Université Mohammed V-Agdal
Faculté des Sciences Juridiques,
´
Economiques et Sociales, Rabat
www.fsjesr.ac.ma
Filière de Sciences
´
Economiques et de Gestion
´
Eté 2006/2007
A & B
Printemps–
:
Sections
Semestre : S2
Autre méthode :
Module 6
Matière
: Méthodes Quantitatives I
: Mathématiques I
Professeure Amale LAHLOU
Corrigé de la Série
Exercice 1
La fonction définie par :
f1(x) = (ln(1 + x))2
(cid:181)
=
x −
(cid:181)
x2
2
+
(cid:181)
= x2
1 +
(cid:195)
−
(cid:181)
= x2
1 + 2
−
(cid:182)2
x3
3
x
2
+
x2
3
x
2
+
+ o(x4)
(cid:182)(cid:182)2
+ o(x4)
(cid:195)
= x2
1 − x +
(cid:181)
= x2
1 − x +
2x2
3
2x2
3
+
+
−
x
2
(cid:182)
x2
4
+ o(x4)
(cid:182)
(cid:181)
+
−
(cid:181)
(cid:180)2
x2
3
(cid:179)
(cid:33)
(cid:182)2
x
2
+
x2
3
+ o(x4)
(cid:33)
(cid:182)2
2x
3
+ o(x4)
1 −
f (x) =
x
1 + x
f1(x) = x2 − x3 +
11
12
x4 + o(x4)
est une fonction rationnelle donc de classe C∞ sur son do-
maine de définition Df = R − {−1} et en particulier sur le
segment [0, 1]. On peut donc lui appliquer la Formule de
Taylor-Lagrange sur [0, 1] à l’ordre 2 :
∃c ∈]0, 1[ tel que :
f (1) = f (0) + f (cid:48)(0) +
1
2!
f (cid:48)(cid:48)(0) +
1
3!
f (3)(c)
Comme
f (cid:48)(x) =
1
(1 + x)2 ,
f (cid:48)(cid:48)(x) =
−2
(1 + x)3 ,
f (3)(x) =
6
(1 + x)4
ou encore,
alors, f (0) = 0, f (cid:48)(0) = 1 et f (cid:48)(cid:48)(0) = −2. Ainsi, la formule
de Taylor-Lagrange donne :
(1 + c)4 = 2
√
c’est-à-dire, c = ± 4
2 − 1. Mais comme c ∈]0, 1[ alors, le
seul point vérifiant la Formule de Taylor-Lagrange ap-
√
pliquée à f est c = 4
2 − 1.
Exercice 2
• Déterminons le Développement Limité à l’ordre 4 au
voisinage de 0 de la fonction :
f1(x) = ln2(1 + x) = (ln(1 + x))2
On sait que :
ln(1 + x) = x −
1
2
x2 +
1
3
x3 + o(x3)
d’où,
f1(x) = (ln(1 + x))2
1
2
= T 4
x −
(cid:183)(cid:181)
(cid:182) (cid:181)
x2 +
1
3
x3
x −
1
2
x2 +
1
3
x3
(cid:182)(cid:184)
+ o(x4)
= x2 −
1
2
x3 +
= x2 − x3 +
x3 +
1
2
x4 −
1
3
11
x4 + o(x4)
12
1
4
x4 +
1
3
x4 + o(x4)
• Déterminons le Développement Limité à l’ordre 2 au
voisinage de 1 de la fonction :
f2(x) =
ln(x)
1 + x2
Posons le changement de variable x = 1 + h, si x → 1 alors
h → 0 et
f2(x) =
ln(1 + h)
1 + (1 + h)2 =
ln(1 + h)
2 + 2h + h2 =
1
2
(cid:195)
(cid:33)
ln(1 + h)
1 + h + h2
2
f2(x) =
1
2
ln(1 + h)
(cid:195)
(cid:33)
1
(cid:161)
h + h2
2
(cid:162)
1 +
On effectue le produit des parties régulières des DL des
1
h + h2
2
fonctions ln(1 + h) et
1 +
(cid:162) :
(cid:161)
ln(1 + h) = h −
h2 + o(h2)
1
(cid:161)
h + h2
2
1 +
(cid:162) = 1 −
h +
(cid:182)
h2
2
+ o(h)
1
2
(cid:181)
ln(1 + h)
(cid:195)
(cid:33)
(cid:161)
1
h + h2
2
(cid:162)
1 +
= 1 − h + o(h)
(cid:181)
(cid:182)
h2
2
=
h −
(1 − h) + o(h2)
= h − h2 −
+ o(h2)
h2
2
h2 + o(h2)
= h −
3
2
On obtient ainsi,
f2(x) =
=
f2(x) =
1
2
1
2
1
2
(cid:181)
h −
h −
3
4
(cid:182)
h2 + o(h2)
3
2
h2 + o(h2)
(x − 1) −
3
4
(x − 1)2 + o((x − 1)2)
Remarque : Pour trouver le DL2(0) de la fonction
ln(1 + h)
1 + h + h2
2
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Corrigé de la série 3 /Mathématiques I / MQ I / M 6
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on peut effectuer la division suivant les puissances crois-
santes de la partie régulière du DL2(0) de ln(1 + h) par
1 + h + h2
2 .
Or,
ln(1 + x) = x −
h
− 1
2 h2
1 + h + 1
2 h2
−h −h2
− 1
2 h3
h − 3
2 h2
− 3
2 h2
2 h2 − 1
+ 3
2 h3
2 h3 + 3
3
4 h4
h3
+ 3
4 h4
On obtient ainsi,
ln(1 + h)
1 + h + h2
2
= h −
3
2
h2 + o(h2).
• Déterminons le Développement Limité à l’ordre 3 au
voisinage de 0 de la fonction :
f3(x) = (ex − x)
1
3
On sait que :
ex = 1 + x +
x2
2!
+
x3
3!
+ o(x3)
ex − x = 1 +
x2
2
+
x3
6
+ o(x3)
Posons X = x2
2 + x3
6 , quand x → 0 alors X → 0 et
f3(x) = (1 + X)
1
3
= 1 +
= 1 +
= 1 +
1
3
1
3
x2
6
X + o(X)
(cid:181)
x2
2
+
x3
6
(cid:182)
+ o(x3)
+
x3
18
+ o(x3)
Ainsi,
f3(x) = 1 +
x2
6
• Déterminons le Développement Limité à l’ordre 3 au
voisinage de 0 de la fonction :
+ o(x3).
x3
18
+
f4(x) = (1 + x)
1
x = exp
(cid:181)
(cid:182)
.
ln(1 + x)
x
+
−
+ o(x4)
x2
2
x
2
x3
3
x2
3
x4
4
x3
4
= 1 −
+
−
+ o(x3)
ln(1 + x)
x
ln(1 + x)
x
Y = X − 1 = −
+
− 1 = −
x2
3
x2
3
eY = 1 + Y +
x
2
x
2
+
−
−
x3
4
x3
4
Y 2 +
1
2!
+ o(x3)
+ o(x3)
1
3!
Y 3 + o(Y 3)
Il vient,
(cid:181)
eY = 1 +
−
+
1
6
= 1 −
+
1
6
(cid:181)
x
2
(cid:179)
−
+
−
x
2
= 1 −
= 1 −
= 1 −
x
2
x
2
x
2
+
+
+
Enfin,
x
2
x
2
+
+
x2
3
x2
3
−
−
x3
4
x3
4
(cid:181)
(cid:182)
+
(cid:182)3
1
2
(cid:182)2
−
x
2
+
x2
3
−
x3
4
+ o(x3)
x3
4
−
(cid:181)
1 −
−
x3
4
x3
4
x2 −
−
x2
3
(cid:180)3
x2
3
x2
3
11
24
+
2x
3
+
+
1
2
+
x2
8
x2
8
(cid:179)
(cid:180)2
−
x
2
(cid:182)3
x2
2
(cid:181)
1 − 2
−
x3
6
7
16
x3 + o(x3)
(cid:181)
1 −
2x
3
+
x2
2
(cid:182)2
+ o(x3)
(cid:182)
2x
3
x3
48
Publicité
−
−
x3
48
+ o(x3)
+ o(x3)
f4(x) = eeY
(cid:181)
= e
1 −
1
2
x +
11
24
x2 −
7
16
(cid:182)
x3
+ o(x3)
e −
e
2
x +
11e
24
x2 −
7e
16
x3 + o(x3)
• Déterminons le Développement Limité à l’ordre 2 au
voisinage de 0 de la fonction :
f5(x) = ln(1 + x +
√
1 + x)
On sait que :
√
√
1 + x +
1 + x = 1 +
1 + x = 2 +
(cid:183)
1
2
3
2
x −
x −
1
8
1
8
x2 + o(x2)
x2 + o(x2)
1 + x) = ln
2 +
3
2
x −
(cid:183)
1
8
(cid:184)
x2 + o(x2)
(cid:181)
Posons
X =
ln(1 + x)
x
.
√
ln(1 + x +
On remarque que si x → 0 alors X → 1 puisque
= ln(2) + ln
1 +
ln(1 + x)
x
∼ 1
Ainsi, la fonction f3(x) peut s’écrire sous la forme :
f4(x) = eX = e(X−1)+1 = e eX−1
(cid:182)(cid:184)
3
4
1
16
x −
x2 + o(x2)
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´
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Ainsi,
f6(x) =
=
(cid:112)
(cid:112)
(cid:183)
ln(3)
1 +
(cid:183)
ln(3)
1 +
(cid:182)2
+ o(x2)
(cid:182)2
x
+ o(x2)
f6(x) =
(cid:112)
ln(3) +
1
ln(3)
(cid:112)
6
h −
(cid:182)(cid:184) 1
2
(cid:181)
1 +
h
3
ln
1
ln(3)
1
6 ln(3)
h −
h2
2 ln(3) + 1
72 ln2(3)
2 ln(3) + 1
(cid:112)
72 ln(3)
ln(3)
(cid:184)
+ o(h2)
h2 + o(h2)
Posons X = 3
4 x − 1
16 x2, quand x → 0 alors X → 0 et
ln(1 + X) = X −
1
2
X 2 + o(X 2)
(cid:182)
(cid:181)
3
4
x −
1
16
x2
−
1
2
(cid:181)
3
4
1
2
9
32
x2 −
x2 −
3
4
3
4
3
4
x −
x −
x −
1
16
1
16
11
32
x2 + o(x2)
(cid:181)
x −
3
4
(cid:182)2 (cid:181)
x
1
16
x2
1
12
1 −
x2 + o(x2)
=
=
=
=
Ainsi,
f5(x) = ln(2) + ln(1 + X)
11
32
= ln(2) +
x −
3
4
(cid:181)
(cid:182)
x2
+ o(x2)
= ln(2) +
3
4
x −
11
32
x2 + o(x2)
• Déterminons le Développement Limité à l’ordre 2 au
voisinage de 2 de la fonction :
f6(x) =
(cid:112)
ln(1 + x) = [ln(1 + x)]
1
2
Posons le changement de variable x = 2 + h, quand x → 2
alors h → 0 et
f6(x) = [ln(3 + h)]
(cid:183)
1
2
(cid:181)
=
ln(3) + ln
1 +
(cid:182)(cid:184) 1
2
h
3
(cid:112)
ln(3)
=
(cid:183)
1 +
1
ln(3)
(cid:181)
ln
1 +
(cid:182)(cid:184) 1
2
h
3
on a :
(cid:181)
ln
1 +
(cid:181)
ln
1 +
(cid:182)
(cid:182)
h
3
h
3
=
=
1
ln(3)
h
3
−
h2
18
+ o(h2)
h
3 ln(3)
−
h2
18 ln(3)
+ o(h2)
Posons X = h
3 ln(3) − h2
18 ln(3) , si h → 0 alors X → 0 et
[1 + X]
1
2 = 1 +
= 1 +
−
1
8
= 1 +
−
1
8
= 1 +
(cid:182)
+ o(X 2)
−
h2
18 ln(3)
(cid:182)2
h2
18 ln(3)
h2
36 ln(3)
−
(cid:182)2 (cid:181)
(cid:182)2
−
1 −
h
6
−
(cid:181)
X 2
8
h
3 ln(3)
X
2
1
2
(cid:181)
h
3 ln(3)
h
6 ln(3)
(cid:181)
h
3 ln(3)
h
6 ln(3)
+ o(h2)
−
h2
36 ln(3)
−
h2
72 ln2(3)
+ o(h2)
= 1 +
1
6 ln(3)
h −
2 ln(3) + 1
72 ln2(3)
h2 + o(h2)
• Déterminons le Développement Limité à l’ordre 3 au
voisinage de ∞ de la fonction :
f7(x) =
(cid:112)
1 + x2 −
(cid:112)
x2 − 1
Posons h = 1
x , quand |x| → +∞, alors h → 0 et
(cid:114)
f7(x) =
1 +
(cid:114)
1
h2 −
1
h2 − 1 =
1
|h|
(cid:179)(cid:112)
1 + h2 −
(cid:112)
1 − h2
(cid:180)
Cherchons le Développement Limité au voisinage de 0 de :
(cid:112)
(cid:112)
1 + h2 = 1 +
1 − h2 = 1 −
h2
2
h2
2
−
−
h4
8
h4
8
+ o(h4)
+ o(h4)
et par suite,
(cid:112)
1 + h2 −
(cid:112)
1 − h2 = h2 + o(h4)
(cid:195) au voisinage de −∞
f7(x) = −
1 + h2 −
(cid:112)
1 − h2
(cid:180)
(cid:179)(cid:112)
1
h
= −h + o(h3)
1
1
x3
x
+ o
(cid:181)
(cid:182)
f7(x) = −
(cid:195) au voisinage de +∞
f7(x) =
(cid:179)(cid:112)
1
h
1 + h2 −
(cid:112)
1 − h2
(cid:180)
= h + o(h3)
1
x3
+ o
1
x
(cid:181)
f7(x) =
(cid:182)
Exercice 3
• Déterminons le Développement Généralisé à l’ordre 5 au
voisinage de +∞ de la fonction :
f1(x) =
1
x + x2 =
1
x
(cid:181)
(cid:182)
1
1 + x
Donc la fonction f1 n’admet pas de Développement Limité
au voisinage de 0, cependant elle admet un Développement
Généralisé au voisinage de ce point. En effet,
(cid:182)
(cid:181)
1
1 + x
f1(x) =
=
f1(x) =
1
x
1
x
1
x
(cid:162)
(cid:161)
1 − x + x2 − x3 + x4 − x5 + x6 + o(x6)
− 1 + x − x2 + x3 − x4 + x5 + o(x5)
+ o(h2)
On remarque que :
lim
x→0
f1(x) = ∞
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• Déterminons le Développement Généralisé à l’ordre 1 au
voisinage de +∞ de la fonction :
(cid:114)
f2(x) = x
On remarque que :
x − 1
x + 1
lim
x→+∞
f2(x) = +∞
Donc la fonction f2 n’admet pas de Développement Limité
au voisinage de +∞, cependant elle admet un Développement
Généralisé au voisinage de +∞. Posons h = 1
x → +∞, alors h → 0+ et
x , quand
(cid:114)
1
h
Cherchons le Développement Limité au voisinage de 0 de :
1 − h
1 + h
f2(x) =
(cid:181)
(cid:182)
1 − h
1 + h
= 1 − 2h
1
1 + h
= 1 − 2h(1 − h + o(h))
= 1 − 2h + 2h2 + o(h2)
= 1 +
(cid:162)
(cid:161)
−2h + 2h2 + o(h2)
(cid:161)
(cid:163)
1 +
−2h + 2h2 + o(h2)
(cid:162)(cid:164) 1
2
et par suite,
(cid:114)
1 − h
1 + h
=
= 1 +
1
2
(−2h + 2h2) −
= 1 − h +
1
2
h2 + o(h2)
1
8
(−2h + 2h2)2 + o(h2)
d’où,
f3(x) =
=
1
h
1
h
= 1 −
= 1 −
= 1 −
h
2
h
2
h
2
(cid:182)
(cid:114)
− 1 +
1 − h
1 + h
h
2
1
2x
+ o(h)
(cid:181)
1
x
f3(x) = x − 1 +
+ o
• Déterminons le Développement Généralisé à l’ordre 2 au
voisinage de +∞ de la fonction :
f3(x) = x2 ln(x+1)−x2 ln(x) = x2 ln
On remarque que :
lim
x→+∞
f3(x) = ∞
(cid:181)
(cid:182)
x + 1
x
(cid:181)
= x2 ln
1 +
Donc la fonction f3 n’admet pas de Développement Limité
au voisinage de +∞, cependant elle admet un Développement
Généralisé au voisinage de +∞. Posons h = 1
x → +∞, alors h → 0+ et
x , quand
f3(x) =
1
Publicité
h2 ln (1 + h)
Cherchons le Développement Limité au voisinage de 0 de :
ln(1 + h) = h −
h3 −
1
4
h4 + o(h4)
f3(x) =
=
h2 +
1
1
2
3
1
h2 ln(1 + h)
1
1
1
+
3
2
h
1
1
3x
2
+
−
h −
h2 + o(h2)
1
4
1
4x2 + o
(cid:182)
(cid:181)
1
x2
f3(x) = x −
−
Exercice 4
• Étudions les branches infinies de la fonction définie par :
(cid:181)
f1(x) = x
1 +
(cid:182)x
1
x
(cid:183)
(cid:181)
= x exp
x ln
1 +
(cid:182)(cid:184)
1
x
Posons x = 1
h , quand |x| → +∞, alors h → 0 et
(cid:183)
(cid:184)
f1(x) =
Or,
1
h
1
h
exp
ln (1 + h)
ln(1 + h) = h −
1
h
ln(1 + h) = 1 −
h2
2
h
2
h3
3
h2
3
+
+ o(h2)
+
+ o(h3)
Ainsi,
(cid:183)
1
h
exp
(cid:184)
(cid:183)
ln (1 + h)
= exp
(cid:184)
+ o(h2)
1 −
h
2
2 + h2
(cid:16)
− h
+
h2
3
(cid:17)
3 +o(h2)
= e e
Posons X = − h
3 , si x → 0 alors X → 0 Il vient,
2 + h2
1
2!
(cid:181)
eX = 1 + X +
X 2 + o(X 2)
(cid:181)
(cid:182)
= 1 +
−
1
2
−
h
2
(cid:182)2 (cid:181)
+
(cid:181)
−
h
2
+
h2
3
1 −
2h
3
(cid:182)2
+ o(h2)
(cid:182)2
+ o(h2)
h2
3
+
+
h
2
h2
3
h2
3
11h2
24
+
+
+
+
1
2
h2
8
+ o(h2)
+ o(h2)
D’où,
(cid:182)
1
x
f1(x) =
=
=
1
h
e
h
e
h
f1(x) = ex −
eeX
(cid:183)
1 −
(cid:184)
h2 + o(h2)
1
2
h +
11
24
−
e
2
e
2
+
+
11e
24
11e
24x
h + o(h)
(cid:182)
(cid:181)
1
x
+ o
Donc, la courbe représentative de f1 admet au voisinage
de l’infini une asymptote oblique d’équation y = ex − e
2 .
• Étudions les branches infinies de la fonction définie par :
f2(x) = x +
(cid:112)
x2 − 1
Posons x = 1
h , quand |x| → +∞, alors h → 0 et
f2(x) =
=
=
1
h
1
h
1
h
+
+
+
(cid:114)
1
|h|
1
|h|
1
h2 − 1
(cid:112)
1 − h2
(1 − h2)
1
2
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Or,
Exercice 5
(1 − h2)
1
2 = 1 −
1
2
h2 + o(h2)
(cid:195) Au voisinage de −∞ :
1
h
1
h
1
h
(1 − h2)
(cid:181)
1
2
(cid:182)
1 −
h2 + o(h2)
1
2
+
1
2
h + o(h)
f2(x) =
=
=
=
f2(x) =
−
−
−
1
h
1
h
1
h
1
2
1
2x
h + o(h)
(cid:181)
(cid:182)
+ o
1
x
Donc la courbe représentative de f2 admet la demi-droite
d’équation y = 0 comme asymptote horizontale au voisi-
nage de −∞.
(cid:195) Au voisinage de +∞ :
Calculons les limites suivantes via l’outil Développement
Limité :
√
x2 −
x
x2 − 1
=?
• lim
x→1
Cette limite est une Forme Indéterminée 0
0 . Posons
f (x) =
√
x2 −
x
x2 − 1
Soit le changement de variable x = 1 + h, si x → 1 alors
h → 0 et
f (x) =
(1 + h)2 −
√
1 + h
(1 + h)2 − 1
=
√
1 + 2h + h2 −
2h + h2
1 + h
Puisque la valuation du dénominateur de la fraction ra-
tionnelle est de l’ordre de 2, il suffit de développer, au
voisinage de 0, le numérateur à un ordre n (cid:62) 2.
(1 − h2)
(cid:181)
1
2
(cid:182)
1 + 2h + h2 −
1 −
h2 + o(h2)
1
2
√
√
1 + h = 1 +
1
2
h −
1
8
h2 + o(h2)
1 + h = 1 + 2h + h2 − 1 −
1
2
h +
1
8
h2 + o(h2)
=
3
2
h +
9
8
h2 + o(h2)
f2(x) =
=
=
=
1
h
1
h
1
h
2
h
+
+
+
−
1
h
1
h
1
h
1
2
f2(x) = 2x −
+ o
−
1
2
h + o(h)
h + o(h)
(cid:181)
(cid:182)
1
2x
1
x
Donc la courbe représentative de f2 admet la demi-droite
d’équation y = 2x comme asymptote oblique au voisinage
de +∞.
• Étudions les branches infinies de la fonction définie par :
√
1 + 2h + h2 −
2h + h2
1 + h
=
=
Par passage à la limite il vient,
3
2 h + 9
8 h2 + o(h2)
2h + h2
3
2 + 9
8 h + o(h)
2 + h
√
x2 −
x
x2 − 1
= lim
h→0
3
2 + 9
8 h + o(h)
2 + h
=
3
4
lim
x→1
(cid:112)
f3(x) = (x − 2)e
1
x
• lim
x→+∞
x2 + x + 1 − x =?
Posons x = 1
h , quand |x| → +∞, alors h → 0 et
(cid:181)
(cid:182)
f3(x) =
Or,
1
h
− 2
eh
Cette limite est une Forme Indéterminée +∞ − ∞. Posons
(cid:112)
f (x) =
x2 + x + 1 − x
Soit le changement de variable h = 1
alors h → 0+ et
x , quand x → +∞
eh = 1 + h +
h2 + o(h2)
f (x) =
(cid:114)
(cid:114)
1
2!
(cid:182)
1
h
1
h
f3(x) =
=
=
=
(cid:181)
(cid:181)
1
h
1
h
f3(x) = x − 1 −
− 2
eh
(cid:182) (cid:181)
− 2
1 + h +
(cid:182)
1
2
h2 + o(h2)
h − 2 − 2h + o(h)
+ 1 +
− 1 −
1
2
3
2
3
2x
h + o(h)
(cid:181)
(cid:182)
1
x
+ o
Donc la courbe représentative de f3 admet la droite d’équation
y = x−1 comme asymptote oblique au voisinage de l’infini.
(cid:163)
1 + (h + h2)
(cid:164) 1
2 = 1 +
+ 1 −
1
h
1
h
1
h2 +
1 + h + h2
h2
−
1
h
(cid:164) 1
(cid:163)
1 + (h + h2)
2 −
h + o(h)
1
2
(cid:163)
1 + (h + h2)
(cid:183)
(cid:164) 1
2 −
(cid:184)
1 +
h + o(h)
−
1
2
1
h
1
h
1
h
+ o(1)
+
1
2
−
1
h
+ o(1)
=
=
1
h
f (x) =
=
=
=
1
h
1
h
1
h
1
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Par passage à la limite il vient,
Par passage à la limite il vient,
(cid:112)
lim
x→+∞
x2 + x + 1 − x = lim
h→0+
Publicité
1
2
+ o(1) =
1
2
• lim
x→0
ex2
− cos(x)
x2
=?
lim
x→+∞
f (x) = 0 ⇐⇒
⇐⇒
(cid:189)
(cid:189)
1 + a = 0
b − 1 = 0
a = −1
b = 1
Cette limite est une Forme Indéterminée 0
0 .
Exercice 7
ex2
= 1 + x2 + o(x2)
1
2
x2 + o(x2)
cos(x) = 1 −
ex2
− cos(x)
x2
=
=
=
1 + x2 − 1 + 1
x2
2 x2 + o(x2)
3
2 x2 + o(x2)
x2
3
2
+ o(1)
Par passage à la limite il vient,
ex2
− cos(x)
x2
lim
x→0
(cid:181)
3
2
= lim
x→0
(cid:182)
+ o(1)
=
3
2
.
• lim
x→0
1 + x − ex
x ln(1 + x)
=?
Cette limite est une Forme Indéterminée 0
0 .
ex = 1 + x +
x2 + o(x2)
1
2
x2 + o(x2)
1 + x − ex = −
1
2
ln(1 + x) = x + o(x)
x ln(1 + x) = x2 + o(x2)
Par passage à la limite il vient,
1 + x − ex
x ln(1 + x)
lim
x→0
= lim
x→0
− 1
2 x2 + o(x2)
x2 + o(x2)
= lim
x→0
− 1
2 + o(1)
1 + o(1)
= −
1
2
.
Exercice 6
Soit la fonction définie par :
(cid:114)
f (x) = x
x − 1
x + 1
+ ax + b +
c
x
Trouvons les réels a, b et c pour que
lim
x→+∞
f (x) = 0.
(cid:114)
D’après Exercice 3, le Développement Généralisé de x
au voisinage de +∞ et à l’ordre 1 est donné par :
x − 1
x + 1
(cid:114)
x
x − 1
x + 1
= x − 1 +
1
2x
+ o
(cid:181)
(cid:182)
1
x
D’où,
(cid:114)
f (x) = x
+ ax + b +
(cid:182)
(cid:181)
c
x
x − 1
x + 1
1
2x
= x − 1 +
+ o
= (1 + a)x + (b − 1) +
c +
1
x
+ ax + b +
(cid:181)
(cid:182)
1
2
1
x
c
x
+ o
(cid:181)
(cid:182)
1
x
Soient a, b ∈ R(cid:63). Trouvons un équivalent au voisinage de
0 de la fonction définie par :
f (x) =
eax − 1
ebx − 1
Comme
alors,
eax = 1 + (ax) +
1
2!
(ax)2 + o(x2)
eax − 1 = ax +
a2
2
x2 + o(x2)
ebx = 1 + (bx) +
1
2!
(bx)2 + o(x2)
ebx − 1 = bx +
b2
2
x2 + o(x2)
eax − 1
ebx − 1
=
=
ax + a2
bx + b2
(cid:195)
2 x2 + o(x2)
2 x2 + o(x2)
2 x + o(x)
2 x + o(x)
1 + a
1 + b
a
b
(cid:33)
On effectue la division suivant les puissances croissantes
de 1 + a
2 x par 1 + b
2 x.
1
+ a
2 x
−1 − b
2 x
1 + b
2 x
1 + (a−b)
2 x
(a−b)
2 x
− (a−b)
2 x − b(a−b)
4 x2
. . .
On obtient ainsi,
(cid:181)
eax − 1
ebx − 1
=
=
a
b
a
b
1 +
(a − b)
2
a(a − b)
2b
+
(cid:182)
x
+ o(x)
x + o(x)
D’où,
Exercice 8
eax − 1
ebx − 1
−
a
b
∼0
a(a − b)
2b
x.
Soit a ∈ R et soit la fonction définie sur R par :
(cid:179)
(cid:40)
(cid:180)
f (x) =
1 + x + x2
2
1
x2 ln
a
− 1
x x (cid:54)= 0
x = 0
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Trouvons le réel a pour que la fonction f soit continue en
0. Déterminons pour ceci le Développement au voisinage
de 0 et à l’ordre 3 de :
(cid:181)
(cid:182)(cid:182)
(cid:182)
(cid:181)
(cid:181)
ln
1 + x +
= ln
1 +
x +
x2
2
x2
2
(cid:182)3
(cid:181)
x +
x2
2
+ o(x3)
1 +
(cid:180)3
x
2
+ o(x3)
+ o(x3)
(cid:181)
=
x +
(cid:182)
x2
2
−
= x +
= x +
= x +
= x −
(cid:179)
−
−
x2
x2
2
2
x2
x2
2
2
x2
x2
2
2
1
x3 + o(x3)
6
−
−
+
1
3
(cid:179)
(cid:182)2
(cid:181)
x +
x2
2
(cid:180)2
1
2
(cid:179)
1 +
1 + 2
x
2
x
2
+
(cid:180)
+
x3
3
x3
3
x3
2
+
x3
3
+ o(x3)
en suite,
(cid:181)
1
x2 ln
1 + x +
(cid:182)
x2
2
1
x2 ln
(cid:181)
1 + x +
(cid:182)
x2
2
−
1
x
=
=
=
1
x2
1
x
−1
6
(cid:181)
x −
1
6
(cid:182)
x3 + o(x3)
−
1
6
x + o(x)
x + o(x)
La fonction f est continue en 0 si et seulement si,
lim
x→0
f (x) = f (0) = a
si et seulement si,
(cid:181)
−1
6
a = lim
x→0
(cid:182)
x + o(x)
= 0
En outre, d’après le Développement de f (x), f est dérivable
en 0 et en prenant le coefficient de x1 on a :
f (cid:48)(0) =
−1
6
.
Exercice 9
Soit la fonction définie par :
Donc, la droite y = −x est la tangente à Cf au point
d’abscisse 0. Et comme
lim
x→0
(f (x) − y) = lim
x→0
(cid:181)
x2
2
(cid:182)
+ o(x2)
= 0+
alors, Cf est au dessus de cette tangente.
∗ Étudions la position de Cf par rapport à la tangente au
point d’abscisse 1.
Déterminons pour ceci le Développemnt Limité de f à
l’ordre 2 au voisinage de 1 : posons le changement de va-
riable x = 1 + h et quand x → 1 alors h → 0 et on a :
1 + h + h2(cid:162)
(cid:161)
1 − (1 + h) + (1 + h)2(cid:162)
(cid:161)
f (x) = ln
= ln
.
D’apres la premiere partie,
1 + h + h2(cid:162)
(cid:161)
ln
= h +
h2
2
+ o(h2)
En remplaçant h par (x − 1) il vient,
f (x) = (x − 1) +
1
2
(x − 1)2 + o((x − 1)2)
Donc, la droite y = x − 1 est la tangente à Cf au point
d’abscisse 1. Et comme
lim
x→1
(f (x) − y) = lim
x→1
(cid:181)
1
2
(x − 1)2 + o((x − 1)2)
= 0+
(cid:182)
alors, Cf est au dessus de cette tangente.
Exercice 10
Soit la fonction définie par :
f (x) =
x3
1 + x6
Calculons les neuf premières dérivées au point 0 de f .
(cid:181)
(cid:182)
f (x) = x3
= x3 (cid:161)
= x3 − x9 + o(x9)
1
1 + x6
1 − x6 + o(x6)
(cid:162)
f (x) = ln(1 − x + x2)
∗ Étudions la position de la courbe représentative de f ,
notée Cf , par rapport à la tangente au point d’abscisse 0.
Déterminons pour ceci le Développemnt Limité de f à
l’ordre 2 au voisinage de 0 :
ln(1 − x + x2) = ln
(cid:162)
(cid:161)
1 + (−x + x2)
Ainsi,
et
f (cid:48)(0) = f (cid:48)(cid:48)(0) = 0
f (4)(0) = f (5)(0) = f (6)(0) = f (7)(0) = f (8)(0) = 0
f (3)(0)
3!
f (9)(0)
9!
= 1 ⇐⇒ f (3)(0) = 6
= −1 ⇐⇒ f (9)(0) = −9!.
(1 − x)2 + o(x2)
Exercice 11
= (−x + x2) −
(−x + x2)2 + o(x2)
1
2
(−x)2
2
x2
2
+ o(x2)
= −x + x2 −
= −x + x2 −
= −x +
x2
2
+ o(x2)
Soit la fonction définie par son Développement Limité à
l’ordre 2 au voisinage du point d’abscisse -1 :
f (x) = e−1 −
3e−1
2
(x + 1)2 + o((x + 1)2)
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Étudions localement cette fonction au point -1 :
(cid:195) Si −1 ∈ Df alors la fonction f est continue au point
−1 et f (−1) = e−1,
(cid:195) Si −1 (cid:54)∈ Df alors la fonction f est prolongeable par
continuité au point −1 et son prolongement est donné par :
(cid:189)
˜f (x) =
f (x) x ∈ Df
e−1
x = −1
(cid:195) l’équation de la tangente au point d’abscisse -1 est
donnée par y = e−1 et comme
lim
x→−1
(f (x) − y) = lim
x→−1
−
3e−1
2
(x + 1)2 + o((x + 1)2 = 0−
alors la courbe représentative de f est au dessous de la
tangente,
(cid:195) D’après le Développement Limité donné on peut déterminer
un équivalent de f :
f (x) − e−1 ∼0 −3e−1(x + 1)2
(cid:195) f est deux fois dérivable au point −1 et on a :
f (cid:48)(−1) = 0
(cid:40)
f (cid:48)(−1) = 0
f (cid:48)(cid:48)(−1)
2!
=
−3e−1
2
⇐⇒
f (cid:48)(cid:48)(−1) = −3e−1
(cid:195) Comme f (cid:48)(−1) = 0 alors le point (−1, e−1) est un point
critique de f ,
(cid:195) Comme f (cid:48)(−1) = 0 et le premier exposant de l’équivalence
susmentionnée est paire ((x+1)2), alors f1 présente un ex-
tremum en ce point et comme en plus le coefficient de cet
exposant −3
2 e−1 < 0, alors la courbe représentative de f
présente un maximum relatif au point (−1, e−1),
(cid:195) Comme la courbe représentative de f présente un maxi-
mum relatif au point (−1, e−1) alors f est concave au voi-
sinage de ce point.