Cours de Mathématiques

partie non vide H ∗

+ des ´el´ements strictement positifs de H admet un plus petit ´el´ement n .

Alors nZ ⊂ H puisque H est un sous-groupe de Z auquel n appartient. Inversement, pour

tout ´el´ement h de H , la division euclidienne de h par n fournit un quotient q ∈ Z et un

reste r ∈ [[ 0 , n − 1 ]] tels que h − nq = r ∈ H . Or un ´el´ement de H+ est nul ou sup´erieur

ou ´egal `a n . Comme r ∈ H+ et r < n , on a r = 0 et h = nq . Ainsi H ⊂ nZ ⊂ H : H est

un groupe monogene engendr´e par n . On a ainsi montr´e le th´eoreme suivant `a la base de

l’arithm´etique de Z :

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Cours de Math´ematiques

Alg`ebre G´en´erale

Partie I : Groupes

Th´eor`eme Sous-groupes de Z

Tout sous-groupe non r´eduit a {0} du groupe additif Z est monogene, engendr´e par son

plus petit ´el´ement strictement positif. L’ensemble des sous-groupes de Z est {nZ | n ∈ Z} .

Une application f : G 7−→ G0 o`u G et G0 sont des groupes est dite morphisme de groupes lorsque

∀ (x , y) ∈ G2, f (xy) = f (x)f (y) . Si de plus f est bijective on dit que f est un isomorphisme

de G sur G0 . Un endomorphisme du groupe G est un morphisme de groupes de G vers G . Un

automorphisme de G est un isomorphisme de G sur G .

On v´erifie facilement les r´esultats suivants :

Proposition

ª Le compos´e de deux morphismes (resp. isomorphismes) de groupes est un morphisme

(resp. isomorphisme) de groupes.

ª L’image directe d’un sous-groupe H de G par un morphisme de groupes f : G 7−→ G0

est un sous-groupe de G0. En particulier l’image de f , Im f = f hGi = {f (x) | x ∈ G}

est un sous-groupe de G0.

L’image r´eciproque d’un sous-groupe H 0 de G par f est un sous-groupe de G. En

particulier le noyau de f , Ker f = f −1h{1G0}i = {x ∈ G | f (x) = 1G0} est un

sous-groupe de G0.

ª L’image d’une partie g´en´eratrice de G par un morphisme de groupes f de source G est

une partie g´en´eratrice du groupe Im f . En particulier l’image d’un groupe monog`ene

G par un morphisme de groupes est un groupe monog`ene engendr´e par l’image de

tout g´en´erateur de G .

ª Un morphisme de groupes est injectif si et seulement si son noyau est r´eduit au

singleton neutre.

Voici quelques exemples de morphismes ou isomorphismes de groupes :

+ f : G 7−→ G0 ´etant un isomorphisme du groupe G sur le groupe G0, l’application f −1 est

un isomorphisme de G0 sur G . On dit alors que les groupes G et G0 sont isomorphes.

+ Transport de structure : Si f : G 7−→ E est une bijection d’un groupe (G , ·) sur

un ensemble E , la loi de composition interne ? d´efinie sur E par

∀ (x , y) ∈ E2 ,

x ? y = f

(cid:16)

f −1(x) · f −1(y)

(cid:17)

fait de E un groupe et f est un isomorphisme du groupe (G , · ) sur le groupe (E , ? ).

+ Soit G un groupe et a un ´el´ement de G . La formule (1) montre que l’application

ϕa : (Z, +) 7−→ (G, · ) qui `a tout n ∈ Z associe ϕa(n) = an est un morphisme de

groupes.

+ Produit de groupes : ´Etant donn´es deux groupes G1 et G2 la loi de composition

interne d´efinie sur G1 × G2 par (x , y)(x0 , y0) = (xx0 , yy0) fait de G1 × G2 un groupe

appel´e groupe produit de G1 par G2 . Les groupes G1 × G2 et G2 × G1 sont isomorphes

par l’application (x , y) (y , x) . Les applications pi : G1 × G2 7−→ Gi , i = 1, 2 , d´efinies

respectivement par (x , y) x et (x , y) y sont des morphismes surjectifs de groupes

que l’on appelle premiere et deuxieme projection canonique. Si G est un groupe, G2 est

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Alg`ebre G´en´erale

Partie I : Groupes

le groupe produit de G par lui-mˆeme. Plus g´en´eralement pour tout entier naturel n non

nul la loi sur Gn d´efinie par (xi)i∈[[ 1 , n ]](yi)i∈[[ 1 , n ]] = (xiyi)i∈[[ 1 , n ]] fait de Gn un groupe et

les projections canoniques pi : (xi)i∈[[ 1 , n ]] xi sont des morphismes surjectifs de groupes.

Gn est canoniquement isomorphe `a Gp × Gn−p pour tout p ∈ [[ 1 , n − 1 ]] (n > 2 ).

+ Lorsque G est un groupe les applications σg : G 7−→ G d´efinies pour chaque g ∈ G par

x σg(x) = g−1xg sont des automorphismes du groupe G . L’application σ : G 7−→ S(E)

qui `a tout g ∈ G associe σg est un morphisme du groupe (G , · ) vers le groupe (S(E) , ◦ )

des permutations de E . Le noyau de σ est le sous-groupe de G constitu´e des ´el´ements de

G commutant avec tout autre : c’est le centre de G .

+ Si E est un ensemble de cardinal n ∈ N∗ et σ : [[ 1 , n ]] 7−→ E une bijection, l’application

f : S(E) 7−→ Sn d´efinie par f (x) = σ−1 ◦ x ◦ σ est un isomorphisme du groupe des

permutations de E sur le groupe sym´etrique d’indice n .

+ Si (G , · ) est un groupe, son groupe oppos´e est le groupe G0 = (G , ? ) o`u la loi ? est

d´efinie par x ? y = y · x . Ces groupes sont isomorphes par l’application f : x x−1.

I.3 Action d’un groupe sur un ensemble

Une action d’un groupe G sur un ensemble E est la donn´ee d’une application ϕ : G × E 7−→ E

telle que

∀ (g , g0 , x) ∈ G × G × E , ϕ(cid:0)g, ϕ(g0, x)(cid:1) = ϕ(gg0, x) et ϕ(1G, x) = x

(2)

On convient de poser ϕ(g, x) = gx de sorte que (2) s’´ecrit simplement :

g(g0x) = (gg0)x et 1G x = x .

L’´equation gx = y admet alors l’unique solution x = g−1y pour tout g ∈ G et y ∈ E .

L’application σg : x σg(x) = gx est donc une bijection de E sur E . En outre (2) montre

que ∀ (g , g0) ∈ G2, σgg0 = σg ◦ σg0 si bien que l’application σ : G 7−→ S(E) qui `a g associe

σ(g) = σg est un morphisme de groupes. R´eciproquement, la donn´ee d’un morphisme de groupes

σ : G 7−→ S(E) d´efinit une action ϕ du groupe G sur E par la formule ϕ(g, x) = gx = σ(g)(x) .

On dit que G opere (a gauche) sur E au moyen de l’action ϕ . Lorsque le groupe oppos´e G0 de G

opere a gauche sur E au moyen d’une action ϕ0 on dit que G opere a droite sur E et on convient

de poser ϕ0(g, x) = xg de sorte que (2) s’´ecrit simplement :

L’orbite d’un ´el´ement x de E , sous l’action ϕ du groupe G sur l’ensemble E , est l’ensemble

O(x) = {gx | g ∈ G} .

(xg0)g = x(g0g) et x 1G = x .

+ Un sous-groupe H d’un groupe G opere a gauche sur l’ensemble des ´el´ements de G au

moyen de l’action ϕ d´efinie par restriction `a H × G de la loi de G :

∀ (h , g) ∈ H × G , ϕ(h, g) = hg .

Bien sˆur, H opere a droite sur G par l’action ϕ0 d´efinie sur H 0 × G par ϕ0(h, g) = gh .

L’orbite a gauche et l’orbite a droite d’un ´el´ement x de G sont Hx = {hx | h ∈ H} et

xH = {xh | h ∈ H} .

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Alg`ebre G´en´erale

Partie I : Groupes

+ Tout sous-groupe H du groupe S(E) des permutations d’un ensemble E op`ere sur E au

moyen de l’action naturelle ϕ d´efinie par

∀ (h , x) ∈ H × E , ϕ(h, x) = h(x) .

L’orbite d’un ´el´ement x de E est l’ensemble de toutes ses images par les permutations de

E appartenant `a H .

+ Voici un exemple venant de l’alg`ebre lin´eaire : Le groupe GLn(K) des matrices carr´ees

inversibles d’ordre n a coefficients dans un corps commutatif K opere sur l’ensemble

Mn(K) des matrices carr´ees d’ordre n par l’action ϕ : GLn(K) × Mn(K) 7−→ Mn(K)

d´efinie par ϕ(P, M ) = P M P −1. L’orbite d’une matrice M ∈ Mn(K) sous l’action

de GLn(K) est l’ensemble des matrices relativement `a toutes les bases de K n de

l’endomorphisme de K n canoniquement associ´e `a M .

+ Un sous-groupe H d’un groupe G op`ere sur G au moyen du morphisme de groupes

σ : H 7−→ S(G) d´efini par σ(h)(g) = h ? g = hgh−1.

D’une fa¸con g´en´erale sur les actions de groupe on a le r´esultat suivant :

Th´eor`eme Partition des orbites

Soit G un groupe op´erant sur un ensemble E . L’ensemble {O(x) | x ∈ G} des orbites des

´el´ements de E sous l’action de G est une partition de E , c’est `a dire que toute orbite est

non vide, que deux orbites distinctes sont disjointes et que l’union des orbites est E .

On v´erifie en effet facilement, grˆace a (2), les points suivants assurant le th´eoreme :

∀ x ∈ E ,

x ∈ O(x)

et

z ∈ O(x) ∩ O(y) =⇒ O(x) = O(y) = O(z) .

Corollaire Th´eor`eme de Lagrange

Soit G un groupe fini. Le cardinal de tout sous-groupe de G est un diviseur de Card (G) .

On a vu en effet (premier exemple) qu’un sous-groupe H de G op`ere sur G et dans cette action

l’ensemble des orbites est {Hx | x ∈ G} . L’homoth´etie (`a droite) de rapport x ´etant injective,

le cardinal de tout orbite Hx est ind´ependant de x ´egal au cardinal de H . Par le th´eor`eme de

partition des orbites {Hx | x ∈ G} est une partition de G , donc

Card (G) = Card(cid:0){Hx | x ∈ G}(cid:1) Card(H) .

Donc Card(H) divise Card(G) et Card(cid:0){Hx | x ∈ G}(cid:1) =

Card(G)

Card(H)

· C’est pour rappeler cette

´egalit´e que l’on note G/H l’ensemble des orbites des ´el´ements de G dans l’action (`a gauche)

de H sur G . On dit que G/H est l’ensemble quotient du groupe G par son sous-groupe H ,

et ainsi le cardinal de l’ensemble quotient d’un groupe fini par l’un de ses sous-groupes est le

quotient de leurs cardinaux.

I.4 Les groupes Z/nZ

Soit H un sous-groupe non nul de (Z, +) . D’apres le th´eoreme caract´erisant les sous-groupes

de Z , on peut ´ecrire H = nZ o`u n est le plus petit ´el´ement strictement positif de H . Dans

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Alg`ebre G´en´erale

Partie I : Groupes

l’action naturelle de H sur Z , d´efinie par restriction `a H × Z de l’addition de Z , l’orbite de

tout ´el´ement x de Z est On(x) = H + x = {mn + x | m ∈ Z} . On dispose ainsi de l’ensemble

quotient Z/nZ = {On(x) | x ∈ Z} , qui est une partition de Z , et d’une application surjective

On : Z 7−→ Z/nZ . La relation d’´equivalence associ´ee `a On d´efinie sur Z par On(x) = On(x0)

s’appelle congruence modulo n et se note x ≡ x0 [n] :

x ≡ x0 [n] ⇐⇒ x − x0 ∈ nZ ⇐⇒ x − x0 est divisible par n

On confond ainsi en un mˆeme ´el´ement de Z/nZ tous les entiers relatifs dont la diff´erence est

divisible par n .

La commutativit´e du groupe (Z, +) et le fait que H = nZ soit un sous-groupe de Z montrent

que x ≡ x0 [n] et y ≡ y0 [n] =⇒ x + y ≡ x0 + y0 [n] . Cela s’´ecrit aussi

On(x) = On(x0) et On(y) = On(y0) =⇒ On(x + y) = On(x0 + y0) .

On d´efinit donc bien une loi de composition interne + sur l’ensemble Z/nZ par la formule

∀ (X , Y ) ∈ Z/nZ ,

∀ (x , y) ∈ X × Y , X + Y = On(x) + On(y) = On(x + y) .

+ (Z/nZ, +) est un groupe commutatif fini de cardinal n et l’application On : Z 7−→ Z/nZ

est un morphisme surjectif de groupes qui induit une bijection de [[ 1 , n ]] sur Z/nZ . Le

noyau de On est nZ = On(0) : C’est l’´el´ement neutre du groupe Z/nZ .

+ Soit G un groupe fini, a un ´el´ement de G et Ga le sous-groupe de G engendr´e par a .

L’application ϕa : Z 7−→ Ga d´efinie par x ϕa(x) = ax est un morphisme surjectif

de groupes dont le noyau {x ∈ Z | ax = 1G} est de la forme nZ = Ker On , o`u n est

le plus petit entier naturel non nul tel que an = 1G . Alors la relation d’´equivalence

d´efinie sur Z par ϕa(x) = ϕa(x0) est la mˆeme que x ≡ x0 [n] , si bien que l’on d´efinit

un morphisme surjectif ϕa : Z/nZ 7−→ Ga par la relation ∀ X ∈ Z/nZ , ∀ x ∈ X ,

ϕa(X) = ϕa(x) = ax. Par construction Ker ϕa = {nZ} est r´eduit `a l’´el´ement neutre de

Z/nZ donc le morphisme surjectif ϕa est aussi injectif : c’est un isomorphisme du groupe

Z/nZ sur le groupe monog`ene Ga engendr´e par a , qui est ainsi de cardinal n . L’entier

n = Card (Ga) s’appelle ordre de a : D’apres le th´eoreme de Lagrange n est un diviseur

de Card (G) si bien que aCard(G) = 1G . On a donc montr´e le

Th´eor`eme

Pour tout groupe fini G et tout ´el´ement a de G , aCard(G) = 1G .

+ Un groupe fini monog`ene est dit cyclique : Tout groupe cyclique G est isomorphe au

groupe additif Z/nZ o`u n = Card (G) . En particulier un groupe cyclique est commutatif.

Par exemple le groupe Un des racines ni`eme de l’unit´e est un groupe cyclique engendr´e par

ω = e 2iπ

n

+ Soit G un groupe fini et a ∈ G un ´el´ement d’ordre n . Pour tout x ∈ Z l’ordre m de b = ax

est le plus petit des entiers y ∈ N∗ tels que xy soit multiple de n . Donc xm est le plus

petit commun multiple n ∨ x de x et de n . Le plus grand commun diviseur n ∧ x de x et

de n v´erifie (n ∨ x)(n ∧ x) = xn si bien que m =

·

n

(n ∧ x)

+ Il r´esulte de la formule ci-dessus que le nombre de g´en´erateurs d’un groupe cyclique de

cardinal n est le nombre d’entiers relatifs x premiers avec n .

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Alg`ebre G´en´erale

Partie II : Anneaux et corps commutatifs

II Anneaux et corps commutatifs

II.1 D´efinition, exemples et premi`eres propri´et´es

Un anneau est un triple (A, +, · ) o`u A est un ensemble et + et · sont deux lois de composition

interne sur A telles que (A, +) soit un groupe commutatif et · soit associative, distributive (`a

gauche et a droite) par rapport a + et admette un ´el´ement neutre 1A . Un corps (K, +, · ) est

un anneau tel que (K r {0K}, · ) soit un groupe. Un anneau (ou un corps) est dit commutatif

lorsque sa seconde loi · est commutative.

+ Un anneau (A, +, · ) est dit int`egre lorsqu’il est commutatif et que la nullit´e d’un produit

de deux ´el´ements de A implique la nullit´e de l’un d’entre eux.

ª Dans un anneau A les homoth´eties de rapport a ∈ A , ha : A 7−→ A , d´efinies par

x ha(x) = ax , sont des endomorphismes du groupe (A, +) . Dire qu’un anneau

commutatif est integre est donc ´equivalent a dire que ses homoth´eties de rapport a

non nul sont injectives.

ª Dans un corps commutatif K tout ´el´ement non nul k de K est inversible : toute

homoth´etie hk de rapport non nul k est un automorphisme du groupe (K, +) ,

d’inverse h−1

k = hk−1. En particulier, tout corps commutatif est un anneau int`egre.

ª Dans un anneau int`egre A qui est fini, toute homoth´etie de rapport non nul a est

injective et donc aussi bijective : Tout ´el´ement non nul a de A est alors inversible,

d’inverse a−1 = h−1

a (1A) . Ainsi Tout anneau int`egre fini est un corps.

ª On montre qu’il existe un plus petit corps commutatif parmi ceux qui contiennent

un anneau int`egre donn´e A : On l’appelle corps des fractions de A : Ses ´el´ements

sont de la forme ab−1 (que l’on note aussi a

b ).

+ Quelques exemples d’anneaux :

ª L’ensemble Z muni de ses lois d’addition et de multiplication usuelles est un anneau

int`egre. Son corps des fractions est le corps Q des nombres rationnels.

ª Si A est un anneau et I est un ensemble non vide, l’ensemble AI des applications de I

vers A est un anneau pour les lois naturelles (somme et produit de deux applications).

Mˆeme si l’anneau A est integre, l’aneau AI ne l’est pas des que I admet au moins

deux ´el´ements.

ª Soit A un sous-anneau d’un anneau commutatif B et x un ´el´ement de B : Il existe

un plus petit sous-anneau de B parmi ceux qui contiennent A ∪ {x} : On le note

A[x] , ses ´el´ements sont polynˆomiaux en x a coefficients dans A , c’est a dire de la

n

X

forme

akxk ou (ak)k∈N ∈ AN est une suite nulle au dela d’un certain rang n .

k=0

ª Anneaux de polynˆomes : Soit A un anneau commutatif. Il existe un anneau

commutatif B = A[X] ou X est un ´el´ement de B dit transcendant sur A , c’est a

n

X

akX k = 0 (n ∈ N et (ak)k∈[[ 0 , n ]] ∈ An+1)

dire tel que toute relation de la forme

implique que les ak soient tous nuls.

k=0

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Alg`ebre G´en´erale

Partie II : Anneaux et corps commutatifs

– Les ´el´ements de A[X] s’appellent polynˆomes `a une ind´etermin´ee sur A .

– Tout polynˆome P de A[X] se d´ecompose de mani`ere unique sous la forme

P =

akX k (cid:0)n ∈ N et (ak)k∈[[ 0 , n ]] ∈ An+1(cid:1)

n

X

k=0

Lorsque A est un anneau integre l’anneau A[X] des polynˆomes a une ind´etermin´ee

sur A est lui-mˆeme un anneau integre : Le corps des fractions de cet anneau integre

s’appelle corps des fractions rationnelles `a une ind´etermin´ee sur A et se note A(X) .

+ Lorsque A est un anneau commutatif et n ∈ N∗, l’ensemble Mn(A) des matrices carr´ees

d’ordre n a coefficients dans A (c’est a dire des applications U = (uij)ij∈[[ 1 , n ]]2 de [[ 1 , n ]]2

dans A) est muni de son addition naturelle (celle des applications) et d’une multiplication

n

X

(dite produit matriciel) d´efinie par U.V = (wij)ij∈[[ 1 , n ]]2 o`u wij =

uikvkj . Pour ces lois

Mn(A) est un anneau qui n’est pas commutatif d`es que n > 2 .

k=0

+ Les anneaux Z/nZ , (n ∈ N∗) :

La commutativit´e de l’anneau Z assure que le sous-groupe additif nZ est stable par

multiplication par tout ´el´ement de Z . Il en r´esulte que dans Z ,

x ≡ x0 [n] et y ≡ y0 [n] =⇒ xy ≡ x0y0 [n] .

En notant On la surjection canonique de Z sur Z/nZ cela s’´ecrit aussi

On(x) = On(x0) et On(y) = On(y0) =⇒ On(xy) = On(x0y0) .

On d´efinit donc bien une loi de composition interne not´ee · sur l’ensemble Z/nZ , par la

formule

∀ (X , Y ) ∈ (Z/nZ)2, ∀ (x , y) ∈ X × Y , X · Y = On(xy) .

le groupe additif Z/nZ muni de cette loi multiplicative devient un anneau commutatif

pour lequel la surjection canonique On : Z 7−→ Z/nZ est un morphisme d’anneaux :

∀ (x , y) ∈ Z2

(cid:26)On(x + y) = On(x) + On(y)

On(xy) = On(x) · On(y)

ª application : crit`ere de divisibilit´e par 3 ou 9

∀ k ∈ N , O3(10k) = O3(10)k = O3(1)k = 1Z/nZ donc si l’on consid`ere l’´ecriture

d´ecimale d’un entier naturel x =

ak10k (les ak dans [[ 0 , 9 ]]) on peut ´ecrire

n

X

k=0

O3(x) =

n

X

k=0

O3(ak) · O3(10k) =

n

X

k=0

O3(ak) = O3

n

X

!

ak

k=0

ce qui est ´equivalent `a x ≡

n

X

ak [3] . De mˆeme x ≡

n

X

ak [9] . On en d´eduit

le crit`ere de divisibilit´e par 3 ou par 9 : Pour qu’un entier soit divisible par 3

(respectivement par 9) il faut et il suffit que la somme de ses chiffres soit divisible

par 3 (respectivement par 9)

k=0

k=0

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Alg`ebre G´en´erale

Partie II : Anneaux et corps commutatifs

ª crit`ere de divisibilit´e par 11

∀ k ∈ N , O11(10k) = O11(10)k = O11(−1)k. On en d´eduit comme ci-dessus que

pour qu’un entier soit divisible par 11 il faut et il suffit que la somme altern´ee de

ses chiffres soit divisible par 11. Par exemple l’entier 4 002 009 est divisible par 11

(4 − 2 + 9 ≡ 0 [11]).

+ Morphismes d’anneaux :

ª Un morphisme d’anneaux est une application f d’un anneau A vers un anneau B





telle que ∀ (x , y) ∈ A × B ,

f (x + y) = f (x) + f (y)

f (xy) = f (x)f (y)

f (1A) = 1B

partie de B , contenant 1B , stable par les lois de B : Im f = f hAi est un sous-anneau

de B .

Le noyau de f est un sous-groupe de (A, +) stable par multiplication (a gauche et a

droite) par les ´el´ements de A .

L’image de f est alors une



ª L’application ϕ : Z 7−→ A de Z vers un anneau A d´efinie par n n1A est un

morphisme d’anneaux.

– Si Ker ϕ = {0} alors Im ϕ , qui est le plus petit sous-anneau de A contenant 1A ,

est isomorphe `a Z .

– Si Ker ϕ 6= {0} alors il existe un unique g´en´erateur p ∈ N∗ au sous-groupe Ker ϕ de

(Z, +) : Ker ϕ = pZ o`u p est le plus petit entier naturel non nul tel que p1A = OA .

On dit que p est la caract´eristique de l’anneau A . L’application ϕ : Z/pZ 7−→ A

qui `a tout X ∈ Z/pZ associe ϕ(X) = ϕ(x) pour tout x ∈ X est bien d´efinie

puisque deux entiers relatifs x et x0 ´el´ements de X sont congrus modulo p et

donnent alors la mˆeme image par ϕ . On v´erifie dans ces conditions que ϕ est un

morphisme d’anneaux dont le noyau est r´eduit `a {OZ/pZ} et dont l’image est Im ϕ .

Ainsi, lorsque A est un anneau de caract´eristique p ∈ N∗, le plus petit sous-anneau

de A contenant 1A , est isomorphe `a l’anneau Z/pZ .

II.2 Cas d’un anneau euclidien

On dit qu’un anneau A est euclidien lorsqu’il est int`egre et muni d’une application d :

A(cid:31){OA} 7−→ N telle que

∀ (a, b) ∈ A × A(cid:31){OA} ,

(cid:26) ∃ (q , r) ∈ A2, a = bq + r

avec r = OA ou d(r) < d(b)

(3)

+ Par exemple Z est un anneau euclidien . En effet l’application d d´esignant la valeur absolue,

`a tout couple (a , b) ∈ Z2 tel que b 6= 0 on peut associer le qotient q et le reste r dans la

division euclidienne de a par b : a = bq + r et 0 6 r = d(r) < |b| = d(b) .

De mˆeme l’anneau K[X] des polynˆomes `a coefficients dans un corps commutatif K est

euclidien pour l’application d◦ qui `a tout polynˆome non nul de K[X] associe son degr´e :

`a tout couple (a , b) ∈ K[X]2 tel que b 6= 0 on peut associer le quotient q et le reste r

dans la division euclidienne du polynˆome a par le polynˆome b : a = bq + r et r = 0 ou

d◦(r) < d◦(b) .

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Alg`ebre G´en´erale

Partie II : Anneaux et corps commutatifs

On dit qu’une partie I d’un anneau commutatif A est un id´eal de A lorsque c’est un sous-groupe

de (A, +) stable par multiplication par les ´el´ements de A :

OA ∈ I , ∀ (a , b) ∈ A2 , a + b ∈ I et ∀ (a , b) ∈ A × I , ab ∈ I .

+ Par exemple dans un anneau commutatif A le plus petit id´eal contenant un ´el´ement a de

A est Aa = {λa | λ ∈ A} . Le plus petit id´eal contenant une paire {a , b} d’´el´ements de

A est Aa + Ab = {λa + µb | (λ , µ) ∈ A2} .

+ Les id´eaux de Z sont exactement les sous-groupes de Z . En cons´equence les id´eaux non

nuls de Z sont de la forme pZ o`u p est le plus petit ´el´ement strictement positif de l’id´eal.

Cela se g´en´eralise dans un anneau euclidien par le th´eor`eme suivant :

Th´eor`eme

Tout id´eal I d’un anneau euclidien A est engendr´e par l’un de ses ´el´ements, c’est `a dire

qu’il existe a ∈ I tel que I = Aa . On dit que les id´eaux de A sont principaux.

En effet, soit A un anneau euclidien, muni d’une application d : A(cid:31){OA} 7−→ N v´erifiant (3) .

o

Si I est l’id´eal nul, I = AOA . Et si I est un id´eal non nul de A la partie

non vide de N admet un plus petit ´el´ement d(a) pour a convenable dans I(cid:31){OA} . Alors pour

tout x ∈ I , il existe (q , r) ∈ A2 tel que x = aq + r avec r = OA ou d (r) < d (a) . Or

r = x − aq ∈ I puisque (x , a) ∈ I2 et que I est un id´eal de A . Le cas r ∈ I(cid:31){OA} est

irrecevable puisqu’il provoquerait d (r) > d (a) . Donc x = aq et I ⊂ aA = Aa . L’inclusion

r´eciproque est directe puisque a ∈ I et que I est un id´eal de A .

d (x) | x ∈ I(cid:31){OA}

n

Divisibilit´e dans un anneau euclidien

+ La relation de divisibilit´e dans un anneau int`egre A : On dit qu’ un ´el´ement a de A divise

un ´el´ement b de A (ce que l’on ´ecrit a | b) lorsqu’il existe c ∈ A tel que b = ac . L’anneau

A ´etant commutatif, on a les ´equivalences :

a | b ⇐⇒ ∃ c ∈ A , b = ac ⇐⇒ Ab ⊂ Aa .

+ La relation de divisibilit´e est r´eflexive et transitive sur les ´el´ements de A . Cette relation

est presqu’un ordre sur A mais il lui manque l’antisym´etrie. Elle induit de fait un ordre sur

l’ensemble des id´eaux principaux de A . L’int´egrit´e de l’anneau A assure que deux ´el´ements

de A engendrent le mˆeme id´eal (c’est `a dire se divisent l’un l’autre) si et seulement si l’un

se d´eduit de l’autre par multiplication par un ´el´ement inversible de A .

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Alg`ebre G´en´erale

Partie II : Anneaux et corps commutatifs

Th´eor`eme de B´ezout

Soit A un anneau euclidien et (a, b) ∈ A2. L’ensemble des diviseurs communs dans A `a a

et `a b admet un ´el´ement maximal c pour la relation de divisibilit´e (tout diviseur commun

`a a et b divise c). On dit que c est un plus grand commun diviseur de a et de b : c est un

g´en´erateur de l’id´eal engendr´e par a et b : Aa + Ab = Ac .

ª En particulier deux ´el´ements a et b de A sont dits ´etrangers (ou premiers entre

eux) lorsque leur plus grand diviseur commun est 1A . Les conditions suivantes sont

´equivalentes

(i) a et b sont ´etrangers

(ii) Aa + Ab = A

(iii) ∃ (u , v)) ∈ A2, ua + vb = 1 .

Ce th´eoreme r´esulte directement du th´eoreme assurant que tout id´eal d’un anneau euclidien

est principal : ici l’id´eal I = Aa + Ab de A est principal, c’est `a dire qu’il existe c ∈ I tel que

I = Ac . Alors Ac ⊃ Aa et Ac ⊃ Ab donc c | a et c | b . Et si d | a et d | b , alors a et b sont

´el´ements de Ad donc I = Ac ⊂ Ad et d | c .

Th´eor`eme de Gauß

Soit A un anneau euclidien et (a, b, c) ∈ A3. Si a divise bc et est ´etranger avec b alors a

divise c .

Cela r´esulte du th´eor`eme de B´ezout, car si a et b sont ´etrangers, on peut choisir (u, v) ∈ A2

tels que ua + vb = 1A et alors uac + vbc = c . Donc si a divise bc , a divise aussi c (A est un

anneau commutatif).

On peut appliquer notamment ces th´eor`emes dans les anneaux euclidiens Z et K[X] (K corps

commutatif ).

+ ´El´ements inversibles de Z/nZ (n ∈ N∗) :

Pour qu’un entier relatif m soit tel que sa classe modulo n , soit inversible dans l’anneau

Z/nZ il faut et il suffit qu’il existe un entier relatif u tel que mu ≡ 1 [n] , c’est `a dire qu’il

existe un couple (u, v) ∈ Z2 tel que mu + nv = 1 . On d´eduit du th´eor`eme de B´ezout

que les ´el´ements inversibles de Z/nZ sont les classes des entiers relatifs ´etrangers avec n .

Ce sont aussi les g´en´erateurs du groupe additif Z/nZ .

+ Si Z/pZ est un anneau int`egre non nul, sa caract´eristique p est, par d´efinition, un nombre

premier (cid:0)c’est `a dire n’admettant pour seuls diviseurs distincts, dans Z , que ±1 et ±p(cid:1).

Si p un entier naturel premier, alors tout entier naturel de [[ 1 , p − 1 ]] est par d´efinition

´etranger avec p et admet ainsi une classe modulo p qui est inversible dans Z/pZ . Les

´el´ements non nuls de l’anneau Z/pZ ´etant inversibles cet anneau est un corps.

Comme tout corps commutatif est un anneau int`egre, on en d´eduit le

Th´eor`eme

Il y a ´equivalence, pour tout entier p > 2 , entre les trois assertions :

(i) Z/pZ est un anneau int`egre

(ii) p est un nombre premier

(iii) Z/pZ est un corps

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Alg`ebre G´en´erale

Partie II : Anneaux et corps commutatifs

+ Soit p un entier naturel premier. Puisque Z/pZ est un corps, l’ensemble Gp de ses ´el´ements

non nuls est un groupe multiplicatif de cardinal p − 1 . Il r´esulte du th´eor`eme du §I.4 que

pour tout a ∈ Gp , ap−1 = 1Z/pZ . Cela ´equivaut `a dire que ap = a puisque Z/pZ est un

anneau int`egre. Ce r´esultat est connu sous le nom de

Th´eor`eme de Fermat

Pour tout entier naturel premier p et tout entier relatif x , xp − x est divisible par p .

On peut ´egalement partitionner Gp en les paires {a , a−1} (a 6= a−1) et les deux singletons

{1Z/pZ} , {−1Z/pZ} : En effet, Z/pZ ´etant int`egre, les seules solutions dans Z/pZ de

l’´equation (x − 1)(x + 1) = OZ/pZ sont ±1Z/pZ et cette ´equation est ´equivalente `a

l’´equation x = x−1. Il en r´esulte que

a est la classe modulo

a = −1Z/pZ . Or

Y

Y

p de

Y

k = (p − 1)! . On a donc obtenu le r´esultat connu sous le nom de

a∈Gp

a∈Gp

k∈[[ 1 , p−1 ]]

Th´eor`eme de Wilson

Pour tout entier naturel premier, (p − 1)! + 1 est divisible par p .

D´ecomposition en produit de facteurs premiers

D´efinition

On dit qu’un ´el´ement a de A est premier...