Cours de Mathématiques

Ce cours couvre les notions fondamentales d’algèbre générale, destinées aux étudiants en mathématiques. Il traite des groupes, des sous-groupes, des morphismes, des actions de groupes, ainsi que des anneaux et corps commutatifs, avec un accent particulier sur les anneaux euclidiens et leurs propriétés.

Groupes

Définition, exemples et premières propriétés

Un groupe est un couple (G, ×) où G est un ensemble muni d'une loi de composition interne associative ×, possédant un élément neutre e ∈ G, et tel que tout élément a ∈ G admet un symétrique a⁰ ∈ G vérifiant :

a × a⁰ = a⁰ × a = e

Un groupe est dit commutatif (ou abélien) si la loi × est commutative.

Dans un groupe, l'élément neutre et le symétrique sont uniques. Tout élément est régulier, c’est-à-dire que pour tout a ∈ G :

∀ x, y ∈ G, a × x = a × y ⇒ x = y
x × a = y × a ⇒ x = y

Les homothéties à gauche et à droite, définies par ah : x ↦ a × x et ha : x ↦ x × a, sont des bijections inversibles.

On note souvent la loi multiplicativement sans symbole : ab au lieu de a × b, et l'inverse de a est noté a⁻¹. On a alors :

(ab)⁻¹ = b⁻¹ a⁻¹

Pour tout entier relatif n, on définit la puissance :

an = 1G si n = 0
an = a × an−1 si n > 0
an = (a⁻¹)^|n| si n < 0

Les propriétés suivantes sont vérifiées :

∀ m, n ∈ ℤ, ∀ a ∈ G,
a^(m+n) = a^m × a^n
(a^n)^m = a^(mn)

Exemples :

• Les ensembles ℤ, ℚ, ℝ, ℂ sont des groupes additifs commutatifs.
• ℝ⁺*, ℚ*, ℝ*, ℂ* sont des groupes multiplicatifs.
• Tout espace vectoriel est un groupe additif commutatif.
• Les translations d’un espace affine forment un groupe commutatif.
• Les rotations d’un espace euclidien de dimension n forment un groupe, commutatif si et seulement si n ≤ 2.
• Le groupe des permutations d’un ensemble E, noté S(E), est un groupe non commutatif sauf si Card(E) ≤ 2.

Sous-groupes et morphismes de groupes

Un sous-groupe H d’un groupe G est une partie de G stable par la loi de G et formant un groupe avec la loi induite.

Caractérisation des sous-groupes :

• H est un sous-groupe de G si et seulement si :
• 1G ∈ H et ∀ x, y ∈ H, xy⁻¹ ∈ H.

Dans un groupe additif, cette condition s’écrit :

0G ∈ H et ∀ x, y ∈ H, x − y ∈ H

L’intersection de sous-groupes est un sous-groupe. Le plus petit sous-groupe contenant une partie A ⊂ G est appelé sous-groupe engendré par A.

Le sous-groupe engendré par un singleton {a} est :

{a^n | n ∈ ℤ}

Un groupe est monogène s’il est engendré par un seul élément.

Exemple : (ℤ, +) est monogène engendré par 1.

Théorème sur les sous-groupes de ℤ :

Tout sous-groupe non nul de (ℤ, +) est monogène, engendré par son plus petit élément strictement positif n, et s’écrit nℤ.

Un morphisme de groupes f : G → G' est une application telle que :

∀ x, y ∈ G, f(xy) = f(x) f(y)

Un morphisme bijectif est un isomorphisme. Un endomorphisme est un morphisme de G vers G, un automorphisme un isomorphisme de G sur lui-même.

Propriétés :

• La composition de morphismes est un morphisme.
• L’image d’un sous-groupe par un morphisme est un sous-groupe.
• Le noyau Ker f = {x ∈ G | f(x) = 1G'} est un sous-groupe de G.
• Un morphisme est injectif si et seulement si son noyau est réduit à {1G}.

Exemples :

• Pour a ∈ G, l’application ϕa : ℤ → G définie par ϕa(n) = a^n est un morphisme.
• Le produit de groupes G1 × G2 muni de la loi (x, y)(x', y') = (xx', yy') est un groupe.
• Les automorphismes intérieurs σg : x ↦ g⁻¹ x g forment un morphisme σ : G → S(G).
• Le groupe opposé G⁰ de G est (G, ?) avec x ? y = y × x, isomorphe à G par x ↦ x⁻¹.

Action d’un groupe sur un ensemble

Une action d’un groupe G sur un ensemble E est une application ϕ : G × E → E telle que :

∀ g, g' ∈ G, ∀ x ∈ E,
g(g' x) = (g g') x
1G x = x

On note gx = ϕ(g, x). L’application σg : x ↦ gx est une bijection de E, et σ : G → S(E) est un morphisme de groupes.

Réciproquement, un morphisme σ : G → S(E) définit une action.

Exemples :

• Un sous-groupe H de G agit sur G par multiplication à gauche (hg) et à droite (gh).
• Le groupe GLn(K) agit sur Mn(K) par conjugaison : ϕ(P, M) = P M P⁻¹.
• Le groupe S(E) agit naturellement sur E par application des permutations.

Théorème de partition des orbites :

L’ensemble des orbites {O(x) | x ∈ E} forme une partition de E.

Corollaire (Théorème de Lagrange) :

Si G est fini et H un sous-groupe, alors Card(H) divise Card(G) et :

Card(G) = Card(G/H) × Card(H)

où G/H est l’ensemble des orbites de l’action de H sur G.

Les groupes Z/nZ

Soit H = nℤ un sous-groupe non nul de (ℤ, +). L’ensemble quotient ℤ/nℤ = {Oₙ(x) | x ∈ ℤ} est la partition de ℤ en classes modulo n :

x ≡ x' [n] ⇔ x − x' ∈ nℤ

La loi additionnelle sur ℤ/nℤ est définie par :

∀ X, Y ∈ ℤ/nℤ, X + Y = Oₙ(x + y) pour x ∈ X, y ∈ Y

Le groupe (ℤ/nℤ, +) est commutatif, fini de cardinal n, et la projection canonique Oₙ : ℤ → ℤ/nℤ est un morphisme surjectif.

Pour un groupe fini G et a ∈ G, le sous-groupe engendré Ga est isomorphe à ℤ/nℤ où n est l’ordre de a, c’est-à-dire le plus petit entier naturel tel que aⁿ = 1G.

Théorème :

Pour tout groupe fini G et tout élément a ∈ G, on a :

a^{Card(G)} = 1G

Un groupe fini monogène est cyclique et isomorphe à ℤ/nℤ.

Exemple : Le groupe des racines n-ièmes de l’unité Un est cyclique, engendré par ω = e^{2iπ/n}.

Pour a d’ordre n et x ∈ ℤ, l’ordre m de b = a^x est donné par :

m = n / gcd(n, x)

Le nombre de générateurs d’un groupe cyclique de cardinal n est le nombre d’entiers relatifs premiers avec n.

Anneaux et corps commutatifs

Définition, exemples et premières propriétés

Un anneau est un triplet (A, +, ·) où :

• (A, +) est un groupe abélien,
• · est une loi associative sur A, distributive à gauche et à droite par rapport à +,
• et admet un élément neutre 1A.

Un corps est un anneau tel que (K \ {0K}, ·) est un groupe.

Un anneau (ou corps) est commutatif si la multiplication est commutative.

Un anneau intègre est un anneau commutatif sans diviseurs de zéro :

ab = 0 ⇒ a = 0 ou b = 0

Dans un anneau intègre, les homothéties ha : x ↦ a x sont injectives pour tout a ≠ 0.

Exemples :

• ℤ est un anneau intègre, son corps des fractions est ℚ.
• Pour un anneau A, l’ensemble A^I des applications de I vers A est un anneau, mais pas intègre si Card(I) > 1.
• Pour un anneau commutatif B et un sous-anneau A, A[x] est le plus petit sous-anneau contenant A et un élément x, formé de polynômes en x à coefficients dans A.
• L’anneau A[X] des polynômes à une indéterminée sur A est intègre si A est intègre.
• Mn(A), l’ensemble des matrices carrées d’ordre n à coefficients dans A, est un anneau non commutatif si n > 1.
• Les anneaux ℤ/nℤ sont des anneaux commutatifs finis.

La surjection canonique On : ℤ → ℤ/nℤ est un morphisme d’anneaux :

On(x + y) = On(x) + On(y)
On(x y) = On(x) · On(y)

Critères de divisibilité :

• Divisibilité par 3 ou 9 : Un entier est divisible par 3 (resp. 9) si et seulement si la somme de ses chiffres est divisible par 3 (resp. 9).
• Divisibilité par 11 : Un entier est divisible par 11 si et seulement si la somme alternée de ses chiffres est divisible par 11.

Morphismes d’anneaux

Un morphisme d’anneaux f : A → B vérifie :

∀ x, y ∈ A,
f(x + y) = f(x) + f(y)
f(x y) = f(x) f(y)
f(1A) = 1B

L’image Im f est un sous-anneau de B, le noyau Ker f est un sous-groupe de (A, +) stable par multiplication.

L’application ϕ : ℤ → A définie par n ↦ n 1A est un morphisme d’anneaux.

Si Ker ϕ ≠ {0}, alors Ker ϕ = pℤ pour un unique p ∈ ℕ*, appelé caractéristique de A.

Dans ce cas, ϕ induit un morphisme d’anneaux ϕ : ℤ/pℤ → A.

Anneaux euclidiens

Un anneau intègre A est euclidien s’il est muni d’une application d : A \ {0} → ℕ telle que :

∀ a, b ∈ A, b ≠ 0,
∃ q, r ∈ A, a = b q + r
avec r = 0 ou d(r) < d(b)

Exemples :

• ℤ est euclidien avec d(n) = |n|.
• K[X], polynômes à coefficients dans un corps commutatif K, est euclidien avec d(P) = degré de P.

Idéaux dans un anneau commutatif A :

Une partie I ⊂ A est un idéal si :

• 0 ∈ I,
• ∀ a, b ∈ I, a + b ∈ I,
• ∀ a ∈ A, ∀ b ∈ I, a b ∈ I.

Dans un anneau euclidien, tout idéal est principal, c’est-à-dire engendré par un seul élément :

Théorème :

Tout idéal I d’un anneau euclidien A est de la forme I = Aa pour un certain a ∈ I.

Divisibilité dans un anneau euclidien

Pour a, b ∈ A, on dit que a divise b (notation a | b) s’il existe c ∈ A tel que b = a c.

Cette relation est réflexive, transitive, et induit un ordre sur les idéaux principaux.

Théorème de Bézout

Dans un anneau euclidien A, pour a, b ∈ A, il existe un plus grand commun diviseur c, générateur de l’idéal Aa + Ab :

Aa + Ab = Ac

Les conditions équivalentes :

• a et b sont premiers entre eux (étrangers) ⇔ c = 1A,
• Aa + Ab = A,
• ∃ u, v ∈ A tels que u a + v b = 1.

Théorème de Gauss

Si a divise b c et est premier avec b, alors a divise c.

Éléments inversibles dans ℤ/nℤ

Un élément m ∈ ℤ est inversible modulo n si et seulement si m et n sont premiers entre eux.

Le groupe des éléments inversibles de ℤ/nℤ est le groupe multiplicatif des classes d’entiers premiers avec n.

Anneaux ℤ/pℤ et corps

Si ℤ/pℤ est un anneau intègre non nul, alors p est un nombre premier.

Inversement, si p est premier, ℤ/pℤ est un corps.

Théorème :

• ℤ/pℤ est un anneau intègre ⇔ p est premier ⇔ ℤ/pℤ est un corps.

Le groupe multiplicatif Gp = (ℤ/pℤ)* est de cardinal p − 1.

Théorème de Fermat :

Pour tout entier naturel premier p et tout entier relatif x :

x^p − x est divisible par p.

Glossaire des termes clés

• Groupe : Ensemble muni d’une loi associative, avec élément neutre et inverse pour chaque élément.
• Groupe abélien : Groupe dont la loi est commutative.
• Sous-groupe : Partie d’un groupe stable par la loi et formant un groupe.
• Morphisme de groupes : Application entre groupes respectant la loi de composition.
• Action de groupe : Application d’un groupe sur un ensemble respectant la compatibilité avec la loi.
• Anneau : Ensemble muni de deux lois (+, ·) où (+) est un groupe abélien, · est associative et distributive, avec élément neutre pour ·.
• Anneau intègre : Anneau commutatif sans diviseurs de zéro.
• Corps : Anneau intègre où tout élément non nul est inversible.
• Anneau euclidien : Anneau intègre muni d’une fonction degré permettant la division euclidienne.
• Idéal : Sous-groupe additif stable par multiplication par tout élément de l’anneau.
• Divisibilité : Relation entre éléments d’un anneau où a divise b s’il existe c tel que b = a c.
• Plus grand commun diviseur (pgcd) : Générateur principal de l’idéal engendré par deux éléments.
• Éléments premiers entre eux : Deux éléments dont le pgcd est l’élément neutre.
• Caractéristique d’un anneau : Plus petit entier naturel p tel que p 1A = 0 dans l’anneau.
• Groupe cyclique : Groupe engendré par un seul élément.
• Corps fini : Corps ayant un nombre fini d’éléments.

Points clés à retenir

• Un groupe est un ensemble avec une loi associative, un élément neutre et des inverses.
• Les sous-groupes sont caractérisés par la présence de l’élément neutre et la stabilité par xy⁻¹.
• Tout morphisme de groupes préserve la structure et son noyau détermine son injectivité.
• Une action de groupe partitionne l’ensemble en orbites.
• Le groupe ℤ/nℤ est un groupe cyclique fini, isomorphe au sous-groupe engendré par un élément d’ordre n.
• Un anneau intègre est un anneau sans diviseurs de zéro, et tout corps est un anneau intègre.
• Un anneau euclidien permet la division euclidienne et a des idéaux principaux.
• Le théorème de Bézout donne l’existence du pgcd et une relation linéaire entre deux éléments premiers entre eux.
• Le théorème de Gauss facilite la divisibilité dans les anneaux euclidiens.
• Dans ℤ/nℤ, les éléments inversibles sont ceux dont la classe est représentée par un entier premier avec n.
• ℤ/pℤ est un corps si et seulement si p est premier.
• Le théorème de Fermat affirme que x^p − x est divisible par p pour p premier.