Communications numériques
Modulations numériques
Laurent Oudre
Université Paris 13, Institut Galilée
Ecole d’ingénieurs Sup Galilée
Parcours Informatique et Réseaux Apprentissage - 2ème année
2018-2019
Sommaire
Introduction
Modulations numériques : pourquoi ?
Modulations numériques : comment ?
Modulation par déplacement d’amplitude (ASK)
Principe
Modulations M-ASK symétriques
Réalisation physique et performances
Modulation par déplacement de phase (PSK)
Principe
Modulations M-PSK
Réalisation physique et performances
Modulations par déplacement d’amplitude et de phase (APSK)
Principe
Modulations QAM
Réalisation physique et performances
Modulation par déplacement de fréquence (FSK)
Principe
Modulations FSK et CPFSK
Modulation MSK
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Sommaire
Transmission en bande de base
Introduction
Introduction Modulations numériques : pourquoi ?
◮ Pour le moment, tous les signaux physiques générés ont une largeur de bande
Introduction
Modulations numériques : pourquoi ?
Modulations numériques : comment ?
Modulation par déplacement d’amplitude (ASK)
Modulation par déplacement de phase (PSK)
Modulations par déplacement d’amplitude et de phase (APSK)
Modulation par déplacement de fréquence (FSK)
que l’on peut écrire :
◮ filtre NRZ : B ≈ 1
◮ filtre RZ : B ≈ 2
◮ filtre biphase Manchester : B ≈ 2
◮ filtre en racine de cosinus surelevé : B = 1+β
2T
T
T
T
◮ On a vu en TP que B dépendait du filtre de mise en forme he(t), du débit
binaire Db, et de la taille M de l’alphabet utilisé
◮ Les densités spectrales de puissance des signaux en bande de base sont
centrées sur la fréquence f0 = 0.
◮ Si le canal a une bande passante limitée, on cale la largeur de bande occupée
du signal sur les caractéristiques du canal : on utilise toute la bande passante
disponible.
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Limites de la bande de base
Bande de base vs. Modulation
Introduction Modulations numériques : pourquoi ?
Introduction Modulations numériques : pourquoi ?
◮ Impossible de diviser le canal en sous-canaux pour transmettre plusieurs
◮ Bande de base
communications à la fois (multiplexage fréquentiel)
◮ Impossible de créer une onde électromagnétique pour la transmission sans fil
(si on émet une onde à 30 Hz, on a une longueur d’onde de 10000 km !)
◮ Chaque type de communication correspond à une bande de fréquence
répertoriée :
◮ TNT terrestre : 470 MHz à 830 MHz
◮ GSM (900) : 880 MHz à 960 MHz
◮ Nécessité de pouvoir créer des signaux dans une bande de fréquence donnée
◮ Les caractéristiques de cette bande dépendent du canal où l’on veut
transmettre et du type de communication
◮ Transmission des signaux dans leur bande de fréquence originale
◮ Utilisation de la totalité de la bande passante du canal BP
◮ Signaux électriques et lumineux : câbles USB, Ethernet, fibres optiques, etc...
◮ Bande transposée (ou large de bande)
◮ Transmission des signaux dans une bande de fréquence donnée
◮ Eventuellement, division de la bande passante disponible en plusieurs canaux
◮ Ondes électromagnétiques, signaux électriques et optiques : réseau hertzien,
infra-rouge, laser, câbles ADSL, etc...
Modulation : transformation du signal en bande de base pour l’adapter au canal
de transmission
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Bande de base vs. Modulation
Bande de base vs. Modulation
Introduction Modulations numériques : pourquoi ?
Introduction Modulations numériques : pourquoi ?
Imaginons que l’on souhaite envoyer un signal sur un canal de bande passante
[BPminBPmax ] :
◮ On veut créer un signal modulé ayant comme largeur de bande (en bande
modulée) BMOD = BPmax − BPmin et centré sur la fréquence f0 = BPmin+BPmax
2
◮ Cela revient à créer un signal en bande de base ayant comme largeur de
bande (en bande de base) BBB = BPmax −BPmin
2
puis translater son spectre de f0
Attention, si la largeur de bande en bande de base est (par exemple) 1
bande modulée, cela correspond à une largeur de bande 2
T , alors en
T (et inversement)
BMOD = 2BBB
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Modulations numériques
Principe de la modulation
Introduction Modulations numériques : comment ?
Introduction Modulations numériques : comment ?
dn
Conversion
bits/symboles
ak
Filtre de
mise en
forme he (t)
x(t)
Modulation
e(t)
e(t)
Filtre de
canal hc (t)
e′(t)
Bruit
additif b(t)
r (t)
Emetteur
Canal de transmission
r (t)
Démodulation
y (t)
Filtre de
réception
hr (t)
z(t)
Echantillonage
zk = z(kT )
ˆdn
Décodage
Décision
âk
Récepteur
Imaginons que l’on ait un signal x(t) avec une densité spectrale de puissance
Γx (f ) centrée en f = 0. Comment la translater pour la centrer en f = f0 ?
◮ cf TD 1 : T F
x(t)e 2πjf0t
◮ Proposition : prendre e(t) = x(t)e 2πjf0t ? ?
◮ Problème : dans ce cas, e(t) est complexe, ce qui n’est pas possible (ce doit
= X (f − f0)
(cid:9)
(cid:8)
être un signal physique)
e(t) = Re
x(t)e 2πjf0t
(cid:8)
(cid:9)
◮ Modulation : partir d’un signal x(t) en bande de base, et le transformer en
signal e(t) en bande modulée, donc la largeur de bande sera centrée sur f0.
◮ e 2πjf0t : porteuse
◮ x(t) : signal en bande de base (dans ce cours : filtre d’émission NRZ)
◮ Démodulation : processus inverse
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Modulation par déplacement d’amplitude (ASK)
Modulation par déplacement d’amplitude (ASK)
Principe
Sommaire
Introduction
Modulation par déplacement d’amplitude (ASK)
Principe
Modulations M-ASK symétriques
Réalisation physique et performances
Modulation par déplacement de phase (PSK)
Modulations par déplacement d’amplitude et de phase (APSK)
Modulation par déplacement de fréquence (FSK)
Modulation par déplacement d’amplitude : ASK
On modifie l’amplitude de la porteuse : Amplitude Shift Keying
e(t) = Re
x(t)e 2πjf0t
Si on suppose que les ak sont réels, et que he (t) est réelle (c’est le cas si on
considère un filtre NRZ), alors x(t) est réel et :
(cid:8)
(cid:9)
e(t) = x(t) cos(2πf0t)
e(t) =
ak he (t − kT ) cos(2πf0t)
k∈Z
X
◮ On ne transforme pas notre signal en bande de base, on le multiplie juste par
un cosinus
◮ Chaque symbole ak modifie l’amplitude de la porteuse durant une durée T :
ak correspond à l’amplitude de la porteuse pour kT ≤ t < (k + 1)T
◮ En fait, tous les codages en ligne que l’on a vu en bande de base étaient des
modulations ASK avec f0 = 0 !
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Modulation par déplacement d’amplitude (ASK) Modulations M-ASK symétriques
Modulation par déplacement d’amplitude (ASK) Modulations M-ASK symétriques
Modulation M-ASK symétriques
2-ASK symétrique - Filtre NRZ
M=2
Im(.)
0
-7
-6
-5
-4
-3
-2
-1
0
M=4
Im(.)
1
1
2
3
4
5
6
7
00
01
11
10
-7
-6
-5
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
5
6
7
M=8
Im(.)
000
001
011
010
110
111
101
100
-7
-6
-5
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
5
6
7
−→ x(t) codé avec un dictionnaire M-aire antipolaire
Re(.)
Re(.)
Re(.)
1
0
)
t
(
x
✁1
0
1
0
!1
0
1
0
✄1
0
)
t
0
f
2✂
(
s
o
c
)
t
0
f
2☎
(
s
o
c
)
t
(
x
=
)
t
(
e
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
0.2
0.4
0.6
Temps (s)
0.8
1
1.2
dn = 0 1 0 0 1 1 1 0 0 0 1 1 −→ ak = -1 1 -1 -1 1 1 1 -1 -1 -1 1 1
f0 = 13 Hz et Db=10 bits/seconde
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Modulation par déplacement d’amplitude (ASK) Modulations M-ASK symétriques
Modulation par déplacement d’amplitude (ASK)
Réalisation physique et performances
8-ASK symétrique - Filtre NRZ
Modulateur
✆
✵
(cid:1)
✺
0
1
0
(cid:1)1
)
t
0
f
(cid:2)
2
(
s
o
c
)
t
0
f
(cid:2)
2
(
s
o
c
)
t
(
x
=
)
t
(
e
✝
✞
5
0
(cid:1)5
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
0
0.2
0.4
0.6
Temps (s)
0.8
1
1.2
cos(2πf0t)
ak
Filtre de
mise en
forme he (t)
x(t)
×
e(t)
e(t) = x(t) cos(2πf0t)
e(t) =
ak he (t − kT ) cos(2πf0t)
k∈Z
X
dn = 0 1 0 0 1 1 1 0 0 0 1 1 −→ ak = -1 -3 7 -3
f0 = 13 Hz et Db=10 bits/seconde
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①
✭
*
✮
Modulation par déplacement d’amplitude (ASK)
Réalisation physique et performances
Modulation par déplacement d’amplitude (ASK)
Réalisation physique et performances
Démodulateur
Energie moyenne par bit
◮ A la sortie du canal (sans bruit), on a r (t) = e(t) = x(t) cos(2πf0t)
◮ Comment retrouver x(t) à partir de r (t) ?
◮ On utilise 2 cos(2πf0t)r (t) = 2 cos2(2πf0t)x(t) = x(t) + x(t) cos(4πf0t)
◮ Avec un filtrage passe-bas, on peut récupérer x(t) !
◮ L’énergie moyenne par bit pour un signal modulé avec une modulation
M-ASK est exactement la même que celle que l’on aurait pour un signal en
bande de base
◮ On peut donc utiliser les mêmes formules qu’en bande de base
2 cos(2πf0t)
r (t)
×
Filtre
passe bas
y (t)
Filtre de
réception
hr (t) = he (−t)
z(t)
Esym =
1
M
M
i =1
X
|ai |2Ehe
Ebit =
1
M log2 M
|ai |2Ehe
M
i =1
X
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Modulation par déplacement d’amplitude (ASK)
Réalisation physique et performances
Modulation par déplacement de phase (PSK)
Probabilité d’erreur binaire
Sommaire
Si on utilise un codage de Grey et si le récepteur est optimal, on peut montrer que
Introduction
TEB ≈ 2
M − 1
M log2 M
Q
2Ebit
N0
3 log2 M
M 2 − 1 !
r
◮ Il s’agit de la même formule qu’en bande de base !
◮ Si on utilise un filtre NRZ, alors BMOD = 2BBB = 2
en bande de base !), et on a donc η = log2 M
augmente.
2
T (attention, on n’est plus
. Plus M augmente, plus η
Modulation par déplacement d’amplitude (ASK)
Modulation par déplacement de phase (PSK)
Principe
Modulations M-PSK
Réalisation physique et performances
Modulations par déplacement d’amplitude et de phase (APSK)
Modulation par déplacement de fréquence (FSK)
◮ En revanche, quand M augmente, le TEB augmente. Il y a donc un
compromis à réaliser.
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Modulation par déplacement de phase (PSK)
Principe
Modulation par déplacement de phase (PSK)
Principe
Modulation par déplacement de phase : PSK
Modulation par déplacement de phase : PSK
◮ Pour la modulation ASK on a modifié l’amplitude de la porteuse
e(t) = Re
x(t)e 2πjf0t
e(t) =
ak he (t − kT ) cos(2πf0t)
(cid:8)
(cid:9)
k∈Z
X
◮ ak correspond à l’amplitude de la porteuse pour kT ≤ t < (k + 1)T
◮ Et si on modifiait la phase au lieu de l’amplitude ?
◮ PSK : Phase Shift Keying
◮ On fait passer le signal x(t) sur la phase de la porteuse
e(t) = Re
e 2πjf0t+jx(t)
n
◮ Si on suppose que les ak sont réels, et que he (t) est réelle (c’est le cas si on
o
considère un filtre NRZ), alors x(t) est réel et :
e(t) = cos(2πf0t + x(t))
e(t) = cos
2πf0t +
ak he(t − kT )
!
k∈Z
X
◮ ak correspond à la phase de la porteuse pour kT ≤ t < (k + 1)T
◮ L’amplitude de la porteuse reste constante, mais la phase change toutes les
T secondes
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Modulation par déplacement de phase (PSK)
Principe
Modulation par déplacement de phase (PSK)
Principe
Choix des symboles
Modulation ASK équivalente
Les ak représentent ici une phase et il est courant de les renormaliser entre 0 et
2π. Au lieu de prendre les dictionnaires unipolaire et antipolaires classiques, on va
prendre
◮ soit
ak ∈
{0, 1, · · · , M − 1} (unipolaire)
2π
M
◮ soit
ak ∈
π
M
{−(M − 1), · · · , −3, −1, 1, 3, · · · , M − 1} (antipolaire)
Comme he (t) est un filtre NRZ, on peut montrer que :
e(t) = cos
2πf0t +
ak he(t − kT )
!
k∈Z
X
e(t) =
cos(2πf0t + ak )he(t − kT )
Avec des formules de trigonométrie, cela peut s’écrire
k∈Z
X
e(t) =
cos(ak )he (t − kT ) cos(2πf0t) −
sin(ak )he (t − kT ) sin(2πf0t)
k∈Z
X
k∈Z
X
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Modulation par déplacement de phase (PSK)
Principe
Modulation par déplacement de phase (PSK)
Principe
Modulation ASK équivalente
e(t) =
cos(ak )he (t − kT ) cos(2πf0t) −
X
Z
k
∈
sin(ak )he (t − kT ) sin(2πf0t)
X
Z
k
∈
e(t) est la somme de deux signaux ASK :
◮ Un premier signal
I (t) =
cos(ak )he (t − kT )
modulé par une porteuse cos(2πf0t) (les symboles sont ici les cos(ak ))
◮ Un deuxième signal
Q(t) =
sin(ak )he (t − kT )
X
Z
k
∈
X
Z
k
∈
modulé par une porteuse − sin(2πf0t) = cos(2πf0t + π
2 ) (les symboles sont ici les sin(ak ))
◮ I (t) : composante en phase (Inphase), Q(t) : composante en quadrature de phase
(Quadrature)
e(t) = I (t) cos(2πf0t) − Q(t) sin(2πf0t)
Modulation ASK équivalente
En repartant de l’expression
on peut observer que
e(t) = Re
e 2πjf0t+jx(t)
n
o
2πjf0t+j
ak he(t − kT )
e(t) = Re
e
k∈Z
X
e(t) = Re
e jak he(t − kT )e 2πjf0t
(
)
k∈Z
X
◮ Cette modulation PSK avec les symboles ak est mathématiquement
équivalente à une modulation ASK avec les symboles αk = e jak
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Modulation par déplacement de phase (PSK)
Principe
Modulation par déplacement de phase (PSK)
Principe
◮ αk : symboles équivalents en modulation ASK
Formulations équivalentes
Nous avons donc trois formulations parfaitement équivalentes :
e(t) = cos(2πf0t + x(t))
◮ Faire passer les ak sur la phase de la porteuse
◮ Porteuse d’amplitude m(t) = 1 constante et de phase φ(t) = x(t)
e(t) = I (t) cos(2πf0t) − Q(t) sin(2πf0t)
◮ Faire passer les cos(ak ) sur une porteuse en phase et les sin(ak ) sur une porteuse en quadrature
de phase
◮ Composante en phase I (t) = X
k∈Z
Q(t) = X
k∈Z
sin(ak )he (t − kT )
cos(ak )he (t − kT ), composante en quadrature de phase
Constellation
Constellation
Constellation : représentation des symboles αk équivalents en modulation ASK
dans le plan complexe
◮ Dans le cas ASK, on a αk = ak et les αk sont réels
◮ Dans le cas PSK, les αk = e jak sont sur le cercle unité
e(t) = Re
ejak he (t − kT )e2πjf0 t
X
Z
k
∈
◮ Transmettre les symboles complexes αk = ejak en modulation ASK
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Modulation par déplacement de phase (PSK) Modulations M-PSK
Modulation par déplacement de phase (PSK) Modulations M-PSK
2-PSK ou BPSK
Im(.)
2-PSK ou BPSK - Filtre NRZ
0
r = 1
1
Re(.)
)
t
0
f
(cid:2)
2
(
s
o
c
)
)
t
(
x
+
t
0
f
(cid:2)
2
(
s
o
c
=
)
t
(
e
ak ∈ {0, π
αk =
1
} −→
Exactement pareil qu’une modulation 2-ASK symétrique !
±
)
t
(
x
✸
2
1
0
1
0
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
(cid:1)1
0
1
0
(cid:1)1
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
0.2
0.4
0.6
Temps (s)
0.8
1
1.2
dn = 0 1 0 0 1 1 1 0 0 0 1 1
ak = π 0 π π 0 0 0 π π π 0 0
1
−
f0 = 13 Hz et Db=10 bits/seconde
111
−
αk = 1
11
−
11
−
1
−
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Modulation par déplacement de phase (PSK) Modulations M-PSK
Modulation par déplacement de phase (PSK) Modulations M-PSK
4-PSK ou QPSK
4-PSK ou QPSK - Filtre NRZ
Im(.)
01
11
r = 1
Re(.)
00
10
2
0
)
t
(
x
(cid:1)2
0
1
0
(cid:1)1
0
1
0
(cid:1)1
0
)
t
0
f
(cid:2)
2
(
s
o
c
)
)
t
(
x
+
t
0
f
(cid:2)
2
(
s
o
c
=
)
t
(
e
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
0.2
Publicité
0.4
0.6
0.8
1
1.2
0.2
0.4
0.6
Temps (s)
0.8
1
1.2
ak
∈
−
3π
4
,
π
4
,
π
4
,
3π
4
−
αk =
−→
√2
2 ±
j
√2
2
±
(cid:27)
Ici on a utilisé le dictionnaire antipolaire : on obtient le dictionnaire unipolaire en
(cid:26)
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faisant tourner la constellation de
−
π
4 .
dn = 0 1 0 0 1 1 1 0 0 0 1 1
−3π
π
π
ak = 3π
4
4
4
4
√2+j√2
√2
√2
√2+j√2
j√2
−
−
2
2
2
2
f0 = 13 Hz et Db=10 bits/seconde
−3π
4
j√2
−π
4
√2
−
2
−
−
j√2
αk = −
√2+j√2
2
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Modulation par déplacement de phase (PSK) Modulations M-PSK
Modulation par déplacement de phase (PSK)
Réalisation physique et performances
8-PSK
Modulateur
Im(.)
010
110
011
001
r = 1
111
101
Re(.)
000
100
7π
8
,
5π
8
,
−
3π
8
,
−
−
π
8
,
π
8
,
3π
8
,
5π
8
,
7π
8
(cid:27)
ak
∈
−
(cid:26)
faisant tourner la constellation de
−
π
8 .
Ici on a utilisé le dictionnaire antipolaire : on obtient le dictionnaire unipolaire en
cos(2πf0t)
cos(ak ) = Re(αk )
Filtre de
mise en
forme he (t)
I (t)
×
αk = ejak
e(t)
+
sin(ak ) = Im(αk )
Filtre de
mise en
forme he (t)
Q(t)
×
− sin(2πf0t)
I (t) =
X
Z
k
∈
cos(ak )he (t − kT )
Q(t) =
sin(ak )he (t − kT )
e(t) = I (t) cos(2πf0t) − Q(t) sin(2πf0t)
X
Z
k
∈
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Modulation par déplacement de phase (PSK)
Réalisation physique et performances
Modulation par déplacement de phase (PSK)
Réalisation physique et performances
Démodulateur
2 cos(2πf0t)
Energie moyenne par bit
r (t)
×
×
−2 sin(2πf0t)
Filtre
passe bas
Î (t)
Filtre de
réception
hr (t) = he (−t)
zI (t)
◮ Pour calculer l’énergie moyenne par bit, on utilise les symboles αi équivalents
en modulation ASK.
◮ Tous ces symboles sont complexes, mais sont situés sur le cercle unité. On a
Filtre
passe bas
ˆQ(t)
Filtre de
réception
hr (t) = he (−t)
zQ (t)
donc
pour tous les symboles
◮ On a donc
2 = 1
αi
|
|
Ebit =
1
log2 M
Ehe
2 cos(2πf0t)r (t) = I (t) + I (t) cos(4πf0t) − Q(t) sin(4πf0t)
−2 sin(2πf0t)r (t) = Q(t) − I (t) sin(4πf0t) − Q(t) cos(4πf0t)
Après un filtrage passe-bas, on retrouve I (t) et Q(t), puis en échantillonant cos(ak ) et sin(ak ),
et enfin ak
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Modulation par déplacement de phase (PSK)
Réalisation physique et performances
Modulation par déplacement de phase (PSK)
Réalisation physique et performances
Probabilité d’erreur binaire
Comparaison ASK / PSK
Si on utilise un codage de Grey et si le récepteur est optimal, on peut montrer que
si M > 2
TEB
2
log2 M
Q
≈
2 log2 MEbit
N0
sin
π
M
(cid:16)
"
(cid:17)
!r
◮ Si on utilise un filtre NRZ, alors B = 2
T (attention, on n’est plus en bande de
base !), et on a donc η = log2 M
2
. Plus M augmente, plus η augmente.
◮ En revanche, quand M augmente, le TEB augmente.
0
10
−2
10
−4
10
B
E
T
−6
10
−8
10
−10
10
−12
10
0
Taux d’erreur binaire pour des modulations M−ASK symétriques
2−ASK
4−ASK
8−ASK
16−ASK
32−ASK
5
10
15
(en dB)
0
20
25
30
E
/N
bit
0
10
−2
10
−4
10
B
E
T
−6
10
−8
10
−10
10
−12
10
0
Taux d’erreur binaire pour des modulations M−PSK
2−PSK
4−PSK
8−PSK
16−PSK
32−PSK
5
10
15
20
25
30
E
/N
0
bit
(en dB)
◮ A TEB fixé, on peut transmettre avec M plus grand avec une M-PSK
qu’avec une M-ASK
◮ En revanche, les modulateurs et démodulateurs sont plus complexes à réaliser
avec une M-PSK
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Modulations par déplacement d’amplitude et de phase (APSK)
Modulations par déplacement d’amplitude et de phase (APSK)
Principe
Sommaire
Introduction
Modulation par déplacement d’amplitude (ASK)
Modulation par déplacement de phase (PSK)
Modulations par déplacement d’amplitude et de phase (APSK)
Principe
Modulations QAM
Réalisation physique et performances
Modulation par déplacement de fréquence (FSK)
Modulations APSK
◮ Modification de l’amplitude (ASK) :
◮ ak modifie l’amplitude toutes les T secondes
◮ Symboles équivalents en modulation ASK : αk = ak réels
◮ Modification de la phase (PSK) :
◮ ak modifie la phase toutes les T secondes
◮ Symboles équivalents en modulation ASK : αk = ejak sur le cercle unité
◮ Si l’on veut modifier simultanément l’amplitude et la phase toutes les T
secondes ?
◮ Amplitude and Phase Shift Keying (APSK)
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Modulations par déplacement d’amplitude et de phase (APSK)
Principe
Modulations par déplacement d’amplitude et de phase (APSK)
Principe
Modulations APSK : principe
Modulations APSK : constellation
A chaque période symbole T , on change l’amplitude mk et la phase Φk de la
porteuse
e(t) = m(t) cos (2πf0t + Φ(t))
◮ m(t) =
mk he(t
◮ Φ(t) =
k∈Z
X
Φk he (t
kT )
kT )
−
−
k∈Z
X
A chaque période symbole T on agit sur deux paramètres au lieu d’un, ce qui
revient à une mise au carré du nombre de symboles possibles
Modification conjointe de l’amplitude et de la phase : peut être vue
mathématiquement comme la transmission de symboles αk complexes en ASK tels
que
αk = mk e jφk
Im(.)
mk
Φk
1
Re(.)
3
3
1
0
-1
-3
-3
-1
Remarque : ASK revient a mk = ak , Φk = 0 et PSK a mk = 0, Φk = ak
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Modulations par déplacement d’amplitude et de phase (APSK)
Principe
Modulations par déplacement d’amplitude et de phase (APSK)
Principe
Modulations APSK : amplitudes et phases
Par définition des symboles équivalents en modulation ASK,
e(t) = Re
αk he (t
−
kT )e 2πjf0t
)
(
k∈Z
X
Comme αk = mk e jφk , on peut montrer que :
e(t) =
mk he (t
k∈Z
X
kT ) cos (2πf0t + φk )
−
On a donc :
m(t) =
k∈Z |
X
he(t
αk
|
−
kT )
Φ(t) =
arg(αk )he (t
k∈Z
X
kT )
−
Modulations APSK : composantes en phase et en
quadrature de phase
Par définition des symboles équivalents en modulation ASK,
e(t) = Re
k∈Z
X
Et on a par définition de I (t) et Q(t)
(
αk he (t
−
kT )e 2πjf0t
)
On peut montrer alors que :
e(t) = I (t) cos(2πf0t)
Q(t) sin(2πf0t)
Publicité
−
I (t) =
Re(αk )he (t
k∈Z
X
Q(t) =
Im(αk )he (t
k∈Z
X
kT )
−
kT )
−
◮ m(t) transmet le module du symbole
◮ Φ(t) transmet l’argument du symbole
◮ I (t) transmet la partie réelle du symbole
◮ Q(t) transmet la partie imaginaire du symbole
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Modulations par déplacement d’amplitude et de phase (APSK) Modulations QAM
Modulations par déplacement d’amplitude et de phase (APSK) Modulations QAM
Modulations QAM
Cas particulier courant :
Modulation 4-QAM
Im(.)
Re(αk )
Im(αk )
(√M
1),
−
· · ·
∈
−
n
∈
−
n
(√M
−
αk
1),
· · ·
1
∈ {±
,
,
3,
−
−
1, 1, 3,
· · ·
, √M
−
3,
−
j,
±
−
1
±
1, 1, 3,
, √M
· · ·
3
±
3j,
±
j,
±
±
1
dictionnaire antipolaire
o
1
dictionnaire antipolaire
o
3j, ...
±
}
−
3
◮ Si chaque dictionnaire contient √M symboles réels, cela fait M symboles
complexes !
◮ Comme si on transmettait simultanément un signal √M-ASK symétrique réel
et un signal √M-ASK symétrique imaginaire pur
◮ Deux signaux √M-ASK symétriques I (t) et Q(t) en quadrature de phase :
d’ou le nom Quadrature Amplitude Modulation
3
1
-1
-3
01
-1
00
-3
0
11
1
10
Re(.)
3
αk =
1
j
±
code la partie réelle - code la partie imaginaire
±
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Modulations par déplacement d’amplitude et de phase (APSK) Modulations QAM
Modulations par déplacement d’amplitude et de phase (APSK) Modulations QAM
4-QAM - Filtre NRZ - m(t)/Φ(t)
4-QAM - Filtre NRZ - I (t)/Q(t)
2
)
t
(
m
1
0
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
2
0
−2
1
0
−1
)
t
(
Φ
)
)
t
(
Φ
+
t
0
f
π
2
(
s
o
c
)
t
(
m
=
)
t
(
e
1
0
)
t
(
I
−1
0
1
0
−1
0
1
0
−1
)
t
(
Q
)
t
(
e
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
0
0.2
0.4
0.6
Temps (s)
0.8
1
1.2
0
0.2
0.4
0.6
Temps (s)
0.8
1
1.2
dn = 0 1 0 0 1 1 1 0 0 0 1 1
-1-j
-1-j 1+j
1-j
αk = -1+j
1+j
mk = √2 √2 √2 √2 √2 √2
π
π
Φk = 3π
4
4
4
f0 = 13 Hz et Db=10 bits/seconde
−3π
4
−3π
4
−π
4
e(t) = I (t) cos(2πf0t)
Q(t) sin(2πf0t)
dn = 0 1 0 0 1 1 1 0 0 0 1 1
-1-j
-1-j 1+j
1-j
αk = -1+j
1+j
−
f0 = 13 Hz et Db=10 bits/seconde
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Modulations par déplacement d’amplitude et de phase (APSK) Modulations QAM
Modulations par déplacement d’amplitude et de phase (APSK) Modulations QAM
Modulation 16-QAM
16-QAM - Filtre NRZ - m(t)/Φ(t)
0010
0110
Im(.)
3
1
1110
1010
0011
0111
0 1111
1011
-3
-1
1
3
0001
0101
1101
1001
-1
Re(.)
0000
0100
1100
1000
-3
αk
1
j,
1
±
±
±
3j,
3
±
±
j,
3
±
±
3j
}
∈ {±
code la partie réelle - code la partie imaginaire
)
t
(
m
4
2
0
−2
−4
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
2
0
−2
2
0
−2
)
t
(
Φ
)
)
t
(
Φ
+
t
0
f
π
2
(
s
o
c
)
t
(
m
=
)
t
(
e
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
0
0.2
0.4
0.6
Temps (s)
0.8
1
1.2
dn = 0 1 0 0 1 1 1 0 0 0 1 1
αk = -1-3j
-3+j
1+3j
Φk = −π
mk = √10 √10 √10
atan( 1
atan( 1
3 ) π
3 ) π
2 −
2 −
f0 = 13 Hz et Db=10 bits/seconde
−
atan( 1
3 )
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Modulations par déplacement d’amplitude et de phase (APSK) Modulations QAM
Modulations par déplacement d’amplitude et de phase (APSK)
Réalisation physique et performances
16-QAM - Filtre NRZ - I (t)/Q(t)
Modulateur
)
t
(
I
)
t
(
Q
)
t
(
e
2
0
−2
2
0
−2
2
0
−2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
0
0.2
0.4
0.6
Temps (s)
0.8
1
1.2
e(t) = I (t) cos(2πf0t)
Q(t) sin(2πf0t)
dn = 0 1 0 0 1 1 1 0 0 0 1 1
αk = -1-3j
-3+j
1+3j
−
cos(2πf0t)
<...