Communications numériques

Ce document couvre les principes fondamentaux des communications numériques, en particulier la transmission en bande de base. Il s’adresse aux étudiants de deuxième année en informatique et réseaux, souhaitant comprendre la chaîne de transmission idéale, les étapes de l’émetteur, du canal et du récepteur, ainsi que les notions d’énergie, puissance et densité spectrale de puissance des signaux numériques.

Chaîne de transmission idéale

La chaîne de transmission numérique idéale comprend trois éléments principaux :

• Émetteur : transforme le signal numérique binaire dn en un signal physique e(t) (onde électromagnétique, signal électrique, etc.) adapté à la transmission.
• Canal de transmission : support physique (câbles coaxiaux, paires torsadées, fibre optique, réseau hertzien, infrarouge) avec des propriétés propres (bande passante, débit maximal) et pouvant introduire du bruit ou des pertes.
• Récepteur : récupère le signal reçu r(t) et tente de reconstruire le signal numérique initial ˆdn en éliminant le bruit et en effectuant la démodulation, le filtrage, l’échantillonnage et la décision.

Émetteur : étapes et conversion bits/symboles

L’émetteur réalise plusieurs étapes pour convertir la suite binaire dn en un signal physique e(t) :

• Conversion bits/symboles (transcodage) : modification de la taille de l’alphabet et du rythme d’émission. On regroupe m bits pour former un symbole ak appartenant à un alphabet de taille M = 2^m.
• Filtre de mise en forme he(t) : transforme la suite de symboles discrets en un signal continu x(t) adapté à la transmission, en contrôlant la largeur de bande et la présence de raies spectrales.
• Modulation : adaptation du signal x(t) au canal de transmission (non abordée ici en bande de base).

Le débit binaire Db est défini par Db = 1/Tb, où Tb est la période binaire (durée d’un bit). La période symbole T est liée à Tb par :

T = m Tb = (log2 M) Tb = (log2 M) / Db

Exemple de conversion bits/symboles :

Bits : 1010001101
- Avec m=1 (binaire) : 1 0 1 0 0 0 1 1 0 1
- Avec m=2 (quaternaire) : 10 10 00 11 01
Symboles unipolaires correspondants : 2 2 0 3 1
Symboles antipolaires correspondants : 3 3 -3 1 -1

Filtres de mise en forme

Le filtre de mise en forme he(t) est crucial pour transformer la suite de symboles en un signal physique x(t) :

x(t) = Σ ak he(t - kT)

où ak sont les symboles et T la période symbole.

Quelques filtres classiques :

• Filtre NRZ (Non Retour à Zéro) : he(t) = 1 pour 0 ≤ t < T, 0 sinon. Le signal reste constant pendant la durée du symbole.
• Filtre RZ (Retour à Zéro) : he(t) = 1/2 pour 0 ≤ t < T/2, 0 sinon. Le signal revient à zéro au milieu de la période symbole.
• Filtre biphase Manchester : he(t) = 1 pour 0 ≤ t < T/2, he(t) = -1 pour T/2 ≤ t < T, 0 sinon. Le signal change de niveau au milieu de la période symbole.

Exemples de codage avec filtre NRZ :

Bits : 1010001101
Codage binaire unipolaire NRZ : 1 0 1 0 0 0 1 1 0 1
Codage binaire antipolaire NRZ : 1 -1 1 -1 -1 -1 1 1 -1 1

Puissance et énergies moyennes

Pour évaluer l’énergie et la puissance du signal transmis :

• Énergie d’un symbole ai :

Eai = ∫ |ai he(t)|² dt = |ai|² Ehe

avec Ehe = ∫ |he(t)|² dt

• Énergie moyenne par symbole (si les symboles sont équiprobables) :

Esym = (1/M) Σ |ai|² Ehe

• Énergie moyenne par bit :

Ebit = Esym / log2 M = (1 / (M log2 M)) Σ |ai|² Ehe

Exemples :

• Dictionnaire binaire antipolaire ak ∈ {−1, +1} :

Esym = Ebit = Ehe

• Dictionnaire 2B1Q ak ∈ {−3, −1, +1, +3} :

Esym = 5 Ehe / 4 = 5 Ehe / 4

Ebit = Esym / 2 = 5 Ehe / 2

Densité spectrale de puissance (DSP)

La puissance moyenne totale du signal x(t) est :

Px = Esym / T = Ebit / Tb = Ebit Db

La densité spectrale de puissance Γx(f) du signal x(t) est liée à celle des symboles Γa(f) et à la fonction de transfert du filtre de mise en forme He(f) :

Γx(f) = |He(f)|² Γa(f)

Si les symboles sont indépendants et équiprobables, avec variance σ²a et moyenne nulle (cas antipolaire), alors :

Γa(f) = σ²a / T

et donc :

Γx(f) = (σ²a / T) |He(f)|²

La DSP correspond à la répartition de la puissance du signal en fonction de la fréquence. Le choix du filtre de mise en forme (NRZ, RZ, Manchester) influence la largeur de bande du signal :

• Filtre NRZ : largeur de bande BNRZ ≈ 1/T
• Filtre RZ : largeur de bande BRZ ≈ 2/T
• Filtre Manchester : largeur de bande BManchester ≈ 2/T

À débit binaire constant et pour un dictionnaire antipolaire, l’augmentation de la valence M diminue la largeur de bande B :

BNRZ ≈ Db / log2 M

BRZ ≈ 2 Db / log2 M

BManchester ≈ 2 Db / log2 M

Transmission sur un canal à bande passante infinie en absence de bruit

Hypothèses :

• Canal idéal, invariant, de gain unitaire : Hc(f) = 1
• Pas de bruit : b(t) = 0
• Transmission en bande de base (pas de modulation/démodulation)

Le signal reçu r(t) est alors identique au signal émis e(t) :

r(t) = e(t)

Au récepteur, la démodulation, le filtrage de réception hr(t) et l’échantillonnage à t = kT donnent :

z(kT) = Σ al h((k - l)T) avec h = he ∗ hr

Le terme al h((k - l)T) pour l ≠ k est appelé interférence entre symboles (IES).

Pour annuler l’IES, la condition de Nyquist doit être satisfaite :

h(kT) = 0 pour tout k ≠ 0 et h(0) ≠ 0

Exemple de filtre de Nyquist : le filtre en cosinus surélevé, défini par :

h(t) = (sin(πt/T) / (πt/T)) × (cos(πβt/T) / (1 - (2βt/T)²))

avec 0 ≤ β ≤ 1 (facteur de roll-off)

La fonction de transfert H(f) associée est :

H(f) = 
  1                                   si |f| ≤ (1 - β) / (2T)
  0.5 [1 + cos(πT / β (|f| - (1 - β) / (2T)))]  si (1 - β) / (2T) < |f| ≤ (1 + β) / (2T)
  0                                   sinon

La bande passante du filtre est :

BP = (1 + β) / (2T)

Si h(t) satisfait la condition de Nyquist, alors l’interférence entre symboles est nulle et la décision au récepteur est parfaite en absence de bruit :

ˆak = zk / h(0) = ak

La probabilité d’erreur symbole est nulle dans ce cas.

Transmission sur un canal BBAG à bande passante infinie

Hypothèses :

• Canal idéal, invariant, gain unitaire : Hc(f) = 1
• Bruit additif blanc gaussien (BBAG) b(t) avec densité spectrale de puissance Γb(f) = N0/2
• Signal reçu :

y(t) = x(t) + b(t)

Le bruit est un processus aléatoire à moyenne nulle et variance σ² = N0/2. Sa présence rend la détection des symboles plus complexe, nécessitant des méthodes probabilistes pour minimiser la probabilité d’erreur.

Glossaire des termes clés

• ak : symbole émis à l’instant k, issu du regroupement de m bits.
• Band passante (BP) : intervalle de fréquences dans lequel le canal ou le signal est transmis efficacement.
• Bruit blanc additif gaussien (BBAG) : bruit aléatoire avec densité spectrale constante, de moyenne nulle et distribution gaussienne.
• Conversion bits/symboles : opération de regroupement de bits en symboles appartenant à un alphabet plus large.
• Densité spectrale de puissance (DSP) : répartition de la puissance d’un signal en fonction de la fréquence.
• Débit binaire (Db) : nombre de bits transmis par seconde.
• Énergie moyenne par bit (Ebit) : énergie moyenne nécessaire pour transmettre un bit.
• Énergie moyenne par symbole (Esym) : énergie moyenne nécessaire pour transmettre un symbole.
• Filtre de mise en forme (he(t)) : filtre appliqué à la suite de symboles pour générer un signal physique adapté à la transmission.
• Filtre de Nyquist : filtre dont la réponse impulsionnelle annule l’interférence entre symboles (IES).
• Interférence entre symboles (IES) : phénomène où un symbole reçu est perturbé par les symboles précédents ou suivants.
• Période binaire (Tb) : durée d’un bit.
• Période symbole (T) : durée d’un symbole, égale à m Tb.
• Probabilité d’erreur : probabilité que le symbole ou bit détecté soit incorrect.
• Signal en bande de base : signal transmis sans modulation, dans sa bande de fréquence d’origine.
• Valence (M) : nombre de symboles possibles dans l’alphabet utilisé.

Points clés à retenir

• La transmission numérique en bande de base consiste à envoyer directement le signal numérique sans modulation.
• La conversion bits/symboles permet de regrouper plusieurs bits en un symbole, réduisant la fréquence d’émission des symboles.
• Le filtre de mise en forme est essentiel pour contrôler la largeur de bande et la forme spectrale du signal transmis.
• La puissance moyenne et l’énergie moyenne par symbole ou par bit sont des grandeurs fondamentales pour évaluer la performance énergétique du système.
• La densité spectrale de puissance du signal dépend du filtre de mise en forme et du dictionnaire de symboles utilisé.
• La condition de Nyquist garantit l’absence d’interférence entre symboles, permettant une détection parfaite en absence de bruit.
• En présence de bruit blanc additif gaussien, la détection devient probabiliste et la probabilité d’erreur augmente.