Communication Num´erique

Ce cours traite des principes fondamentaux du filtrage dans la communication numérique. Il s’adresse aux étudiants en électronique, télécommunications et traitement du signal souhaitant comprendre les différents types de filtres, leurs méthodes de conception, ainsi que leur rôle dans la réduction du bruit, la détection optimale des signaux et la gestion de l’interférence entre symboles.

Généralités sur les filtres

Un canal de transmission réel possède une bande passante limitée, soit physiquement, soit par des contraintes d’utilisation (débit, compatibilité électromagnétique, partage de ressources). Or, la densité spectrale de puissance (DSP) d’un signal réel, limité dans le temps, n’est jamais limitée en fréquence. Cela impose la nécessité de filtrer le signal.

Un filtre est caractérisé par sa fonction de transfert H, qui modifie le contenu spectral du signal. Si y est la sortie et x l’entrée, on a :

y = h ∗ x

ŷ = H × x̂

où H = ĥ est la fonction de transfert du filtre.

Les principaux types de filtres sont :

• Filtre passe-bas : laisse passer les basses fréquences jusqu’à une fréquence de coupure fc.
• Filtre passe-bande : laisse passer une bande de fréquences centrée autour d’une fréquence f0, avec une largeur Δf.
• Filtre passe-haut : laisse passer les hautes fréquences au-delà d’une fréquence de coupure fc.

La synthèse des filtres peut être réalisée par des méthodes analogiques (composants électroniques) ou numériques (méthode de Fourier ou méthode séquentielle).

Méthode de Fourier

La méthode de Fourier consiste à étudier la fonction de transfert H(f) dans le domaine fréquentiel.

Exemple : Filtre passe-bas idéal

H(f) = a Rect2B(f) e^(-2iπf t0)

avec Rect2B(f) = 1 si |f| ≤ B, 0 sinon.

La réponse impulsionnelle (R.I.) correspondante est :

h(t) = 2 a B sinc(2 B (t - t0))

De même, un filtre passe-bande idéal centré sur f0 s’écrit :

H(f) = a [Rect2B(f - f0) + Rect2B(f + f0)] e^(-2iπf t0)

et la R.I. associée :

h(t) = 4 a B sinc(2 B (t - t0)) cos(2 π f0 (t - t0))

Le filtrage d’un signal bruité par un filtre passe-bas permet de réduire le bruit haute fréquence (bruit blanc additif gaussien).

Problème : les filtres idéaux ne sont pas réalisables car leur réponse impulsionnelle est infinie. On tronque donc h(t) par une fenêtre W(t) nulle en dehors d’un intervalle [t1; t2].

Différents types de fenêtres sont utilisées (rectangulaire, triangulaire, Hanning, Hamming, Blackman, cosinus surélevé), mais la troncature introduit des oscillations (phénomène de Gibbs) qui affectent la réponse en fréquence (ondulations, perte de raideur du filtre).

Méthode séquentielle : Filtres RIF et RII

Les filtres numériques traitent des signaux échantillonnés (xk). La relation générale est une convolution discrète :

yk = Σ hl xk-l

où (hn) est la réponse impulsionnelle discrète du filtre.

La transformée de Fourier discrète permet d’écrire :

H(f) = Σ hn e^(-2iπf n)

On distingue deux types de filtres :

• Filtres à réponse impulsionnelle finie (RIF ou FIR) : hn = 0 en dehors d’un intervalle fini [n1; n2]. Exemple simple :

h0 = h1 = 1/2, hn = 0 sinon

yk = (xk + xk-1) / 2

H(f) = 1/2 + 1/2 e^(-2iπf) = e^(-iπf) cos(πf)

|H(f)|² = cos²(πf) ≈ 1 pour f → 0, ≈ 0 pour f → ±π

Ce filtre agit comme un filtre passe-bas.

• Filtres à réponse impulsionnelle infinie (RII ou IIR) : hn non nul sur une suite infinie. En pratique, ils sont implémentés de manière récursive :

yk = Σ (βn xk-n) - Σ (αn yk-n), avec α0 = 1

La fonction de transfert s’écrit :

H(f) = (Σ βn e^(-2iπf n)) / (Σ αn e^(-2iπf n)) = P(z) / Q(z), avec z = e^(-2iπf)

Les fréquences de coupure sont les racines de P(z). La stabilité du filtre dépend des racines de Q(z) : il faut respecter un domaine de stabilité.

Filtrage adapté

Considérons un signal codé g(t) bruité :

x(t) = g(t) + w(t), t ∈ [0; Tb]

où w est un bruit blanc additif gaussien (BBAG) de densité spectrale W(f) = N0/2.

On cherche un filtre de réception h(t) tel que la sortie :

y(t) = h(t) ∗ x(t) = g0(t) + n(t)

maximise le rapport signal sur bruit (RSB) au temps de décision T :

η = |g0(T)|² / E(n²(t))

avec :

g0(T) = ∫ H(f) G(f) e^(2iπf T) df

E(n²(t)) = ∫ |H(f)|² |W(f)|² df = (N0/2) ∫ |H(f)|² df

Par l’inégalité de Cauchy-Schwarz, η est maximal si :

H(f) = k G(f) e^(-2iπf T), k ∈ ℂ

soit, en domaine temporel,

h(t) = g(T - t)

Le filtre optimal, appelé filtre adapté, est donc la version temporellement inversée et retardée de la forme d’onde g(t).

Effet du bruit et probabilité d’erreur

Le filtre adapté est optimal pour la détection du signal utile. La performance du filtrage est mesurée par la probabilité d’erreur pe, définie comme la probabilité de confusion entre bits 0 et 1.

Exemple : signal polaire NRZ

x(t) = +A + w(t), si bit émis = +1

x(t) = -A + w(t), si bit émis = 0

La sortie du filtre adapté est :

Y = g(-t) ∗ x(t) = (1/Tb) ∫₀^Tb x(t) dt

Si un 0 a été envoyé :

Y = -A + (1/Tb) ∫₀^Tb w(t) dt

La densité de probabilité conditionnelle de Y est gaussienne :

TY|0 = (1 / √(2πσ²)) exp(-(y + A)² / (2σ²))

avec σ² = N0 / (2 Tb)

La probabilité d’erreur conditionnelle avec un seuil λ est :

p(1|0) = P(Y ≥ λ | 0) = (1/2) erfc((A + λ) / √(N0 / Tb))

p(0|1) = (1/2) erfc((A - λ) / √(N0 / Tb))

Si p0 = p1 = 1/2, le seuil optimal est λ = 0, et la probabilité d’erreur totale est :

pe = (1/2) erfc(A / √(N0 / Tb))

Posant l’énergie par bit εb = A² Tb, on obtient :

pe = (1/2) erfc(√(εb / N0))

Application : Critère et filtre de Nyquist

Interférence entre symboles (IES)

L’interférence entre symboles se produit lorsque l’échantillon à l’instant de décision dépend non seulement du symbole attendu mais aussi des symboles voisins.

La réponse globale du système avec un filtre adapté en réception est :

y(t) = Σ an r(t - nT) + bruit

avec r(t) = h(t) ∗ h(-t)

À l’instant d’échantillonnage t = kT :

y(kT) = Σ an r(kT - nT) + bk = ak r(0) + Σ_{n≠k} an r((k - n)T) + bk

Le terme Σ_{n≠k} an r((k - n)T) correspond à l’interférence entre symboles (IES).

On définit la distortion maximale Dmax comme :

Dmax = max_{n≠0} |r(nT)| / |r(0)|

Si Dmax ≥ 1, l’IES provoque une erreur de détection. Si Dmax < 1, c’est une condition nécessaire pour une bonne réception.

Diagramme de l’œil

En l’absence d’IES, le diagramme de l’œil est complètement ouvert à l’instant de décision, ce qui signifie :

• Ouverture verticale : immunité au bruit
• Ouverture horizontale : immunité au déphasage d’horloge

Cas idéal - Filtre de Nyquist

Le cas idéal correspond à Dmax = 0, soit :

r(kT) = 0 pour k ≠ 0

r(0) ≠ 0

Le filtre r(t) est alors dit filtre de Nyquist.

Le critère de Nyquist fréquentiel s’exprime par :

Σ_n r(t - nT) = r(t)

Σ_n δ(t - nT) = r(0) δ(t)

Dans le domaine fréquentiel, cela revient à :

r(f) ∗ (1/T) Σ_n δ(f - n/T) = r(0)

Ce qui implique que r(f) est constant sur une largeur de bande B ≥ 1/(2T). La bande de Nyquist minimale est :

B_min = 1/(2T)

Le choix le plus simple est :

R(f) = T r(0) Rect_{1/T}(f) = { 1 si |f| ≤ 1/(2T), 0 sinon }

La réponse impulsionnelle associée est :

r(t) = r(0) sinc(t / T)

Inconvénient : aucune tolérance à une erreur d’échantillonnage. En effet, pour un décalage ε ≠ 0 de l’instant d’échantillonnage, la valeur r(kT + ε) n’est plus nulle, ce qui génère de l’IES.

Filtre en cosinus surélevé

Pour réduire la sensibilité à l’IES, on impose que la somme pondérée des symboles s’annule entre kT et (k + 1/2)T :

Σ_n an r(t - nT) = 0 pour t = (k + 1/2) T

Une fonction vérifiant ce critère est :

r(t) = r(0) sinc(2π t / T) + (1/2) sinc(2π (t + T/2) / T) + (1/2) sinc(2π (t - T/2) / T)

soit aussi,

r(t) = r(0) sinc(π t / T) cosc(π t / T)

avec cosc(x) = cos(x) / (1 - x²)

La fonction de transfert associée est :

R(f) = (T r(0) / 2) [1 + cos(π f T)], |f| ≤ 1/T

Ce filtre est appelé filtre en cosinus surélevé.

Filtre en racine de cosinus surélevé

Le filtre global r(t) étant la convolution de h(t) avec h(-t), on cherche h(t) tel que :

R(f) = |H(f)|² = T r(0) cos²(π f T / 2)

On obtient :

H(f) = √(T r(0)) cos(π f T / 2) Rect_{2/T}(f)

La réponse impulsionnelle h(t) est :

h(t) = (T r(0) / 2) [sinc(2 t / T) - (1/2) sinc(2 t / T + 1/2) + (1/2) sinc(2 t / T - 1/2)]

soit,

h(t) = (2/π) T r(0) cosc(2 t / T)

Ce filtre ne vérifie pas le critère de Nyquist strict, mais est utilisé en pratique pour ses propriétés.

Filtre en cosinus surélevé avec coefficient de retombée

On définit un compromis entre le filtre de Nyquist idéal R0(f) et le filtre en cosinus surélevé R1(f) :

Rα = R0 pour α = 0

Rα = R1 pour α = 1

0 ≤ α ≤ 1

La fonction de transfert est :

Rα(f) = R0(f) ∗ C(f / α)

avec C(f) = cos(π f T) Rect_{1/T}(f)

En domaine temporel :

rα(t) = r0(t) cosc(α t / T) = sinc(π t / T) cosc(α t / T)

Ce compromis permet :

• α = 0 : tolérance maximale au bruit
• α = 1 : tolérance maximale à l’instant d’échantillonnage

Glossaire des termes clés

• Filtre : Système modifiant le contenu spectral d’un signal.
• Fonction de transfert H(f) : Représentation fréquentielle du filtre.
• Réponse impulsionnelle (R.I.) : Réponse temporelle du filtre à une impulsion.
• Filtre passe-bas : Filtre laissant passer les basses fréquences.
• Filtre passe-bande : Filtre laissant passer une bande de fréquences centrée.
• Filtre passe-haut : Filtre laissant passer les hautes fréquences.
• Filtre RIF (FIR) : Filtre à réponse impulsionnelle finie.
• Filtre RII (IIR) : Filtre à réponse impulsionnelle infinie, implémenté récursivement.
• Filtre adapté : Filtre optimal pour la détection d’un signal bruité.
• BBAG : Bruit blanc additif gaussien.
• Probabilité d’erreur (pe) : Probabilité de confusion entre symboles reçus.
• Interférence entre symboles (IES) : Perturbation causée par la superposition de symboles voisins.
• Filtre de Nyquist : Filtre garantissant l’absence d’IES (Dmax = 0).
• Critère de Nyquist : Condition sur la réponse impulsionnelle pour éliminer l’IES.
• Filtre en cosinus surélevé : Filtre avec une fonction de transfert en cosinus pour réduire l’IES.
• Filtre en racine de cosinus surélevé : Filtre dont la fonction de transfert est la racine carrée du filtre en cosinus surélevé.
• Coefficient de retombée (α) : Paramètre ajustant le compromis entre tolérance au bruit et tolérance à l’échantillonnage.

Points clés à retenir

• Le filtrage est essentiel pour limiter la bande passante et réduire le bruit dans la communication numérique.
• Les filtres idéaux ne sont pas réalisables ; on utilise des fenêtres pour tronquer la réponse impulsionnelle, ce qui introduit des ondulations.
• Les filtres numériques RIF sont simples mais limités ; les filtres RII sont plus puissants mais nécessitent une gestion de la stabilité.
• Le filtre adapté maximise le rapport signal sur bruit et est obtenu par inversion temporelle et retard de la forme d’onde.
• La probabilité d’erreur dépend de l’énergie par bit et du bruit, et est calculable via la fonction d’erreur complémentaire erfc.
• L’interférence entre symboles (IES) doit être minimisée pour assurer une bonne détection, ce que garantit le filtre de Nyquist.
• Les filtres en cosinus surélevé et en racine de cosinus surélevé offrent un compromis entre performance et tolérance aux erreurs d’échantillonnage.
• Le coefficient de retombée α permet d’ajuster la tolérance au bruit et à l’instant d’échantillonnage dans les filtres en cosinus surélevé.