Cours de Mathématiques: Courbes et surfaces

Ce cours de mathématiques s'adresse aux étudiants souhaitant approfondir la compréhension des courbes et surfaces en géométrie différentielle. Il couvre les nappes paramétrées, les propriétés affines, les arcs paramétrés, leur rectification, l'abscisse curviligne, ainsi que les formules de Frenet pour les arcs plans.

Nappes paramétrées et propriétés affines

Soit E un espace affine euclidien orienté de dimension 3 muni d'un repère orthonormé direct (0, →ı , → , →k). Un point M de E est identifié par ses coordonnées (x, y, z) dans ce repère.

Définition (Nappes paramétrées) : Une nappe paramétrée est un couple (U, f) où U est un ouvert non vide de ℝ² et f : U → E est une application de classe C¹. Pour (u, v) ∈ U, le point M(u, v) = f(u, v) appartient à la nappe.

• Le support de la nappe est l'ensemble f(U) ⊂ E.
• Un point M est dit simple s'il correspond à un unique couple (u, v), sinon il est multiple.
• Si f est de classe Cᵏ, k ≥ 1, on parle de nappe de classe Cᵏ.

Point régulier d’une nappe paramétrée : Un point M(u₀, v₀) est régulier si les vecteurs partiels ∂f/∂u(u₀, v₀) et ∂f/∂v(u₀, v₀) sont linéairement indépendants. Sinon, il est stationnaire. Une nappe est régulière si tous ses points le sont.

Cas particulier : Une nappe cartésienne s’écrit sous la forme (x, y) ↦ M(x, y) = (x, y, ϕ(x, y)) avec ϕ de classe C¹. Cette nappe est simple et régulière car les vecteurs ∂f/∂x = (1, 0, ∂ϕ/∂x) et ∂f/∂y = (0, 1, ∂ϕ/∂y) sont libres.

Définition (Surface) : Soit F une application de classe C¹ d’un ouvert V de ℝ³ vers ℝ. La surface S d’équation F(x, y, z) = 0 est l’ensemble des points M(x, y, z) tels que F(x, y, z) = 0.

Point régulier d’une surface : Un point M₀ = (x₀, y₀, z₀) de la surface est régulier si le gradient gradF(M₀) ≠ 0, c’est-à-dire si au moins une des dérivées partielles ∂F/∂x, ∂F/∂y, ∂F/∂z en M₀ est non nulle.

Paramétrage local d’une surface : La surface S admet un paramétrage local en M₀ s’il existe un ouvert U₀ contenant M₀ et une nappe paramétrée (U, f) dont le support est S ∩ U₀. Si M₀ est régulier, un tel paramétrage local existe. Par exemple, si ∂F/∂z(x₀, y₀, z₀) ≠ 0, on peut paramétrer localement la surface par z = ϕ(x, y).

Plan tangent en un point régulier :

• Pour une nappe paramétrée (U, f), le plan tangent en M(u₀, v₀) est le plan passant par M(u₀, v₀) et dirigé par les vecteurs ∂f/∂u(u₀, v₀) et ∂f/∂v(u₀, v₀). Son équation est donnée par :

det(−−−→M₀M, ∂f/∂u(u₀, v₀), ∂f/∂v(u₀, v₀)) = 0.

• Pour une surface d’équation F(M) = 0, le plan tangent en M₀ est le plan affine passant par M₀ et orthogonal au vecteur gradF(M₀). Son équation est :

∂F/∂x(M₀)(X − x₀) + ∂F/∂y(M₀)(Y − y₀) + ∂F/∂z(M₀)(Z − z₀) = 0.

Ces deux notions de plan tangent coïncident si la surface admet un paramétrage local en M₀.

Droite tangente et normale : La tangente en M₀ est toute droite passant par M₀ contenue dans le plan tangent. La normale en M₀ est la droite passant par M₀ orthogonale au plan tangent.

La normale est dirigée par :

• Pour une surface : le vecteur gradF(M₀).
• Pour une nappe paramétrée : le vecteur ∂f/∂u(u₀, v₀) ∧ ∂f/∂v(u₀, v₀) (produit vectoriel).

Intersection de deux surfaces :

• Soient deux surfaces S₁ et S₂ d’équations F₁(M) = 0 et F₂(M) = 0. Leur intersection Γ contient un point M₀ régulier pour les deux surfaces.
• Soient P₁ et P₂ les plans tangents en M₀. Si P₁ = P₂, les surfaces sont tangentes en M₀.
• Si P₁ ≠ P₂, la droite D = P₁ ∩ P₂ est la tangente en M₀ à un arc paramétré inclus dans Γ. Un vecteur directeur de D est donné par gradF₁(M₀) ∧ gradF₂(M₀).

Arcs paramétrés : propriétés métriques

On considère un espace affine euclidien orienté E de dimension 2 ou 3 muni d’un repère orthonormé direct. Un arc paramétré est une application f définie sur un intervalle I = [a, b] dans E.

Rectification d’un arc paramétré

Définition (Ligne polygonale inscrite) : Pour une subdivision σ = {t₀ = a < t₁ < ... < tₙ = b} de [a, b], la ligne polygonale inscrite dans l’arc (I, f) est la suite des points (M(tₖ))ₖ=0,...,n. Sa longueur est :

L_σ = Σ_{k=0}^{n-1} ||−−−−−−−−−→M(tₖ)M(tₖ₊₁)||.

Définition (Arc rectifiable) : L’arc (I, f) est rectifiable si l’ensemble des longueurs L_σ des lignes polygonales inscrites est majoré. Sa longueur est alors :

L = sup_σ L_σ.

Proposition : Si f est de classe C¹, alors l’arc est rectifiable et sa longueur est :

L = ∫_a^b ||f'(t)|| dt.

Invariance par changement de paramétrage : Si f et g sont deux représentations paramétriques du même arc liées par un C¹-difféomorphisme ϕ : I → J tel que f = g ◦ ϕ, alors les longueurs des arcs (I, f) et (J, g) sont égales.

Cas particuliers de calcul de longueur

• Arc plan défini par (x(t), y(t)) : L = ∫_a^b √(x'²(t) + y'²(t)) dt.
• Arc plan défini par y = y(x) : L = ∫_a^b √(1 + (y'(x))²) dx.
• Arc plan en coordonnées polaires ρ = ρ(θ) : L = ∫_a^b √(ρ²(θ) + ρ'²(θ)) dθ.
• Arc gauche en coordonnées cartésiennes (x(t), y(t), z(t)) : L = ∫_a^b √(x'²(t) + y'²(t) + z'²(t)) dt.
• Arc gauche en coordonnées cylindriques (ρ(θ), z(θ)) : L = ∫_a^b √(ρ²(θ) + ρ'²(θ) + z'²(θ)) dθ.

Abscisse curviligne

Soit (I, f) un arc paramétré de classe C¹ et t₀ ∈ I. Pour t ∈ I, la longueur de l’arc restreint à [t₀, t] est notée L(t). On définit l’abscisse curviligne S par :

• Pour t ≥ t₀ : S(t) = L(t) ≥ 0.
• Pour t ≤ t₀ : S(t) = −L(t) ≤ 0.

Autrement dit :

S(t) = ∫_{t₀}^t ||f'(u)|| du.

L’abscisse curviligne S oriente l’arc dans le sens des t croissants avec M(t₀) comme origine (S(t₀) = 0).

Propriétés :

• S est de classe C¹ et strictement croissante si l’arc est régulier ou si les points non réguliers sont isolés.
• La dérivée S'(t) = ||f'(t)||.

Paramétrage par abscisse curviligne : Si l’arc est régulier et de classe Cᵏ, k ≥ 1, alors S est un Cᵏ-difféomorphisme de I sur un intervalle J. L’arc peut être reparamétré par s ∈ J avec g(s) = f(S⁻¹(s)). Cette nouvelle paramétrisation est dite normale.

Le vecteur tangent unitaire est alors :

→T(s) = d/ds (−−→OM(s)) = (d/dt (−−→OM(t))) / (ds/dt) = f'(t) / ||f'(t)||.

Formules de Frenet pour un arc plan

Soit (I, f) un arc plan de classe C¹ régulier, orienté par une abscisse curviligne s.

Repère de Frenet : Au point M(s), on définit :

• Le vecteur tangent unitaire →T(s).
• Le vecteur normal unitaire →N(s), orthogonal à →T(s), tel que (→T(s), →N(s)) soit un repère orthonormé direct.

La droite passant par M(s) et dirigée par →N(s) est la normale à l’arc en M(s).

Courbure : Si l’arc est de classe C², il existe un réel c(s) tel que :

d→T(s)/ds = c(s) →N(s).

Ce réel c(s) est la courbure de l’arc en M(s). La courbure est une quantité algébrique, pouvant être positive ou négative, et de classe C^{k−2} si l’arc est de classe Cᵏ.

En dérivant la relation →T(s) · →N(s) = 0, on obtient :

d→N(s)/ds = −c(s) →T(s).

Ces deux égalités sont appelées les formules de Frenet :

d→T(s)/ds = c(s) →N(s)
d→N(s)/ds = −c(s) →T(s)

Point birégulier : Un point M(t) est birégulier si les vecteurs f'(t) et f''(t) sont linéairement indépendants.

Rayon et centre de courbure : En un point birégulier M(s) où c(s) ≠ 0, on définit :

• Le rayon de courbure R(s) = 1 / c(s).
• Le centre de courbure Ω(s) = M(s) + R(s) →N(s).

Le cercle de centre Ω(s) et de rayon R(s) est appelé cercle de courbure en M(s). Le rayon de courbure peut être négatif, ce qui correspond à une orientation inversée.

Si on inverse l’orientation de l’arc, →N(s), c(s) et R(s) changent de signe, mais Ω(s) reste inchangé, restant dans la concavité de la courbe.

Angle polaire ϕ du vecteur tangent

Pour un arc plan régulier de classe Cᵏ, k ≥ 1, muni d’une abscisse curviligne s, il existe une fonction ϕ : J → ℝ de classe C^{k−1} telle que :

→T(s) = cos ϕ(s) →i + sin ϕ(s) →j
→N(s) = −sin ϕ(s) →i + cos ϕ(s) →j

La courbure s’exprime alors par :

c(s) = dϕ/ds.

Le rayon de courbure est :

R(s) = ds/dϕ.

Formules explicites du rayon de courbure

• Pour un arc paramétré cartésien (x(t), y(t)) :

R = ((x'² + y'²)^(3/2)) / (x' y'' − x'' y').

• Pour un arc défini par y = y(x) :

R = (1 + y'²)^(3/2) / y''.

• Pour un arc polaire ρ = ρ(θ) :

R = (ρ² + ρ'²)^(3/2) / (ρ² + 2ρ'² − ρ ρ'').

Développement local de l’arc en repère de Frenet

Soit M(s) un point de l’arc, et M(s₀) un point voisin. Dans le repère de Frenet en M(s₀), les coordonnées X(s), Y(s) de M(s) satisfont :

−−→OM(s) = −−→OM(s₀) + (s − s₀) →T(s₀) + (1/2)(s − s₀)² c(s₀) →N(s₀) + (s − s₀)² →ε(s)

avec →ε(s) un terme d’ordre supérieur. On en déduit :

R = lim_{M(s)→M(s₀)} (X(s)²) / (2 Y(s)).

Glossaire des termes clés

• Nappe paramétrée : Couple (U, f) où U est un ouvert de ℝ² et f : U → E est une application de classe C¹ définissant une surface paramétrée.
• Point régulier : Point où les vecteurs partiels du paramétrage sont linéairement indépendants.
• Surface : Ensemble défini par une équation F(x, y, z) = 0 avec F de classe C¹.
• Plan tangent : Plan passant par un point régulier et dirigé par les vecteurs tangents ou orthogonal au gradient de F.
• Arc paramétré : Application continue f définie sur un intervalle I dans un espace affine.
• Arc rectifiable : Arc dont la longueur des lignes polygonales inscrites est bornée.
• Abscisse curviligne : Fonction donnant la distance le long de l’arc depuis un point origine.
• Paramétrage normal : Paramétrage par l’abscisse curviligne, où le vecteur tangent est unitaire.
• Repère de Frenet : Repère orthonormé direct (→T, →N) associé à un arc plan, avec →T tangent unitaire et →N normal unitaire.
• Courbure : Fonction c(s) mesurant la variation du vecteur tangent selon l’abscisse curviligne.
• Point birégulier : Point où f' et f'' sont linéairement indépendants.
• Rayon de courbure : Inverse de la courbure, R(s) = 1/c(s).
• Centre de courbure : Point Ω(s) = M(s) + R(s) →N(s) définissant le cercle de courbure.

Points clés à retenir

• Une nappe paramétrée est une surface définie par une application C¹ d’un ouvert de ℝ² dans ℝ³.
• Le plan tangent en un point régulier peut être défini via les dérivées partielles du paramétrage ou le gradient de la fonction définissant la surface.
• Un arc paramétré de classe C¹ est rectifiable, sa longueur s’exprime par l’intégrale de la norme de sa dérivée.
• L’abscisse curviligne permet de reparamétrer un arc avec un paramètre naturel, où le vecteur tangent est unitaire.
• Les formules de Frenet relient la dérivée du vecteur tangent à la courbure et au vecteur normal.
• La courbure est une grandeur algébrique, pouvant être positive ou négative, et son inverse est le rayon de courbure.
• Le centre de courbure est le centre du cercle osculateur à la courbe en un point birégulier.
• Les formules explicites du rayon de courbure dépendent du type de paramétrage (cartésien, polaire, etc.).