Correction des erreurs en théorie de la décision

Exercice 1 : Correction des erreurs

a- Le modèle de Simon (IDC) comporte 3 phases, nommé Ingénierie Décision Classification Correction : Le modèle de Simon (souvent appelé IMC) comporte 3 phases : Intelligence (identification du problème), Modélisation (ou Conception/Design), et Choix (Choice).

b- Un diagnostic peut être considéré comme une prédiction Correction : Un diagnostic explique un état présent ou passé en identifiant ses causes, tandis qu'une prédiction estime un événement ou un état futur.

c- Une décision de groupe est conflictuelle Correction : Une décision de groupe n'est pas obligatoirement conflictuelle ; elle peut également être coopérative ou consensuelle.

d- Une variable endogène est une variable qui modélise un événement qui sort du contrôle du décideur. Correction : C'est une variable exogène qui modélise un événement échappant au contrôle. Une variable endogène est une variable interne dont la valeur est déterminée et expliquée par le modèle lui-même.

e- L'utilité c'est le profit Correction : L'utilité n'est pas strictement égale au profit financier ; c'est une mesure subjective de la satisfaction globale du décideur qui intègre sa préférence et son attitude face au risque.

f- Une probabilité est dite subjective si c'est une probabilité sous contraintes. Correction : Une probabilité est dite subjective lorsqu'elle repose sur le jugement, l'intuition ou l'expertise personnelle du décideur, et non sur l'observation de fréquences objectives.

g- Il ya 5 types d'architectures de SIAD Correction : Un SIAD (Système Interactif d'Aide à la Décision) repose classiquement sur 3 sous-systèmes principaux (le sous-système de gestion des données, le sous-système de gestion des modèles, et l'interface utilisateur), implémentés selon diverses architectures techniques (centralisée, client-serveur, distribuée, web), mais on ne fixe pas un standard universel de "5 types" stricts.

h- P4 et P5 sont dépendante dans le contexte de P2 Correction : Dans le cadre d'un réseau bayésien et selon le critère de d-séparation, si l'observation de P2 bloque tous les chemins entre P4 et P5, on dit que P4 et P5 sont conditionnellement indépendantes dans le contexte de P2.

Exercice 2 : Exploitant agricole

1. Critère du regret MinMax

Le critère MinMax sur le regret vise à minimiser le manque à gagner maximal. Il faut d'abord construire la matrice des regrets en soustrayant le profit de chaque décision du profit maximal possible pour un état donné de la nature.

• Si n1, le max est 400 (d1)
• Si n2, le max est 600 (d2)
• Si n3, le max est 900 (d3)

Matrice des regrets (Max - Valeur) :

	n1 (max=400)	n2 (max=600)	n3 (max=900)	Regret Maximum (Pire cas)
d1	400 - 400 = 0	600 - 400 = 200	900 - 400 = 500	500
d2	400 - 100 = 300	600 - 600 = 0	900 - 600 = 300	300
d3	400 - (-300) = 700	600 - 300 = 300	900 - 900 = 0	700

Le décideur cherche à minimiser ce pire regret : Min(500, 300, 700) = 300. La meilleure décision est d2 (cultiver une moyenne surface).

2. Espérance mathématique du profit

On évalue ici l'Espérance Mathématique (EM) pour chaque décision avec P(n1)=0.2, P(n2)=0.35, P(n3)=0.45.

• EM(d1) = (400 × 0.2) + (400 × 0.35) + (400 × 0.45) = 80 + 140 + 180 = 400
• EM(d2) = (100 × 0.2) + (600 × 0.35) + (600 × 0.45) = 20 + 210 + 270 = 500
• EM(d3) = (-300 × 0.2) + (300 × 0.35) + (900 × 0.45) = -60 + 105 + 405 = 450

On maximise l'espérance : Max(400, 500, 450) = 500. La meilleure décision reste d2. Sans étude, le gain attendu est de 500.

3. Arbre de décision et valeur de l'information (Étude)

Pour évaluer la pertinence de l'étude, nous devons calculer les probabilités a posteriori en utilisant le théorème de Bayes.

Étape A : Probabilités conjointes P(ik, nj) = P(ik | nj) × P(nj)

• n1 (0.20) : i1 = 0.6×0.2 = 0.12 | i2 = 0.3×0.2 = 0.06 | i3 = 0.1×0.2 = 0.02
• n2 (0.35) : i1 = 0.4×0.35 = 0.14 | i2 = 0.4×0.35 = 0.14 | i3 = 0.2×0.35 = 0.07
• n3 (0.45) : i1 = 0.1×0.45 = 0.045| i2 = 0.4×0.45 = 0.18 | i3 = 0.5×0.45 = 0.225

Étape B : Probabilités marginales des indicateurs P(ik) En sommant les colonnes ci-dessus :

• P(i1) = 0.12 + 0.14 + 0.045 = 0.305
• P(i2) = 0.06 + 0.14 + 0.18 = 0.380
• P(i3) = 0.02 + 0.07 + 0.225 = 0.315 (Vérification : 0.305 + 0.380 + 0.315 = 1.0)

Étape C : Probabilités a posteriori P(nj | ik) = P(ik, nj) / P(ik)

• Si i1 : P(n1|i1) = 0.12/0.305, P(n2|i1) = 0.14/0.305, P(n3|i1) = 0.045/0.305
• Si i2 : P(n1|i2) = 0.06/0.380, P(n2|i2) = 0.14/0.380, P(n3|i2) = 0.18/0.380
• Si i3 : P(n1|i3) = 0.02/0.315, P(n2|i3) = 0.07/0.315, P(n3|i3) = 0.225/0.315

Étape D : Espérances mathématiques conditionnelles EM(d | ik)

• Si on observe i1 :

  • EM(d1) = 400
  • EM(d2) = [ (100 × 0.12) + (600 × 0.14) + (600 × 0.045) ] / 0.305 = (12 + 84 + 27) / 0.305 = 123 / 0.305 ≈ 403.28
  • EM(d3) = [ (-300 × 0.12) + (300 × 0.14) + (900 × 0.045) ] / 0.305 = (-36 + 42 + 40.5) / 0.305 = 46.5 / 0.305 ≈ 152.46
  • Décision optimale si i1 : d2 (EM = 403.28)

Si on observe i2 :

• EM(d1) = 400
• EM(d2) = [ (100 × 0.06) + (600 × 0.14) + (600 × 0.18) ] / 0.380 = (6 + 84 + 108) / 0.380 = 198 / 0.380 ≈ 521.05
• EM(d3) = [ (-300 × 0.06) + (300 × 0.14) + (900 × 0.18) ] / 0.380 = (-18 + 42 + 162) / 0.380 = 186 / 0.380 ≈ 489.47
• Décision optimale si i2 : d2 (EM = 521.05)

Si on observe i3 :

• EM(d1) = 400
• EM(d2) = [ (100 × 0.02) + (600 × 0.07) + (600 × 0.225) ] / 0.315 = (2 + 42 + 135) / 0.315 = 179 / 0.315 ≈ 568.25
• EM(d3) = [ (-300 × 0.02) + (300 × 0.07) + (900 × 0.225) ] / 0.315 = (-6 + 21 + 202.5) / 0.315 = 217.5 / 0.315 ≈ 690.48
• Décision optimale si i3 : d3 (EM = 690.48)

Étape E : Calcul final de la stratégie de l'étude (VEII) L'Espérance Mathématique avec Information Imparfaite (VEII) s'obtient en pondérant les meilleurs gains par la probabilité de chaque observation : VEII = [ P(i1) × EM(d2|i1) ] + [ P(i2) × EM(d2|i2) ] + [ P(i3) × EM(d3|i3) ] VEII = [ 0.305 × (123 / 0.305) ] + [ 0.380 × (198 / 0.380) ] + [ 0.315 × (217.5 / 0.315) ] VEII = 123 + 198 + 217.5 = 538.5

Conclusion : Le profit attendu avec l'étude est de 538.5. Sans l'étude (question 2), il est de 500. La Valeur de l'Information est de : 538.5 - 500 = 38.5. Il est donc intéressant pour l'agriculteur de faire réaliser cette étude uniquement si le coût p de l'étude est strictement inférieur à 38.5.

(Structure de l'arbre de décision à dessiner : Nœud de décision racine -> branche "Sans étude" (gain 500) / branche "Avec étude (coût p)". La branche "Avec étude" mène à un nœud de chance à 3 branches (i1, i2, i3) avec les probabilités 0.305, 0.380, 0.315. Chaque branche i mène à un nœud de décision (d1, d2, d3) qui se terminent sur les probabilités a posteriori des nœuds n1, n2, n3 et les profits associés).

Exercice 3 : Réseau Bayésien Naïf (Rami ou Monia)

L'objectif est de prédire la classe Genre ∈ {homme, femme} pour une instance ayant pour attributs Taille = moyen et Cheveux = mi-long. Rami est un homme et Monia est une femme. Dans un classifieur naïf de Bayes avec estimateur de Laplace, on estime les probabilités conditionnelles avec la formule : P(Attribut = x | Classe = c) = (Nombre d'occurrences de x sachant c + 1) / (Nombre d'occurrences totales de la classe c + Nombre de valeurs distinctes de l'Attribut)

Taille de l'échantillon N = 5. Répartition des classes :

• Genre = homme : 3 cas (lignes 1, 3, 5)
• Genre = femme : 2 cas (lignes 2, 4)

Nombre de valeurs possibles :

• Pour Genre : |C| = 2 (homme, femme)
• Pour Taille : |V| = 3 (grand, moyen, petit)
• Pour Cheveux : |V| = 3 (court, long, mi-long)

Probabilités a priori (avec Laplace) :

• P(homme) = (3 + 1) / (5 + 2) = 4/7
• P(femme) = (2 + 1) / (5 + 2) = 3/7

Probabilités conditionnelles (avec Laplace) pour les attributs observés :

• P(Taille = moyen | homme) : La taille "moyen" apparaît 1 fois chez les hommes. = (1 + 1) / (3 + 3) = 2/6 = 1/3

• P(Taille = moyen | femme) : La taille "moyen" apparaît 1 fois chez les femmes. = (1 + 1) / (2 + 3) = 2/5

• P(Cheveux = mi-long | homme) : Apparaît 1 fois chez les hommes. = (1 + 1) / (3 + 3) = 2/6 = 1/3

• P(Cheveux = mi-long | femme) : N'apparaît 0 fois chez les femmes. = (0 + 1) / (2 + 3) = 1/5

Calculs des scores (Postérieurs non-normalisés) :

• Score(homme) = P(homme) × P(moyen | homme) × P(mi-long | homme) = 4/7 × 1/3 × 1/3 = 4 / 63 ≈ 0.06349
• Score(femme) = P(femme) × P(moyen | femme) × P(mi-long | femme) = 3/7 × 2/5 × 1/5 = 6 / 175 ≈ 0.03428

Conclusion : Puisque 0.06349 > 0.03428, la classe "homme" est la plus probable. Il est donc plus probable que le voisin (Rami) soit le coupable.

Exercice 4 : Réseaux Bayésiens Simplement Connectés (Maladies, Incendies, Productivité)

Note technique importante : L'énoncé fournit P(Incendies = b1) = 0.6, mais omet de fournir la probabilité a priori de A (Maladies, P(a1)). Il est impossible de calculer numériquement l'impact exact sur la productivité (C) sans cette probabilité. La résolution ci-dessous détaille le cheminement complet, en identifiant là où P(a1) est nécessaire.

Structure du réseau : A -> C <- B (V-structure). A et B sont marginellement indépendants en l'absence d'observation sur C.

1. Impact sur les Maladies (A) L'observation d'un incendie (B = b1) en l'absence de donnée sur la productivité (C) n'a aucun impact sur la probabilité de maladie (A). Explication probabiliste : Dans une structure A -> C <- B, A est d-séparé de B. Donc P(a1 | b1) = P(a1).

2. Impact sur la Productivité (C) L'objectif est d'évaluer P(C=c1 | b1). Par la formule des probabilités totales marginalisée sur A : P(c1 | b1) = P(c1 | a1, b1) × P(a1 | b1) + P(c1 | a2, b1) × P(a2 | b1)

Puisque A et B sont indépendants, P(a1 | b1) = P(a1) et P(a2 | b1) = P(a2). P(c1 | b1) = P(c1 | a1, b1) × P(a1) + P(c1 | a2, b1) × P(a2)

D'après la table de probabilités :

• P(c1 | a1, b1) = 0
• P(c1 | a2, b1) = 0.2

Donc, P(c1 | b1) = (0 × P(a1)) + (0.2 × P(a2)) = 0.2 × P(a2). Pour finaliser ce calcul, l'étudiant doit remplacer P(a2) par sa valeur si elle a été précisée à l'oral ou dans une autre partie de l'énoncé.

Exercice 5 : Concepts théoriques

1. Qu'est-ce qu'un système interactif d'aide à la décision (SIAD)

Un SIAD est un système d'information informatisé conçu pour assister les décideurs dans leurs processus de choix pour résoudre des problèmes non structurés ou semi-structurés, en combinant des données analytiques et des modèles mathématiques ou d'intelligence artificielle.

2. Architecture centralisée d'un SIAD

Une architecture centralisée est une configuration où l'ensemble des données, des modèles et de la puissance de traitement est hébergé sur un unique système central (souvent un serveur principal ou un mainframe).

• Deux avantages : Une forte sécurité/contrôle des accès, et une maintenance facilitée (une seule mise à jour répercutée partout).
• Deux inconvénients : Point individuel de défaillance ("single point of failure" - si le serveur tombe en panne, tout s'arrête), et risque de goulot d'étranglement réseau en cas de fortes sollicitations simultanées.

3. Différences entre modèles

• Déterministe vs Probabiliste : Un modèle déterministe garantit toujours la même sortie pour un jeu d'entrées spécifique (l'incertitude est nulle). Un modèle probabiliste intègre le hasard et l'incertitude, produisant des sorties sous forme de distributions de probabilité.
• Continu vs Discret : Dans un modèle discret, les variables prennent des valeurs spécifiques et séparées (souvent des entiers finis). Dans un modèle continu, les variables peuvent prendre n'importe quelle valeur réelle au sein d'un intervalle fluide.

4. Principe de la représentation et résolution par arbre de décision

• Représentation : Le problème est modélisé graphiquement de gauche à droite, séquençant chronologiquement des nœuds de décision (carrés), des nœuds de chance (cercles représentant l'incertitude) et des nœuds terminaux valorisant les résultats (utilités).
• Résolution : Elle s'effectue de droite à gauche ("Backward Induction"). Pour chaque nœud de chance, on calcule l'espérance mathématique. Pour chaque nœud de décision, on choisit la branche maximisant cette espérance.

5. Diagramme d'influence vs Réseau Bayésien

• Ressemblances : Tous deux sont des Graphes Orientés Acycliques (DAG) structurant les dépendances causales ou probabilistes entre les variables via des tables de probabilités conditionnelles.
• Différences : Le réseau bayésien ne contient que des nœuds de variables aléatoires (cercles) et sert uniquement à l'inférence (calcul de probabilité). Le diagramme d'influence est une extension qui ajoute des nœuds de décision (carrés) et un nœud de valeur/utilité (losange) pour formuler des recommandations stratégiques d'aide à la décision.

Exercice 6 : L'agriculteur et ses pommes de terre

1. Arbre de décision (Description)

L'arbre de décision se construit de gauche à droite. À la racine, on trouve un nœud de décision (carré) offrant trois branches : d1, d2, et d3. À l'extrémité de chaque branche, on insère un nœud de chance (cercle) subdivisé en deux états du marché : "cher" et "moyen". À la fin de chaque chemin, on inscrit les utilités (ex: la branche d1 -> moyen aboutit sur 700).

2. Décideur pessimiste (Maximin)

Le décideur évalue le pire des cas (minimum) pour chaque décision et sélectionne celle dont le pire scénario est le meilleur (maximum).

• Pire cas pour d1 : Min(200, 700) = 200
• Pire cas pour d2 : Min(450, 500) = 450
• Pire cas pour d3 : Min(400, 400) = 400 Le maximum de ces minimums est 450. La meilleure décision pessimiste est d2.

3. Décideur optimiste (Maximax)

Le décideur évalue le meilleur des cas (maximum) pour chaque décision et sélectionne le scénario le plus profitable globalement.

• Meilleur cas pour d1 : Max(200, 700) = 700
• Meilleur cas pour d2 : Max(450, 500) = 500
• Meilleur cas pour d3 : Max(400, 400) = 400 Le maximum absolu est 700. La meilleure décision optimiste est d1.

4. Utilité Espérée avec P(cher)=0.8

L'Utilité Espérée (UE) se calcule en multipliant la valeur de chaque résultat par sa probabilité. (P(moyen) = 1 - 0.8 = 0.2).

• UE(d1) = (200 × 0.8) + (700 × 0.2) = 160 + 140 = 300
• UE(d2) = (450 × 0.8) + (500 × 0.2) = 360 + 100 = 460
• UE(d3) = (400 × 0.8) + (400 × 0.2) = 320 + 80 = 400 La meilleure décision est d2, avec une UE maximale de 460.

5. Diagramme d'influence adéquat

Bien que le document source ne permette pas de visualiser les diagrammes (a), (b), et (c), le schéma correct doit obéir à la modélisation standard du problème : l'état du marché (chance) et le choix (décision) affectent indépendamment le profit final (valeur). Il ne doit pas y avoir de flèche entre l'État et la Décision car l'agriculteur décide de sa stratégie de stockage sans connaître l'état futur du marché, et sa stratégie n'influence pas le marché mondial. Le schéma correct est celui qui présente un nœud État (Cercle) et un nœud D (Carré) pointant tous deux vers le nœud V (Losange), sans arc connectant État et D.

6. Évaluation du diagramme d'influence

L'évaluation directe de ce diagramme correspond exactement au calcul d'utilité espérée de la question 4, car la topologie D -> V <- Etat stipule que la Valeur V(d, e) dépend de D et de l'État. En pondérant V par P(État), on retrouve UE(d2) = 460. La décision générée par le diagramme évalué est donc d2.

Exercice 7 : Réseaux Bayésiens Simplement Connectés (Toxiques, Tabac, Cancer)

Structure du réseau : E (Exposition) -> C (Cancer) <- F (Fumer).

Données initiales :

• P(F = f1) = 0.6 (60% fumeur)
• P(F = f2) = 0.4
• P(E = e1) = 0.3 (30% exposé)
• P(E = e2) = 0.7

Impact de l'observation d'une exposition aux produits toxiques (E = e1) sur les autres variables :

1. Sur la variable F (Fumer) : Dans la v-structure E -> C <- F, E et F sont indépendants conditionnellement au fait que C n'est pas observé. Observer E ne nous apprend rien sur F. L'impact est donc nul : P(F=f1 | e1) = P(F=f1) = 0.6.

2. Sur la variable C (Cancer) : Avant d'observer l'exposition, la probabilité initiale de cancer P(c1) était : P(c1) = Somme sur e, f de P(c1 | e, f) × P(e) × P(f) P(c1) = (0 × 0.3 × 0.6) + (0.4 × 0.3 × 0.4) + (0.2 × 0.7 × 0.6) + (0 × 0.7 × 0.4) P(c1) = 0 + 0.048 + 0.084 + 0 = 0.132 (soit 13.2%).

Après avoir observé que le patient est exposé (E = e1), on calcule P(C=c1 | e1) : P(c1 | e1) = P(c1 | e1, f1) × P(f1 | e1) + P(c1 | e1, f2) × P(f2 | e1) Comme F est indépendant de E (P(f|e) = P(f)) : P(c1 | e1) = P(c1 | e1, f1) × P(f1) + P(c1 | e1, f2) × P(f2) P(c1 | e1) = (0 × 0.6) + (0.4 × 0.4) = 0 + 0.16 = 0.16.

Conclusion : Savoir que la personne est exposée augmente sa probabilité d'avoir un cancer de 13.2% à 16%. En revanche, cela ne change pas sa probabilité d'être fumeuse.

Exercice 8 : Réseau Bayésien Naïf (Sécurité Informatique)

L'objectif est de prédire la classe pour une nouvelle connexion d'attributs c1 : {tcp, private, RSTO} avec un lissage de Laplace (+1).

Répartition des classes de l'échantillon (N = 19 connexions au total) :

• normal : 10 occurrences (lignes 1, 2, 6, 8, 9, 10, 13, 15, 17, 19).
• DOS : 6 occurrences (lignes 5, 7, 12, 14, 16, 18).
• Probing : 3 occurrences (lignes 3, 4, 11).

Dimensions du vocabulaire :

• |Classe| = 3
• |protocol_type| = 2 (tcp, udp)
• |service| = 5 (http, time, auth, private, domaine_u)
• |flag| = 4 (SF, REJ, S0, RSTO)

Calculs des Probabilités A Priori (avec Laplace) : P(c) = (Occurrences de c + 1) / (N + |Classe|)

• P(normal) = (10 + 1) / (19 + 3) = 11/22 = 0.5
• P(DOS) = (6 + 1) / 22 = 7/22
• P(Probing) = (3 + 1) / 22 = 4/22

Calculs des Probabilités Conditionnelles (avec Laplace) : Formule : P(Attribut = x | c) = (Occurrences de (x et c) + 1) / (Occurrences de c + |Valeurs possibles de l'attribut|)

Pour l'attribut protocol_type = tcp :

• P(tcp | normal) = (7 occurrences + 1) / (10 + 2) = 8/12 = 2/3
• P(tcp | DOS) = (4 occurrences + 1) / (6 + 2) = 5/8
• P(tcp | Probing) = (3 occurrences + 1) / (3 + 2) = 4/5

Pour l'attribut service = private :

• P(private | normal) = (3 occurrences + 1) / (10 + 5) = 4/15
• P(private | DOS) = (4 occurrences + 1) / (6 + 5) = 5/11
• P(private | Probing) = (1 occurrence + 1) / (3 + 5) = 2/8 = 1/4

Pour l'attribut flag = RSTO :

• P(RSTO | normal) = (2 occurrences + 1) / (10 + 4) = 3/14
• P(RSTO | DOS) = (2 occurrences + 1) / (6 + 4) = 3/10
• P(RSTO | Probing) = (0 occurrence + 1) / (3 + 4) = 1/7

Évaluation des Scores Proportionnels : On multiplie pour chaque classe : P(Classe) × P(tcp | Classe) × P(private | Classe) × P(RSTO | Classe).

• Score(normal) = (11/22) × (8/12) × (4/15) × (3/14) = 1/2 × 2/3 × 4/15 × 3/14 = 24 / 1260 ≈ 0.01905
• Score(DOS) = (7/22) × (5/8) × (5/11) × (3/10) = 525 / 19360 ≈ 0.02712
• Score(Probing) = (4/22) × (4/5) × (1/4) × (1/7) = 16 / 3080 ≈ 0.00519

Conclusion : Le score maximal est obtenu pour la classe DOS (0.02712). La police réseau conclura qu'il est plus probable que cette connexion soit une attaque DOS.

Méthode

Face à une épreuve de théorie de la décision et de réseaux bayésiens, la principale difficulté est de garder la tête froide face au grand nombre de données et aux formules fractionnaires. Voici comment vous organiser :

1. Vérifiez le type de critère : Pour la théorie de la décision pure (Exercices 2 et 6), ne confondez pas le Maximin (pessimisme - maximiser le pire) et le MinMax du regret. Le regret nécessite systématiquement de recalculer un tableau entier de manques à gagner.
2. Sécurité des inférences dans les Réseaux Bayésiens : Avant de foncer sur les mathématiques de propagation (Exercices 4 et 7), isolez mentalement la V-structure (A -> C <- B). C'est le principe central de ce type de modélisation : deux parents indépendants deviennent conditionnellement dépendants si on observe leur enfant mutuel. Si l'enfant n'est pas observé, les branches s'ignorent et les calculs s'annulent de manière spectaculaire, vous gagnant un temps précieux.
3. Apprivoisez Laplace : En classifieur naïf (Exercices 3 et 8), le lissage de Laplace a été inventé pour éviter les multiplications par zéro. Sa formule (+1 au numérateur / +Taille du Vocabulaire au dénominateur) s'applique indépendamment au décompte local de chaque attribut observé. Prenez grand soin de bien sommer la taille distincte du vocabulaire de chaque attribut (ex : il y a 5 services réseaux, pas 3 ni 4).