erie de

terme g´en´eral vn = f (n) −

f est (normalement) convergente. La suite de terme g´en´eral

f est de mˆeme nature (du point de vue de la convergence) que la s´erie de terme

Z n

In =

0

g´en´eral un = f (n) .

+ Cela r´esulte de l’´egalit´e vn = −

Z n+1

n

Z n+1

Z n+1

n

(n + 1 − t)f 0(t) dt (int´egration par parties) qui donne

la domination ||vn|| 6

de celle de P wn , elle mˆeme due `a l’int´egrabilit´e de f 0 (donc de ||f 0||) sur [0 , +∞[ .

||f 0(t)|| dt = wn . La convergence (normale) de P vn r´esulte

n

+ Par exemple la fonction f d´efinie par f (t) =

sin ln(t + 1)

t + 1

est de classe C1 sur [0 , +∞[

et |f 0(t)| 6

2

(t + 1)2 qui est int´egrable sur [0 , +∞[ . Le th´eoreme de comparaison a une

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Partie III : S´eries `a valeurs dans un espace vectoriel norm´e de dimension finie

S´eries num´eriques ou vectorielles

int´egrale s’applique donc pour la s´erie

X

f (n − 1)

(n > 1) : Elle est de mˆeme nature

que la suite de terme g´en´eral In =

X sin ln n

Ainsi la s´erie

n

du th´eor`eme donnent

Z n

1

sin ln t

t

dt qui diverge puisque In = 1 − cos ln n .

est divergente. Cependant les in´egalit´es dans la preuve ci-dessus

∀ n ∈ N∗,

(cid:12)

(cid:12)

(cid:12)

(cid:12)

(cid:12)

n

X

k=1

sin ln k

k

(cid:12)

(cid:12)

(cid:12)

(cid:12)

(cid:12)

6

Z +∞

|f 0| + In+1 6 4 .

0

+ En application du th´eor`eme de comparaison s´erie-int´egrale, le lecteur pourra montrer les

points suivants :

• pour chaque θ ∈ R la s´erie

n1+iθ est divergente

• pour tout r´eel non nul θ les sommes partielles de la s´erie sont born´ees, en module

X 1

major´ees par

1 + θ2 +

√

2

θ

·

+ Consid´erons la s´erie de terme g´en´eral un =

(θ ∈ R\2πZ) . Cette s´erie n’est

pas absolument convergente et si l’on cherche a appliquer le th´eoreme de comparaison

einθ

n

eixθ

x

·

s´erie-int´egrale, on doit envisager l’int´egrabilit´e de f 0 sur [1 , +∞[ o`u f (x) =

1

x

Malheureusement f 0 n’est pas int´egrable, en revanche la “partie”

est `a d´eriv´ee

int´egrable. Une int´egration de f par parties conduirait ici `a primitiver eixθ . On “somme”

donc einθ : Sk =

posant S0 = 0 ,

k

X

n=1

einθ, pour que sa “d´eriv´ee” Sk − Sk−1 soit bien eikθ. On a ainsi, en

Un =

n

X

k=1

uk =

n

X

k=1

Sk − Sk−1

k

=

(cid:18) 1

k

n

X

k=1

Sk

|

1

k + 1

(cid:19)

}

−

{z

vk

+

Sn

n + 1

6

(cid:12)

(cid:12)

(cid:12)

(cid:12)

2

|1 − eiθ |

2

|1 − eiθ |

1

k2 donc la s´erie de terme g´en´eral vk est absolument convergente et

converge vers 0. Donc la s´erie P un est convergente (mais non

Ici |vk| 6

(cid:12)

1

Sn

(cid:12)

(cid:12)

n + 1

n + 1

(cid:12)

absolument convergente ).

La transformation ainsi faite sur les sommes partielles de la s´erie P un s’appelle Trans-

formation d’Abel (c’est l’analogue d’une int´egration par parties). Cette transformation

donnera des r´esultats lorsque :

un = anbn , bn = Bn − Bn−1 , ou bn = Bn − Bn+1 ,

o`u Bn est le terme g´en´eral d’une suite born´ee et la s´erie P(an − an+1) est absolument

convergente : Bn est la somme partielle de la s´erie P bn ou son reste de Cauchy si elle

converge.

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S´eries num´eriques ou vectorielles

Partie IV : Familles sommables

IV Familles sommables

IV.1 D´efinition et caract´erisation des familles sommables

Une famille u = (ui)i∈I index´ee par un ensemble I est une application de source I . On s’int´eresse

ici au cas ou I est strictement d´enombrable c’est a dire qu’il existe une bijection σ de N sur

I . On suppose ´egalement que la famille u est `a valeurs dans un espace vectoriel norm´e E de

dimension finie. Dans ces conditions, on dit que la famille u est sommable si l’on peut choisir la

bijection σ de sorte que la fonction uσ en escalier sur [0 , +∞[ , co¨ıncidant sur chaque intervalle

[n , n + 1[ (n ∈ N) avec la constante uσ(n) , soit int´egrable sur [0 , +∞[ . On montre enfin que

l’int´egrale

uσ est ind´ependante du choix de la bijection σ . Sa valeur s’appelle somme de la

Z

R+

famille (sommable) u et se note

X

i∈I

ui . On a ainsi

X

i∈I

ui =

Z

uσ =

R+

∞

X

n=0

uσ(n) .

Th´eor`eme Caract´erisation des familles sommables

Soit u = (ui)i∈I une famille index´ee par un ensemble d´enombrable `a valeurs dans un espace

vectoriel norm´e de dimension finie E . Les conditions suivantes sont ´equivalentes :

(i) La famille u est sommable

(ii) Il existe une bijection σ : N 7−→ E telle que la s´erie P uσ(n) soit normalement

convergente

(iii) Pour toute bijection σ : N 7−→ E la s´erie P uσ(n) est normalement convergente

(iv) L’ensemble des sommes

||ui|| , o`u J d´ecrit l’ensemble des parties finies de N , est

X

une partie major´ee de R+

i∈J

(v) Il existe une suite (Jn)n∈N croissante de parties finies de I recouvrant I (i.e

telle que les sommes

X

i∈Jn

||ui|| soient major´ees

[

n∈N

Jn = I)

(vi) Pour toute suite (Jn)n∈N croissante de parties finies de I recouvrant I les sommes

X

||ui|| sont major´ees

i∈Jn

Lorsque l’une de ces conditions est v´erifi´ee la somme de u est donn´ee par

X

i∈I

ui =

X

n∈N

uσ(n) = lim

n→∞

X

i∈Jn

ui

(1.9)

+ L’assertion (iv) montre que toute sous-famille d’une famille sommable est sommable. La

formule (1.9) est encore valable pour tout recouvrement croissant de I par une suite

croissante de parties (pas sp´ecialement finies) de I .

+ L’assertion (ii) montre qu’une suite `a valeurs dans un espace vectoriel norm´e de dimension

finie est sommable si et seulement si la s´erie associ´ee est normalement convergente.

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S´eries num´eriques ou vectorielles

Partie IV : Familles sommables

+ Prenons la suite anharmonique : I = N∗ et u =

(cid:19)

(cid:18) (−1)i

i

i∈I

recouvrement croissant de I par les segments Jn = [[ 1 , 2n ]] donne

. Le choix dans (v) du

X

i∈Jn

X

i∈Jn

ui =

ui =

n

X

k=1

n

X

k=1

1

2k

−

n

X

k=1

1

2k − 1

=

n

X

k=1

1

2k

−

2n

X

k=1

1

k

−

n

X

k=1

1

2k

!

soit encore

1

k

−

2n

X

k=1

1

k

= (ln n + γ) − (cid:0)ln(2n) + γ(cid:1) + o(1) = − ln 2 + o(1)

d’apr`es la formule (1.8) du §II.3 . On a donc

lim

n→+∞

X

i∈Jn

ui = − ln 2 =

+∞

X

i=1

ui . Mais on

peut aussi former un recouvrement croissant (J 0

que les sommes partielles

n)n∈N∗ de I par des parties finies telles

ui de la famille u le long de ce recouvrement divergent en

X

convergeant dans R :

L’exemple J 0

i∈J 0

n

n = {2k | k ∈ [[ 1 , n2 ]]} S{2k − 1 | k ∈ [[ 1 , n ]]} donne en effet (par l’usage

ui ∼

comme ci-dessus de la formule (9) du §2.3)

ln n .

X

L’exemple J 00

n = {2k | k ∈ [[ 1 , n ]]} S{2k − 1 | k ∈ [[ 1 , n2 ]]} donne un recouvrement

croissant de I par des parties finies telles que

ui ∼ −

ln n .

1

2

1

2

i∈J 0

n

X

i∈J 00

n

+ Si u = (ui)i∈I et v = (vj)j∈J sont deux familles sommables a valeurs dans une algebre

norm´ee A de dimension finie, alors la famille produit w = (uivj)(i,j)∈I×J est sommable et

X

uivj =

X

X

ui

vj .

(i,j)∈I×J

i∈I

j∈J

+ ´Etude de la sommabilit´e de la famille de r´eels positifs u index´ee par N∗p d´efinie par

u(n1, ··· ,np) =

(n1 + · · · + np)α (p fix´e dans N∗ et α dans R∗

+) :

1

La moyenne g´eom´etrique de p r´eels positifs ´etant inf´erieure `a leur moyenne arithm´etique,

on a u(n1, ··· ,np) 6

= v(n1, ··· ,np) . La famille v est la famille produit de la suite

1

α

p

p

α

p

n

1 · · · n

(cid:19)

(cid:18) 1

n

n∈N∗

α

p

riemannienne

p fois par elle mˆeme. Elle est donc sommable lorsque α > p .

Par domination, la famille u est sommable lorsque α > p et sa somme v´erifie

X

(n1, ··· ,np)∈N∗p

1

(n1 + · · · + np)α

6

+∞

X

n=1

1

α

p

n

!p

.

Lorsque α 6 p , on a u(n1, ··· ,np) >

(n1 + · · · + np)p = w(n1, ··· ,np) . Pour n ∈ N∗, po-

sons Jn = {(n1, · · · , np) ∈ N∗p | n1 + · · · + np 6 n} . (Jn)n>p est un recouvre-

ment croissant de N∗p par une suite de parties finies v´erifiant Card(Jn) = Cp

n . D’o`u

1

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Michel Lepez

Cours de Math´ematiques

S´eries num´eriques ou vectorielles

Partie IV : Familles sommables

X

w(n1, ··· ,np) =

Cp−1

n−1

np

∼

n→+∞

1

(p − 1)! n

· La s´erie harmonique ´etant divergente

(n1, ··· ,np)∈Jn\Jn−1

l’assertion (vi) du th´eor`eme de caract´erisation des familles sommables est ni´ee : ceci

montre que la famille w n’est pas sommable, et ainsi la famille u (majorant w > 0) n’est

pas sommable. Finalement la famille u est sommable si et seulement si α > p .

+ (D´eveloppement de Fourier d’une fonction 1-p´eriodique) La famille c(f ) = (cid:0)ck(f )(cid:1)

k∈Z des

coefficients de Fourier d’une fonction f 1-p´eriodique et continue par morceaux sur R `a

valeurs dans K v´erifie

|ck(f )|2 6

X

k∈J

Z 1

0

|f |2 pour toute partie finie J de Z : c(f ) est donc

une famille de carr´e sommable. Mais c(f ) n’est pas toujours sommable : On montre que si

f est de classe C1 par morceaux et continue sur R alors c(f ) est une famille sommable. Le

th´eor`eme de Parseval peut s’´enoncer sous la forme : Pour tout couple de fonctions (f, g)

continues par morceaux sur R et 1-p´eriodiques, la famille

est sommable

ck(f ) ck(g)

(cid:17)

(cid:16)

k∈Z

et sa somme vaut

Z 1

0

f g .

IV.2 Suites doubles et interversion des sommations

Une suite double est une famille index´ee par l’ensemble d´enombrable N2. Voici deux corollaires

du th´eor`eme de caract´erisation des familles sommables :

Corollaire Interversion des sommations

Soit u = (ui,j)(i,j)∈N2 une suite double `a valeurs dans un espace vectoriel norm´e de dimension

finie. Si u est sommable, alors les suites (ui,j)i∈N et (ui,j)j∈N sont sommables ainsi que les

suites de leurs sommes. De plus

X

ui,j =

∞

X

∞

X

!

ui,j

=

∞

X

∞

X

!

ui,j

.

(i,j)∈N2

i=0

j=0

j=0

i=0

Corollaire Produit de Cauchy de s´eries]

Soient P un et P vn des s´eries normalement convergentes a valeurs dans une algebre norm´ee

de dimension finie . La s´erie de terme g´en´eral (u?v)n =

uivj est dite produit de Cauchy

X

des s´eries P un et P vn . Cette s´erie est normalement convergente et

i+j=n

∞

X

n=0

(u ? v)n =

∞

X

un

∞

X

n=0

n=0

vn .

Le th´eor`eme de caract´erisation formule (1.9) pour la famille sommable u et les recouvrements

(cid:16)

croissants de N2 par

donnent le corollaire d’interversion

(voir la premiere remarque suivant le th´eoreme ).

[[ 0 , n ]] ×N

et N ×

[[ 0 , n ]]

n∈N

n∈N

(cid:17)

(cid:16)

(cid:17)

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Partie IV : Familles sommables

Le second corollaire est le r´esultat du th´eor`eme de caract´erisation formule (1.9) pour la famille

sommable w = (uivj)(i,j)∈N2 en prenant le recouvrement croissant de N2 par les ensembles finis

Jn =

(voir la deuxieme et la quatrieme remarque suivant le

th´eor`eme).

{(i, j) ∈ N2 | i + j 6 n}

n∈N

(cid:17)

(cid:16)

+ Propri´et´e de l’exponentielle : Soit A une alg`ebre norm´ee de dimension finie. Pour

est normalement convergente, donc par produit

tout a ∈ A la s´erie exponentielle

de Cauchy, pour tout (a , b) ∈ A2,

X an

n!

exp(a) exp(b) =

∞

X

X

n=0

i+j=n

aibj

i! j!

=

∞

X

n=0

1

n!

n

X

i=0

Ci

n aibn−i

si ab=ba,

la formule du binˆome donne alors exp(a) exp(b) = exp(a + b) . Et pour

b = −a , exp(a) exp(−a) = exp(OA) = exp(−a) exp(a) = 1A . Ainsi l’exponentielle est

une application de A `a valeurs dans l’ensemble des ´el´ements inversibles de A et pour

tout a ∈ A , (cid:0)exp(a)(cid:1)−1 = exp(−a) .

+ Exemple de suite double (non sommable) o`u les s´eries associ´ees aux suites (ui,j)i∈N et

(ui,j)j∈N convergent mais o`u les s´eries associ´ees aux suites de leurs sommes ne sont pas

de mˆeme nature :

Pour (i...