Communications num´eriques
Modulations num´eriques
Laurent Oudre
Universit´e Paris 13, Institut Galil´ee
Ecole d’ing´enieurs Sup Galil´ee
Parcours Informatique et R´eseaux Apprentissage - 2`eme ann´ee
2018-2019
Sommaire
Introduction
Modulations num´eriques : pourquoi ?
Modulations num´eriques : comment ?
Modulation par d´eplacement d’amplitude (ASK)
Principe
Modulations M-ASK sym´etriques
R´ealisation physique et performances
Modulation par d´eplacement de phase (PSK)
Principe
Modulations M-PSK
R´ealisation physique et performances
Modulations par d´eplacement d’amplitude et de phase (APSK)
Principe
Modulations QAM
R´ealisation physique et performances
Modulation par d´eplacement de fr´equence (FSK)
Principe
Modulations FSK et CPFSK
Modulation MSK
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Sommaire
Transmission en bande de base
Introduction
Introduction Modulations num´eriques : pourquoi ?
◮ Pour le moment, tous les signaux physiques g´en´er´es ont une largeur de bande
Introduction
Modulations num´eriques : pourquoi ?
Modulations num´eriques : comment ?
Modulation par d´eplacement d’amplitude (ASK)
Modulation par d´eplacement de phase (PSK)
Modulations par d´eplacement d’amplitude et de phase (APSK)
Modulation par d´eplacement de fr´equence (FSK)
que l’on peut ´ecrire :
◮ filtre NRZ : B ≈ 1
◮ filtre RZ : B ≈ 2
◮ filtre biphase Manchester : B ≈ 2
◮ filtre en racine de cosinus surelev´e : B = 1+β
2T
T
T
T
◮ On a vu en TP que B d´ependait du filtre de mise en forme he(t), du d´ebit
binaire Db, et de la taille M de l’alphabet utilis´e
◮ Les densit´es spectrales de puissance des signaux en bande de base sont
centr´ees sur la fr´equence f0 = 0.
◮ Si le canal a une bande passante limit´ee, on cale la largeur de bande occup´ee
du signal sur les caract´eristiques du canal : on utilise toute la bande passante
disponible.
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Limites de la bande de base
Bande de base vs. Modulation
Introduction Modulations num´eriques : pourquoi ?
Introduction Modulations num´eriques : pourquoi ?
◮ Impossible de diviser le canal en sous-canaux pour transmettre plusieurs
◮ Bande de base
communications `a la fois (multiplexage fr´equentiel)
◮ Impossible de cr´eer une onde ´electromagn´etique pour la transmission sans fil
(si on ´emet une onde `a 30 Hz, on a une longueur d’onde de 10000 km !)
◮ Chaque type de communication correspond `a une bande de fr´equence
r´epertori´ee :
◮ TNT terrestre : 470 MHz `a 830 MHz
◮ GSM (900) : 880 MHz `a 960 MHz
◮ N´ecessit´e de pouvoir cr´eer des signaux dans une bande de fr´equence donn´ee
◮ Les caract´eristiques de cette bande d´ependent du canal o`u l’on veut
transmettre et du type de communication
◮ Transmission des signaux dans leur bande de fr´equence originale
◮ Utilisation de la totalit´e de la bande passante du canal BP
◮ Signaux ´electriques et lumineux : cˆables USB, Ethernet, fibres optiques, etc...
◮ Bande transpos´ee (ou large de bande)
◮ Transmission des signaux dans une bande de fr´equence donn´ee
◮ Eventuellement, division de la bande passante disponible en plusieurs canaux
◮ Ondes ´electromagn´etiques, signaux ´electriques et optiques : r´eseau hertzien,
infra-rouge, laser, cˆables ADSL, etc...
Modulation : transformation du signal en bande de base pour l’adapter au canal
de transmission
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Bande de base vs. Modulation
Bande de base vs. Modulation
Introduction Modulations num´eriques : pourquoi ?
Introduction Modulations num´eriques : pourquoi ?
Imaginons que l’on souhaite envoyer un signal sur un canal de bande passante
[BPminBPmax ] :
◮ On veut cr´eer un signal modul´e ayant comme largeur de bande (en bande
modul´ee) BMOD = BPmax − BPmin et centr´e sur la fr´equence f0 = BPmin+BPmax
2
◮ Cela revient `a cr´eer un signal en bande de base ayant comme largeur de
bande (en bande de base) BBB = BPmax −BPmin
2
puis translater son spectre de f0
Attention, si la largeur de bande en bande de base est (par exemple) 1
bande modul´ee, cela correspond `a une largeur de bande 2
T , alors en
T (et inversement)
BMOD = 2BBB
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Modulations num´eriques
Principe de la modulation
Introduction Modulations num´eriques : comment ?
Introduction Modulations num´eriques : comment ?
dn
Conversion
bits/symboles
ak
Filtre de
mise en
forme he (t)
x(t)
Modulation
e(t)
e(t)
Filtre de
canal hc (t)
e′(t)
Bruit
additif b(t)
r (t)
Emetteur
Canal de transmission
r (t)
D´emodulation
y (t)
Filtre de
r´eception
hr (t)
z(t)
Echantillonage
zk = z(kT )
ˆdn
D´ecodage
D´ecision
ˆak
R´ecepteur
Imaginons que l’on ait un signal x(t) avec une densit´e spectrale de puissance
Γx (f ) centr´ee en f = 0. Comment la translater pour la centrer en f = f0 ?
◮ cf TD 1 : T F
x(t)e 2πjf0t
◮ Proposition : prendre e(t) = x(t)e 2πjf0t ? ?
◮ Probl`eme : dans ce cas, e(t) est complexe, ce qui n’est pas possible (ce doit
= X (f − f0)
(cid:9)
(cid:8)
ˆetre un signal physique)
e(t) = Re
x(t)e 2πjf0t
(cid:8)
(cid:9)
◮ Modulation : partir d’un signal x(t) en bande de base, et le transformer en
signal e(t) en bande modul´ee, donc la largeur de bande sera centr´ee sur f0.
◮ e 2πjf0t : porteuse
◮ x(t) : signal en bande de base (dans ce cours : filtre d’´emission NRZ)
◮ D´emodulation : processus inverse
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Modulation par d´eplacement d’amplitude (ASK)
Modulation par d´eplacement d’amplitude (ASK)
Principe
Sommaire
Introduction
Modulation par d´eplacement d’amplitude (ASK)
Principe
Modulations M-ASK sym´etriques
R´ealisation physique et performances
Modulation par d´eplacement de phase (PSK)
Modulations par d´eplacement d’amplitude et de phase (APSK)
Modulation par d´eplacement de fr´equence (FSK)
Modulation par d´eplacement d’amplitude : ASK
On modifie l’amplitude de la porteuse : Amplitude Shift Keying
e(t) = Re
x(t)e 2πjf0t
Si on suppose que les ak sont r´eels, et que he (t) est r´eelle (c’est le cas si on
consid`ere un filtre NRZ), alors x(t) est r´eel et :
(cid:8)
(cid:9)
e(t) = x(t) cos(2πf0t)
e(t) =
ak he (t − kT ) cos(2πf0t)
k∈Z
X
◮ On ne transforme pas notre signal en bande de base, on le multiplie juste par
un cosinus
◮ Chaque symbole ak modifie l’amplitude de la porteuse durant une dur´ee T :
ak correspond `a l’amplitude de la porteuse pour kT ≤ t < (k + 1)T
◮ En fait, tous les codages en ligne que l’on a vu en bande de base ´etaient des
modulations ASK avec f0 = 0 !
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Modulation par d´eplacement d’amplitude (ASK) Modulations M-ASK sym´etriques
Modulation par d´eplacement d’amplitude (ASK) Modulations M-ASK sym´etriques
Modulation M-ASK sym´etriques
2-ASK sym´etrique - Filtre NRZ
M=2
Im(.)
0
-7
-6
-5
-4
-3
-2
-1
0
M=4
Im(.)
1
1
2
3
4
5
6
7
00
01
11
10
-7
-6
-5
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
5
6
7
M=8
Im(.)
000
001
011
010
110
111
101
100
-7
-6
-5
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
5
6
7
−→ x(t) cod´e avec un dictionnaire M-aire antipolaire
Re(.)
Re(.)
Re(.)
1
0
)
t
(
x
✁1
0
1
0
!1
0
1
0
✄1
0
)
t
0
f
2✂
(
s
o
c
)
t
0
f
2☎
(
s
o
c
)
t
(
x
=
)
t
(
e
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
0.2
0.4
0.6
Temps (s)
0.8
1
1.2
dn = 0 1 0 0 1 1 1 0 0 0 1 1 −→ ak = -1 1 -1 -1 1 1 1 -1 -1 -1 1 1
f0 = 13 Hz et Db=10 bits/seconde
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Modulation par d´eplacement d’amplitude (ASK) Modulations M-ASK sym´etriques
Modulation par d´eplacement d’amplitude (ASK)
R´ealisation physique et performances
8-ASK sym´etrique - Filtre NRZ
Modulateur
✆
✵
(cid:1)
✺
0
1
0
(cid:1)1
)
t
0
f
(cid:2)
2
(
s
o
c
)
t
0
f
(cid:2)
2
(
s
o
c
)
t
(
x
=
)
t
(
e
✝
✞
5
0
(cid:1)5
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
0
0.2
0.4
0.6
Temps (s)
0.8
1
1.2
cos(2πf0t)
ak
Filtre de
mise en
forme he (t)
x(t)
×
e(t)
e(t) = x(t) cos(2πf0t)
e(t) =
ak he (t − kT ) cos(2πf0t)
k∈Z
X
dn = 0 1 0 0 1 1 1 0 0 0 1 1 −→ ak = -1 -3 7 -3
f0 = 13 Hz et Db=10 bits/seconde
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①
✭
*
✮
Modulation par d´eplacement d’amplitude (ASK)
R´ealisation physique et performances
Modulation par d´eplacement d’amplitude (ASK)
R´ealisation physique et performances
D´emodulateur
Energie moyenne par bit
◮ A la sortie du canal (sans bruit), on a r (t) = e(t) = x(t) cos(2πf0t)
◮ Comment retrouver x(t) `a partir de r (t) ?
◮ On utilise 2 cos(2πf0t)r (t) = 2 cos2(2πf0t)x(t) = x(t) + x(t) cos(4πf0t)
◮ Avec un filtrage passe-bas, on peut r´ecup´erer x(t) !
◮ L’´energie moyenne par bit pour un signal modul´e avec une modulation
M-ASK est exactement la mˆeme que celle que l’on aurait pour un signal en
bande de base
◮ On peut donc utiliser les mˆemes formules qu’en bande de base
2 cos(2πf0t)
r (t)
×
Filtre
passe bas
y (t)
Filtre de
r´eception
hr (t) = he (−t)
z(t)
Esym =
1
M
M
i =1
X
|ai |2Ehe
Ebit =
1
M log2 M
|ai |2Ehe
M
i =1
X
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Modulation par d´eplacement d’amplitude (ASK)
R´ealisation physique et performances
Modulation par d´eplacement de phase (PSK)
Probabilit´e d’erreur binaire
Sommaire
Si on utilise un codage de Grey et si le r´ecepteur est optimal, on peut montrer que
Introduction
TEB ≈ 2
M − 1
M log2 M
Q
2Ebit
N0
3 log2 M
M 2 − 1 !
r
◮ Il s’agit de la mˆeme formule qu’en bande de base !
◮ Si on utilise un filtre NRZ, alors BMOD = 2BBB = 2
en bande de base !), et on a donc η = log2 M
augmente.
2
T (attention, on n’est plus
. Plus M augmente, plus η
Modulation par d´eplacement d’amplitude (ASK)
Modulation par d´eplacement de phase (PSK)
Principe
Modulations M-PSK
R´ealisation physique et performances
Modulations par d´eplacement d’amplitude et de phase (APSK)
Modulation par d´eplacement de fr´equence (FSK)
◮ En revanche, quand M augmente, le TEB augmente. Il y a donc un
compromis `a r´ealiser.
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Modulation par d´eplacement de phase (PSK)
Principe
Modulation par d´eplacement de phase (PSK)
Principe
Modulation par d´eplacement de phase : PSK
Modulation par d´eplacement de phase : PSK
◮ Pour la modulation ASK on a modifi´e l’amplitude de la porteuse
e(t) = Re
x(t)e 2πjf0t
e(t) =
ak he (t − kT ) cos(2πf0t)
(cid:8)
(cid:9)
k∈Z
X
◮ ak correspond `a l’amplitude de la porteuse pour kT ≤ t < (k + 1)T
◮ Et si on modifiait la phase au lieu de l’amplitude ?
◮ PSK : Phase Shift Keying
◮ On fait passer le signal x(t) sur la phase de la porteuse
e(t) = Re
e 2πjf0t+jx(t)
n
◮ Si on suppose que les ak sont r´eels, et que he (t) est r´eelle (c’est le cas si on
o
consid`ere un filtre NRZ), alors x(t) est r´eel et :
e(t) = cos(2πf0t + x(t))
e(t) = cos
2πf0t +
ak he(t − kT )
!
k∈Z
X
◮ ak correspond `a la phase de la porteuse pour kT ≤ t < (k + 1)T
◮ L’amplitude de la porteuse reste constante, mais la phase change toutes les
T secondes
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Modulation par d´eplacement de phase (PSK)
Principe
Modulation par d´eplacement de phase (PSK)
Principe
Choix des symboles
Modulation ASK ´equivalente
Les ak repr´esentent ici une phase et il est courant de les renormaliser entre 0 et
2π. Au lieu de prendre les dictionnaires unipolaire et antipolaires classiques, on va
prendre
◮ soit
ak ∈
{0, 1, · · · , M − 1} (unipolaire)
2π
M
◮ soit
ak ∈
π
M
{−(M − 1), · · · , −3, −1, 1, 3, · · · , M − 1} (antipolaire)
Comme he (t) est un filtre NRZ, on peut montrer que :
e(t) = cos
2πf0t +
ak he(t − kT )
!
k∈Z
X
e(t) =
cos(2πf0t + ak )he(t − kT )
Avec des formules de trigonom´etrie, cela peut s’´ecrire
k∈Z
X
e(t) =
cos(ak )he (t − kT ) cos(2πf0t) −
sin(ak )he (t − kT ) sin(2πf0t)
k∈Z
X
k∈Z
X
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Modulation par d´eplacement de phase (PSK)
Principe
Modulation par d´eplacement de phase (PSK)
Principe
Modulation ASK ´equivalente
e(t) =
cos(ak )he (t − kT ) cos(2πf0t) −
X
Z
k
∈
sin(ak )he (t − kT ) sin(2πf0t)
X
Z
k
∈
e(t) est la somme de deux signaux ASK :
◮ Un premier signal
I (t) =
cos(ak )he (t − kT )
modul´e par une porteuse cos(2πf0t) (les symboles sont ici les cos(ak ))
◮ Un deuxi`eme signal
Q(t) =
sin(ak )he (t − kT )
X
Z
k
∈
X
Z
k
∈
modul´e par une porteuse − sin(2πf0t) = cos(2πf0t + π
2 ) (les symboles sont ici les sin(ak ))
◮ I (t) : composante en phase (Inphase), Q(t) : composante en quadrature de phase
(Quadrature)
e(t) = I (t) cos(2πf0t) − Q(t) sin(2πf0t)
Modulation ASK ´equivalente
En repartant de l’expression
on peut observer que
e(t) = Re
e 2πjf0t+jx(t)
n
o
2πjf0t+j
ak he(t − kT )
e(t) = Re
e
k∈Z
X
e(t) = Re
e jak he(t − kT )e 2πjf0t
(
)
k∈Z
X
◮ Cette modulation PSK avec les symboles ak est math´ematiquement
´equivalente `a une modulation ASK avec les symboles αk = e jak
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Modulation par d´eplacement de phase (PSK)
Principe
Modulation par d´eplacement de phase (PSK)
Principe
◮ αk : symboles ´equivalents en modulation ASK
Formulations ´equivalentes
Nous avons donc trois formulations parfaitement ´equivalentes :
e(t) = cos(2πf0t + x(t))
◮ Faire passer les ak sur la phase de la porteuse
◮ Porteuse d’amplitude m(t) = 1 constante et de phase φ(t) = x(t)
e(t) = I (t) cos(2πf0t) − Q(t) sin(2πf0t)
◮ Faire passer les cos(ak ) sur une porteuse en phase et les sin(ak ) sur une porteuse en quadrature
de phase
◮ Composante en phase I (t) = X
k∈Z
Q(t) = X
k∈Z
sin(ak )he (t − kT )
cos(ak )he (t − kT ), composante en quadrature de phase
Constellation
Constellation
Constellation : repr´esentation des symboles αk ´equivalents en modulation ASK
dans le plan complexe
◮ Dans le cas ASK, on a αk = ak et les αk sont r´eels
◮ Dans le cas PSK, les αk = e jak sont sur le cercle unit´e
Publicité
e(t) = Re
ejak he (t − kT )e2πjf0 t
X
Z
k
∈
◮ Transmettre les symboles complexes αk = ejak en modulation ASK
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Modulation par d´eplacement de phase (PSK) Modulations M-PSK
Modulation par d´eplacement de phase (PSK) Modulations M-PSK
2-PSK ou BPSK
Im(.)
2-PSK ou BPSK - Filtre NRZ
0
r = 1
1
Re(.)
)
t
0
f
(cid:2)
2
(
s
o
c
)
)
t
(
x
+
t
0
f
(cid:2)
2
(
s
o
c
=
)
t
(
e
ak ∈ {0, π
αk =
1
} −→
Exactement pareil qu’une modulation 2-ASK sym´etrique !
±
)
t
(
x
✸
2
1
0
1
0
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
(cid:1)1
0
1
0
(cid:1)1
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
0.2
0.4
0.6
Temps (s)
0.8
1
1.2
dn = 0 1 0 0 1 1 1 0 0 0 1 1
ak = π 0 π π 0 0 0 π π π 0 0
1
−
f0 = 13 Hz et Db=10 bits/seconde
111
−
αk = 1
11
−
11
−
1
−
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Modulation par d´eplacement de phase (PSK) Modulations M-PSK
Modulation par d´eplacement de phase (PSK) Modulations M-PSK
4-PSK ou QPSK
4-PSK ou QPSK - Filtre NRZ
Im(.)
01
11
r = 1
Re(.)
00
10
2
0
)
t
(
x
(cid:1)2
0
1
0
(cid:1)1
0
1
0
(cid:1)1
0
)
t
0
f
(cid:2)
2
(
s
o
c
)
)
t
(
x
+
t
0
f
(cid:2)
2
(
s
o
c
=
)
t
(
e
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
0.2
0.4
0.6
Temps (s)
0.8
1
1.2
ak
∈
−
3π
4
,
π
4
,
π
4
,
3π
4
−
αk =
−→
√2
2 ±
j
√2
2
±
(cid:27)
Ici on a utilis´e le dictionnaire antipolaire : on obtient le dictionnaire unipolaire en
(cid:26)
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faisant tourner la constellation de
−
π
4 .
dn = 0 1 0 0 1 1 1 0 0 0 1 1
−3π
π
π
ak = 3π
4
4
4
4
√2+j√2
√2
√2
√2+j√2
j√2
−
−
2
2
2
2
f0 = 13 Hz et Db=10 bits/seconde
−3π
4
j√2
−π
4
√2
−
2
−
−
j√2
αk = −
√2+j√2
2
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Modulation par d´eplacement de phase (PSK) Modulations M-PSK
Modulation par d´eplacement de phase (PSK)
R´ealisation physique et performances
8-PSK
Modulateur
Im(.)
010
110
011
001
r = 1
111
101
Re(.)
000
100
7π
8
,
5π
8
,
−
3π
8
,
−
−
π
8
,
π
8
,
3π
8
,
5π
8
,
7π
8
(cid:27)
ak
∈
−
(cid:26)
faisant tourner la constellation de
−
π
8 .
Ici on a utilis´e le dictionnaire antipolaire : on obtient le dictionnaire unipolaire en
cos(2πf0t)
cos(ak ) = Re(αk )
Filtre de
mise en
forme he (t)
I (t)
×
αk = ejak
e(t)
+
sin(ak ) = Im(αk )
Filtre de
mise en
forme he (t)
Q(t)
×
− sin(2πf0t)
I (t) =
X
Z
k
∈
cos(ak )he (t − kT )
Q(t) =
sin(ak )he (t − kT )
e(t) = I (t) cos(2πf0t) − Q(t) sin(2πf0t)
X
Z
k
∈
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Modulation par d´eplacement de phase (PSK)
R´ealisation physique et performances
Modulation par d´eplacement de phase (PSK)
R´ealisation physique et performances
D´emodulateur
2 cos(2πf0t)
Energie moyenne par bit
r (t)
×
×
−2 sin(2πf0t)
Filtre
Publicité
passe bas
ˆI (t)
Filtre de
r´eception
hr (t) = he (−t)
zI (t)
◮ Pour calculer l’´energie moyenne par bit, on utilise les symboles αi ´equivalents
en modulation ASK.
◮ Tous ces symboles sont complexes, mais sont situ´es sur le cercle unit´e. On a
Filtre
passe bas
ˆQ(t)
Filtre de
r´eception
hr (t) = he (−t)
zQ (t)
donc
pour tous les symboles
◮ On a donc
2 = 1
αi
|
|
Ebit =
1
log2 M
Ehe
2 cos(2πf0t)r (t) = I (t) + I (t) cos(4πf0t) − Q(t) sin(4πf0t)
−2 sin(2πf0t)r (t) = Q(t) − I (t) sin(4πf0t) − Q(t) cos(4πf0t)
Apr`es un filtrage passe-bas, on retrouve I (t) et Q(t), puis en ´echantillonant cos(ak ) et sin(ak ),
et enfin ak
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Modulation par d´eplacement de phase (PSK)
R´ealisation physique et performances
Modulation par d´eplacement de phase (PSK)
R´ealisation physique et performances
Probabilit´e d’erreur binaire
Comparaison ASK / PSK
Si on utilise un codage de Grey et si le r´ecepteur est optimal, on peut montrer que
si M > 2
TEB
2
log2 M
Q
≈
2 log2 MEbit
N0
sin
π
M
(cid:16)
"
(cid:17)
!r
◮ Si on utilise un filtre NRZ, alors B = 2
T (attention, on n’est plus en bande de
base !), et on a donc η = log2 M
2
. Plus M augmente, plus η augmente.
◮ En revanche, quand M augmente, le TEB augmente.
0
10
−2
10
−4
10
B
E
T
−6
10
−8
10
−10
10
−12
10
0
Taux d’erreur binaire pour des modulations M−ASK symétriques
2−ASK
4−ASK
8−ASK
16−ASK
32−ASK
5
10
15
(en dB)
0
20
25
30
E
/N
bit
0
10
−2
10
−4
10
B
E
T
−6
10
−8
10
−10
10
−12
10
0
Taux d’erreur binaire pour des modulations M−PSK
2−PSK
4−PSK
8−PSK
16−PSK
32−PSK
5
10
15
20
25
30
E
/N
0
bit
(en dB)
◮ A TEB fix´e, on peut transmettre avec M plus grand avec une M-PSK
qu’avec une M-ASK
◮ En revanche, les modulateurs et d´emodulateurs sont plus complexes `a r´ealiser
avec une M-PSK
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Modulations par d´eplacement d’amplitude et de phase (APSK)
Modulations par d´eplacement d’amplitude et de phase (APSK)
Principe
Sommaire
Introduction
Modulation par d´eplacement d’amplitude (ASK)
Modulation par d´eplacement de phase (PSK)
Modulations par d´eplacement d’amplitude et de phase (APSK)
Principe
Modulations QAM
R´ealisation physique et performances
Modulation par d´eplacement de fr´equence (FSK)
Modulations APSK
◮ Modification de l’amplitude (ASK) :
◮ ak modifie l’amplitude toutes les T secondes
◮ Symboles ´equivalents en modulation ASK : αk = ak r´eels
◮ Modification de la phase (PSK) :
◮ ak modifie la phase toutes les T secondes
◮ Symboles ´equivalents en modulation ASK : αk = ejak sur le cercle unit´e
◮ Si l’on veut modifier simultan´ement l’amplitude et la phase toutes les T
secondes ?
◮ Amplitude and Phase Shift Keying (APSK)
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Modulations par d´eplacement d’amplitude et de phase (APSK)
Principe
Modulations par d´eplacement d’amplitude et de phase (APSK)
Principe
Modulations APSK : principe
Modulations APSK : constellation
A chaque p´eriode symbole T , on change l’amplitude mk et la phase Φk de la
porteuse
e(t) = m(t) cos (2πf0t + Φ(t))
◮ m(t) =
mk he(t
◮ Φ(t) =
k∈Z
X
Φk he (t
kT )
kT )
−
−
k∈Z
X
A chaque p´eriode symbole T on agit sur deux param`etres au lieu d’un, ce qui
revient `a une mise au carr´e du nombre de symboles possibles
Modification conjointe de l’amplitude et de la phase : peut ˆetre vue
math´ematiquement comme la transmission de symboles αk complexes en ASK tels
que
αk = mk e jφk
Im(.)
mk
Φk
1
Re(.)
3
3
1
0
-1
-3
-3
-1
Remarque : ASK revient a mk = ak , Φk = 0 et PSK a mk = 0, Φk = ak
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Modulations par d´eplacement d’amplitude et de phase (APSK)
Principe
Modulations par d´eplacement d’amplitude et de phase (APSK)
Principe
Modulations APSK : amplitudes et phases
Par d´efinition des symboles ´equivalents en modulation ASK,
e(t) = Re
αk he (t
−
kT )e 2πjf0t
)
(
k∈Z
X
Comme αk = mk e jφk , on peut montrer que :
e(t) =
mk he (t
k∈Z
X
kT ) cos (2πf0t + φk )
−
On a donc :
m(t) =
k∈Z |
X
he(t
αk
|
−
kT )
Φ(t) =
arg(αk )he (t
k∈Z
X
kT )
−
Modulations APSK : composantes en phase et en
quadrature de phase
Par d´efinition des symboles ´equivalents en modulation ASK,
e(t) = Re
k∈Z
X
Et on a par d´efinition de I (t) et Q(t)
(
αk he (t
−
kT )e 2πjf0t
)
On peut montrer alors que :
e(t) = I (t) cos(2πf0t)
Q(t) sin(2πf0t)
−
I (t) =
Re(αk )he (t
k∈Z
X
Q(t) =
Im(αk )he (t
k∈Z
X
kT )
−
kT )
−
◮ m(t) transmet le module du symbole
◮ Φ(t) transmet l’argument du symbole
◮ I (t) transmet la partie r´eelle du symbole
◮ Q(t) transmet la partie imaginaire du symbole
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Modulations par d´eplacement d’amplitude et de phase (APSK) Modulations QAM
Modulations par d´eplacement d’amplitude et de phase (APSK) Modulations QAM
Modulations QAM
Cas particulier courant :
Modulation 4-QAM
Im(.)
Re(αk )
Im(αk )
(√M
1),
−
· · ·
∈
−
n
∈
−
n
(√M
−
αk
1),
· · ·
1
∈ {±
,
,
3,
−
−
1, 1, 3,
· · ·
, √M
−
3,
−
j,
±
−
1
±
1, 1, 3,
, √M
· · ·
3
±
3j,
±
j,
±
±
1
dictionnaire antipolaire
o
1
dictionnaire antipolaire
o
3j, ...
±
}
−
3
◮ Si chaque dictionnaire contient √M symboles r´eels, cela fait M symboles
complexes !
◮ Comme si on transmettait simultan´ement un signal √M-ASK sym´etrique r´eel
et un signal √M-ASK sym´etrique imaginaire pur
◮ Deux signaux √M-ASK sym´etriques I (t) et Q(t) en quadrature de phase :
d’ou le nom Quadrature Amplitude Modulation
3
Publicité
1
-1
-3
01
-1
00
-3
0
11
1
10
Re(.)
3
αk =
1
j
±
code la partie r´eelle - code la partie imaginaire
±
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Modulations par d´eplacement d’amplitude et de phase (APSK) Modulations QAM
Modulations par d´eplacement d’amplitude et de phase (APSK) Modulations QAM
4-QAM - Filtre NRZ - m(t)/Φ(t)
4-QAM - Filtre NRZ - I (t)/Q(t)
2
)
t
(
m
1
0
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
2
0
−2
1
0
−1
)
t
(
Φ
)
)
t
(
Φ
+
t
0
f
π
2
(
s
o
c
)
t
(
m
=
)
t
(
e
1
0
)
t
(
I
−1
0
1
0
−1
0
1
0
−1
)
t
(
Q
)
t
(
e
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
0
0.2
0.4
0.6
Temps (s)
0.8
1
1.2
0
0.2
0.4
0.6
Temps (s)
0.8
1
1.2
dn = 0 1 0 0 1 1 1 0 0 0 1 1
-1-j
-1-j 1+j
1-j
αk = -1+j
1+j
mk = √2 √2 √2 √2 √2 √2
π
π
Φk = 3π
4
4
4
f0 = 13 Hz et Db=10 bits/seconde
−3π
4
−3π
4
−π
4
e(t) = I (t) cos(2πf0t)
Q(t) sin(2πf0t)
dn = 0 1 0 0 1 1 1 0 0 0 1 1
-1-j
-1-j 1+j
1-j
αk = -1+j
1+j
−
f0 = 13 Hz et Db=10 bits/seconde
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Modulations par d´eplacement d’amplitude et de phase (APSK) Modulations QAM
Modulations par d´eplacement d’amplitude et de phase (APSK) Modulations QAM
Modulation 16-QAM
16-QAM - Filtre NRZ - m(t)/Φ(t)
0010
0110
Im(.)
3
1
1110
1010
0011
0111
0 1111
1011
-3
-1
1
3
0001
0101
1101
1001
-1
Re(.)
0000
0100
1100
1000
-3
αk
1
j,
1
±
±
±
3j,
3
±
±
j,
3
±
±
3j
}
∈ {±
code la partie r´eelle - code la partie imaginaire
)
t
(
m
4
2
0
−2
−4
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
2
0
−2
2
0
−2
)
t
(
Φ
)
)
t
(
Φ
+
t
0
f
π
2
(
s
o
c
)
t
(
m
=
)
t
(
e
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
0
0.2
0.4
0.6
Temps (s)
0.8
1
1.2
dn = 0 1 0 0 1 1 1 0 0 0 1 1
αk = -1-3j
-3+j
1+3j
Φk = −π
mk = √10 √10 √10
atan( 1
atan( 1
3 ) π
3 ) π
2 −
2 −
f0 = 13 Hz et Db=10 bits/seconde
−
atan( 1
3 )
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Modulations par d´eplacement d’amplitude et de phase (APSK)
R´ealisation physique et performances
16-QAM - Filtre NRZ - I (t)/Q(t)
Modulateur
)
t
(
I
)
t
(
Q
)
t
(
e
2
0
−2
2
0
−2
2
0
−2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
0
0.2
0.4
0.6
Temps (s)
0.8
1
1.2
e(t) = I (t) cos(2πf0t)
Q(t) sin(2πf0t)
dn = 0 1 0 0 1 1 1 0 0 0 1 1
αk = -1-3j
-3+j
1+3j
−
cos(2πf0t)
<...