Cours Automatique

Ce document traite des systèmes du premier ordre en automatique, destiné aux étudiants de niveau 2. Il présente la définition, les caractéristiques, les réponses à des signaux canoniques, ainsi que des applications pratiques sur des circuits électriques. Le cours inclut également l’étude des systèmes de premier ordre généralisés et des systèmes à avance et retard de phase.

Système de premier ordre : définition et caractéristiques

Un système est dit de premier ordre s’il est décrit par une équation différentielle de la forme :

dy/dt + (1/τ) y(t) = (k/τ) e(t)

En transformée de Laplace, cette équation s’écrit :

τ p Y(p) + Y(p) = k E(p)

La fonction de transfert H(p) du système est donc :

H(p) = Y(p) / E(p) = k / (τ p + 1)

où :

• k est le gain statique,
• τ est la constante de temps.

Réponse d’un système de premier ordre à des signaux canoniques

Réponse à un échelon

Pour une entrée échelon unité, E(p) = 1/p, la sortie s’écrit :

Y(p) = H(p) E(p) = k / (τ p + 1) × 1/p

En transformée inverse, la réponse temporelle est :

y(t) = k (1 - e^(-t/τ))

Cette réponse montre que la sortie tend vers la valeur finale k lorsque t tend vers l’infini, avec une montée caractéristique liée à τ.

<img src="Fig5.1.png" alt="Réponse indicielle d’un système de 1er ordre (KE=1)">

Réponse à une impulsion

Pour une entrée impulsionnelle δ(t), la transformée de Laplace est E(p) = 1. La sortie devient :

Y(p) = k / (τ p + 1)

La réponse temporelle est :

y(t) = (k / τ) e^(-t/τ)

Cette réponse décroît exponentiellement à partir de la valeur initiale k/τ.

<img src="Fig5.3.png" alt="Réponse impulsionnelle d’un système de 1er ordre (KE=10)">

Applications pratiques : circuits électriques

Exercice 1 : Circuit RC série

Considérons le montage suivant :

<img src="Fig5.4.png" alt="Circuit RC série">

1. Déterminer la fonction de transfert H(p) = V_s(p) / E(p).

En appliquant la loi des mailles et la transformée de Laplace :

E(p) = R I(p) + V_s(p)
I(p) = C p V_s(p)

Donc : E(p) = R C p V_s(p) + V_s(p) = V_s(p) (1 + R C p)

D’où :

H(p) = V_s(p) / E(p) = 1 / (1 + R C p)

2. Nature du système :

C’est un système de premier ordre avec :

• Gain statique k = 1
• Constante de temps τ = R C

3. Pour R = 10 Ω, C = 1 μF = 10^-6 F, et une entrée échelon de 10 V :

τ = R C = 10 × 10^-6 = 10^-5 s

H(p) = 1 / (1 + 10^-5 p)

E(p) = 10 / p

Donc :

V_s(p) = H(p) E(p) = 10 / (p (1 + 10^-5 p))

La réponse temporelle est :

v_s(t) = 10 (1 - e^(-t / 10^-5))

<img src="Fig5.5.png" alt="Réponse indicielle du circuit RC (KE=10, τ=0.00001s)">

Exercice 2 : Circuit RL série

Considérons le montage suivant :

<img src="Fig5.6.png" alt="Circuit RL série">

1. Déterminer la fonction de transfert H(p) = V_s(p) / E(p).

En transformée de Laplace :

E(p) = R I(p) + L p I(p) = I(p) (R + L p)

V_s(p) = R I(p)

Donc :

H(p) = V_s(p) / E(p) = R / (R + L p) = 1 / (1 + (L/R) p)

2. Nature du système :

• Gain statique k = 1
• Constante de temps τ = L / R

3. Pour R = 100 Ω, L = 1 mH = 10^-3 H, et une entrée échelon unité :

τ = L / R = 10^-3 / 100 = 10^-5 s

H(p) = 1 / (1 + 10^-5 p)

La réponse temporelle est :

v_s(t) = 1 - e^(-t / 10^-5)

Système de premier ordre généralisé

Définition

Un système de premier ordre généralisé est décrit par l’équation différentielle :

τ2 dy/dt + y = k (τ1 de/dt + e)

En transformée de Laplace :

τ2 p Y(p) + Y(p) = k (τ1 p E(p) + E(p))

La fonction de transfert est :

H(p) = Y(p) / E(p) = k (1 + τ1 p) / (1 + τ2 p)

En posant α = τ1 / τ2, on peut écrire :

H(p) = k (1 + α τ2 p) / (1 + τ2 p)

Réponse indicielle

La réponse à un échelon unité est :

y(t) = k [1 + (1/(α - 1)) (e^(-t / τ2) - e^(-α t / τ2))]

Cette réponse dépend du paramètre α et montre des comportements variés selon sa valeur.

<img src="Fig5.7.png" alt="Réponses indicielles d’un système 1er ordre généralisé pour différentes valeurs de α">

Systèmes à avance et retard de phase

Système de premier ordre à avance de phase

Considérons le montage suivant :

<img src="Fig5.8.png" alt="Système de 1er ordre à avance de phase">

La fonction de transfert s’écrit :

H(p) = (R2 + R1 C p) / (R2 (1 + R1 C p))

En posant :

• k = R2 / (R2 + R1)
• τ1 = R1 C
• τ2 = (R1 R2 C) / (R1 + R2)

On obtient un système de premier ordre avec avance de phase, caractérisé par :

H(p) = k (1 + τ1 p) / (1 + τ2 p) avec τ1 > τ2

Système de premier ordre à retard de phase

Considérons le montage suivant :

<img src="Fig5.9.png" alt="Système de 1er ordre à retard de phase">

La fonction de transfert s’écrit :

H(p) = R1 (1 + R2 C p) / (R1 + R2 (1 + R1 C p))

En posant :

• k = R1 / (R1 + R2)
• τ1 = R2 C
• τ2 = (R1 R2 C) / (R1 + R2)

On obtient un système de premier ordre avec retard de phase, caractérisé par :

H(p) = k (1 + τ1 p) / (1 + τ2 p) avec τ1 < τ2

Glossaire des termes clés

• Système de premier ordre : système décrit par une équation différentielle du premier ordre, avec une fonction de transfert H(p) = k / (τ p + 1).
• Gain statique (k) : valeur finale de la sortie pour une entrée échelon unité.
• Constante de temps (τ) : paramètre caractérisant la rapidité de la réponse du système.
• Réponse indicielle : réponse du système à une entrée échelon unité.
• Réponse impulsionnelle : réponse du système à une entrée impulsionnelle (δ).
• Système de premier ordre généralisé : système avec fonction de transfert H(p) = k (1 + τ1 p) / (1 + τ2 p), combinant deux constantes de temps.
• Avance de phase : caractéristique d’un système dont la fonction de transfert a un zéro plus rapide que son pôle (τ1 > τ2).
• Retard de phase : caractéristique d’un système dont la fonction de transfert a un pôle plus rapide que son zéro (τ1 < τ2).

Points clés à retenir

• Un système de premier ordre est caractérisé par un gain statique k et une constante de temps τ.
• La réponse à un échelon est une fonction exponentielle croissante vers k, avec une vitesse définie par τ.
• La réponse à une impulsion est une décroissance exponentielle à partir de k/τ.
• Les circuits RC et RL sont des exemples classiques de systèmes de premier ordre avec τ = R C ou τ = L / R.
• Le système de premier ordre généralisé introduit un zéro dans la fonction de transfert, modifiant la dynamique.
• Les systèmes à avance ou retard de phase sont des cas particuliers du système généralisé, selon la relation entre τ1 et τ2.