Cours Automatique

Ce cours s'adresse aux étudiants de niveau 2 en automatique et traite des schémas blocs (ou schémas fonctionnels) appliqués aux systèmes continus linéaires invariants (SLCI). Il présente les principes de représentation, les transformations des schémas blocs en boucle ouverte et en boucle fermée, ainsi que des méthodes de simplification et d'analyse des fonctions de transfert associées.

Définition du schéma bloc

Un schéma fonctionnel est une représentation simplifiée d’un processus mettant en évidence les différentes fonctions mises en œuvre. Par exemple, dans un système asservi, chaque élément est caractérisé par une transmittance Hi(p), qui représente son modèle mathématique.

Cette représentation facilite l’analyse et la synthèse du système en traduisant chaque bloc fonctionnel par sa transmittance.

Formalisme des schémas blocs

Le système est représenté par :

• Les jonctions, qui servent à prélever les valeurs des variables. Par exemple, S(p) = e1(p) + e2(p) + e3(p).
• Les sommateurs, qui additionnent algébriquement les variables.
• Les blocs, qui représentent les transmittances des fonctions.

Les éléments principaux sont :

• Bloc : Représente une fonction de transfert H(p).
• Sommateur : Additionne ou soustrait des signaux.
• Comparateur : Permet de comparer deux signaux.
• Capteur : Transforme une grandeur physique en signal électrique ou autre.

Transformation des schémas blocs

Il est souvent utile de simplifier les schémas fonctionnels en regroupant les transmittances.

Structure en boucle ouverte

Transmittance en série :

U(p) = H1(p) · E(p)
S(p) = H2(p) · U(p)

Donc :

S(p) = H2(p) · H1(p) · E(p)

Les transmittances en série se multiplient.

Transmittance en parallèle :

Les transmittances en parallèle s’additionnent algébriquement.

Structure en boucle fermée

Considérons un système avec une rétroaction négative :

S(p) = H1(p) · ε(p)
ε(p) = E(p) - H2(p) · S(p)

En remplaçant ε(p) dans S(p) :

S(p) = H1(p) · [E(p) - H2(p) · S(p)]

Soit :

S(p) + H1(p) · H2(p) · S(p) = H1(p) · E(p)

D'où :

S(p) · [1 + H1(p) · H2(p)] = H1(p) · E(p)

Enfin :

S(p) = [H1(p) / (1 + H1(p) · H2(p))] · E(p)

La transmittance équivalente en boucle fermée est donc :

H(p) = H1(p) / [1 + H1(p) · H2(p)]

Déplacement des points de prélèvement

• En amont d’un bloc : On peut déplacer un point de prélèvement en amont d’un bloc en multipliant par la transmittance du bloc.
• En aval d’un bloc : On peut déplacer un point de prélèvement en aval d’un bloc en divisant par la transmittance du bloc.

Déplacement des sommateurs

Les sommateurs peuvent être redisposés sans modifier la fonction de transfert globale, sous réserve de respecter les signes et les positions relatives aux blocs :

• Déplacement d’un sommateur en aval d’un bloc.
• Déplacement d’un sommateur en amont d’un bloc.

Ces déplacements permettent de simplifier le schéma pour faciliter le calcul des fonctions de transfert.

Application : Calcul des fonctions de transfert

On applique les règles de réduction des boucles pour déterminer les fonctions de transfert des schémas blocs suivants :

Boucles concentriques

Exemple de fonction de transfert calculée :

H(p) = [H1(p) + H2(p) + H3(p)] / [1 + H1(p) · H2(p) + H2(p) · H3(p) + H1(p) · H3(p)]

Boucles imbriquées

Pour des boucles imbriquées, on applique successivement la formule de la boucle fermée :

H(p) = H1(p) / [1 + H1(p) · H2(p)] + H3(p)

Exercices corrigés

Exercice 1 : Fonctions de transfert en boucle ouverte et fermée

Pour chaque schéma bloc, calculer :

1. La fonction de transfert T(p) en boucle ouverte.
2. La fonction de transfert H(p) en boucle fermée.

Exemple de correction :

a.
T(p) = 1 / (1 + a·p)
H(p) = T(p) / (1 + T(p)) = 1 / (1 + a·p + 1)

b.
T(p) = 1 / (1 + a·p)
H(p) = 1 / (1 + a·p)

c.
T(p) = 1 / (1 + a·p)
H(p) = a·p / (1 + a·p)

d.
T(p) = 1 / (1 + a·p)
H(p) = 1 / (1 + a·p + 1 / a·p)

Exercice 2 : Système mécanique

Considérons un système mécanique comprenant :

• J : inertie
• f : coefficient de frottement
• Cm : couple moteur
• Cr : couple résistant

Le schéma fonctionnel est construit à partir des équations électriques et mécaniques :

Équations électriques :
U = R·i + L·(di/dt) + E
E = kE · Ω

Équation mécanique :
Cm = J·(dΩ/dt) + f·Ω + Cr
Cm = k·i

En transformée de Laplace :

pU(p) = R·I(p) + L·p·I(p) + E(p)
E(p) = kE · Ω(p)
Cm(p) = J·p·Ω(p) + f·Ω(p) + Cr(p)
Cm(p) = k · I(p)

Le schéma fonctionnel est alors :

Ω(p) = [k / (J·p + f)] · I(p)
I(p) = [1 / (R + L·p)] · [U(p) - kE · Ω(p)]

Calcul de la fonction de transfert Ω(p)/U(p)

En combinant les équations :

Ω(p) = [k / (J·p + f)] · I(p)
I(p) = [1 / (R + L·p)] · [U(p) - kE · Ω(p)]

Donc :

Ω(p) = [k / (J·p + f)] · [1 / (R + L·p)] · [U(p) - kE · Ω(p)]

Ω(p) + [k · kE / ((J·p + f)(R + L·p))] · Ω(p) = [k / ((J·p + f)(R + L·p))] · U(p)

D'où :

Ω(p) · [1 + (k · kE) / ((J·p + f)(R + L·p))] = [k / ((J·p + f)(R + L·p))] · U(p)

Enfin :

H(p) = Ω(p)/U(p) = k / [(J·p + f)(R + L·p) + k · kE]

Glossaire des termes clés

• Schéma fonctionnel : Représentation graphique simplifiée d’un système mettant en évidence les fonctions et leurs relations.
• Transmittance H(p) : Fonction de transfert d’un bloc, exprimée en variable complexe p.
• Bloc : Élément du schéma représentant une fonction de transfert.
• Sommateur : Élément qui additionne ou soustrait des signaux.
• Jonction : Point de prélèvement ou de distribution des signaux dans le schéma.
• Boucle ouverte : Structure sans rétroaction, où le signal circule dans une seule direction.
• Boucle fermée : Structure avec rétroaction, où la sortie influence l’entrée.
• Fonction de transfert en boucle fermée : Fonction qui prend en compte la rétroaction, donnée par H(p) = H1(p) / [1 + H1(p)·H2(p)].
• Déplacement des sommateurs : Technique de simplification consistant à déplacer les sommateurs en amont ou aval des blocs.
• Inertie J : Grandeur mécanique représentant la résistance à la variation de vitesse.
• Coefficient de frottement f : Paramètre modélisant les pertes dues aux frottements.
• Couple moteur Cm : Force de rotation fournie par le moteur.
• Couple résistant Cr : Force de rotation opposée au mouvement.

Points clés à retenir

• Le schéma fonctionnel simplifie la représentation des systèmes complexes en blocs et sommateurs.
• Les transmittances en série se multiplient, celles en parallèle s’additionnent.
• La fonction de transfert en boucle fermée s’obtient par la formule H(p) = H1(p) / [1 + H1(p)·H2(p)].
• Le déplacement des points de prélèvement et des sommateurs permet de simplifier les schémas.
• Les fonctions de transfert s’obtiennent en appliquant les règles de réduction des boucles.
• Les systèmes mécaniques peuvent être modélisés par des équations électriques et mécaniques couplées et représentés sous forme de schéma fonctionnel.