Communications Num´eriques et Th´eorie de l’Information

k/2

Représentation fréquentielle des signaux

Lorsqu’on applique le signal complexe e2jπf0t à l’entrée d’un filtre linéaire, le signal en sortie a pour

expression Ae2jπf0t où A est une constante ne dépendant que de la valeur f0. C’est une des raisons de

l’importance de la décomposition d’un signal en une somme d’exponentielles complexes. Cette décomposition

porte le nom de représentation de Fourier ou représentation fréquentielle ou plus simplement spectre.

Pour un signal x(t) périodique de période T et de puissance finie, on a les formules de Fourier suivantes1 :





(cid:80)+∞

x(t) =



Xn =

1

T

n=−∞ Xne2jπnt/T

(cid:82) T /2

−T /2 x(t)e−2jπnt/T dt

1La convergence dans le développement de x(t) est moyenne quadratique. Il peut ne pas y avoir convergence uniforme. Ce

phénomène n’a aucune conséquence pour nous dans la suite.

5

6

Chapitre 1

Les coefficients Xn s’appellent les coefficients de Fourier du signal x(t). Du fait que ces formules établissent

une correspondance bijective entre la fonction x(t) et la suite Xn de ses coefficients de Fourier, il n’y a pas

plus d’information dans l’une ou l’autre de ces représentations. Toutefois en traitement du signal, elles ont

chacune leur intérêt. De façon imagée, on peut dire que ce sont deux manieres de “voir le même phénomene

sous des angles différents”.

Pour un signal x(t) d’énergie finie, les formules de transformations de Fourier directe et inverse sont :







X(f ) =

(cid:82) +∞

−∞ x(t)e−2jπf tdt

x(t) =

(cid:82) +∞

−∞ X(f )e2jπf tdf

(1.3)

La variable f s’appelle la fréquence. Son unité est le Hertz (en abrégé : Hz).

Exemple 1.1 Soit le signal rectangle x(t) = 1 pour t ∈ (−T /2, T /2) et 0 sinon. Un calcul immédiat donne

pour sa transformée de Fourier :

X(f ) =

sin(πf T )

πf

= T sinc(f T )

(1.4)

où la fonction sinc(x) = sin(πx)/(πx) s’appelle la fonction sinus-cardinal (car elle s’annule pour les valeurs

entières de la variable).

Le tableau ci-dessous donne les principales propriétés de la transformation de Fourier.

Propriétés

Similitude

Linéarité

Translation

Modulation

Convolution

Produit

Dérivations

Parité, conjugaison

x(t)

x(at)

x∗(−t)

ax(t) + by(t)

x(t − t0)

x(t) exp(2jπf t0)

x(t) (cid:63) y(t)

x(t)y(t)

dnx(t)/dtn

(−2jπt)nx(t)

réelle paire

réelle impaire

imaginaire paire

imaginaire impaire

complexe paire

complexe impaire

réelle

X(f )

1

|a| X(f /|a|)

X ∗(f )

aX(f ) + bY (f )

X(f ) exp(−2jπf0t)

X(f − f0)

X(f )Y (f )

X(f ) (cid:63) Y (f )

(2jπf )nX(f )

dnX(f )/df n

réelle paire

imaginaire impaire

imaginaire paire

réelle impaire

complexe paire

complexe impaire

X(f ) = X ∗(−f )

Re(X(f )), |X(f )| paires

Im(X(f )), arg(X(f )) impaires

Formule de Parseval

En utilisant la propriété de convolution des transformées de Fourier, on obtient :

(cid:90) +∞

−∞

(cid:90) +∞

x(t)y∗(t)dt =

X(f )Y ∗(f )df

−∞

Filtrage linéaire

Soit le signal x(t) d’énergie finie et h(t) une fonction de module sommable (

(cid:90) +∞

(cid:90) +∞

y(t) =

x(u)h(t − u)du =

x(t − u)h(u)du

−∞

−∞

(cid:82)

R |h(t)|dt < +∞). Le signal :

(1.5)

7

définit l’opération dite de convolution qui est notée de façon plus concise y(t) = x(t) (cid:63) h(t). Le système,

qui associe au signal d’entrée x(t) le signal de sortie y(t), s’appelle un filtre linéaire et la fonction h(t), qui

caractérise le filtre, s’appelle sa réponse impulsionnelle. La condition

R |h(t)|dt < +∞ est équivalente à la

propriété dite de stabilité qui assure qu’à toute entrée bornée correspond une sortie bornée. Pour obtenir

l’équation de filtrage dans le domaine des fréquences, il suffit de se rappeler que la transformée de Fourier

d’un produit de convolution est un produit simple. Par conséquent l’expression 1.5 donne en passant aux

transformées de Fourier :

(cid:82)

Dans ce contexte H(f ) s’appelle le gain complexe du filtre.

Y (f ) = H(f )X(f )

(cid:80)P

Par linéarité, si le signal à l’entrée est un mélange harmonique de la forme x(t) =

k=1 αke2jπfkt où

αk est une suite de valeurs complexes et fk une suite de fréquences réelles, la sortie a pour expression

k=1 αkF(e2jπfkt) où F désigne l’opération de filtrage. Il suffit donc de déterminer l’expression de la

y(t) =

sortie lorsque l’entrée est de la forme x(t) = e2jπf0t. Notons que, dans ce cas, x(t) n’est pas d’énergie finie.

Toutefois en portant x(t) = exp(2jπf0t) dans 1.5, on obtient comme expression pour le signal en sortie :

(cid:80)P

y(t) =

(cid:90) +∞

−∞

e2jπf0(t−u)h(u)du = H(f0)e2jπf0t

Une autre façon d’écrire est F(e2jπfkt) = H(f0)e2jπfkt. On dit que les exponentielles complexes e2jπf0t sont

les fonctions propres des filtres linéaires.

1.2 Echantillonnage

L’échantillonnage est une opération qui consiste a prélever sur un signal a temps continu une suite de

valeurs, prises en une suite d’instants tn, n ∈ Z. Dans la suite nous n’envisagerons que l’échantillonnage

dit régulier ou tn = nT . L’intérêt porté aux problemes de l’échantillonnage tient dans le développement

des techniques numériques de traitement du signal. La question fondamentale est de savoir s’il est possible

de reconstruire x(t) a partir des échantillons x(nT ). A premiere vue il existe une infinité de fonctions qui

passent par les valeurs x(nT ) aux instants nT . Toutefois le théorème d’échantillonnage montre que, pour les

signaux à bande limitée, la reconstruction est possible.

1.3 Cas des signaux passe-bas

Théorème 1.1 (Formule de Poisson) Soit x(t) un signal de module intégrable (x(t) ∈ L1(R)) et dont la

transformée de Fourier X(f ) est elle-même de module intégrable. On a alors pour tout T > 0 :

+∞(cid:88)

n=−∞

X(f −

n

T

) = T

+∞(cid:88)

k=−∞

x(kT )e−2jπkf T

(1.6)

En effet le premier membre de 2.41 est une fonction de f de période 1/T . Elle est donc développable en série

de Fourier sous la forme

k Xke−2jπkf T , où Xk est donné par :

(cid:80)

Xk = T

(cid:90) 1/2T

(cid:195)

+∞(cid:88)

−1/2T

n=−∞

X(f −

(cid:33)

n

T

)

e2jπkf T df = T

+∞(cid:88)

(cid:90) 1/2T

n=−∞

−1/2T

X(f −

n

T

)e2jπkf T df

En faisant le changement de variable u = f − n/T , il vient :

+∞(cid:88)

(cid:90) 1/2T −n/T

Xk = T

X(u)e2jπkuT df = T

X(u)e2jπkuT df = T x(kT )

(cid:90) +∞

n=−∞

−1/2T −n/T

−∞

qui est le résultat annoncé.

Théoreme 1.2 (Théoreme d’échantillonnage) Soit un signal réel x(t) de module intégrable (x(t) ∈

L1(R)), à bande limitée B (X(f ) = 0 pour |f | > B) et soit Fe = 1/T une fréquence d’échantillonnage. On

suppose que

(cid:80)

Z |x(nT )| < +∞.

8

Chapitre 1

Si Fe ≥ 2B, x(t) peut être reconstruit de maniere unique a partir de la suite d’échantillons x(nT ), suivant

la formule dite d’interpolation :

où

x(t) =

+∞(cid:88)

n=−∞

x(nT )h(t − nT )

h(t) =

sin(2πBt)

πFet

(1.7)

(1.8)

Si Fe < 2B, la reconstruction est impossible. La fréquence minimale 2B s’appelle la fréquence de Nyquist.

Cela signifie que pour un signal qui a de l’énergie dans les fréquences élevées et donc des variations rapides, il

faut prendre une fréquence d’échantillonnage élevée. En pratique ce résultat est appliqué, de façon intuitive,

lors du relevé d’une courbe point par point : dans les parties à variations rapides (hautes fréquences), on

augmente la fréquence d’échantillonnage en prenant un plus grand nombre de points.

Le probleme de l’échantillonnage, tel qu’il est posé ici, consiste a montrer que, pour une certaine classe

de signaux x(t), il est possible de faire co¨ıncider x(t) avec :

˜x(t) =

+∞(cid:88)

n=−∞

x(nT )h(t − nT )

(1.9)

pour une certaine fonction h(t) a déterminer. La relation 1.9 est une équation de convolution semblable a

celle rencontrée dans le cas du filtrage linéaire, sauf qu’ici l’entrée est la suite x(nT ) à temps discret et la

sortie le signal ˜x(t) à temps continu.

Afin de comparer ˜x(t) et x(t) nous allons passer en fréquence. Pour cela notons H(f ) la transformée de

Fourier de h(t). Alors h(t − nT ) a pour transformée de Fourier H(f )e−2jπnf T . On en déduit que ˜x(t) a pour

transformée de Fourier :

˜X(f ) =

+∞(cid:88)

n=−∞

x(nT )H(f )e−2jπnf T

En sortant H(f ) du signe somme et en utilisant la formule de Poisson, on obtient :

˜X(f ) =

1

T

H(f )

+∞(cid:88)

n=−∞

X(f −

n

T

)

Cette expression fait dire que l’opération d’échantillonnage en temps a pour effet, en fréquence, de périodiser

le spectre du signal avec une période égale a la fréquence d’échantillonnage Fe = 1/T . Il est a noter que le

résultat est vrai même si X(f ) n’est pas a bande limitée. Toutefois quand X(f ) est a bande limitée, il est

possible de choisir H(f ) de façon à ce que cette expression co¨ıncide avec X(f ).

Supposons que X(f ) = 0 pour |f | > B. Deux cas sont possibles :

Fe = 1/T < 2B : il y a recouvrement des différentes courbes obtenues par périodisation de X(f ). On dit

alors qu’il y a repliement de spectre (en anglais aliasing). L’origine de ce terme s’explique de la façon

suivante : la partie de X(f − n/T ) qui s’ajoute à X(f ) dans l’intervalle (−1/2T, 1/2T ) est la même que

la partie de X(f ) qui se trouve au delà de n/T . Tout se passe comme si on empilait dans l’intervalle

(−1/2T, 1/2T ), après repliement, les deux extrémités de X(f ). La conséquence du repliement de spectre

est l’impossibilité de reconstruire X(f ) a partir de ˜X(f ) et, par la même, x(t) à partir des échantillons

x(nT ).

Fe = 1/T ≥ 2B : en choisissant H(f ) = T rect2B(f ), il vient X(f ) = ˜X(f ) et donc x(t) = ˜x(t). La trans-

formée de Fourier inverse de H(f ) = T rect2B(f ) a pour expression h(t) = T sin(2πBt)/πt. En portant

dans 1.9, on obtient la formule d’interpolation :

x(t) =

(cid:88)

n

x(nT )

sin(2πB(t − nT ))

πFe(t − nT )

La formule d’interpolation montre que le signal réel x(t) est reconstruit de façon unique à partir de la

suite de ses échantillons x(nT ). Mais cette opération n’est pas causale puisque la reconstruction de x(t)

au temps t, nécessite de connaˆıtre la suite x(nT ) au delà de t. Toutefois comme la fonction h(t) décroˆıt

rapidement quand t tend vers −∞, il est possible de réaliser une bonne approximation causale, en acceptant

un retard fini. Cela revient à dire que x(t) est calculé, de façon approchée, avec quelques échantillons situés

au delà de t.

9

Fig. 1.1 – Périodisation du spectre par échantillonnage

Cas des signaux complexes à bande limitée

Pour un signal complexe dont le spectre est nul a l’extérieur d’une bande Bc, c’est-a-dire X(f ) = 0 pour

f (cid:54)∈ Bc, le calcul de la transformée de Fourier de ˜x(t) est en tout point identique à celui fait précédemment. On

en déduit que la fréquence minimale d’échantillonnage, qui s’obtient en exprimant simplement la condition

de non-repliement, a pour expression Fe = 1/T ≥ Bc. En fait on peut dire que, dans les cas réel et complexe,

la fréquence de Nyquist est égale à la largeur du support en fréquence de la transformée de Fourier de x(t).

1.4 Cas des signaux réels passe-bande

Considérons à présent un signal réel x(t) dont la transformée de Fourier est nulle en dehors des deux

intervalles de fréquence définis par :

fm ≤ |f | ≤ fM

Fig. 1.2 – Spectre d’un signal à bande étroite

Rappelons que puisque x(t) est réel, X(f ) possède la symétrie hermitienne. L’application brutale du

théoreme d’échantillonnage conduit a prendre comme fréquence de Nyquist la valeur 2fM . Pourtant il est

possible d’échantillonner a une cadence bien plus faible, si l’on met a profit le fait que le spectre est nul dans

l’intervalle (−fm, fm).

Cherchons les conditions sur Fe pour que le spectre, une fois périodisé, soit constitué de bandes disjointes.

On voit graphiquement qu’il suffit de choisir deux valeurs k et Fe, telles que la k-ieme et la (k + 1)-ieme

translatées de la partie de X(f ) dans les fréquences négatives ne recouvrent pas la partie de X(f ) dans les

10

Chapitre 1

Fig. 1.3 – Périodisation du spectre pour un signal à bande étroite

fréquences positives. Ce qui s’écrit :

−fm + kFe < fm

−fM + (k + 1)Fe > fM

Par conséquent Fe doit être choisie dans des plages de valeurs de la forme :

2fM

k + 1

< Fe <

2fm

k

(1.10)

ou k est un entier tel que (2fM /k + 1) < 2fm/k, c’est-a-dire k ≤ fm/(fM − fm). Plus la valeur choisie de

k est grande, plus la plage de fréquences possibles d’échantillonnage est située dans les fréquences basses.

Par conséquent la plus petite fréquence d’échantillonnage qui assure le non repliement du spectre est donc

donnée par 2fM /(k0 + 1) ou k0 est la partie entiere de fm/(fM − fm). Les fréquences Fe d’échantillonnage

permises sont regroupées dans le tableau ci-desous.

k0

...

k

...

0

2fM /(k0 + 1)

2fM /(k + 1)

2fM

Plage pour Fe

≤ Fe ≤

...

≤ Fe ≤

...

≤ Fe <

2fm/k0

2fm/k

+∞

Remarquons que, plus la fréquence d’échantillonnage est choisie petite, plus la plage de fréquences à laquelle

elle appartient est étroite.

Formule d’interpolation

Pour établir la formule de reconstruction, le calcul est en tout point analogue à celui fait pour un signal

passe-bas. Mais il faut prendre, pour faire co¨ıncider ˜x(t) avec x(t), le filtre passe-bande réel, défini par :

H(f ) = T (rect∆f (f − f0) + rect∆f (f + f0))

où ∆f = fM − fm et f0 = (fM + fm)/2. Et donc h(t) = 2T cos(2πf0t) sin(π∆f t)/πt. Il suffit alors d’utiliser

l’expression x(t) =

n x(nT )h(t − nT ) pour obtenir la formule d’interpolation.

(cid:80)

1.5 Cas des signaux passe-bas de bande infinie

En pratique, lorsque la fréquence d’échantillonnage est imposée, le phénomène de repliement de spectre

ne peut être évité. Il y a donc perte d’information sur le signal a échantillonner. Le probleme est de limiter

autant que possible cette perte. Pour cela on choisit de filtrer préalablement le signal avant l’opération

d’échantillonnage proprement dite, suivant le schéma représenté figure 1.4.

11

Fig. 1.4 – Préfiltrage du signal avant échantillonnage

A priori le signal x2(t) reconstruit doit contenir toutes les fréquences compatibles avec la condition de

non-repliement à la fréquence d’échantillonnage Fe = 1/T : il faut donc supposer que la bande B = Fe/2.

Dans ce cas le filtre H(f ) a pour gain complexe H(f ) = T rectFe(f ).

Afin de déterminer au mieux le filtre G(f ), nous allons minimiser l’écart quadratique :

(cid:90) +∞

(cid:178)2 =

|x(t) − x2(t)|2dt

−∞

entre le signal original x(t) et le signal x2(t) obtenu à partir des échantillons x1(nT ). Avec des notations

évidentes, en utilisant la formule de Parseval, on a encore :

(cid:90) +∞

(cid:178)2 =

|X(f ) − X2(f )|2df

−∞

Déterminons l’expression de X2(f ). Il vient en utilisant la formule de Poisson :

X2(f ) =

(cid:88)

n

x1(nT )H(f )e−2jπnf T =

1

T

(cid:88)

n

X1(f − n/T )H(f )

Comme H(f ) = T rectFe (f ) et que X1(f ) = X(f )G(f ), on en déduit que :

et donc que :

X2(f ) = rectFe (f )

(cid:88)

n

X(f − n/T )G(f − n/T )

(cid:90)

(cid:178)2 =

|X(f ) − X2(f )|2df +

|X(f )|2df

(cid:90)

|f |<Fe/2

|f |>Fe/2

(1.11)

(1.12)

Comme tous les termes sont positifs et que le second terme du membre droit de l’équation (1.11) ne dépend

pas du choix de G(f ), le minimum est obtenu en prenant G(f ) = rectFe(f ) : en effet, dans ce cas et d’après

1.11, X2(f ) = X(f )rectFe (f ), ce qui annule complètement le premier terme de l’équation (1.11).

Ce résultat est important, puisqu’il indique que l’on doit faire précéder l’opération d’échantillonnage d’un

filtrage passe-bas idéal dans la bande (−Fe/2, Fe/2), appelé filtrage anti-repliement. Évidemment il y a perte

d’information et ce que l’on peut reconstruire, au mieux, est le signal x1(t). Ce qui est hors de la bande

(−Fe/2, Fe/2) est perdu.

Exemple 1.2 (Signal MIC en téléphonie numérique) le signal téléphonique est e´chantillonné à la

fréquence de 8000 échantillons/s. Pour éviter le repliement, on effectue un filtrage du signal dans la bande

(0 − 3400Hz) légèrement plus étroite que le minimum requis de 4000Hz. Chaque échantillon est ensuite

codé sur 8 bits. On obtient ainsi un débit de 64kbits/s. Cette suite est désignée par le terme de MIC (pour

Modulation par Impulsion et Codage).

1.6 Reconstruction pratique

La conversion du signal analogique à partir de la suite numérique nécessite une bonne approximation

causale d’un filtre passe-bas idéal. En pratique la façon la plus simple de procéder consiste à partir d’un

bloqueur d’ordre 0, qui bloque pendant toute la durée T entre deux échantillons la valeur numérique appliquée

à l’entrée. Le signal obtenu en sortie du bloqueur d’ordre 0 a donc pour expression :

x0(t) =

(cid:88)

n

x(nT )h0(t − nT )

où h0(t) = rect(t − T /2).

12

Chapitre 1

Fig. 1.5 – Reconstruction par bloqueur d’ordre 0

Le signal x0(t) est un signal en escalier dont les marches ont pour amplitude x((n + 1)T ) − x(nT ). En

prenant la transformée de Fourier de x0(t) et en utilisant la formule de Poisson, on obtient :

X0(f ) =

(cid:88)

n

H0(f )X(f − n/T )

où H0(f ) =

sin(πf T )

πf

e−jπf T

Fig. 1.6 – Spectre en sortie du bloqueur d’ordre 0

En observant |X0(f )| représenté à la figure 1.6, on voit apparaˆıtre 2 formes de distorsion entre le signal

de départ x(t) et le signal x0(t) en sortie du bloqueur d’ordre 0.

1. distorsion dans la bande utile (−1/2T, 1/2T ) du signal. Un remède est de réaliser avant échantillonnage

une compensation par le filtre de gain πf T / sin(πf T ).

2. distorsion hors de la bande utile (−1/2T, 1/2T ). Cette distorsion peut être génante : ainsi, en acous-

tique, si elle se trouve dans la bande audible, il faut alors utiliser un filtre passe-bas de fréquence de

coupure B.

Le calcul précédent montre que les lobes de la fonction en sinus-cardinal ont pour largeur 1/T où T représente

la durée de la fonction de reconstruction du bloqueur mais aussi la période d’échantillonnage du signal. D’où

l’idée de faire précéder le bloqueur d’une opération d’interpolation. Cette opération est possible puisque le

signal vérifie les conditions du théorème d’échantillonnage. Dans ce cas l’énergie hors de la bande utile est

située essentiellement autour de la fréquence 1/T . Ainsi en audio, en choisissant le facteur d’interpolation

suffisamment grand, la bande de fréquence autour de 1/T peut même être hors de la bande audible et l’écoute

ne nécessite alors aucun filtre supplémentaire en sortie du bloqueur.

1.7 Représentation en enveloppe complexe ou représentation en

phase et quadrature

Dans ce chapitre nous nous intéressons à des signaux réels de la forme :

x(t) = p(t) cos(2πfpt) − q(t) sin(2πfpt)

(1.13)

Comme nous le verrons ces signaux interviennent couramment dans les systèmes de communication. Dans

ce contexte les signaux p(t) et q(t) dépendent du message à transmettre et la fréquence fp est dite fréquence

13

porteuse. Dans le cas ou fp (cid:192) B, ou B désigne la bande en fréquence de p(t) et q(t), le signal x(t) peut être

vu comme une “sinuso¨ıde” de fréquence fp, dont l’amplitude et la phase varient lentement et son spectre est

alors à bande “étroite” autour de fp.

Pour de tels signaux, il est d’usage d’utiliser la représentation dite en enveloppe complexe dont la justifica-

tion est contenue dans la remarque suivante : le signal x(t) étant réel, la partie du spectre dans les fréquences

négatives se déduit (par symétrie hermitienne) de la partie du spectre dans les fréquences positives. On peut

donc, de façon bijective, associer à x(t) un signal complexe xb(t) dont le spectre s’obtient en translatant de

(−f0) la partie du spectre de x(t) située dans les fréquences positives. A priori la fréquence f0 peut être

choisie arbitrairement. Cependant pour les signaux donnés par l’expression (1.13), il est souvent pratique

de prendre f0 = fp. Le processus complexe xb(t) = px(t) + jqx(t), associé au signal réel x(t), s’appelle

son enveloppe complexe par rapport à f0. Elle est un outil essentiel pour décrire, en communication, une

opération de modulation.

Remarquons ici que la représentation en enveloppe complexe ne nécessite pas que le signal soit à bande

étroite. Elle est seulement liée au fait que le signal est réel et centré.

1.7.1 Enveloppe complexe d’un signal

Pour définir l’enveloppe complexe il est nécessaire d’introduire au préalable la notion de signal analytique.

Définition 1.1 On appelle signal analytique associé au signal x(t) réel, centré, le signal complexe zx(t)

obtenu à partir de x(t) par un filtrage linéaire de gain complexe 2 × 1(0,+∞)(f ).

Propriétés 1.1 Le signal analytique z(t) associé à x(t) vérifie :

x(t) = Ré {zx(t)}

(1.14)

En effet, soit x(t) un signal déterministe, réel, appliqué à l’entrée du filtre de gain complexe 2 × 1(0,+∞)(f ) et

zx(t) le signal en sortie. On note X(f ) et Zx(f ) leurs transformées de Fourier respectives. D’après la relation

de filtrage, exprimée en fréquence, Zx(f ) = 2 × 1(0,+∞)(f )X(f ).

Fig. 1.7 – Filtrage analytique : gain G(f ) = 2 × 1pf ∈ (0, +∞)

Déterminons la transformée de Fourier de Ré {zx(t)} = (zx(t) + z∗

x(f )) =

(0,+∞)(−f )X ∗(−f ) = X(f ), où on a utilisé que le signal x(t) est réel et donc que

1(0,+∞)(f )X(f ) + 1∗

X(f ) = X ∗(−f ). Par conséquent Ré {zx(t)} = x(t). Le signal complexe en sortie du filtre analytique a donc

comme partie réelle le signal d’entrée.

x(t))/2. Il vient 1

2 (Zx(f ) + Z ∗

On montre de la même façon que la transformée de Fourier de la partie imaginaire de zx(t) a pour

expression −jsigne(f )X(f ). On dit alors que Imag (zx(t)) est la transformée de Hilbert du signal x(t). Nous

la notons ˆx(t).

On note que, si Zx(f ) est nul pour les fréquences négatives, alors Zx(f ) = Zx(f )1(0,+∞)(f ) et les parties

réelle et imaginaire de zx(t) forment une paire de transformées de Hilbert. On en déduit une règle simple

pour déterminer le signal analytique associé à un signal réel x(t) : si x(t) est tel que x(t) = Ré {zx(t)} et tel

que Zx(f ) = 0 pour f < 0, alors zx(t) est le signal analytique associé à s(t).

Définition 1.2 On appelle enveloppe complexe par rapport à la fréquence f0 du signal x(t) réel, le signal :

xb(t) = zx(t) exp(−2jπf0t)

ou zx(t) désigne le signal analytique associé a x(t). Si on note Xb(f ) et Zx(f ) les transformées de Fourier

respectivement de xb(t) et de zx(t), on a

Xb(f ) = Zx(f + f0) = 2X +(f + f0)

(1.15)

où X +(f ) désigne la partie de X(f ) située dans les fréquences positives.

x(t)zx(t)G( f )14

Chapitre 1

L’expression 1.15 fournit une règle simple de construction de la transformée de Fourier de l’enveloppe com-

plexe à partir de la transformée de Fourier du signal. Inversement partant de la transformée de Fourier

de l’enveloppe complexe, on déduit la transformée de Fourier du signal réel (1) en translatant de +f0 la

transformée de Fourier de l’enveloppe complexe, (2) en complétant par symétrie hermitienne autour de −f0

et (3) en divisant par 2.

Propriétés 1.2 L’enveloppe complexe xb(t) de x(t) par rapport à la fréquence f0 vérifie :

x(t) = Ré {xb(t) exp(2jπf0t)}

(1.16)

Il suffit d’appliquer la propriété 1.14.

Définition 1.3 Pour un signal réel, on appelle respectivement composante en phase et composante quadra-

ture (sous-entendu par rapport à la fréquence f0), les parties réelle et imaginaire de son enveloppe complexe

par rapport à la fréquence f0.

En notant xb(t) = px(t) + jqx(t) et en utilisant l’expression 1.16, il vient :

x(t) = px(t) cos(2πf0t) − qx(t) sin(2πf0t)

Propriétés 1.3 En notant Px(f ) et Qx(f ) les transformées de Fourier respectives de px(t) et de qx(t), on

a :

Px(f ) =

1

2

jQx(f ) =

(Xb(f ) + X ∗

b (−f )) = X +(f + f0) + X −(f − f0)

1

2

(Xb(f ) − X ∗

b (−f )) = X +(f + f0) − X −(f − f0)

(1.17)

(1.18)

ou Xb(f ) = Zx(f + f0) avec Zx(f ) = 21(0,+∞)(f )X(f ). et ou X +(f ) et X −(f ) désignent les parties de X(f )

situées respectivement dans les fréquences positives et négatives.

Pour montrer cette propriété, il suffit de noter que 2px(t) = xb(t) + x∗

b (t) et

d’effectuer les transformations de Fourier des deux membres (on rappelle que la transformée de Fourier de

g∗(t) est G∗(−f )).

b (t) et que 2jqx(t) = xb(t) − x∗

On en déduit (voir figure 1.8) une construction graphique simple des transformées de Fourier des compo-

santes en phase et quadrature par rapport à f0 : (1) on translate de (+f0) la partie de X(f ) situées dans les

fréquences négatives, (2) on translate de (−f0) la partie de X(f ) situées dans les fréquences positives, puis

on effectue la somme pour obtenir Px(f ) et la différence pour obtenir Qx(f ) (notons ici que la somme et la

différence portent sur des fonctions complexes).

Fig. 1.8 – Construction du spectre de la composante en phase.

Définition 1.4 Pour un signal réel, on appelle respectivement enveloppe et phase instantanée (sous-entendu

par rapport a la fréquence f0), le module et la phase de son enveloppe complexe par rapport a la fréquence

f0. On appelle fréquence instantanée :

fi(t) =

1

2π

dφx(t)

dt

f0f−f00P (f)xX (f)+X (f)−En notant xb(t) = ax(t)ejφx(t) et en utilisant l’expression 1.16, il vient :

x(t) = ax(t) cos(2πf0t + φx(t))

15

(1.19)

On note que l’expression de l’enveloppe complexe dépend du choix de f0. Toutefois quand il n’y aura pas

d’ambigu¨ıté, nous parlerons de l’enveloppe complexe d’un signal, sans indiquer explicitement f0. Par contre

l’enveloppe ax(t) = |xb(t)|, qui est aussi égale au module |zx(t)| du signal analytique, ne dépend pas du choix

de f0.

Notons enfin que les transformées de Fourier de ax(t) et de φx(t) ne s’expriment pas simplement à

partir de X(f ), du fait du caractere non linéaire qui lie ax(t) et φx(t) a x(t). Toutefois en règle générale

si x(t) est a bande étroite, ax(t) et φx(t) sont eux-même a bande étroite (par rapport à f0). Dans ce cas

la relation 1.19 permet d’interpréter x(t) comme une “sinuso¨ıde” de fréquence f0 dont l’amplitude et la

phase sont “lentement” variables. De là le nom de signal quasi-monochromatique qu’ils portent aussi dans

la littérature.

Deux traitements jouent un rôle important en communication : le filtrage et la démodulation synchrone.

Voyons à présent comment ces traitements peuvent être faits au moyen des enveloppes complexes : on dit

que le calcul est fait en en bande de base.

1.7.2 Filtrage équivalent en bande de base

Soit le signal réel x(t) dont le spectre est nul hors d’une bande B autour de f0. On suppose que f0 > B.

On note xb(t) l’enveloppe complexe de x(t) par rapport à f0. Le signal x(t) est filtré par un filtre réel dont

le gain H(f ) est supposé, sans perte de généralités, nul hors de la bande de x(t). On note y(t) le signal en

sortie. On montre aisément que y(t) a pour enveloppe complexe par rapport à f0 :

yb(t) = xb(t) (cid:63) hb(t) ⇔ Yb(f ) = Xb(f ) (cid:63) Hb(f )

où

Hb(f ) = H +(f + f0)

(1.20)

Le filtre de gain Hb(f ) est appe...