Communications numériques

Transmission sur un canal BBAG à bande passante infinie

Transmission sur un canal BBAG à bande passante limitée

Codage en ligne :

◮ Toutes les étapes en bande de base, avant l’étape de modulation

◮ But : donner de bonnes propriétés au signal physique créé (largeur de bande,

raies ou annulations du spectre à certaines fréquences, etc...)

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Emission d’un signal en bande de base

Conversion bits/symboles

Emission d’un signal en bande de base

Conversion bits/symboles

Emetteur : conversion bits/symboles

Débit binaire

dn

débit binaire Db

Conversion

bits/symboles

ak

période symbole T

Filtre de

mise en

forme he (t)

x(t)

Modulation

e(t)

Emetteur

Conversion bits/symboles (transcodage) :

◮ Modification de la taille de l’alphabet

◮ Modification du rythme

1.5

1

0.5

0

(cid:1)0.5

0

1Tb

2Tb

3Tb

4Tb

5Tb

6Tb

7Tb

8Tb

9Tb

...

◮ Entrée : signal binaire initial dn

d = 1010001101 · · ·

◮ Un bit émis toutes les Tb secondes. Tb est

la période binaire.

◮ Débit binaire :

Db =

1

Tb

(bits/seconde)

Le débit binaire Db correspond au

nombre de bits envoyés par seconde.

n

Db (cid:19)

dnδ

t −

(cid:18)

n∈Z

X

dnδ(t − nTb) =

d(t) =

n∈Z

X

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Emission d’un signal en bande de base

Conversion bits/symboles

Emission d’un signal en bande de base

Conversion bits/symboles

Transcodage : conversion bits/symboles

Codage par dictionnaire

◮ Principe : remplacer les bits ou des groupements de bits par des symboles

◮ Idée : passer de deux valeurs possibles (0 ou 1) à M valeurs possibles

◮ Plusieurs façons de procéder :

◮ Codage par dictionnaire : regrouper les bits m par m et associer un symbole à

chaque groupement

◮ Codage par diagramme d’états

◮ Codage par équation linéaire

◮ m est le nombre de bits par symbole

◮ Regrouper les bits m par m et associer un symbole à chaque groupement

◮ On peut définir un dictionnaire de M symboles.

M = 2m

m = log2 M

◮ M est le nombre de symboles du dictionnaire et est appelé valence

◮ Exemple avec m = 1 :

1010001101 −→ 1 0 1 0 0 0 1 1 0 1 −→ 1 −1 1 −1 −1 −1 1 1 −1 1

◮ Exemple avec m = 2 :

1010001101 −→ 10 10 00 11 01 −→ 2 2 0 3 1

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Emission d’un signal en bande de base

Conversion bits/symboles

Emission d’un signal en bande de base

Conversion bits/symboles

Codage par dictionnaire

Exemples

◮ Plusieurs façons d’attribuer un symbole ak à chaque groupe de m bits

◮ Codage M-aire unipolaire :

◮ Codage M-aire antipolaire :

ak ∈ {0, 1, · · · , M − 1}

◮ Codage binaire unipolaire

ak ∈ {−(M − 1), · · · , −3, −1, 1, 3, · · · , M − 1} (uniquement les valeurs impaires)

◮ Codage binaire antipolaire

◮ Exemple avec m = 2 :

10 10 00 11 01 −→ 2 2 0 3 1 (unipolaire)

10 10 00 11 01 −→ 3 3 − 3 1 − 1 (antipolaire)

dn

0

1

dn

0

1

ak

0

1

ak

-1

1

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Emission d’un signal en bande de base

Conversion bits/symboles

Emission d’un signal en bande de base

Conversion bits/symboles

Exemples

Rapidité de modulation

◮ Codage quaternaire antipolaire (ou 2B1Q)

dndn+1

00

01

11

10

ak

-3

-1

1

3

codage de Grey : un bit de différence entre chaque état

◮ Si on regroupe les bits m par m, on transmet m fois moins vite.

◮ On appelle période symbole T la période d’émission des symboles ak

T = mTb = log2 M Tb =

log2 M

Db

◮ On a un nouveau signal

a(t) =

ak δ(t − kT )

k∈Z

X

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Emission d’un signal en bande de base

Conversion bits/symboles

Emission d’un signal en bande de base

Filtre de mise en forme

Exemple : codage 2B1Q

Emetteur : mise en forme

1.5

1

0.5

0

(cid:1)0.5

2

0

(cid:1)2

d

n

0

1Tb

2Tb

3Tb

4Tb

5Tb

6Tb

7Tb

8Tb

9Tb

...

a

k

Emetteur

dn

Conversion

bits/symboles

ak

Filtre de

mise en

forme he (t)

x(t)

Modulation

e(t)

0

1T=2Tb

2T=4Tb

3T=6Tb

4T=8Tb

...

10 10 00 11 01 −→ 3 3 − 3 1 − 1

Mise en forme :

◮ Transformation du signal numérique en un signal physique

◮ Choix du filtre de mise en forme dépend de la largeur de bande souhaitée, de

la présence de raies à la fréquence d’horloge...

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Emission d’un signal en bande de base

Filtre de mise en forme

Emission d’un signal en bande de base

Filtre de mise en forme

Mise en forme

Filtre NRZ (non retour à zéro)

◮ Entrée : suite de symboles M-aires ak . Un symbole émis toutes les T secondes

a(t) =

ak δ(t − kT )

k∈Z

X

◮ Principe : associer un signal physique x(t) à cette suite de symboles en

convoluant a(t) par la réponse impulsionnelle he (t) d’un filtre de mise en

forme (aussi appelé filtre d’émission).

◮ Codes à formant : même filtre de mise en forme pour tous les symboles

1

0.8

0.6

0.4

0.2

0

x(t) = a(t) ∗ he(t) =

ak he (t − kT )

0

T

k∈Z

X

he (t) =

1 si 0 ≤ t < T

0 sinon

(

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Emission d’un signal en bande de base

Filtre de mise en forme

Emission d’un signal en bande de base

Filtre de mise en forme

Exemple : Codage binaire unipolaire NRZ

Exemple : Codage binaire antipolaire NRZ

1

0.8

0.6

0.4

0.2

0

1

0.8

0.6

0.4

0.2

0

(cid:1)0.2

(cid:1)0.4

(cid:1)0.6

(cid:1)0.8

(cid:1)1

0

1T

2T

3T

4T

5T

6T

7T

8T

9T

0

1T

2T

3T

4T

5T

6T

7T

8T

9T

1010001101 −→ 1010001101

1010001101 −→ 1−11−1−1−111−11

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Emission d’un signal en bande de base

Filtre de mise en forme

Emission d’un signal en bande de base

Filtre de mise en forme

Filtre RZ (retour à zéro)

Exemple : Codage binaire unipolaire RZ

1

0.8

0.6

0.4

0.2

0

0

T

✴

2

T

he (t) =

1 si 0 ≤ t < T

2

0 sinon

(

1

0.8

0.6

0.4

0.2

0

0

1T

2T

3T

4T

5T

6T

7T

8T

9T

1010001101 −→ 1010001101

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Emission d’un signal en bande de base

Filtre de mise en forme

Emission d’un signal en bande de base

Filtre de mise en forme

Exemple : Codage binaire antipolaire RZ

Filtre biphase Manchester

1

0.8

0.6

0.4

0.2

0

(cid:1)0.2

(cid:1)0.4

(cid:1)0.6

(cid:1)0.8

(cid:1)1

0

1T

2T

3T

4T

5T

6T

7T

8T

9T

1010001101 −→ 1−11−1−1−111−11

1

0.8

0.6

0.4

0.2

0

(cid:1)0.2

(cid:1)0.4

(cid:1)0.6

(cid:1)0.8

(cid:1)1

si 0 ≤ t < T

2

2 ≤ t < T

1

−1 si T

sinon

0

he (t) = 





0

T

2

T

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Emission d’un signal en bande de base

Filtre de mise en forme

Emission d’un signal en bande de base

Filtre de mise en forme

Exemple : Codage binaire antipolaire Manchester

Bilan

1

0.8

0.6

0.4

0.2

0

(cid:1)0.2

(cid:1)0.4

(cid:1)0.6

(cid:1)0.8

(cid:1)1

0

1T

2T

3T

4T

5T

6T

7T

8T

9T

1010001101 −→ 1−11−1−1−111−11

Notions importantes

◮ Db : débit binaire

◮ T : période symbole

◮ m : nombre de bits par symbole

◮ M : valence = nombre de symboles du dictionnaire

Emission en bande de base

◮ 3 dictionnaires privilégiés : binaire unipolaire, binaire antipolaire, 2B1Q

◮ 3 filtres d’émission : NRZ, RZ, biphase Manchester

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Emission d’un signal en bande de base

Puissance et énergies moyennes

Emission d’un signal en bande de base

Puissance et énergies moyennes

Notion d’énergie

Energie moyenne par symbole

◮ Comment évaluer l’énergie totale du signal en bande de base x(t) ?

◮ L’énergie correspondant à l’émission d’un seul symbole ai est

Ex =

∞

−∞

Z

|x(t)|2dt =

∞

2

k∈Z

X

Z

−∞ (cid:12)

(cid:12)

(cid:12)

(cid:12)

(cid:12)

ak he(t − kT )

(cid:12)

(cid:12)

(cid:12)

(cid:12)

(cid:12)

dt

Eai =

∞

−∞

Z

|ai he(t)|2dt = |ai |2Ehe

◮ Si l’on suppose que tous les symboles du dictionnaire sont équiprobables,

l’énergie moyenne par symbole peut donc être définie comme

◮ Si le support temporel de he(t) est égal à T , on a :

Ex =

|ak |2

k∈Z

X

∞

−∞

Z

|he (t − kT )|2dt =

|ak |2Ehe

k∈Z

X

◮ Problème : on ne connait pas les ak a priori car ils sont aléatoires !

◮ Solution : au lieu de définir une énergie totale, on va définir une énergie

moyenne

Esym =

1

M

M

i =1

X

Eai =

1

M

M

i =1

X

|ai |2Ehe

◮ L’énergie moyenne par symbole Esym correspond à l’énergie moyenne

nécessaire pour envoyer un symbole

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Emission d’un signal en bande de base

Puissance et énergies moyennes

Emission d’un signal en bande de base

Puissance et énergies moyennes

Energie moyenne par bit

Exemples

◮ Comme un symbole correspond à m = log2 M bits, on peut aussi définir

l’énergie moyenne par bit comme

Ebit =

Esym

log2 M

=

1

M log2 M

|ai |2Ehe

M

i =1

X

◮ L’énergie moyenne par bit Ebit correspond à l’énergie moyenne

nécessaire pour envoyer un bit

◮ Exemple : dictionnaire binaire antipolaire ak ∈ {−1, +1}

Esym = Ebit =

1

2

((−1)2 + (1)2)Ehe = Ehe

◮ Exemple : dictionnaire 2B1Q ak ∈ {−3, −1, +1, +3}

Esym =

1

4

((−3)2 + (−1)2 + (1)2 + (3)2)Ehe = 5Ehe

Ebit =

Esym

log2 4

=

5

2

Ehe

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Emission d’un signal en bande de base

Densités spectrale de puissance

Emission d’un signal en bande de base

Densités spectrale de puissance

Notion de puissance

Densité spectrale de puissance

◮ Chaque symbole est émis durant une période T , donc on peut définir la

puissance moyenne totale du signal x(t) comme

Px =

Esym

T

◮ De la même façon, on peut définir la puissance moyenne totale du signal x(t)

comme

Px =

Ebit

Tb

= Ebit Db

◮ La puissance émise moyenne Px correspond à la puissance moyenne

nécessaire pour envoyer un signal en bande de base

◮ Le signal x(t) est un signal aléatoire dont l’aspect fréquentiel doit donc être

étudié grâce à une densité spectrale de puissance

◮ Il correspond au filtrage du signal aléatoire a(t) =

ak δ(t − kT ) par un

filtre de fonction de transfert He (f ), sa densité spectrale de puissance Γx (f )

vérifie donc :

k∈Z

X

Γx (f ) = |He (f )|2Γa(f )

◮ Si les symboles sont supposés équiprobables et indépendants, on a :

Γa(f ) =

σ2

a

T

+

µ2

a

T 2

+∞

δ

f −

k=−∞

X

(cid:18)

k

T

(cid:19)

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Emission d’un signal en bande de base

Densités spectrale de puissance

Emission d’un signal en bande de base

Densités spectrale de puissance

Densité spectrale de puissance (cas antipolaire)

Densité spectrale de puissance (cas antipolaire)

◮ Si l’on utilise un dictionnaire antipolaire, on a µa = 0 et donc

◮ Finalement la densité spectrale de puissance du signal x(t) vaut

Γa(f ) =

σ2

a

T

Γx (f ) = Γa(f )|He (f )|2

Γx (f ) =

σ2

a

T

|He(f )|2

◮ Elle est donc exactement proportionnelle au module au carré du module de la

fonction de transfert du filtre de mise en forme !

Γx (f ) =

σ2

a

T

|He (f )|2

◮ La densité spectrale de puissance Γx (f ) correspond à la répartition de

la puissance du signal x(t) en fonction de la fréquence

◮ Le filtre de mise en forme utilisé conditionne la forme de la DSP : en

particulier, lorsque l’on utilise un filtre NRZ, RZ ou biphase Manchester, on

obtient un signal en bande de base, où la majorité de la puissance est répartie

dans la bande [−B , +B] où B est la largeur de bande du signal.

◮ Comme nous le verrons en Travaux Pratiques, à débit binaire constant, le

dictionnaire et le filtre utilisés impactent directement la largeur de bande du

signal

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Emission d’un signal en bande de base

Densités spectrale de puissance

Emission d’un signal en bande de base

Densités spectrale de puissance

Liens entre les notions de puissance (cas antipolaire)

Liens entre les notions de puissance (cas antipolaire)

◮ Nous avons défini avec les mains la puissance moyenne totale Px du signal

x(t) comme étant :

Px =

Esym

T

◮ D’un autre côté, nous savons que par définition, on a :

Px =

+∞

−∞

Z

Γx (f )df

◮ Ces deux expressions sont-elles compatibles ?

Formule 1 : Px =

Esym

T

◮ En utilisant la définition de Esym

Px =

1

M

M

i =1

X

|ai |2Ehe ×

1

T

◮ Comme les symboles ont une moyenne nulle,

◮ Finalement on a :

1

M

M

i =1

X

|ai |2 = σ2

a

Px =

σ2

a

T

Ehe

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Emission d’un signal en bande de base

Densités spectrale de puissance

Emission d’un signal en bande de base

Densités spectrale de puissance

Liens entre les notions de puissance (cas antipolaire)

DSP : filtre NRZ

Formule 2 : Px =

Z

◮ On a Γx (f ) =

+∞

−∞

σ2

a

T

Γx (f )df

|He (f )|2 donc

Px =

+∞

Z

−∞

+∞

Γx (f )df

|He (f )|2df

|He(f )|2df

=

=

=

σ2

a

T

+∞

−∞

−∞

Z

σ2

a

T

σ2

a

T

Z

Ehe

◮ Les deux définitions sont donc parfaitement cohérentes !

Γ

x

(f) (linéaire)

1

0.9

0.8

0.7

0.6

0.5

0.4

0.3

0.2

0.1

0

-5/T

-4/T

-3/T

-2/T

-1/T

1/T

0

Fréquence (en Hz)

Γ

x

(f) (décibels)

5

0

-5

-10

-15

-20

-25

-30

-35

-40

-45

-50

l

s

e

b

c

é

D

i

2/T

3/T

4/T

5/T

-5/T

-4/T

-3/T

-2/T

-1/T

1/T

0

Fréquence (en Hz)

2/T

3/T

4/T

5/T

Filtre NRZ

BNRZ ≈

1

T

Ici : Db = 1 bit/seconde, M = 2, dictionnaire antipolaire

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Emission d’un signal en bande de base

Densités spectrale de puissance

Emission d’un signal en bande de base

Densités spectrale de puissance

DSP : filtre RZ

DSP : filtre biphase Manchester

Γ

x

(f) (linéaire)

0.25

0.2

0.15

0.1

0.05

0

-5/T

-4/T

-3/T

-2/T

-1/T

1/T

0

Fréquence (en Hz)

Γ

x

(f) (décibels)

5

0

-5

-10

-15

-20

-25

-30

-35

-40

-45

-50

l

s

e

b

c

é

D

i

2/T

3/T

4/T

5/T

-5/T

-4/T

-3/T

-2/T

-1/T

1/T

0

Fréquence (en Hz)

2/T

3/T

4/T

5/T

Filtre RZ

BRZ ≈

2

T

Γ

x

(f) (linéaire)

0.6

0.5

0.4

0.3

0.2

0.1

0

-5/T

-4/T

-3/T

-2/T

-1/T

1/T

0

Fréquence (en Hz)

Γ

x

(f) (décibels)

5

0

-5

-10

-15

-20

-25

-30

-35

-40

-45

-50

l

s

e

b

c

é

D

i

2/T

3/T

4/T

5/T

-5/T

-4/T

-3/T

-2/T

-1/T

1/T

0

Fréquence (en Hz)

2/T

3/T

4/T

5/T

Filtre biphase Manchester

BMan ≈

2

T

Ici : Db = 1 bit/seconde, M = 2, dictionnaire antipolaire

Ici : Db = 1 bit/seconde, M = 2, dictionnaire antipolaire

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Emission d’un signal en bande de base

Densités spectrale de puissance

Emission d’un signal en bande de base

Densités spectrale de puissance

DSP des codes en ligne : conclusion

◮ Dictionnaire antipolaire :

Influence de la valence M

Γ

(f)

x

Γ

x

(f)

BNRZ ≈

BRZ ≈

1

T

2

T

BManchester ≈

2

T

◮ Comme T =

log2M

Db

BNRZ ≈

Db

log2M

BRZ ≈

2 Db

log2M

BManchester ≈

2 Db

log2 M

A débit binaire, dictionnaire et filtre constant, lorsque M augmente, la

largeur de bande B diminue

l

s

e

b

c

é

D

i

5

0

−5

−10

−15

−20

−25

−30

−35

−40

−45

10

0

−10

−20

−30

−40

l

s

e

b

c

é

D

i

−50

−5Db

−4Db

−3Db

−2Db

−Db

Db

0

Fréquence (en Hz)

2Db

3Db

4Db

5Db

−50

−5Db

−4Db

−3Db

−2Db

−Db

0

Db

Fréquence (en Hz)

2Db

3Db

4Db

5Db

Filtre NRZ

M = 2

B ≈ 1

T = Db

Filtre NRZ

M = 4

B ≈ 1

T = Db

2

Ici : Db = 1 bit/seconde, dictionnaire antipolaire

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Emission d’un signal en bande de base

Densités spectrale de puissance

Transmission sur un canal à bande passante infinie en absence de bruit

Bilan

Sommaire

Notions importantes

◮ Esym : énergie moyenne par symbole

◮ Ebit : énergie moyenne par bit

◮ Px : puissance moyenne totale

◮ Γx (f ) : densité spectrale de puissance

◮ B : largeur de bande

Introduction

Emission d’un signal en bande de base

Transmission sur un canal à bande passante infinie en absence de bruit

Hypothèses

Interférences entre symboles

Réception en absence de bruit

Transmission sur un canal BBAG à bande passante infinie

Transmission sur un canal BBAG à bande passante limitée

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Transmission sur un canal à bande passante infinie en absence de bruit

Hypothèses

Transmission sur un canal à bande passante infinie en absence de bruit

Hypothèses

Transmission en absence de bruit

Transmission en absence de bruit

e(t)

Filtre de

canal hc (t)

e′(t)

Bruit

additif b(t)

r (t)

dn

Conversion

bits/symboles

ak

Filtre de

mise en

forme he (t)

x(t)

Modulation

e(t)

e(t)

Filtre de

canal hc (t)

e′(t)

Bruit

additif b(t)

r (t)

Emetteur

Canal de transmission

Canal de transmission

Rappel :

◮ On travaille en bande de base

◮ On suppose le canal idéal, invariant et de gain unitaire Hc (f ) = 1 (bande passante du canal

infinie)

◮ Ici, on suppose une absence de bruit b(t) = 0

r (t) = e(t)

r (t)

Démodulation

y (t)

Filtre de

réception

hr (t)

z(t)

Echantillonage

zk = z(kT )

ˆdn

Décodage

Décision

âk

Récepteur

y (t) = x(t) =

ak he (t − kT )

X

k∈Z

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Transmission sur un canal à bande passante infinie en absence de bruit

Interférences entre symboles

Transmission sur un canal à bande passante infinie en absence de bruit

Interférences entre symboles

Récepteur : filtre de réception

Récepteur : échantillonnage

r (t)

Démodulation

y (t)

Filtre de

réception

hr (t)

z(t)

Echantillonage

zk = z(kT )

ˆdn

Décodage

Décision

âk

Récepteur

z(t) = (y ∗ hr )(t)

z(t) = 



X

k∈Z

ak he (t − kT )



∗ hr (t)

z(t) =

X

k∈Z

ak h(t − kT ) avec h = he ∗ hr

r (t)

Démodulation

y (t)

Filtre de

réception

hr (t)

z(t)

Echantillonage

zk = z(kT )

ˆdn

Décodage

Décision

âk

Récepteur

Si synchronisation parfaite :

zk = z(kT ) =

zk = ak h(0) +

al h(kT − lT )

al h((k − l)T )

X

l ∈Z

X

l 6=k

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Transmission sur un canal à bande passante infinie en absence de bruit