Communications Num´eriques et Th´eorie de l’Information

Ce document couvre les notions fondamentales des communications numériques et de la théorie de l'information, destinées aux étudiants en ingénierie et sciences appliquées. Il présente notamment la représentation des signaux en enveloppe complexe, les principes d'échantillonnage, la modulation numérique, les codes correcteurs d'erreur, ainsi que les bases de la théorie de l'information.

Représentation en enveloppe complexe

Rappels de théorie du signal

On distingue deux types de signaux à temps continu : les signaux d'énergie finie, souvent utilisés pour modéliser des signaux de durée finie ou à décroissance rapide, et les signaux de puissance finie, notamment les mélanges de sinusoïdes :

x(t) = Σ (k=1 à P) Ak cos(2πfkt + φk)

L'énergie E d'un signal complexe x(t) est définie par :

E = ∫ |x(t)|² dt de -∞ à +∞

La puissance P d'un signal périodique de période T est :

P = (1/T) ∫ |x(t)|² dt de -T/2 à +T/2 = Σ (k=1 à P) A_k² / 2

La décomposition fréquentielle d'un signal périodique x(t) de période T s'écrit :

x(t) = Σ (n=-∞ à +∞) Xn e^(2jπnt/T)
avec Xn = (1/T) ∫ x(t) e^(-2jπnt/T) dt de -T/2 à +T/2

Pour un signal d'énergie finie, la transformée de Fourier directe et inverse sont :

X(f) = ∫ x(t) e^(-2jπft) dt de -∞ à +∞
x(t) = ∫ X(f) e^(2jπft) df de -∞ à +∞

Exemple : Pour un signal rectangulaire x(t) = 1 sur (-T/2, T/2) et 0 ailleurs, sa transformée de Fourier est :

X(f) = (sin(πfT)) / (πf) = T sinc(fT)

où sinc(x) = sin(πx)/(πx).

Filtrage linéaire

Le filtrage linéaire est défini par la convolution :

y(t) = x(t) * h(t) = ∫ x(u) h(t - u) du de -∞ à +∞

où h(t) est la réponse impulsionnelle du filtre. En domaine fréquentiel :

Y(f) = H(f) X(f)

Les exponentielles complexes e^(2jπf0t) sont les fonctions propres des filtres linéaires, car :

F(e^(2jπf0t)) = H(f0) e^(2jπf0t)

Échantillonnage

L'échantillonnage consiste à prélever des valeurs d'un signal continu aux instants tn = nT. La question centrale est la reconstruction du signal à partir des échantillons x(nT).

Cas des signaux passe-bas

Théorème de Poisson : Pour un signal x(t) avec transformée de Fourier X(f) intégrable, on a :

Σ (n=-∞ à +∞) X(f - n/T) = T Σ (k=-∞ à +∞) x(kT) e^(-2jπkfT)

Théorème d'échantillonnage : Si x(t) est réel, à bande limitée B (X(f) = 0 pour |f| > B), et si la fréquence d'échantillonnage Fe = 1/T satisfait Fe ≥ 2B, alors x(t) peut être reconstruit de manière unique par :

x(t) = Σ (n=-∞ à +∞) x(nT) h(t - nT)
avec h(t) = sin(2πBt) / (πFe t)

Si Fe < 2B, la reconstruction est impossible à cause du repliement de spectre (aliasing).

La fréquence minimale 2B est appelée fréquence de Nyquist.

Cas des signaux complexes à bande limitée

Pour un signal complexe dont le spectre est nul en dehors d'une bande Bc, la fréquence minimale d'échantillonnage est Fe ≥ Bc, égale à la largeur du support fréquentiel.

Cas des signaux réels passe-bande

Considérons un signal réel x(t) dont le spectre est nul en dehors des intervalles :

fm ≤ |f| ≤ fM

La fréquence de Nyquist brute serait 2fM, mais on peut échantillonner à une fréquence plus faible en profitant du trou spectral (−fm, fm). Les fréquences d'échantillonnage Fe doivent satisfaire :

(2fM) / (k + 1) < Fe < (2fm) / k
avec k entier tel que k ≤ fm / (fM - fm)

La plus petite fréquence d'échantillonnage possible est donc :

Fe = 2fM / (k0 + 1)

avec k0 la partie entière de fm / (fM - fm).

Formule d'interpolation pour signaux passe-bande

La reconstruction s'effectue avec un filtre passe-bande :

H(f) = T (rect_Δf(f - f0) + rect_Δf(f + f0))
avec Δf = fM - fm, f0 = (fM + fm)/2
et h(t) = 2T cos(2πf0 t) sin(πΔf t) / (π t)

Cas des signaux passe-bas de bande infinie

En pratique, le repliement de spectre ne peut être évité si la fréquence d'échantillonnage est imposée. Pour limiter la perte d'information, on applique un filtrage anti-repliement avant l'échantillonnage.

Le signal filtré x1(t) est obtenu par :

X1(f) = X(f) G(f)

Le signal reconstruit x2(t) est :

X2(f) = rect_Fe(f) Σ X(f - n/T) G(f - n/T) / T

La meilleure approximation est obtenue en prenant :

G(f) = rect_Fe(f)

Ce qui correspond à un filtrage passe-bas idéal dans la bande (−Fe/2, Fe/2).

Exemple : En téléphonie numérique, le signal est échantillonné à 8000 échantillons/s avec un filtrage dans la bande (0 - 3400 Hz) pour éviter le repliement. Chaque échantillon est codé sur 8 bits, donnant un débit de 64 kbits/s (MIC : Modulation par Impulsion et Codage).

Reconstruction pratique

La reconstruction d'un signal analogique à partir de ses échantillons numériques utilise une approximation causale d'un filtre passe-bas idéal. La méthode simple est le bloqueur d'ordre 0, qui maintient la valeur de l'échantillon pendant l'intervalle T :

x0(t) = Σ x(nT) h0(t - nT) avec h0(t) = rect(t - T/2)

Le spectre en sortie est :

X0(f) = Σ H0(f) X(f - n/T) avec H0(f) = (sin(πfT)) / (πf) e^(-jπfT)

Deux types de distorsion apparaissent :

• Distorsion dans la bande utile (−1/2T, 1/2T), corrigée par un filtre de compensation de gain πfT / sin(πfT).
• Distorsion hors de la bande utile, pouvant nécessiter un filtre passe-bas supplémentaire.

Une interpolation préalable permet de réduire ces distorsions.

Représentation en enveloppe complexe ou en phase et quadrature

Considérons un signal réel :

x(t) = p(t) cos(2πf_p t) − q(t) sin(2πf_p t)

où p(t) et q(t) dépendent du message à transmettre, et f_p est la fréquence porteuse. Si f_p est supérieur à la bande B de p(t) et q(t), x(t) est une sinusoïde à fréquence f_p avec amplitude et phase variables lentement.

Signal analytique et enveloppe complexe

Le signal analytique associé à un signal réel x(t) est le signal complexe z_x(t) obtenu par filtrage linéaire de gain complexe 2 × 1_(0,+∞)(f), c’est-à-dire en supprimant les fréquences négatives :

Z_x(f) = 2 × 1_(0,+∞)(f) × X(f)

Le signal réel s'obtient comme partie réelle :

x(t) = Re{z_x(t)}

La partie imaginaire de z_x(t) est la transformée de Hilbert de x(t), notée ˆx(t).

L'enveloppe complexe par rapport à la fréquence f0 est définie par :

xb(t) = z_x(t) e^(−2jπf0 t)

Sa transformée de Fourier est :

Xb(f) = Z_x(f + f0) = 2 X_+(f + f0)

où X_+(f) est la partie positive du spectre de X(f).

Cette enveloppe complexe vérifie :

x(t) = Re{xb(t) e^(2jπf0 t)}

Composantes en phase et quadrature

En posant :

xb(t) = p_x(t) + j q_x(t)

on obtient :

x(t) = p_x(t) cos(2πf0 t) − q_x(t) sin(2πf0 t)

Les transformées de Fourier de p_x(t) et q_x(t) sont :

P_x(f) = 1/2 [Xb(f) + Xb*(−f)] = X_+(f + f0) + X_−(f − f0)
j Q_x(f) = 1/2 [Xb(f) − Xb*(−f)] = X_+(f + f0) − X_−(f − f0)

où X_−(f) désigne la partie négative du spectre.

Enveloppe et phase instantanée

On écrit :

xb(t) = a_x(t) e^(j φ_x(t))

avec a_x(t) = |xb(t)| l'enveloppe instantanée et φ_x(t) la phase instantanée. Le signal s'exprime alors :

x(t) = a_x(t) cos(2πf0 t + φ_x(t))

La fréquence instantanée est :

f_i(t) = (1 / 2π) dφ_x(t) / dt

Pour un signal à bande étroite, a_x(t) et φ_x(t) varient lentement par rapport à f0.

Filtrage équivalent en bande de base

Soit un signal réel x(t) avec spectre centré autour de f0 et bande B, et un filtre réel de gain H(f) nul hors de cette bande. L'enveloppe complexe y_b(t) du signal filtré y(t) est :

y_b(t) = x_b(t) * h_b(t) ⇔ Y_b(f) = X_b(f) H_b(f)

avec :

H_b(f) = H_+(f + f0)

Le filtre H_b(f) est appelé filtre équivalent en bande de base.

Glossaire des termes clés

• Énergie d’un signal : Intégrale de |x(t)|² sur tout le temps, mesure de l'énergie totale.
• Puissance d’un signal : Moyenne temporelle de |x(t)|² pour un signal périodique.
• Transformée de Fourier : Représentation fréquentielle d’un signal temporel.
• Filtrage linéaire : Opération de convolution d’un signal avec une réponse impulsionnelle.
• Échantillonnage : Prélèvement discret d’un signal continu à intervalles réguliers.
• Fréquence de Nyquist : Fréquence minimale d’échantillonnage égale au double de la bande passante.
• Repliement de spectre (aliasing) : Recouvrement des spectres périodisés lors d’un échantillonnage insuffisant.
• Signal analytique : Signal complexe associé à un signal réel, avec spectre nul pour les fréquences négatives.
• Enveloppe complexe : Signal complexe centré en fréquence f0, représentant amplitude et phase.
• Composantes en phase et quadrature : Parties réelle et imaginaire de l’enveloppe complexe.
• Filtre équivalent en bande de base : Filtre appliqué à l’enveloppe complexe correspondant à un filtre réel en bande passante.

Points clés à retenir

• La transformée de Fourier permet de passer du domaine temporel au domaine fréquentiel, offrant deux visions complémentaires d’un signal.
• Le théorème d’échantillonnage garantit la reconstruction parfaite d’un signal à bande limitée si la fréquence d’échantillonnage est au moins égale à deux fois la bande passante.
• Le repliement de spectre (aliasing) est un phénomène à éviter par un choix adéquat de la fréquence d’échantillonnage et un filtrage anti-repliement.
• La représentation en enveloppe complexe facilite l’analyse des signaux modulés autour d’une fréquence porteuse.
• Le signal analytique est une construction clé pour définir l’enveloppe complexe et la transformée de Hilbert.
• Les composantes en phase et quadrature permettent de décomposer un signal réel modulé en deux signaux à bande base.
• Le filtrage en bande de base équivalent simplifie le traitement des signaux modulés en communication.