Communications Num´eriques et Th´eorie de l’Information

Dans le cas des signaux d´eterministes `a temps continu, on distingue les signaux d’´energie finie servant le

plus souvent a mod´eliser les signaux de dur´ee finie ou a d´ecroissance rapide et les signaux de puissance finie

plus particuli`erement les m´elanges de sinuso¨ıdes de la forme :

x(t) =

P(cid:88)

k=1

Ak cos(2πfkt + φk)

Energie et Puissance

L’´energie d’un signal x(t), fonction complexe de la variable r´eelle t, est la quantit´e E d´efinie par :

(cid:90) +∞

E =

|x(t)|2dt

−∞

La puissance d’un signal x(t), fonction complexe de la variable r´eelle t, est la quantit´e P d´efinie par :

P = lim

T →+∞

1

T

(cid:90) +T /2

−T /2

|x(t)|2dt

Si x(t) est p´eriodique de p´eriode T de la forme :

(1.1)

(1.2)

la puissance est donn´ee par :

x(t) =

P(cid:88)

k=1

Ak cos(2πkt/T + φk)

P =

1

T

(cid:90) +T /2

−T /2

|x(t)|2dt =

P(cid:88)

k=1

A2

k/2

Repr´esentation fr´equentielle des signaux

Lorsqu’on applique le signal complexe e2jπf0t `a l’entr´ee d’un filtre lin´eaire, le signal en sortie a pour

expression Ae2jπf0t o`u A est une constante ne d´ependant que de la valeur f0. C’est une des raisons de

l’importance de la d´ecomposition d’un signal en une somme d’exponentielles complexes. Cette d´ecomposition

porte le nom de repr´esentation de Fourier ou repr´esentation fr´equentielle ou plus simplement spectre.

Pour un signal x(t) p´eriodique de p´eriode T et de puissance finie, on a les formules de Fourier suivantes1 :





(cid:80)+∞

x(t) =



Xn =

1

T

n=−∞ Xne2jπnt/T

(cid:82) T /2

−T /2 x(t)e−2jπnt/T dt

1La convergence dans le d´eveloppement de x(t) est moyenne quadratique. Il peut ne pas y avoir convergence uniforme. Ce

ph´enom`ene n’a aucune cons´equence pour nous dans la suite.

5

6

Chapitre 1

Les coefficients Xn s’appellent les coefficients de Fourier du signal x(t). Du fait que ces formules ´etablissent

une correspondance bijective entre la fonction x(t) et la suite Xn de ses coefficients de Fourier, il n’y a pas

plus d’information dans l’une ou l’autre de ces repr´esentations. Toutefois en traitement du signal, elles ont

chacune leur int´erˆet. De fa¸con imag´ee, on peut dire que ce sont deux manieres de “voir le mˆeme ph´enomene

sous des angles diff´erents”.

Pour un signal x(t) d’´energie finie, les formules de transformations de Fourier directe et inverse sont :







X(f ) =

(cid:82) +∞

−∞ x(t)e−2jπf tdt

x(t) =

(cid:82) +∞

−∞ X(f )e2jπf tdf

(1.3)

La variable f s’appelle la fr´equence. Son unit´e est le Hertz (en abr´eg´e : Hz).

Exemple 1.1 Soit le signal rectangle x(t) = 1 pour t ∈ (−T /2, T /2) et 0 sinon. Un calcul imm´ediat donne

pour sa transform´ee de Fourier :

X(f ) =

sin(πf T )

πf

= T sinc(f T )

(1.4)

o`u la fonction sinc(x) = sin(πx)/(πx) s’appelle la fonction sinus-cardinal (car elle s’annule pour les valeurs

enti`eres de la variable).

Le tableau ci-dessous donne les principales propri´et´es de la transformation de Fourier.

Propri´et´es

Similitude

Lin´earit´e

Translation

Modulation

Convolution

Produit

D´erivations

Parit´e, conjugaison

x(t)

x(at)

x∗(−t)

ax(t) + by(t)

x(t − t0)

x(t) exp(2jπf t0)

x(t) (cid:63) y(t)

x(t)y(t)

dnx(t)/dtn

(−2jπt)nx(t)

r´eelle paire

r´eelle impaire

imaginaire paire

imaginaire impaire

complexe paire

complexe impaire

r´eelle

X(f )

1

|a| X(f /|a|)

X ∗(f )

aX(f ) + bY (f )

X(f ) exp(−2jπf0t)

X(f − f0)

X(f )Y (f )

X(f ) (cid:63) Y (f )

(2jπf )nX(f )

dnX(f )/df n

r´eelle paire

imaginaire impaire

imaginaire paire

r´eelle impaire

complexe paire

complexe impaire

X(f ) = X ∗(−f )

Re(X(f )), |X(f )| paires

Im(X(f )), arg(X(f )) impaires

Formule de Parseval

En utilisant la propri´et´e de convolution des transform´ees de Fourier, on obtient :

(cid:90) +∞

−∞

(cid:90) +∞

x(t)y∗(t)dt =

X(f )Y ∗(f )df

−∞

Filtrage lin´eaire

Soit le signal x(t) d’´energie finie et h(t) une fonction de module sommable (

(cid:90) +∞

(cid:90) +∞

y(t) =

x(u)h(t − u)du =

x(t − u)h(u)du

−∞

−∞

(cid:82)

R |h(t)|dt < +∞). Le signal :

(1.5)

7

d´efinit l’op´eration dite de convolution qui est not´ee de fa¸con plus concise y(t) = x(t) (cid:63) h(t). Le syst`eme,

qui associe au signal d’entr´ee x(t) le signal de sortie y(t), s’appelle un filtre lin´eaire et la fonction h(t), qui

caract´erise le filtre, s’appelle sa r´eponse impulsionnelle. La condition

R |h(t)|dt < +∞ est ´equivalente `a la

propri´et´e dite de stabilit´e qui assure qu’`a toute entr´ee born´ee correspond une sortie born´ee. Pour obtenir

l’´equation de filtrage dans le domaine des fr´equences, il suffit de se rappeler que la transform´ee de Fourier

d’un produit de convolution est un produit simple. Par cons´equent l’expression 1.5 donne en passant aux

transform´ees de Fourier :

(cid:82)

Dans ce contexte H(f ) s’appelle le gain complexe du filtre.

Y (f ) = H(f )X(f )

(cid:80)P

Par lin´earit´e, si le signal `a l’entr´ee est un m´elange harmonique de la forme x(t) =

k=1 αke2jπfkt o`u

αk est une suite de valeurs complexes et fk une suite de fr´equences r´eelles, la sortie a pour expression

k=1 αkF(e2jπfkt) o`u F d´esigne l’op´eration de filtrage. Il suffit donc de d´eterminer l’expression de la

y(t) =

sortie lorsque l’entr´ee est de la forme x(t) = e2jπf0t. Notons que, dans ce cas, x(t) n’est pas d’´energie finie.

Toutefois en portant x(t) = exp(2jπf0t) dans 1.5, on obtient comme expression pour le signal en sortie :

(cid:80)P

y(t) =

(cid:90) +∞

−∞

e2jπf0(t−u)h(u)du = H(f0)e2jπf0t

Une autre fa¸con d’´ecrire est F(e2jπfkt) = H(f0)e2jπfkt. On dit que les exponentielles complexes e2jπf0t sont

les fonctions propres des filtres lin´eaires.

1.2 Echantillonnage

L’´echantillonnage est une op´eration qui consiste a pr´elever sur un signal a temps continu une suite de

valeurs, prises en une suite d’instants tn, n ∈ Z. Dans la suite nous n’envisagerons que l’´echantillonnage

dit r´egulier ou tn = nT . L’int´erˆet port´e aux problemes de l’´echantillonnage tient dans le d´eveloppement

des techniques num´eriques de traitement du signal. La question fondamentale est de savoir s’il est possible

de reconstruire x(t) a partir des ´echantillons x(nT ). A premiere vue il existe une infinit´e de fonctions qui

passent par les valeurs x(nT ) aux instants nT . Toutefois le th´eor`eme d’´echantillonnage montre que, pour les

signaux `a bande limit´ee, la reconstruction est possible.

1.3 Cas des signaux passe-bas

Th´eor`eme 1.1 (Formule de Poisson) Soit x(t) un signal de module int´egrable (x(t) ∈ L1(R)) et dont la

transform´ee de Fourier X(f ) est elle-mˆeme de module int´egrable. On a alors pour tout T > 0 :

+∞(cid:88)

n=−∞

X(f −

n

T

) = T

+∞(cid:88)

k=−∞

x(kT )e−2jπkf T

(1.6)

En effet le premier membre de 2.41 est une fonction de f de p´eriode 1/T . Elle est donc d´eveloppable en s´erie

de Fourier sous la forme

k Xke−2jπkf T , o`u Xk est donn´e par :

(cid:80)

Xk = T

(cid:90) 1/2T

(cid:195)

+∞(cid:88)

−1/2T

n=−∞

X(f −

(cid:33)

n

T

)

e2jπkf T df = T

+∞(cid:88)

(cid:90) 1/2T

n=−∞

−1/2T

X(f −

n

T

)e2jπkf T df

En faisant le changement de variable u = f − n/T , il vient :

+∞(cid:88)

(cid:90) 1/2T −n/T

Xk = T

X(u)e2jπkuT df = T

X(u)e2jπkuT df = T x(kT )

(cid:90) +∞

n=−∞

−1/2T −n/T

−∞

qui est le r´esultat annonc´e.

Th´eoreme 1.2 (Th´eoreme d’´echantillonnage) Soit un signal r´eel x(t) de module int´egrable (x(t) ∈

L1(R)), `a bande limit´ee B (X(f ) = 0 pour |f | > B) et soit Fe = 1/T une fr´equence d’´echantillonnage. On

suppose que

(cid:80)

Z |x(nT )| < +∞.

8

Chapitre 1

Si Fe ≥ 2B, x(t) peut ˆetre reconstruit de maniere unique a partir de la suite d’´echantillons x(nT ), suivant

la formule dite d’interpolation :

o`u

x(t) =

+∞(cid:88)

n=−∞

x(nT )h(t − nT )

h(t) =

sin(2πBt)

πFet

(1.7)

(1.8)

Si Fe < 2B, la reconstruction est impossible. La fr´equence minimale 2B s’appelle la fr´equence de Nyquist.

Cela signifie que pour un signal qui a de l’´energie dans les fr´equences ´elev´ees et donc des variations rapides, il

faut prendre une fr´equence d’´echantillonnage ´elev´ee. En pratique ce r´esultat est appliqu´e, de fa¸con intuitive,

lors du relev´e d’une courbe point par point : dans les parties `a variations rapides (hautes fr´equences), on

augmente la fr´equence d’´echantillonnage en prenant un plus grand nombre de points.

Le probleme de l’´echantillonnage, tel qu’il est pos´e ici, consiste a montrer que, pour une certaine classe

de signaux x(t), il est possible de faire co¨ıncider x(t) avec :

˜x(t) =

+∞(cid:88)

n=−∞

x(nT )h(t − nT )

(1.9)

pour une certaine fonction h(t) a d´eterminer. La relation 1.9 est une ´equation de convolution semblable a

celle rencontr´ee dans le cas du filtrage lin´eaire, sauf qu’ici l’entr´ee est la suite x(nT ) `a temps discret et la

sortie le signal ˜x(t) `a temps continu.

Afin de comparer ˜x(t) et x(t) nous allons passer en fr´equence. Pour cela notons H(f ) la transform´ee de

Fourier de h(t). Alors h(t − nT ) a pour transform´ee de Fourier H(f )e−2jπnf T . On en d´eduit que ˜x(t) a pour

transform´ee de Fourier :

˜X(f ) =

+∞(cid:88)

n=−∞

x(nT )H(f )e−2jπnf T

En sortant H(f ) du signe somme et en utilisant la formule de Poisson, on obtient :

˜X(f ) =

1

T

H(f )

+∞(cid:88)

n=−∞

X(f −

n

T

)

Cette expression fait dire que l’op´eration d’´echantillonnage en temps a pour effet, en fr´equence, de p´eriodiser

le spectre du signal avec une p´eriode ´egale a la fr´equence d’´echantillonnage Fe = 1/T . Il est a noter que le

r´esultat est vrai mˆeme si X(f ) n’est pas a bande limit´ee. Toutefois quand X(f ) est a bande limit´ee, il est

possible de choisir H(f ) de fa¸con `a ce que cette expression co¨ıncide avec X(f ).

Supposons que X(f ) = 0 pour |f | > B. Deux cas sont possibles :

Fe = 1/T < 2B : il y a recouvrement des diff´erentes courbes obtenues par p´eriodisation de X(f ). On dit

alors qu’il y a repliement de spectre (en anglais aliasing). L’origine de ce terme s’explique de la fa¸con

suivante : la partie de X(f − n/T ) qui s’ajoute `a X(f ) dans l’intervalle (−1/2T, 1/2T ) est la mˆeme que

la partie de X(f ) qui se trouve au del`a de n/T . Tout se passe comme si on empilait dans l’intervalle

(−1/2T, 1/2T ), apr`es repliement, les deux extr´emit´es de X(f ). La cons´equence du repliement de spectre

est l’impossibilit´e de reconstruire X(f ) a partir de ˜X(f ) et, par la mˆeme, x(t) `a partir des ´echantillons

x(nT ).

Fe = 1/T ≥ 2B : en choisissant H(f ) = T rect2B(f ), il vient X(f ) = ˜X(f ) et donc x(t) = ˜x(t). La trans-

form´ee de Fourier inverse de H(f ) = T rect2B(f ) a pour expression h(t) = T sin(2πBt)/πt. En portant

dans 1.9, on obtient la formule d’interpolation :

x(t) =

(cid:88)

n

x(nT )

sin(2πB(t − nT ))

πFe(t − nT )

La formule d’interpolation montre que le signal r´eel x(t) est reconstruit de fa¸con unique `a partir de la

suite de ses ´echantillons x(nT ). Mais cette op´eration n’est pas causale puisque la reconstruction de x(t)

au temps t, n´ecessite de connaˆıtre la suite x(nT ) au del`a de t. Toutefois comme la fonction h(t) d´ecroˆıt

rapidement quand t tend vers −∞, il est possible de r´ealiser une bonne approximation causale, en acceptant

un retard fini. Cela revient `a dire que x(t) est calcul´e, de fa¸con approch´ee, avec quelques ´echantillons situ´es

au del`a de t.

9

Fig. 1.1 – P´eriodisation du spectre par ´echantillonnage

Cas des signaux complexes `a bande limit´ee

Pour un signal complexe dont le spectre est nul a l’ext´erieur d’une bande Bc, c’est-a-dire X(f ) = 0 pour

f (cid:54)∈ Bc, le calcul de la transform´ee de Fourier de ˜x(t) est en tout point identique `a celui fait pr´ec´edemment. On

en d´eduit que la fr´equence minimale d’´echantillonnage, qui s’obtient en exprimant simplement la condition

de non-repliement, a pour expression Fe = 1/T ≥ Bc. En fait on peut dire que, dans les cas r´eel et complexe,

la fr´equence de Nyquist est ´egale `a la largeur du support en fr´equence de la transform´ee de Fourier de x(t).

1.4 Cas des signaux r´eels passe-bande

Consid´erons `a pr´esent un signal r´eel x(t) dont la transform´ee de Fourier est nulle en dehors des deux

intervalles de fr´equence d´efinis par :

fm ≤ |f | ≤ fM

Fig. 1.2 – Spectre d’un signal `a bande ´etroite

Rappelons que puisque x(t) est r´eel, X(f ) poss`ede la sym´etrie hermitienne. L’application brutale du

th´eoreme d’´echantillonnage conduit a prendre comme fr´equence de Nyquist la valeur 2fM . Pourtant il est

possible d’´echantillonner a une cadence bien plus faible, si l’on met a profit le fait que le spectre est nul dans

l’intervalle (−fm, fm).

Cherchons les conditions sur Fe pour que le spectre, une fois p´eriodis´e, soit constitu´e de bandes disjointes.

On voit graphiquement qu’il suffit de choisir deux valeurs k et Fe, telles que la k-ieme et la (k + 1)-ieme

translat´ees de la partie de X(f ) dans les fr´equences n´egatives ne recouvrent pas la partie de X(f ) dans les

10

Chapitre 1

Fig. 1.3 – P´eriodisation du spectre pour un signal `a bande ´etroite

fr´equences positives. Ce qui s’´ecrit :

−fm + kFe < fm

−fM + (k + 1)Fe > fM

Par cons´equent Fe doit ˆetre choisie dans des plages de valeurs de la forme :

2fM

k + 1

< Fe <

2fm

k

(1.10)

ou k est un entier tel que (2fM /k + 1) < 2fm/k, c’est-a-dire k ≤ fm/(fM − fm). Plus la valeur choisie de

k est grande, plus la plage de fr´equences possibles d’´echantillonnage est situ´ee dans les fr´equences basses.

Par cons´equent la plus petite fr´equence d’´echantillonnage qui assure le non repliement du spectre est donc

donn´ee par 2fM /(k0 + 1) ou k0 est la partie entiere de fm/(fM − fm). Les fr´equences Fe d’´echantillonnage

permises sont regroup´ees dans le tableau ci-desous.

k0

...

k

...

0

2fM /(k0 + 1)

2fM /(k + 1)

2fM

Plage pour Fe

≤ Fe ≤

...

≤ Fe ≤

...

≤ Fe <

2fm/k0

2fm/k

+∞

Remarquons que, plus la fr´equence d’´echantillonnage est choisie petite, plus la plage de fr´equences `a laquelle

elle appartient est ´etroite.

Formule d’interpolation

Pour ´etablir la formule de reconstruction, le calcul est en tout point analogue `a celui fait pour un signal

passe-bas. Mais il faut prendre, pour faire co¨ıncider ˜x(t) avec x(t), le filtre passe-bande r´eel, d´efini par :

H(f ) = T (rect∆f (f − f0) + rect∆f (f + f0))

o`u ∆f = fM − fm et f0 = (fM + fm)/2. Et donc h(t) = 2T cos(2πf0t) sin(π∆f t)/πt. Il suffit alors d’utiliser

l’expression x(t) =

n x(nT )h(t − nT ) pour obtenir la formule d’interpolation.

(cid:80)

1.5 Cas des signaux passe-bas de bande infinie

En pratique, lorsque la fr´equence d’´echantillonnage est impos´ee, le ph´enom`ene de repliement de spectre

ne peut ˆetre ´evit´e. Il y a donc perte d’information sur le signal a ´echantillonner. Le probleme est de limiter

autant que possible cette perte. Pour cela on choisit de filtrer pr´ealablement le signal avant l’op´eration

d’´echantillonnage proprement dite, suivant le sch´ema repr´esent´e figure 1.4.

11

Fig. 1.4 – Pr´efiltrage du signal avant ´echantillonnage

A priori le signal x2(t) reconstruit doit contenir toutes les fr´equences compatibles avec la condition de

non-repliement `a la fr´equence d’´echantillonnage Fe = 1/T : il faut donc supposer que la bande B = Fe/2.

Dans ce cas le filtre H(f ) a pour gain complexe H(f ) = T rectFe(f ).

Afin de d´eterminer au mieux le filtre G(f ), nous allons minimiser l’´ecart quadratique :

(cid:90) +∞

(cid:178)2 =

|x(t) − x2(t)|2dt

−∞

entre le signal original x(t) et le signal x2(t) obtenu `a partir des ´echantillons x1(nT ). Avec des notations

´evidentes, en utilisant la formule de Parseval, on a encore :

(cid:90) +∞

(cid:178)2 =

|X(f ) − X2(f )|2df

−∞

D´eterminons l’expression de X2(f ). Il vient en utilisant la formule de Poisson :

X2(f ) =

(cid:88)

n

x1(nT )H(f )e−2jπnf T =

1

T

(cid:88)

n

X1(f − n/T )H(f )

Comme H(f ) = T rectFe (f ) et que X1(f ) = X(f )G(f ), on en d´eduit que :

et donc que :

X2(f ) = rectFe (f )

(cid:88)

n

X(f − n/T )G(f − n/T )

(cid:90)

(cid:178)2 =

|X(f ) − X2(f )|2df +

|X(f )|2df

(cid:90)

|f |<Fe/2

|f |>Fe/2

(1.11)

(1.12)

Comme tous les termes sont positifs et que le second terme du membre droit de l’´equation (1.11) ne d´epend

pas du choix de G(f ), le minimum est obtenu en prenant G(f ) = rectFe(f ) : en effet, dans ce cas et d’apr`es

1.11, X2(f ) = X(f )rectFe (f ), ce qui annule compl`etement le premier terme de l’´equation (1.11).

Ce r´esultat est important, puisqu’il indique que l’on doit faire pr´ec´eder l’op´eration d’´echantillonnage d’un

filtrage passe-bas id´eal dans la bande (−Fe/2, Fe/2), appel´e filtrage anti-repliement. ´Evidemment il y a perte

d’information et ce que l’on peut reconstruire, au mieux, est le signal x1(t). Ce qui est hors de la bande

(−Fe/2, Fe/2) est perdu.

Exemple 1.2 (Signal MIC en t´el´ephonie num´erique) le signal t´el´ephonique est e´chantillonn´e `a la

fr´equence de 8000 ´echantillons/s. Pour ´eviter le repliement, on effectue un filtrage du signal dans la bande

(0 − 3400Hz) l´eg`erement plus ´etroite que le minimum requis de 4000Hz. Chaque ´echantillon est ensuite

cod´e sur 8 bits. On obtient ainsi un d´ebit de 64kbits/s. Cette suite est d´esign´ee par le terme de MIC (pour

Modulation par Impulsion et Codage).

1.6 Reconstruction pratique

La conversion du signal analogique `a partir de la suite num´erique n´ecessite une bonne approximation

causale d’un filtre passe-bas id´eal. En pratique la fa¸con la plus simple de proc´eder consiste `a partir d’un

bloqueur d’ordre 0, qui bloque pendant toute la dur´ee T entre deux ´echantillons la valeur num´erique appliqu´ee

`a l’entr´ee. Le signal obtenu en sortie du bloqueur d’ordre 0 a donc pour expression :

x0(t) =

(cid:88)

n

x(nT )h0(t − nT )

o`u h0(t) = rect(t − T /2).

12

Chapitre 1

Fig. 1.5 – Reconstruction par bloqueur d’ordre 0

Le signal x0(t) est un signal en escalier dont les marches ont pour amplitude x((n + 1)T ) − x(nT ). En

prenant la transform´ee de Fourier de x0(t) et en utilisant la formule de Poisson, on obtient :

X0(f ) =

(cid:88)

n

H0(f )X(f − n/T )

o`u H0(f ) =

sin(πf T )

πf

e−jπf T

Fig. 1.6 – Spectre en sortie du bloqueur d’ordre 0

En observant |X0(f )| repr´esent´e `a la figure 1.6, on voit apparaˆıtre 2 formes de distorsion entre le signal

de d´epart x(t) et le signal x0(t) en sortie du bloqueur d’ordre 0.

1. distorsion dans la bande utile (−1/2T, 1/2T ) du signal. Un rem`ede est de r´ealiser avant ´echantillonnage

une compensation par le filtre de gain πf T / sin(πf T ).

2. distorsion hors de la bande utile (−1/2T, 1/2T ). Cette distorsion peut ˆetre g´enante : ainsi, en acous-

tique, si elle se trouve dans la bande audible, il faut alors utiliser un filtre passe-bas de fr´equence de

coupure B.

Le calcul pr´ec´edent montre que les lobes de la fonction en sinus-cardinal ont pour largeur 1/T o`u T repr´esente

la dur´ee de la fonction de reconstruction du bloqueur mais aussi la p´eriode d’´echantillonnage du signal. D’o`u

l’id´ee de faire pr´ec´eder le bloqueur d’une op´eration d’interpolation. Cette op´eration est possible puisque le

signal v´erifie les conditions du th´eor`eme d’´echantillonnage. Dans ce cas l’´energie hors de la bande utile est

situ´ee essentiellement autour de la fr´equence 1/T . Ainsi en audio, en choisissant le facteur d’interpolation

suffisamment grand, la bande de fr´equence autour de 1/T peut mˆeme ˆetre hors de la bande audible et l’´ecoute

ne n´ecessite alors aucun filtre suppl´ementaire en sortie du bloqueur.

1.7 Repr´esentation en enveloppe complexe ou repr´esentation en

phase et quadrature

Dans ce chapitre nous nous int´eressons `a des signaux r´eels de la forme :

x(t) = p(t) cos(2πfpt) − q(t) sin(2πfpt)

(1.13)

Comme nous le verrons ces signaux interviennent couramment dans les syst`emes de communication. Dans

ce contexte les signaux p(t) et q(t) d´ependent du message `a transmettre et la fr´equence fp est dite fr´equence

13

porteuse. Dans le cas ou fp (cid:192) B, ou B d´esigne la bande en fr´equence de p(t) et q(t), le signal x(t) peut ˆetre

vu comme une “sinuso¨ıde” de fr´equence fp, dont l’amplitude et la phase varient lentement et son spectre est

alors `a bande “´etroite” autour de fp.

Pour de tels signaux, il est d’usage d’utiliser la repr´esentation dite en enveloppe complexe dont la justifica-

tion est contenue dans la remarque suivante : le signal x(t) ´etant r´eel, la partie du spectre dans les fr´equences

n´egatives se d´eduit (par sym´etrie hermitienne) de la partie du spectre dans les fr´equences positives. On peut

donc, de fa¸con bijective, associer `a x(t) un signal complexe xb(t) dont le spectre s’obtient en translatant de

(−f0) la partie du spectre de x(t) situ´ee dans les fr´equences positives. A priori la fr´equence f0 peut ˆetre

choisie arbitrairement. Cependant pour les signaux donn´es par l’expression (1.13), il est souvent pratique

de prendre f0 = fp. Le processus complexe xb(t) = px(t) + jqx(t), associ´e au signal r´eel x(t), s’appelle

son enveloppe complexe par rapport `a f0. Elle est un outil essentiel pour d´ecrire, en communication, une

op´eration de modulation.

Remarquons ici que la repr´esentation en enveloppe complexe ne n´ecessite pas que le signal soit `a bande

´etroite. Elle est seulement li´ee au fait que le signal est r´eel et centr´e.

1.7.1 Enveloppe complexe d’un signal

Pour d´efinir l’enveloppe complexe il est n´ecessaire d’introduire au pr´ealable la notion de signal analytique.

D´efinition 1.1 On appelle signal analytique associ´e au signal x(t) r´eel, centr´e, le signal complexe zx(t)

obtenu `a partir de x(t) par un filtrage lin´eaire de gain complexe 2 × 1(0,+∞)(f ).

Propri´et´es 1.1 Le signal analytique z(t) associ´e `a x(t) v´erifie :

x(t) = R´e {zx(t)}

(1.14)

En effet, soit x(t) un signal d´eterministe, r´eel, appliqu´e `a l’entr´ee du filtre de gain complexe 2 × 1(0,+∞)(f ) et

zx(t) le signal en sortie. On note X(f ) et Zx(f ) leurs transform´ees de Fourier respectives. D’apr`es la relation

de filtrage, exprim´ee en fr´equence, Zx(f ) = 2 × 1(0,+∞)(f )X(f ).

Fig. 1.7 – Filtrage analytique : gain G(f ) = 2 × 1pf ∈ (0, +∞)

D´eterminons la transform´ee de Fourier de R´e {zx(t)} = (zx(t) + z∗

x(f )) =

(0,+∞)(−f )X ∗(−f ) = X(f ), o`u on a utilis´e que le signal x(t) est r´eel et donc que

1(0,+∞)(f )X(f ) + 1∗

X(f ) = X ∗(−f ). Par cons´equent R´e {zx(t)} = x(t). Le signal complexe en sortie du filtre analytique a donc

comme partie r´eelle le signal d’entr´ee.

x(t))/2. Il vient 1

2 (Zx(f ) + Z ∗

On montre de la mˆeme fa¸con que la transform´ee de Fourier de la partie imaginaire de zx(t) a pour

expression −jsigne(f )X(f ). On dit alors que Imag (zx(t)) est la transform´ee de Hilbert du signal x(t). Nous

la notons ˆx(t).

On note que, si Zx(f ) est nul pour les fr´equences n´egatives, alors Zx(f ) = Zx(f )1(0,+∞)(f ) et les parties

r´eelle et imaginaire de zx(t) forment une paire de transform´ees de Hilbert. On en d´eduit une r`egle simple

pour d´eterminer le signal analytique associ´e `a un signal r´eel x(t) : si x(t) est tel que x(t) = R´e {zx(t)} et tel

que Zx(f ) = 0 pour f < 0, alors zx(t) est le signal analytique associ´e `a s(t).

D´efinition 1.2 On appelle enveloppe complexe par rapport `a la fr´equence f0 du signal x(t) r´eel, le signal :

xb(t) = zx(t) exp(−2jπf0t)

ou zx(t) d´esigne le signal analytique associ´e a x(t). Si on note Xb(f ) et Zx(f ) les transform´ees de Fourier

respectivement de xb(t) et de zx(t), on a

Xb(f ) = Zx(f + f0) = 2X +(f + f0)

(1.15)

o`u X +(f ) d´esigne la partie de X(f ) situ´ee dans les fr´equences positives.

x(t)zx(t)G( f )14

Chapitre 1

L’expression 1.15 fournit une r`egle simple de construction de la transform´ee de Fourier de l’enveloppe com-

plexe `a partir de la transform´ee de Fourier du signal. Inversement partant de la transform´ee de Fourier

de l’enveloppe complexe, on d´eduit la transform´ee de Fourier du signal r´eel (1) en translatant de +f0 la

transform´ee de Fourier de l’enveloppe complexe, (2) en compl´etant par sym´etrie hermitienne autour de −f0

et (3) en divisant par 2.

Propri´et´es 1.2 L’enveloppe complexe xb(t) de x(t) par rapport `a la fr´equence f0 v´erifie :

x(t) = R´e {xb(t) exp(2jπf0t)}

(1.16)

Il suffit d’appliquer la propri´et´e 1.14.

D´efinition 1.3 Pour un signal r´eel, on appelle respectivement composante en phase et composante quadra-

ture (sous-entendu par rapport `a la fr´equence f0), les parties r´eelle et imaginaire de son enveloppe complexe

par rapport `a la fr´equence f0.

En notant xb(t) = px(t) + jqx(t) et en utilisant l’expression 1.16, il vient :

x(t) = px(t) cos(2πf0t) − qx(t) sin(2πf0t)

Propri´et´es 1.3 En notant Px(f ) et Qx(f ) les transform´ees de Fourier respectives de px(t) et de qx(t), on

a :

Px(f ) =

1

2

jQx(f ) =

(Xb(f ) + X ∗

b (−f )) = X +(f + f0) + X −(f − f0)

1

2

(Xb(f ) − X ∗

b (−f )) = X +(f + f0) − X −(f − f0)

(1.17)

(1.18)

ou Xb(f ) = Zx(f + f0) avec Zx(f ) = 21(0,+∞)(f )X(f ). et ou X +(f ) et X −(f ) d´esignent les parties de X(f )

situ´ees respectivement dans les fr´equences positives et n´egatives.

Pour montrer cette propri´et´e, il suffit de noter que 2px(t) = xb(t) + x∗

b (t) et

d’effectuer les transformations de Fourier des deux membres (on rappelle que la transform´ee de Fourier de

g∗(t) est G∗(−f )).

b (t) et que 2jqx(t) = xb(t) − x∗

On en d´eduit (voir figure 1.8) une construction graphique simple des transform´ees de Fourier des compo-

santes en phase et quadrature par rapport `a f0 : (1) on translate de (+f0) la partie de X(f ) situ´ees dans les

fr´equences n´egatives, (2) on translate de (−f0) la partie de X(f ) situ´ees dans les fr´equences positives, puis

on effectue la somme pour obtenir Px(f ) et la diff´erence pour obtenir Qx(f ) (notons ici que la somme et la

diff´erence portent sur des fonctions complexes).

Fig. 1.8 – Construction du spectre de la composante en phase.

D´efinition 1.4 Pour un signal r´eel, on appelle respectivement enveloppe et phase instantan´ee (sous-entendu

par rapport a la fr´equence f0), le module et la phase de son enveloppe complexe par rapport a la fr´equence

f0. On appelle fr´equence instantan´ee :

fi(t) =

1

2π

dφx(t)

dt

f0f−f00P (f)xX (f)+X (f)−En notant xb(t) = ax(t)ejφx(t) et en utilisant l’expression 1.16, il vient :

x(t) = ax(t) cos(2πf0t + φx(t))

15

(1.19)

On note que l’expression de l’enveloppe complexe d´epend du choix de f0. Toutefois quand il n’y aura pas

d’ambigu¨ıt´e, nous parlerons de l’enveloppe complexe d’un signal, sans indiquer explicitement f0. Par contre

l’enveloppe ax(t) = |xb(t)|, qui est aussi ´egale au module |zx(t)| du signal analytique, ne d´epend pas du choix

de f0.

Notons enfin que les transform´ees de Fourier de ax(t) et de φx(t) ne s’expriment pas simplement `a

partir de X(f ), du fait du caractere non lin´eaire qui lie ax(t) et φx(t) a x(t). Toutefois en r`egle g´en´erale

si x(t) est a bande ´etroite, ax(t) et φx(t) sont eux-mˆeme a bande ´etroite (par rapport `a f0). Dans ce cas

la relation 1.19 permet d’interpr´eter x(t) comme une “sinuso¨ıde” de fr´equence f0 dont l’amplitude et la

phase sont “lentement” variables. De l`a le nom de signal quasi-monochromatique qu’ils portent aussi dans

la litt´erature.

Deux traitements jouent un rˆole important en communication : le filtrage et la d´emodulation synchrone.

Voyons `a pr´esent comment ces traitements peuvent ˆetre faits au moyen des enveloppes complexes : on dit

que le calcul est fait en en bande de base.

1.7.2 Filtrage ´equivalent en bande de base

Soit le signal r´eel x(t) dont le spectre est nul hors d’une bande B autour de f0. On suppose que f0 > B.

On note xb(t) l’enveloppe complexe de x(t) par rapport `a f0. Le signal x(t) est filtr´e par un filtre r´eel dont

le gain H(f ) est suppos´e, sans perte de g´en´eralit´es, nul hors de la bande de x(t). On note y(t) le signal en

sortie. On montre ais´ement que y(t) a pour enveloppe complexe par rapport `a f0 :

yb(t) = xb(t) (cid:63) hb(t) ⇔ Yb(f ) = Xb(f ) (cid:63) Hb(f )

o`u

Hb(f ) = H +(f + f0)

(1.20)

Le filtre de gain Hb(f ) est appe...