Communications Numériques

Ce document présente les principes fondamentaux des modulations numériques, destinés aux étudiants en deuxième année d’ingénierie informatique et réseaux. Il couvre les différentes techniques de modulation utilisées pour transmettre des signaux numériques sur des canaux physiques, en adaptant la forme du signal à la bande passante disponible et aux contraintes du canal.

Introduction aux modulations numériques

La modulation numérique consiste à transformer un signal en bande de base en un signal adapté à la bande passante du canal de transmission. Cette transformation permet d’utiliser efficacement la bande passante disponible et de transmettre les données sur différents types de supports, comme les câbles électriques, les fibres optiques ou les ondes électromagnétiques.

La largeur de bande d’un signal dépend du filtre de mise en forme, du débit binaire et de la taille de l’alphabet utilisé. Par exemple :

• Filtre NRZ : B ≈ 1 / T
• Filtre RZ : B ≈ 2 / T
• Filtre biphase Manchester : B ≈ 2 / T
• Filtre en racine de cosinus surélevé : B = (1 + β) / (2T)

Les signaux en bande de base ont une densité spectrale centrée en fréquence nulle (f0 = 0). Pour transmettre sur un canal avec une bande passante limitée, on doit transposer ce signal en bande modulée centrée sur une fréquence porteuse f0.

Bande de base versus modulation

La transmission en bande de base ne permet pas de diviser le canal en sous-canaux pour le multiplexage fréquentiel et est inadaptée aux transmissions sans fil, car la fréquence porteuse doit être suffisamment élevée pour que la longueur d’onde soit compatible avec la taille des antennes et la propagation.

La modulation numérique permet de déplacer le spectre du signal en bande de base vers une fréquence porteuse f0, créant ainsi un signal en bande modulée avec une largeur de bande BMOD centrée sur f0 :

BMOD = 2 × BBB

où BBB est la largeur de bande en bande de base.

Cette translation spectrale est réalisée en multipliant le signal en bande de base x(t) par une porteuse cos(2πf0t).

Principe général de la modulation numérique

Le signal en bande de base x(t) est obtenu à partir d’une suite de symboles ak issus de la conversion des bits. Ce signal est filtré par un filtre de mise en forme he(t) puis modulé par une porteuse de fréquence f0 :

e(t) = Re{x(t) e^(j2πf0t)}

Si x(t) est réel, alors :

e(t) = x(t) cos(2πf0t)

Le signal modulé e(t) est transmis sur le canal, puis démodulé en multipliant par 2 cos(2πf0t) et en filtrant passe-bas pour récupérer x(t).

Modulation par déplacement d’amplitude (ASK)

Principe

La modulation ASK consiste à modifier l’amplitude de la porteuse en fonction des symboles ak :

e(t) = Σ ak he(t − kT) cos(2πf0t)

Chaque symbole ak détermine l’amplitude de la porteuse pendant l’intervalle [kT, (k+1)T[.

Les codages en ligne classiques en bande de base sont des cas particuliers de modulation ASK avec f0 = 0.

Modulations M-ASK symétriques

On utilise un alphabet M-aire antipolaire, par exemple pour M=2, 4 ou 8, où les symboles ak prennent des valeurs symétriques autour de zéro (exemple : -3, -1, 1, 3 pour M=4).

Exemple : Pour une séquence binaire dn = 0 1 0 0 1 1 1 0 0 0 1 1, on peut coder ak = -1 1 -1 -1 1 1 1 -1 -1 -1 1 1 avec une fréquence porteuse f0 = 13 Hz et un débit binaire Db = 10 bits/s.

Réalisation physique et performances

Le démodulateur multiplie le signal reçu r(t) par 2 cos(2πf0t) :

2 cos(2πf0t) r(t) = x(t) + x(t) cos(4πf0t)

Un filtrage passe-bas permet d’extraire x(t).

L’énergie moyenne par symbole est :

Esym = (1/M) Σ |ai|^2 Ehe

et l’énergie moyenne par bit :

Ebit = (1/(M log2 M)) Σ |ai|^2 Ehe

Probabilité d’erreur binaire

Avec un codage de Gray et un récepteur optimal, le taux d’erreur binaire (TEB) pour une modulation M-ASK est approximé par :

TEB ≈ (2 (M − 1)) / (M log2 M) × Q(√(2 Ebit / N0 × 3 log2 M / (M^2 − 1)))

Le TEB augmente avec M, ce qui impose un compromis entre débit et fiabilité.

Modulation par déplacement de phase (PSK)

Principe

Au lieu de modifier l’amplitude, on modifie la phase de la porteuse :

e(t) = cos(2πf0t + x(t)) = cos(2πf0t + Σ ak he(t − kT))

Chaque symbole ak correspond à une phase appliquée à la porteuse sur l’intervalle [kT, (k+1)T[.

Modulation ASK équivalente

En utilisant les formules trigonométriques, on peut écrire :

e(t) = Σ cos(ak) he(t − kT) cos(2πf0t) − Σ sin(ak) he(t − kT) sin(2πf0t)

Ce qui correspond à la somme de deux signaux ASK :

• I(t) = Σ cos(ak) he(t − kT) modulé par cos(2πf0t) (composante en phase)
• Q(t) = Σ sin(ak) he(t − kT) modulé par −sin(2πf0t) (composante en quadrature)

On a donc :

e(t) = I(t) cos(2πf0t) − Q(t) sin(2πf0t)

Symboles équivalents et constellation

Les symboles αk = e^(j ak) sont des points sur le cercle unité dans le plan complexe. La modulation PSK revient à transmettre ces symboles complexes en modulation ASK.

Modulations M-PSK

Exemples :

• 2-PSK (BPSK) : ak ∈ {0, π}, αk ∈ {+1, −1} (équivalent à 2-ASK symétrique)
• 4-PSK (QPSK) : ak ∈ {−3π/4, −π/4, π/4, 3π/4}, αk = (±√2/2) ± j(√2/2)
• 8-PSK : ak ∈ {−7π/8, −5π/8, ..., 7π/8} avec constellation répartie sur le cercle unité

Réalisation physique et performances

La démodulation consiste à multiplier r(t) par 2 cos(2πf0t) et −2 sin(2πf0t), puis à filtrer passe-bas pour récupérer I(t) et Q(t), puis à estimer les symboles αk par échantillonnage.

L’énergie moyenne par bit est calculée à partir des symboles αi sur le cercle unité, donc |αi|^2 = 1.

Probabilité d’erreur binaire

Pour M-PSK, la probabilité d’erreur binaire est approximée par :

TEB ≈ (2 / log2 M) × Q(√(2 Ebit / N0) sin(π / M))

À taux d’erreur fixé, M-PSK permet d’utiliser un alphabet plus grand que M-ASK, mais avec une complexité accrue des modulateurs et démodulateurs.

Modulations par déplacement d’amplitude et de phase (APSK)

Principe

La modulation APSK combine la modification simultanée de l’amplitude et de la phase de la porteuse :

e(t) = m(t) cos(2πf0t + Φ(t))

avec :

• m(t) = Σ mk he(t − kT) (amplitude variable)
• Φ(t) = Σ Φk he(t − kT) (phase variable)

Les symboles complexes équivalents sont :

αk = mk e^(j Φk)

Cette modulation augmente le nombre de symboles possibles, car on agit sur deux paramètres.

Composantes en phase et en quadrature

On peut décomposer αk en parties réelle et imaginaire :

• I(t) = Σ Re(αk) he(t − kT)
• Q(t) = Σ Im(αk) he(t − kT)

et écrire :

e(t) = I(t) cos(2πf0t) − Q(t) sin(2πf0t)

Modulations QAM (Quadrature Amplitude Modulation)

La QAM est un cas particulier d’APSK où les symboles αk sont choisis dans une grille carrée dans le plan complexe. Par exemple :

• 4-QAM : constellation 2×2 avec symboles αk ∈ {±1 ± j}
• 16-QAM : constellation 4×4 avec symboles αk ∈ {±1, ±3 ± j(±1, ±3)}

Chaque composante (I et Q) correspond à une modulation √M-ASK indépendante.

Réalisation physique et performances

Le modulateur génère I(t) et Q(t) à partir des symboles αk, puis crée le signal :

e(t) = I(t) cos(2πf0t) − Q(t) sin(2πf0t)

Le démodulateur multiplie le signal reçu par 2 cos(2πf0t) et −2 sin(2πf0t), filtre passe-bas, puis échantillonne pour récupérer Re(αk) et Im(αk).

L’énergie moyenne par bit d’une modulation M-QAM est équivalente à celle d’une modulation √M-ASK.

Probabilité d’erreur binaire

Le TEB pour M-QAM est approximé par :

TEB ≈ 2 (1 − 1/√M) / (log2 √M) × Q(√(2 Ebit / N0 × 3 log2 √M / (M − 1)))

Comme pour les autres modulations, le TEB augmente avec M, et la complexité des modulateurs/démodulateurs est plus élevée que pour ASK.

Modulation par déplacement de fréquence (FSK)

Principe

La modulation FSK consiste à modifier la fréquence fondamentale de la porteuse en fonction des symboles :

e(t) = cos(2π (f0 + x(t)) t)

Avec un filtre NRZ, cela devient :

e(t) = Σ cos(2π (f0 + ak) t) he(t − kT)

Les symboles ak sont choisis dans un dictionnaire antipolaire homogène :

ak ∈ (Δf / 2) × {−(M − 1), −(M − 3), ..., (M − 3), (M − 1)}

où Δf est l’excursion de fréquence et f0 la fréquence centrale.

Modulation FSK pour M=2

On a deux fréquences possibles :

• f1 = f0 − Δf / 2
• f2 = f0 + Δf / 2

L’indice de modulation est défini par :

µ = Δf × T

Un indice µ plus petit réduit la bande passante utilisée.

FSK cohérente et non cohérente

La FSK non cohérente présente des sauts de fréquence brusques à chaque symbole, ce qui peut poser problème. La FSK cohérente vise à résoudre ce problème par une meilleure continuité du signal.

Glossaire des termes clés

• Amplitude Shift Keying (ASK) : modulation qui fait varier l’amplitude de la porteuse en fonction des symboles.
• Phase Shift Keying (PSK) : modulation qui fait varier la phase de la porteuse en fonction des symboles.
• Amplitude and Phase Shift Keying (APSK) : modulation combinant variation d’amplitude et de phase.
• Quadrature Amplitude Modulation (QAM) : modulation APSK avec constellation en grille carrée dans le plan complexe.
• Frequency Shift Keying (FSK) : modulation qui fait varier la fréquence de la porteuse en fonction des symboles.
• Filtre NRZ : filtre de mise en forme non retour à zéro, utilisé pour limiter la bande passante.
• Débit binaire (Db) : nombre de bits transmis par seconde.
• Constellation : représentation des symboles modulés dans le plan complexe.
• Composante en phase (I) : partie réelle du signal modulé.
• Composante en quadrature (Q) : partie imaginaire du signal modulé.
• Taux d’erreur binaire (TEB) : probabilité d’erreur sur un bit transmis.
• Indice de modulation (µ) : produit de l’excursion de fréquence Δf par la durée symbole T en FSK.

Points clés à retenir

• La modulation numérique adapte le signal en bande de base à la bande passante du canal en déplaçant son spectre autour d’une fréquence porteuse.
• ASK modifie l’amplitude, PSK modifie la phase, APSK modifie amplitude et phase simultanément, FSK modifie la fréquence.
• La modulation PSK peut être vue comme la somme de deux modulations ASK en quadrature (composantes I et Q).
• La QAM est une modulation APSK avec une constellation en grille carrée, combinant deux signaux ASK indépendants.
• Le taux d’erreur binaire augmente avec la taille de l’alphabet M, imposant un compromis entre débit et fiabilité.
• Les modulateurs et démodulateurs deviennent plus complexes lorsque l’on utilise des modulations combinant amplitude et phase (APSK, QAM).
• La modulation FSK utilise des fréquences différentes pour coder les symboles, avec un compromis entre bande passante utilisée et continuité du signal.