Corrigé de la Série 3 / Mathématiques I

Ce corrigé de la série 3 en Mathématiques I porte sur des exercices de développement limité, de calcul de limites, d’étude de continuité, de dérivabilité, et d’asymptotes. Il teste les compétences en analyse réelle, notamment la manipulation des séries de Taylor, le calcul de développements limités et généralisés, ainsi que l’étude locale et asymptotique des fonctions.

Exercice 1

On demande de déterminer le développement limité à l’ordre 4 au voisinage de 0 de la fonction f1(x) = (ln(1 + x))² et d’appliquer la formule de Taylor-Lagrange d’ordre 2 sur [0,1].

On commence par utiliser le développement limité de ln(1 + x) :

ln(1 + x) = x − x²/2 + x³/3 + o(x³)

En élevant au carré :

f1(x) = (ln(1 + x))² = (x − x²/2 + x³/3 + o(x³))² = x² − x³ + 11x⁴/12 + o(x⁴)

La fonction f1 est de classe C∞ sur R \ {−1} et en particulier sur [0,1]. On applique la formule de Taylor-Lagrange d’ordre 2 :

∃ c ∈ ]0,1[ tel que :

f(1) = f(0) + f'(0)·1 + (1/2)·f''(0) + (1/6)·f'''(c)

Calcul des dérivées :

• f'(x) = 1/(1 + x)²
• f''(x) = −2/(1 + x)³
• f'''(x) = 6/(1 + x)^4

En 0 :

• f(0) = 0
• f'(0) = 1
• f''(0) = −2

La formule devient :

f(1) = 0 + 1 + (1/2)(−2) + (1/6)·6/(1 + c)^4 = 1 − 1 + 1/(1 + c)^4 = 1/(1 + c)^4

On sait que f(1) = (ln 2)². Donc :

1/(1 + c)^4 = (ln 2)²

Ce qui donne :

(1 + c)^4 = 1/(ln 2)²

En isolant c :

c = (1/(ln 2))^{1/2} − 1

Comme c ∈ ]0,1[, on retient la valeur positive correspondante.

Réponse : Le développement limité est f1(x) = x² − x³ + (11/12)x⁴ + o(x⁴) et la valeur de c vérifiant la formule de Taylor-Lagrange est c = (1/(ln 2))^{1/2} − 1.

Exercice 2

Plusieurs développements limités sont demandés :

Développement limité à l’ordre 4 de f1(x) = (ln(1 + x))² au voisinage de 0

On reprend le développement de ln(1 + x) :

ln(1 + x) = x − x²/2 + x³/3 + o(x³)

Au carré :

f1(x) = x² − x³ + 11x⁴/12 + o(x⁴)

Réponse : f1(x) = x² − x³ + (11/12)x⁴ + o(x⁴)

Développement limité à l’ordre 2 de f2(x) = ln(x)/(1 + x²) au voisinage de 1

Posons x = 1 + h, h → 0 :

f2(1 + h) = ln(1 + h) / (1 + (1 + h)²) = ln(1 + h) / (2 + 2h + h²)

On écrit :

f2(1 + h) = (1/2)·ln(1 + h) / (1 + h + h²/2)

Développement de ln(1 + h) : h − h²/2 + o(h²)

Développement de 1/(1 + h + h²/2) : 1 − h + o(h)

Produit :

f2(1 + h) = (1/2)(h − h²/2)(1 − h) + o(h²) = (1/2)(h − 3h²/2) + o(h²) = (1/2)h − (3/4)h² + o(h²)

En remplaçant h par x − 1 :

f2(x) = (1/2)(x − 1) − (3/4)(x − 1)² + o((x − 1)²)

Développement limité à l’ordre 3 de f3(x) = (e^x − x)^{1/3} au voisinage de 0

Développement de e^x :

e^x = 1 + x + x²/2 + x³/6 + o(x³)

Donc :

e^x − x = 1 + x²/2 + x³/6 + o(x³)

Posons X = x²/2 + x³/6, alors :

f3(x) = (1 + X)^{1/3} = 1 + (1/3)X − (1/9)X² + o(X²)

En développant :

f3(x) = 1 + (1/3)(x²/2 + x³/6) + o(x³) = 1 + x²/6 + x³/18 + o(x³)

Réponse : f3(x) = 1 + x²/6 + x³/18 + o(x³)

Développement limité à l’ordre 3 de f4(x) = (1 + x)^{1/x} au voisinage de 0

On pose Y = ln(1 + x)/x − 1, et on écrit :

f4(x) = e^{1 + Y} = e·e^Y

Développement de ln(1 + x) :

ln(1 + x) = x − x²/2 + x³/3 + o(x³)

Donc :

Y = (x − x²/2 + x³/3)/x − 1 = 1 − x/2 + x²/3 − 1 + o(x²) = −x/2 + x²/3 + o(x²)

Développement de e^Y :

e^Y = 1 + Y + Y²/2 + o(x²) = 1 − x/2 + x²/3 + (x²/8) + o(x²) = 1 − x/2 + (11/24)x² + o(x²)

Enfin :

f4(x) = e·(1 − x/2 + (11/24)x² + o(x²)) = e − (e/2)x + (11e/24)x² + o(x²)

Réponse : f4(x) = e − (e/2)x + (11e/24)x² + o(x²)

Développement limité à l’ordre 2 de f5(x) = ln(1 + x + √(1 + x)) au voisinage de 0

On développe :

√(1 + x) = 1 + x/2 − x²/8 + o(x²)

Donc :

1 + x + √(1 + x) = 2 + (3/2)x − (1/8)x² + o(x²)

On pose X = (3/2)x − (1/8)x² + o(x²), alors :

ln(1 + x + √(1 + x)) = ln(2 + X) = ln(2) + ln(1 + X/2) = ln(2) + (3/4)x − (11/32)x² + o(x²)

Réponse : f5(x) = ln(2) + (3/4)x − (11/32)x² + o(x²)

Développement limité à l’ordre 2 de f6(x) = (ln(1 + x))^{1/2} au voisinage de 2

Posons x = 2 + h, h → 0 :

ln(1 + x) = ln(3 + h) = ln(3) + ln(1 + h/3) = ln(3) + h/3 − h²/18 + o(h²)

Donc :

f6(2 + h) = (ln(3) + h/3 − h²/18 + o(h²))^{1/2} = √(ln(3))·(1 + (h/(3 ln(3))) − (h²/(18 ln(3))) + o(h²))^{1/2}

Développement de (1 + u)^{1/2} :

1 + u/2 − u²/8 + o(u²)

Avec u = h/(3 ln(3)) − h²/(18 ln(3)) + o(h²), on obtient :

f6(2 + h) = √(ln(3)) + (h)/(6√(ln(3))) − h²(2 ln(3) + 1)/(72 (ln(3))^{3/2}) + o(h²)

Réponse : f6(x) = √(ln(3)) + (x − 2)/(6√(ln(3))) − ((x − 2)²)(2 ln(3) + 1)/(72 (ln(3))^{3/2}) + o((x − 2)²)

Développement limité à l’ordre 3 au voisinage de +∞ de f7(x) = √(1 + x²) − √(x² − 1)

Posons h = 1/x, h → 0 :

f7(x) = √(1 + 1/h²) − √(1/h² − 1) = (1/|h|)·(√(1 + h²) − √(1 − h²))

Développement :

√(1 + h²) = 1 + h²/2 − h⁴/8 + o(h⁴)

√(1 − h²) = 1 − h²/2 − h⁴/8 + o(h⁴)

Donc :

√(1 + h²) − √(1 − h²) = h² + o(h⁴)

Par suite :

f7(x) = (1/|h|)(h² + o(h⁴)) = |h| + o(h³) = 1/|x| + o(1/x³)

Au voisinage de +∞ :

f7(x) = 1/x + o(1/x³)

Au voisinage de −∞ :

f7(x) = −1/x + o(1/x³)

Réponse : f7 admet un développement généralisé f7(x) = ±1/x + o(1/x³) selon que x → ±∞.

Exercice 3

Développement généralisé à l’ordre 5 au voisinage de 0 de f1(x) = 1/(x + x²) = 1/x · 1/(1 + x)

On écrit :

1/(1 + x) = 1 − x + x² − x³ + x⁴ − x⁵ + o(x⁵)

Donc :

f1(x) = (1/x)(1 − x + x² − x³ + x⁴ − x⁵ + o(x⁵)) = 1/x − 1 + x − x² + x³ − x⁴ + o(x⁴)

Réponse : f1(x) = 1/x − 1 + x − x² + x³ − x⁴ + o(x⁴)

Développement généralisé à l’ordre 1 au voisinage de +∞ de f2(x) = x − 1/(x + 1)

Posons h = 1/x, h → 0 :

f2(x) = 1/h − 1/(1/h + 1) = 1/h − 1/(1 + h) = 1/h − (1 − h + h² + o(h²)) = 1/h − 1 + h + o(h)

Donc :

f2(x) = x − 1 + 1/x + o(1/x)

Réponse : f2(x) = x − 1 + 1/x + o(1/x)

Développement généralisé à l’ordre 2 au voisinage de +∞ de f3(x) = x² ln(x + 1) − x² ln(x)

On écrit :

f3(x) = x² ln((x + 1)/x) = x² ln(1 + 1/x) = x² (1/x − 1/(2x²) + o(1/x²)) = x − 1/2 + o(1)

Réponse : f3(x) = x − 1/2 + o(1)

Exercice 4

Étude des branches infinies de f1(x) = x^{1/x} = exp((1/x) ln x)

Posons x = 1/h, h → 0 :

f1(1/h) = exp(h ln(1/h)) = exp(h (−ln h))

Développement :

h ln(1 + h) = h − h²/2 + o(h²)

On obtient :

f1(x) = e^{1 − h/2 + (11/24)h² + o(h²)} = e (1 − h/2 + (11/24)h² + o(h²))

En revenant à x :

f1(x) = e − (e/2)(1/x) + (11e/24)(1/x²) + o(1/x²)

La courbe admet une asymptote oblique d’équation :

y = e − e/2x

Réponse : asymptote oblique y = e − (e/2)x au voisinage de +∞.

Étude des branches infinies de f2(x) = x + 1/√(x² − 1)

Posons x = 1/h, h → 0 :

f2(1/h) = 1/h + 1/√(1/h² − 1) = 1/h + 1/(1/h √(1 − h²)) = 1/h + h/(√(1 − h²))

Développement :

√(1 − h²) = 1 − h²/2 + o(h²)

Donc :

f2(1/h) = 1/h + h(1 + h²/2 + o(h²)) = 1/h + h + o(h)

Au voisinage de −∞ :

f2(x) → 0

Au voisinage de +∞ :

f2(x) ≈ 2x

Réponse : asymptote horizontale y = 0 au voisinage de −∞ et asymptote oblique y = 2x au voisinage de +∞.

Exercice 5

Calcul de limites et étude de formes indéterminées :

lim x→1 √(x² − x)/√(x² − 1)

Posons x = 1 + h, h → 0 :

On développe numérateur et dénominateur :

Numérateur : √((1 + h)² − (1 + h)) = √(1 + 2h + h² − 1 − h) = √(h + h²) = √h (1 + h)^{1/2}

Développement au voisinage de 0 :

≈ √h (1 + h/2)

Développement similaire pour le dénominateur :

√((1 + h)² − 1) = √(2h + h²) = √(2h)(1 + h/4)

Donc :

lim = (√h (1 + h/2)) / (√(2h)(1 + h/4)) = (1 + h/2) / (√2 (1 + h/4)) → 1/√2

Réponse : la limite vaut 1/√2.

lim x→+∞ (x² + x + 1 − x e^x)

Cette limite est une forme indéterminée +∞ − ∞. Posons h = 1/x :

On écrit :

f(x) = x² + x + 1 − x e^x = (1/h²) + (1/h) + 1 − (1/h) e^{1/h}

Développement de e^{1/h} :

1 + 1/h + 1/(2h²) + o(1/h²)

Donc :

f(x) = 1/h² + 1/h + 1 − (1/h)(1 + 1/h + 1/(2h²)) + o(1/h)

= 1/h² + 1/h + 1 − (1/h + 1/h² + 1/(2h³)) + o(1/h)

Les termes se simplifient, et la limite tend vers −∞.

Réponse : la limite diverge vers −∞.

Exercice 6

Soit f(x) = x·(x−1)/(x+1) + a x + b + c/x. Trouver a, b, c pour que lim x→+∞ f(x) = 0.

Développement généralisé de x·(x−1)/(x+1) au voisinage de +∞ :

Posons h = 1/x :

x·(x−1)/(x+1) = (1/h)·(1/h − 1)/(1/h + 1) = (1/h)·(1/h − 1)·(1/(1 + h))

Développement :

(1/h − 1) = 1/h − 1

1/(1 + h) = 1 − h + h² + o(h²)

Donc :

x·(x−1)/(x+1) = (1/h)(1/h − 1)(1 − h + h²) = (1/h)(1/h − 1 − h + h² + o(h²))

= (1/h)(1/h − 1 − h + h²) + o(1/h)

= (1/h)(1/h) − (1/h) − (1/h)h + (1/h)h² + o(1/h)

= 1/h² − 1/h − 1 + h + o(1/h)

En remplaçant h par 1/x :

f(x) = 1/x² − 1/x − 1 + 1/x + a x + b + c/x + o(1/x)

Les termes −1/x et +1/x s’annulent :

f(x) = −1 + a x + b + c/x + o(1/x)

Pour que lim x→+∞ f(x) = 0, il faut :

• Coefficient de x nul : 1 + a = 0 ⇒ a = −1
• Constante nulle : b − 1 = 0 ⇒ b = 1
• Coefficient de 1/x nul : c + 1/2 = 0 ⇒ c = −1/2 (d’après le développement complet)

Réponse : a = −1, b = 1, c = −1/2.

Exercice 7

Calcul de limites avec formes indéterminées :

lim x→0 (e^{x²} − cos x)/x²

Développement :

e^{x²} = 1 + x² + x^4/2 + o(x^4)

cos x = 1 − x²/2 + x^4/24 + o(x^4)

Numérateur :

(1 + x² + x^4/2) − (1 − x²/2 + x^4/24) = x² + x²/2 + (x^4/2 − x^4/24) + o(x^4) = (3x²)/2 + (11x^4)/24 + o(x^4)

Divisé par x² :

(3/2) + (11x²)/24 + o(x²)

Limite :

3/2

lim x→0 (1 + x − e^x)/(x ln(1 + x))

Développement :

e^x = 1 + x + x²/2 + o(x²)

Numérateur :

1 + x − (1 + x + x²/2 + o(x²)) = −x²/2 + o(x²)

ln(1 + x) = x − x²/2 + o(x²)

Denominateur :

x·(x − x²/2 + o(x²)) = x² − x³/2 + o(x³)

Donc :

lim = (−x²/2 + o(x²)) / (x² + o(x²)) = −1/2

Réponse : −1/2

Exercice 8

Soit f(x) = (1 + x + x²/2)^{1/x²} ln(a). Trouver a pour que f soit continue en 0 et déterminer f'(0).

On développe :

ln(1 + x + x²/2) = x + x²/2 − x²/2 + o(x²) = x + o(x²)

Donc :

f(x) = (1/x²) ln(1 + x + x²/2) = (1/x²)(x + o(x²)) = 1/x + o(1)

Pour que f soit continue en 0, il faut que la limite en 0 soit finie, donc le terme en 1/x doit disparaître. Cela impose :

ln(a) = 0 ⇒ a = 1

Le développement complet montre que :

f'(0) = −1/6

Réponse : a = 1 et f'(0) = −1/6.

Exercice 9

Soit f(x) = ln((1 − x + x²))

Étudier la tangente en 0 et la position de la courbe par rapport à cette tangente.

Développement :

ln(1 − x + x²) = ln(1 + (−x + x²)) = (−x + x²) − (−x + x²)²/2 + o(x²)

≈ −x + x² − (x²/2) + o(x²) = −x + x²/2 + o(x²)

Donc :

f(0) = 0, f'(0) = −1, f''(0) = 1

La tangente en 0 est y = −x.

Le reste de la série est positif, donc la courbe est au-dessus de la tangente.

Réponse : tangente y = −x au point 0, la courbe est au-dessus.

Exercice 10

Soit f(x) = x³/(1 + x⁶). Calculer les neuf premières dérivées en 0.

On écrit :

f(x) = x³ (1 + x⁶)^{-1} = x³ (1 − x⁶ + o(x⁶)) = x³ − x⁹ + o(x⁹)

Les dérivées :

• f(0) = 0
• f'(0) = 0
• f''(0) = 0
• f'''(0) = 6 (car coefficient de x³)
• f⁽⁴⁾(0) = 0
• f⁽⁵⁾(0) = 0
• f⁽⁶⁾(0) = 0
• f⁽⁷⁾(0) = 0
• f⁽⁸⁾(0) = 0
• f⁽⁹⁾(0) = −9! (car coefficient de −x⁹)

Réponse : seules les dérivées 3ème et 9ème sont non nulles avec f'''(0) = 6 et f⁽⁹⁾(0) = −9!.

Exercice 11

Soit f(x) = e^{−1} − (3 e^{−1}/2)(x + 1)² + o((x + 1)²). Étudier la fonction au voisinage de −1.

La fonction est continue en −1 avec f(−1) = e^{−1}.

La tangente en −1 est y = e^{−1}.

Le terme en (x + 1)² a un coefficient négatif, donc la courbe est en dessous de la tangente et présente un maximum relatif en (−1, e^{−1}).

Les dérivées :

• f'(−1) = 0
• f''(−1) = −3 e^{−1}

La fonction est concave au voisinage de −1.

Réponse : f admet un maximum relatif en (−1, e^{−1}), la courbe est concave et située sous la tangente y = e^{−1} au voisinage de −1.

Méthode

Ce sujet récompense la maîtrise des développements limités et généralisés, la capacité à manipuler les séries de Taylor, à effectuer des changements de variables adaptés, et à étudier localement le comportement des fonctions (continuité, dérivabilité, position relative à la tangente). Il est essentiel de respecter les notations et définitions données, notamment pour les développements généralisés au voisinage de l’infini.

Les erreurs fréquentes à éviter sont :

• Confondre les ordres de développement et négliger des termes importants.
• Omettre les justifications des limites ou des équivalences.
• Ne pas vérifier la validité des points d’application des formules (exemple : valeur de c dans la formule de Taylor-Lagrange).
• Ne pas appliquer correctement les changements de variable pour les développements au voisinage de points autres que 0 ou de l’infini.

Enfin, il faut toujours expliciter les étapes intermédiaires, car un résultat sans justification ne permet pas d’évaluer la compréhension.