Cours de Math´ematiques
Courbes et surfaces
Sommaire
Courbes et surfaces
Sommaire
I
II
Nappes param´etr´ees. propri´et´es affines . . . . . . . . . . . . . . . .
Arcs param´etr´es : propri´et´es m´etriques . . . . . . . . . . . . . . . .
Rectification d’un arc param´etr´e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Abscisse curviligne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Formules de Frenet pour un arc plan . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
II.1
II.2
II.3
2
4
4
5
6
c(cid:13)EduKlub S.A.
Page 1
Tous droits de l’auteur des œuvres r´eserv´es. Sauf autorisation, la reproduction ainsi que toute utilisation des œuvres autre que la consultation
individuelle et priv´ee sont interdites.
www.klubprepa.net
Jean-Michel Ferrard
Cours de Math´ematiques
Courbes et surfaces
Partie I : Nappes param´etr´ees. propri´et´es affines
I Nappes param´etr´ees. propri´et´es affines
E est un espace affine euclidien orient´e de dimension 3.
−→
Il est muni d’un rep`ere orthonorm´e direct (0, −→ı , −→ ,
k ).
On identifiera un point M de E avec le triplet (x, y, z) de ses coordonn´ees dans ce rep`ere.
D´efinition (Nappes param´etr´ees)
On appelle nappe param´etr´ee tout couple (U, f ), ou U est un ouvert non vide de IR3 et ou
f est une application de U dans E, de classe C1.
Remarques et d´efinitions
– Si f est de classe Ck, avec k ≥ 1, on parle de nappe de classe Ck.
Pour tout couple (u, v) de U , f (u, v) est appel´e point de param`etres u, v de la nappe pa-
ram´etr´ee (U, f ). On le note M (u, v).
– L’ensemble f (U ) ⊂ E est appel´e le support de la nappe param´etr´ee.
– Se donner la nappe param´etr´ee (U, f ) c’est se donner trois applications num´eriques x(u, v),
y(u, v) et z(u, v), de classe C1 sur U (coordonn´ees de M (u, v)).
– Un point M du support f (U ) de la nappe est dit simple s’il existe un unique couple (u, v)
de U tel que M = M (u, v).
Sinon M est dit multiple (double, triple, etc, ...).
D´efinition (Point r´egulier d’une nappe param´etr´ee)
Un point M (u0, v0) du support de la nappe (U, f ) est dit r´egulier si les vecteurs
∂F
∂v
On dit que la nappe (U, f ) est r´eguli`ere si tous ses points sont r´eguliers.
(M ) sont libres. Sinon il est dit stationnaire.
∂F
∂u
(M ) et
Cas particulier
– La nappe est dite cart´esienne si le param´etrage s’´ecrit (x, y) 7→ M (x, y) = (x, y, ϕ(x, y)).
On parle alors de la nappe d’´equation z = ϕ(x, y). Cette nappe est simple et r´eguli`ere.
En effet
∂F
∂x
(M ) = (1, 0,
∂ϕ
∂x
(x, y)) et
∂F
∂y
(M ) = (0, 1,
∂ϕ
∂y
x, y)) sont libres.
D´efinition (Notions de surface)
Soit F une application de classe C1 d’un ouvert V de IR3 vers IR.
L’ensemble S = {M (x, y, z), F (x, y, z) = 0} s’appelle la surface d’´equation F (x, y, z) = 0.
D´efinition (Point r´egulier d’une surface)
Un point M (x0, y0, z0) de la surface F (x, y, z) = 0 est dit r´egulier si gradF (M ) 6= 0, c’est-
`a-dire si :
(x0, y0, z0) 6= 0, ou
(x0, y0, z0) 6= 0, ou
(x0, y0, z0) 6= 0.
∂F
∂x
∂F
∂y
∂F
∂z
c(cid:13)EduKlub S.A.
Page 2
Tous droits de l’auteur des œuvres r´eserv´es. Sauf autorisation, la reproduction ainsi que toute utilisation des œuvres autre que la consultation
individuelle et priv´ee sont interdites.
www.klubprepa.net
Jean-Michel Ferrard
Cours de Math´ematiques
Courbes et surfaces
Partie I : Nappes param´etr´ees. propri´et´es affines
D´efinition (param´etrage local d’une surface)
On dit que la surface S admet un param´etrage local en M0 s’il existe un ouvert U0 contenant
M0, contenu dans V , et une nappe param´etr´ee (U, f ) de support S ∩ U0.
Remarque
– Si le point M0 est r´egulier alors la surface S admet en M0 un param´etrage local.
Par exemple si
∂F
∂z
(x0, y0, z0) 6= 0, alors il existe un param´etrage local du type z = ϕ(x, y).
D´efinition (Plan tangent en un point r´egulier d’une nappe)
Le plan tangent en un point r´egulier M (u0, v0) d’une nappe param´etr´ee (U, f ) est le plan
passant par M (u0, v0) et dirig´e par
(u0, v0) et
Publicité
(u0, v0).
∂f
∂u
∂f
∂v
Son ´equation est donc det
(cid:16)−−−→
M0M ,
∂f
∂u
(u0, v0),
(cid:17)
(u0, v0)
= 0.
∂f
∂v
D´efinition (Plan tangent en un point r´egulier d’une surface)
Le plan tangent en un point r´egulier M0 de la surface d´equation F (M ) = 0 est le plan affine
de E passant par le point M0 et orthogonal au vecteur gradF (M0).
∂F
∂z
Son ´equation est donc :
(M0)(Z − z0) = 0.
(M0)(X − x0) +
(M0)(Y − y0) +
∂F
∂x
∂F
∂y
Remarques
– Pour une surface ayant un param´etrage local en M0, les deux notions de plan tangent en M0
co¨ıncident.
– On appelle tangente en un point M0 d’une surface (d’une nappe param´etr´ee) toute droite
passant par M0 et contenue dans le plan tangent.
On appelle normale en M0 la droite passant par M0 et orthogonale au plan tangent.
– La normale en un point M0 r´egulier de la surface d’´equation F (M ) = 0 est dirig´ee par le
vecteur gradF (M ).
En un point r´egulier de la nappe (U, f ), elle est dirig´ee par le vecteur
∂f
∂u
(u0, v0) ∧
∂f
∂v
(u0, v0).
Intersection de deux surfaces
– Soient deux surfaces, S1 d’´equation F1(M ) = 0, et S2 d’´equation F2(M ) = 0.
On suppose que leur intersection Γ contient un point M0 r´egulier pour ces deux surfaces.
Soient P1 et P2 les deux plans tangents en M0.
– Si P1 = P2, on dit que les surfaces S1 et S2 sont tangentes en M0.
– Si P1 6= P2, la droite D = P∞ ∩ P∈ est la tangente en M0 `a un arc param´etr´e de support
inclus dans Γ. Un vecteur directeur de cette tangente est gradF1(M0) ∧ gradF2(M0).
c(cid:13)EduKlub S.A.
Page 3
Tous droits de l’auteur des œuvres r´eserv´es. Sauf autorisation, la reproduction ainsi que toute utilisation des œuvres autre que la consultation
individuelle et priv´ee sont interdites.
www.klubprepa.net
Jean-Michel Ferrard
Cours de Math´ematiques
Courbes et surfaces
Partie II : Arcs param´etr´es : propri´et´es m´etriques
II Arcs param´etr´es : propri´et´es m´etriques
On se place dans un espace affine E, euclidien orient´e, de dimension 2 ou 3.
On note E le IR-espace vectoriel associ´e.
On suppose que E est muni d’un rep`ere orthonorm´e direct.
II.1 Rectification d’un arc param´etr´e
D´efinition (Ligne polygonale inscrite dans un arc)
Soit (I = [a, b], f ) un arc param´etr´e continu de E (avec a < b).
Soit σ = {t0 = a < t1 < · · · < tn−1 < tn = b} une subdivision du segment [a, b].
La suite des points (M (tk))k=0,...,n est appel´ee ligne polygonale inscrite dans l’arc (I, f ).
La quantit´e Lσ =
n−1
X
k=0
(cid:13)
(cid:13)
(cid:13)
−−−−−−−−−−→
M (tk)M (tk+1)
(cid:13)
(cid:13)
(cid:13) est la longueur de cette ligne polygonale.
D´efinition (Arc rectifiable)
On dit que l’arc param´etr´e (I = [a, b], f ) est rectifiable si l’ensemble des longueurs des lignes
polygonales inscrites dans cet arc est major´e.
On appelle alors longueur de cet arc la quantit´e : L = sup
(L), le “Sup” ´etant pris sur
l’ensemble des subdivisions de [a, b].
σ
Proposition (Condition suffisante de rectifiabilit´e)
Si l’arc (I = [a, b], f ) est de classe C1 alors il est rectifiable et sa longueur est
Z b
a
kf 0(t)k dt.
Invariance par changement de param´etrage
On suppose que (I = [a, b], f ) et (J = [c, d], g) (avec a < b et c < d) sont deux repr´esentations
param´etriques du mˆeme arc de classe C1, ce qui signifie qu’il existe un C1-diff´eomorphisme ϕ
de I dans J tel que f = g ◦ ϕ. Alors les longueurs des arcs (I, f ) et (J, g) sont ´egales.
C’est une cons´equence de
Z b
a
kf 0(t)k dt =
Z b
a
kg0 ◦ ϕ(t)k |ϕ0(t)| dt =
Z d
c
kg0(u)k du.
Cas particuliers (Tous les arcs consid´er´es ici sont de classe C1 au moins)
– Arc plan d´efini par les applications coordonn´ees (x(t), y(t)) :
La longueur de l’arc (I = [a, b], f ) est L =
Publicité
– Arc plan d´efini par l’´equation y = y(x) :
La longueur de l’arc (I = [a, b], f ) est L =
Z b
a
Z b
a
px02(t) + y02(t) dt.
p1 + y02(x) dx.
c(cid:13)EduKlub S.A.
Page 4
Tous droits de l’auteur des œuvres r´eserv´es. Sauf autorisation, la reproduction ainsi que toute utilisation des œuvres autre que la consultation
individuelle et priv´ee sont interdites.
www.klubprepa.net
Jean-Michel Ferrard
Cours de Math´ematiques
Courbes et surfaces
Partie II : Arcs param´etr´es : propri´et´es m´etriques
– Arc plan d´efini, en polaires, par l’´equation ρ = ρ(θ) :
La longueur de l’arc (I = [a, b], f ) est L =
Z b
a
pρ2(θ) + ρ02(θ) dθ.
– Arc gauche d´efini en cart´esiennes par les applications x(t), y(t), z(t) :
px02(t) + y02(t) + z02(t) dt.
La longueur de (I = [a, b], f ) est L =
Z b
– Arc gauche d´efini en cylindriques par les applications ρ(θ), z(θ) :
a
La longueur de (I = [a, b], f ) est L =
Z b
a
pρ2(θ) + ρ02(θ) + z02(θ) dθ.
II.2 Abscisse curviligne
D´efinition
Soit (I, f ) un arc param´etr´e de classe C1, et soit t0 un ´el´ement de I.
Pour tout t dans I, la restriction de f `a [t0, t] d´efinit un arc param´etr´e rectifiable.
Notons L(t) la longueur de cet arc.
On pose alors : ∀t ≤ t0, S(t) = −L(t) ≤ 0, et ∀t ≥ t0, S(t) = L(t) ≥ 0.
Autrement dit : ∀t ∈ I, S(t) =
Z t
t0
kf 0(t)k dt.
On dit que l’application S est l’abscisse curviligne de l’arc (I, f ), orient´e dans le sens des t
croissants, avec M (t0) comme origine.
S(t) est appel´e abscisse curviligne de M (t). Celle de M (t0) est nulle.
Remarques
– Avec la mˆeme origine M (t0), on peut tr`es bien orienter l’arc dans le sens des t d´ecroissants,
ce qui signifie choisir pour abscisse curviligne S(t) =
Z t
kf 0(t)k dt.
En fait l’abscisse curviligne oriente l’arc “dans le sens des abscisses curvilignes croissantes”.
t0
– L’arc (I, f ) est orient´e dans le sens des t croissants, et on prend M (t0) pour origine.
Pour tout t de l’intervalle I, on a : S0(t) = kf 0(t)k =
(cid:13)
(cid:13)
(cid:13)
(cid:13)
(cid:13)
d
−−→
OM
dt
(cid:13)
(cid:13)
(cid:13)
.
(cid:13)
(cid:13)
– Si l’arc (I, f ) ne poss`ede que des points r´eguliers, ou si les points non r´eguliers sont isol´es,
alors l’application S est de classe C1 et strictement croissante sur I.
Param´etrage de l’arc par l’abscisse curviligne
– Si l’arc (I, f ) est de classe Ck avec k ≥ 1 et s’il est r´egulier, alors l’application S est un Ck-
diff´eomorphisme de I sur un intervalle J. L’arc param´etr´e (J, g = f ◦ S−1) et l’arc param´etr´e
(I, f ) sont alors deux repr´esentations param´etriques du mˆeme arc g´eom´etrique.
Pour tout s de J, le point M = f (t) = f ◦ S−1(s) est souvent not´e M (s).
L’abscisse curviligne d´efinit donc une nouvelle repr´esentation param´etrique de l’arc initial.
Quelque soit l’orientation choisie, l’arc est orient´e dans le sens des “s croissants”.
c(cid:13)EduKlub S.A.
Page 5
Tous droits de l’auteur des œuvres r´eserv´es. Sauf autorisation, la reproduction ainsi que toute utilisation des œuvres autre que la consultation
individuelle et priv´ee sont interdites.
www.klubprepa.net
Jean-Michel Ferrard
Cours de Math´ematiques
Courbes et surfaces
Partie II : Arcs param´etr´es : propri´et´es m´etriques
– Pour tout s de J,
−→
T (s) =
d
−−→
OM
ds
=
d
−−→
OM
dt
(cid:18) ds
dt
(cid:19)−1
=
d
−−→
OM
dt
d
−−→
OM
Publicité
dt
(cid:13)
(cid:13)
(cid:13)
(cid:13)
(cid:13)
−1
(cid:13)
(cid:13)
(cid:13)
(cid:13)
(cid:13)
est unitaire.
On exprime cette propri´et´e l’abscisse curviligne est un param´etrage normal de l’arc.
II.3 Formules de Frenet pour un arc plan
Soit (I, f ) un arc de classe C1 r´egulier, orient´e au moyen d’une abscisse curviligne.
D´efinition (Rep`ere de Frenet)
Au point M du support de l’arc, d’abscisse curviligne s, on note
orthogonal au vecteur
−→
T (s).
−→
N (s) le vecteur directement
−→
T ,
−→
N ) est appel´e rep`ere de Frenet de l’arc au point M de
Le rep`ere orthonorm´e direct (M,
param`etre t (ou d’abscisse curviligne s).
La droite passant par M (s) et dirig´ee par
−→
N (s) est appel´ee normale `a l’arc au point M (s).
D´efinition (Courbure)
On suppose ici que l’arc (I, f ) est au moins de classe C2.
Pour tout point M (s) de l’arc, il existe un r´eel c(s) tel que
d
−→
T (s)
ds
= c(s)N (s).
Ce r´eel est appel´e courbure de l’arc au point de param`etre t (ou d’abscisse curviligne s).
Remarque
– La courbure c(s) est une quantit´e alg´ebrique. Elle peut donc ˆetre positive ou n´egative.
– L’application s 7→ c(s) est de classe Ck−2 (on rappelle que l’arc (I, f ) est suppos´e Ck).
– En d´erivant
colin´eaire `a
(cid:13)
2
(cid:13)
(cid:13)
−→
N (s)
(cid:13)
(cid:13)
(cid:13)
−→
T (s).
= 1, on voit que
d(
−→
N (s))
ds
est orthogonal au vecteur
−→
N (s) et donc
– En d´erivant l’´egalit´e
−→
T (s) ·
−→
N (s) = 0 on constate que
d(
−→
N (s))
ds
= −c(s)
−→
T (s).
D´efinition (Formules de Frenet)
−→
T (s)
ds
Les ´egalit´es
= c(s)
d
−→
N (s) et
M (s).
d
−→
N (s)
ds
= −c(s)
−→
T (s) sont les formules de Frenet en
D´efinition (Point bir´egulier)
Soit (I, f ) un arc param´etr´e de classe C2.
On dit qu’un point M (t) de cet arc est bir´egulier si les vecteurs f 0(t) et f 00(t) sont libres.
c(cid:13)EduKlub S.A.
Page 6
Tous droits de l’auteur des œuvres r´eserv´es. Sauf autorisation, la reproduction ainsi que toute utilisation des œuvres autre que la consultation
individuelle et priv´ee sont interdites.
www.klubprepa.net
Jean-Michel Ferrard
Cours de Math´ematiques
Courbes et surfaces
Partie II : Arcs param´etr´es : propri´et´es m´etriques
D´efinition (Rayon de courbure, centre de courbure)
On suppose que l’arc (I, f ) est Ck, avec k ≥ 2, et r´egulier.
En un point M (s) bir´egulier, la courbure c(s) est non nulle.
Le r´eel R(s) d´efini par R(s) =
Publicité
est appel´e rayon de courbure au point M (s).
Le point Ω(s) = M (s) + R(s)
−→
N (s) est appel´e centre de courbure `a l’arc au point M .
1
c(s)
Remarques
– Le cercle de centre Ω(s) et de rayon R(s) est appel´e cercle de courbure en M .
– La quantit´e R(s) est alg´ebrique : le rayon de courbure peut donc ˆetre n´egatif.
– Si on inverse l’orientation de l’arc (I, f ), alors, en tout point M de l’arc, les vecteurs
−→
N (s) et les quantit´es c(s) et R(s) sont chang´es en leurs oppos´es.
et
En revanche, le point Ω(s) est inchang´e : il reste dans la concavit´e de la courbe.
−→
T (s)
Angle polaire ϕ du vecteur
– On suppose que l’arc (I, f ) est de classe Ck, avec k ≥ 1, et qu’il est r´egulier.
−→
T (s)
On le munit d’une abscisse curviligne (s ∈ J 7→ M (s)).
– Il existe alors une application ϕ : J → IR, de classe Ck−1 telle que, pour tout s de J, ϕ(s)
soit une mesure de l’angle polaire (i,
−→
−→
−→
N (s) = − sin ϕ(s)
i + sin ϕ(s)
T (s) = cos ϕ(s)
−→
j et
−→
i + cos ϕ(s)
−→
j .
−→
T (s)). On peut alors ´ecrire, pour tout s de J :
Calcul du rayon de courbure (aucune formule n’est exigible)
– Soit (I, f ) un arc Ck (k ≥ 2) r´egulier et muni d’une abscisse curviligne (s ∈ J → M (s)).
– Pour tout s de J, on a : c(s) =
dϕ
ds
. Si c(s) 6= 0, alors R(s) =
ds
dϕ
.
– Dans le cas d’un arc param´etr´e en cart´esiennes (x(t), y(t)) :
tan(ϕ) =
y0
x0 ⇒ dϕ =
x0y00 − x00y0
x02
dt. De mˆeme, ds = (x02(t) + y02(t))1/2 dt.
On en d´eduit l’´egalit´e : R =
(x02(t) + y02(t))3/2
x0y00 − x00y0
·
– Dans le cas particulier d’un arc y = y(x), on a donc : R =
(1 + y02(x))3/2
y00(x)
·
– Dans le cas d’un arc d´efini en polaires par ρ = ρ(θ) :
tan(V ) =
ρ
ρ0 ⇒ dV =
ρ02 − ρρ00
ρ2 + ρ02 dθ ⇒ dϕ = dV + dθ =
ρ2 + 2ρ02 − ρρ00
ρ2 + ρ02
dθ.
Compte tenu de ds = (ρ2 + ρ02)1/2 dθ, on a : R =
– Soit M (s) un point particulier de l’arc (I, f ).
(ρ2 + ρ02)3/2
ρ2 + 2ρ02 − ρρ00 ·
Si on note X, Y les coordonn´ees du point M (s) dans le rep`ere de Frenet en M (s), alors :
c(cid:13)EduKlub S.A.
Page 7
Tous droits de l’auteur des œuvres r´eserv´es. Sauf autorisation, la reproduction ainsi que toute utilisation des œuvres autre que la consultation
individuelle et priv´ee sont interdites.
www.klubprepa.net
Jean-Michel Ferrard
Cours de Math´ematiques
Courbes et surfaces
Partie II : Arcs param´etr´es : propri´et´es m´etriques
−−→
OM (s) =
−−→
OM (s0) + (s − s0)
−→
T (s0) +
1
2
(s − s0)2c(s0)
−→
N (s0) + (s − s0)2 −→ε (s).
On en d´eduit X(s) ∼ (s − s0) et Y (s) ∼
Par cons´equent : R = lim
X 2
2Y
1
2
(s − s0)2c(s0).
, la limite ´etant prise quand M (s) tend vers M (s0).
c(cid:13)EduKlub S.A.
Page 8
Tous droits de l’auteur des œuvres r´eserv´es. Sauf autorisation, la reproduction ainsi que toute utilisation des œuvres autre que la consultation
individuelle et priv´ee sont interdites.
www.klubprepa.net
Jean-Michel Ferrard