Communication Num´erique

. . .

Probl`eme :

par cette troncature, on introduit des oscillations

(Gibbs)

Communication Num´erique

M´ethode de Fourier

On multiplie h(t) par une fenˆetre W telle que

h(t) W (t) = 0 pour t /∈ [t1; t2]

o`u W est une fenˆetre

Hanning (ou plutˆot Hann . . .)

. . .

Probl`eme :

par cette troncature, on introduit des oscillations

(Gibbs)

Communication Num´erique

M´ethode de Fourier

On multiplie h(t) par une fenˆetre W telle que

h(t) W (t) = 0 pour t /∈ [t1; t2]

o`u W est une fenˆetre

Hamming

. . .

Probl`eme :

par cette troncature, on introduit des oscillations

(Gibbs)

Communication Num´erique

M´ethode de Fourier

On multiplie h(t) par une fenˆetre W telle que

h(t) W (t) = 0 pour t /∈ [t1; t2]

o`u W est une fenˆetre

Blackman

. . .

Probl`eme :

par cette troncature, on introduit des oscillations

(Gibbs)

Communication Num´erique

M´ethode de Fourier

On multiplie h(t) par une fenˆetre W telle que

h(t) W (t) = 0 pour t /∈ [t1; t2]

o`u W est une fenˆetre

cosinus sur´elev´e

. . .

Probl`eme :

Communication Num´erique

M´ethode de Fourier

On multiplie h(t) par une fenˆetre W telle que

h(t) W (t) = 0 pour t /∈ [t1; t2]

o`u W est une fenˆetre

. . .

Probl`eme : par cette troncature, on introduit des oscillations

(Gibbs)

Communication Num´erique

M´ethode de Fourier

=⇒ Introduction ondulations :

Gain du filtre n’est plus constant, mais d´epend (l´eg`erement)

de la fr´equence

diminution de la raideur du filtre

Communication Num´erique

M´ethode s´equentielle : Filtres RIF et RII

1 G´en´eralit´es sur les filtres

2 M´ethode de Fourier

3 M´ethode s´equentielle : Filtres RIF et RII

4 Filtrage adapt´e

5 Effet du bruit et probabilit´e d’erreur

6 Application : Crit`ere et Filtre de Nyquist

Interf´erence entre symboles (IES)

Cas id´eal - Filtre de Nyquist

Filtre en cosinus sur´elev´e

Filtre en racine de cosinus sur´elev´e

Filtre en cosinus sur´elev´e avec coefficient de retomb´ee

Communication Num´erique

M´ethode s´equentielle : Filtres RIF et RII

Filtres num´eriques ←→ Signaux ´echantillon´es

(xk)

(cid:45)

A

R.I. : h

(cid:45)(yk)

La relation g´en´erale s’´ecrit alors (convolution discr`ete) :

yk =

l=+∞

(cid:88)

l=−∞

hl xk−l

ou, (hn) est la r´eponse impulsionnelle (discrete) du filtre.

Communication Num´erique

M´ethode s´equentielle : Filtres RIF et RII

Transformation discr`ete de Fourier :

(cid:98)yk =

(cid:88)

n

yk e−2iπf n

(cid:88)

=

n

(cid:88)

=

hl

l

(cid:88)

=

hl

(cid:32)

(cid:88)

(cid:33)

hl xn−l

e−2iπf n

l

(cid:32)

(cid:88)

n

(cid:32)

(cid:88)

(cid:33)

xn−l e−2iπf n

(cid:33)

e−2iπf (n(cid:48)+l)

l

n(cid:48)

(cid:88)

=

hl e−2iπf l

l

(cid:33)

e−2iπf n(cid:48)

(cid:32)

(cid:88)

n(cid:48)

Communication Num´erique

M´ethode s´equentielle : Filtres RIF et RII

On retrouve ainsi la relation,

(cid:98)yk = (cid:99)hk (cid:99)xk

Filtre `a r´eponse impulsionnelle finie : RIF (FIR)

Ce sont des filtres tels que Supp h born´e,

c’est-`a-dire hn = 0 si n /∈ [n1; n2]

On a alors,

et d’autre part,

(cid:98)h(f ) =

n=n2(cid:88)

n=n1

hn e−2iπf n

yk =

l=n2(cid:88)

l=n1

hl xk−l

Communication Num´erique

M´ethode s´equentielle : Filtres RIF et RII

Sch´ema d’un filtre RIF

{xi, xi+1, . . . , xk}

ak

Tk

ak−1

Tk−1

(cid:80) yk

· · ·

· · ·

...

hn d´efinit ainsi un filtre

passe-bas.

Communication Num´erique

M´ethode s´equentielle : Filtres RIF et RII

Exemple simple de filtre num´erique

h tel que h0 = h1 =

1

2

C’est-`a-dire,

, et hn = 0 si n (cid:54)= 0 et n (cid:54)= 1.

(cid:88)

yk =

hl xk−l =

(xk + xk−1)

1

2

l

yk est une moyenne locale du signal xk d’entr´e.

On a alors,

(cid:98)h(f ) =

(cid:88)

n

hn e−2iπf n =

1

2

+

1

2

e−2iπf = e−iπf cos(πf )

et donc,

|(cid:98)h(f )|2 = cos2(πf ) ∼ 1 , f → 0

∼ 0 , f → ±π

Communication Num´erique

M´ethode s´equentielle : Filtres RIF et RII

Exemple simple de filtre num´erique

h tel que h0 = h1 =

1

2

C’est-`a-dire,

, et hn = 0 si n (cid:54)= 0 et n (cid:54)= 1.

(cid:88)

yk =

hl xk−l =

(xk + xk−1)

1

2

l

yk est une moyenne locale du signal xk d’entr´e.

On a alors,

(cid:98)h(f ) =

(cid:88)

n

hn e−2iπf n =

1

2

+

1

2

e−2iπf = e−iπf cos(πf )

et donc,

|(cid:98)h(f )|2 = cos2(πf ) ∼ 1 , f → 0

∼ 0 , f → ±π

hn d´efinit ainsi un filtre

passe-bas.

Communication Num´erique

M´ethode s´equentielle : Filtres RIF et RII

Les filtres FIR ne sont en g´en´eral pas suffisants (trops restrictifs).

On d´efinit alors les filtres `a R´eponse Impulsionnelle Infinie (RII, ou

IIR), pour lesquels on a :

(cid:98)h(f ) =

n=+∞

(cid:88)

n=−∞

hne−2iπf n , hn (cid:54)= 0

En pratique, il est impossible d’impl´ementer des suites de longueur

infinie.

On introduit alors ces filtres de mani`ere r´ecursive :

yk =

M

(cid:88)

n=0

βn xk−n −

N

(cid:88)

n=1

αn yk−n

yk est calcul´e `a partir de l’entr´ee xk et des valeurs ant´erieures de

yk : c’est un calcul it´eratif

Communication Num´erique

M´ethode s´equentielle : Filtres RIF et RII

Sch´ema d’un filtre RII

{xi, . . . , xk}

ak

Tk

bk

Tk

ak−1

Tk−1

bk−1

· · · · · ·

(cid:80)

yk

· · ·

· · ·

...

{yi, · · · , yk}

Communication Num´erique

M´ethode s´equentielle : Filtres RIF et RII

En r´eordonnant, on obtient, en posant α0 = 1,

α0 yk =

M

(cid:88)

n=0

βn xk−n −

N

(cid:88)

n=1

αn yk−n ⇐⇒

N

(cid:88)

n=0

αn yk−n =

M

(cid:88)

n=0

βn xk−n

soit, en prenant la transform´ee de Fourier,

(cid:32) N

(cid:88)

n=0

(cid:33)

αn e−2iπf n

(cid:98)y(f ) =

(cid:32) M

(cid:88)

n=0

(cid:33)

βn e−2iπf n

(cid:98)x(f )

d’o`u, la fonction de transfert,

H(f ) = (cid:98)h(f ) = (cid:98)y(f )

(cid:98)x(f )

=

M

(cid:88)

n=0

N

(cid:88)

n=0

βn e−2iπf n

αn e−2iπf n

=⇒ Les fr´equences de coupure sont les racines de P .

=⇒ Probl`eme de stabilit´e du filtre, si le d´enominateur s’an-

nule (racines de Q)

=⇒ En g´en´eral, existence d’un domaine de stabilit´e qu’il faut

respecter.

Communication Num´erique

M´ethode s´equentielle : Filtres RIF et RII

En utilisant une transform´ee en z (z = e−2iπf ),

H(f ) = (cid:101)H(z) =

M

(cid:88)

n=0

N

(cid:88)

n=0

βn zn

αn zn

=

βM zM + · · · + β1z + β0

αN zN + · · · + α1z + α0

=

P (z)

Q(z)

Communication Num´erique

M´ethode s´equentielle : Filtres RIF et RII

En utilisant une transform´ee en z (z = e−2iπf ),

H(f ) = (cid:101)H(z) =

M

(cid:88)

n=0

N

(cid:88)

n=0

βn zn

αn zn

=

βM zM + · · · + β1z + β0

αN zN + · · · + α1z + α0

=

P (z)

Q(z)

=⇒ Les fr´equences de coupure sont les racines de P .

=⇒ Probl`eme de stabilit´e du filtre, si le d´enominateur s’an-

nule (racines de Q)

=⇒ En g´en´eral, existence d’un domaine de stabilit´e qu’il faut

respecter.

Communication Num´erique

Filtrage adapt´e

1 G´en´eralit´es sur les filtres

2 M´ethode de Fourier

3 M´ethode s´equentielle : Filtres RIF et RII

4 Filtrage adapt´e

5 Effet du bruit et probabilit´e d’erreur

6 Application : Crit`ere et Filtre de Nyquist

Interf´erence entre symboles (IES)

Cas id´eal - Filtre de Nyquist

Filtre en cosinus sur´elev´e

Filtre en racine de cosinus sur´elev´e

Filtre en cosinus sur´elev´e avec coefficient de retomb´ee

Communication Num´erique

Filtrage adapt´e

Soit un signal cod´e avec la forme d’onde g(t) (formant du code en

ligne), et bruit´e :

x(t) = g(t) + w(t) , t ∈ [0; Tb]

o`u w est un BBAG de densit´e spectrale W (f ) =

N0

2

On cherche le filtre en reception h(t) :

y(t) = h(t) ∗ x(t) = g0(t) + n(t)

tel que le RSB en t = T (instant de d´ecision) :

η =

|g0(T )|2

E(n2(t))

soit maximal

Communication Num´erique

Filtrage adapt´e

On a :

g0(T ) = h(t) ∗ g(t) =

(cid:90)

IR

H(f ) G(f ) e2iπf T df

E(n2(t)) =

(cid:90)

IR

|H(f )|2 |W (f )|2 df =

N0

2

(cid:90)

IR

|H(f )|2 df

et,

d’o`u,

(cid:12)

(cid:90)

(cid:12)

(cid:12)

(cid:12)

IR

η =

2

(cid:12)

(cid:12)

(cid:12)

(cid:12)

H(f ) G(f ) e2iπf T df

N0

2

(cid:90)

IR

|H(f )|2 df

Communication Num´erique

Filtrage adapt´e

Par Cauchy-Schwarz, on a :

2

N0

avec ´egalit´e si et seulement si,

η ≤

(cid:90)

IR

|G(f )|2 df

H(f ) = k G(f ) e−2iπf T , k ∈ C

soit, pour des filtres r´eels,

h(t) = g(T − t)

Le filtre h(t) = g(T − t) est le filtre optimal, ou filtre adapt´e,

`a la d´etection du signal g(t) bruit´e.

Communication Num´erique

Effet du bruit et probabilit´e d’erreur

1 G´en´eralit´es sur les filtres

2 M´ethode de Fourier

3 M´ethode s´equentielle : Filtres RIF et RII

4 Filtrage adapt´e

5 Effet du bruit et probabilit´e d’erreur

6 Application : Crit`ere et Filtre de Nyquist

Interf´erence entre symboles (IES)

Cas id´eal - Filtre de Nyquist

Filtre en cosinus sur´elev´e

Filtre en racine de cosinus sur´elev´e

Filtre en cosinus sur´elev´e avec coefficient de retomb´ee

Communication Num´erique

Effet du bruit et probabilit´e d’erreur

Effet du bruit et probabilit´e d’erreur

Le filtre adapt´e est le filtre optimal pour la d´etection du signal

utile.

La mesure de la performance du filtrage (adapt´e ou non) est

donn´ee par la probabilit´e d’erreur :

probabilit´e de d´ecider qu’un bit 1 `a ´etait re¸cu alors

qu’un bit 0 a ´et´e envoy´e, ou inversement.

Communication Num´erique

Effet du bruit et probabilit´e d’erreur

Exemple de calcul de la probabilit´e d’erreur

On consid`ere un signal polaire NRZ :

x(t) =

(cid:40) +A + w(t) , si bit ´emis = +1

−A + w(t) , si bit ´emis = +0

D’apres le th´eoreme de Bayes, on a

pe = p(0|1) p1 + p(1|0) p0

avec,

(cid:40) p0, p1 les probabilit´es d’avoir un 0 ou un 1

p(0|1), p(1|0) les probabilit´es conditionnelles

Communication Num´erique

Effet du bruit et probabilit´e d’erreur

Soit Y la sortie du filtre adapt´e :

Y = g(−t) ∗ x(t) =

1

Tb

(cid:90) Tb

0

x(t) dt

et donc, si un 0 a ´et´e envoy´e,

Y = −A +

1

Tb

(cid:90) Tb

0

w(t) dt

d’o`u la densit´e de probabilit´e conditionnelle,

TY |0 =

√

1

2πσ2

(cid:18)

exp

−

(cid:19)

(y + A)2

2σ2

avec la variance σ du bruit w(t) gaussien : σ2 =

N0

2Tb

Communication Num´erique

Effet du bruit et probabilit´e d’erreur

On obtient alors, avec un seuil de d´ecision λ,

p(1|0) = pY |0(Y ≥ λ) =

(cid:90) +∞

λ

T (Y |0) dz =

(cid:32)

1

2

erfc

A + λ

(cid:112)N0/Tb

(cid:33)

avec la fonction d’erreur compl´ementaire :

erfc(u) =

2

√

π

On trouve de mˆeme,

(cid:90) +∞

e−s2

ds

u

(cid:32)

(cid:33)

A − λ

(cid:112)N0/Tb

p(0|1) =

1

2

erfc

Communication Num´erique

Effet du bruit et probabilit´e d’erreur

Au total, on obtient,

(cid:32)

p1

2

erfc

Dans le cas o`u, p0 = p1 =

alors,

, alors pe est minimum pour λ = 0 et

(cid:33)

+

p0

2

erfc

(cid:33)

(cid:32)

A + λ

(cid:112)N0/Tb

A − λ

(cid:112)N0/Tb

1

2

pe =

1

2

erfc

(cid:33)

(cid:32)

A

(cid:112)N0/Tb

et donc, si on pose εb = A2 Tb, l’´energie par bit (impulsion

d’amplitude A de dur´ee Tb), alors,

pe =

1

2

erfc

(cid:19)

(cid:18)(cid:114) εb

N0

Communication Num´erique

Effet du bruit et probabilit´e d’erreur

pe =

1

2

erfc

(cid:19)

(cid:18)(cid:114) εb

N0

(cid:114) εb

N0

Communication Num´erique

Application : Crit`ere et Filtre de Nyquist

1 G´en´eralit´es sur les filtres

2 M´ethode de Fourier

3 M´ethode s´equentielle : Filtres RIF et RII

4 Filtrage adapt´e

5 Effet du bruit et probabilit´e d’erreur

6 Application : Crit`ere et Filtre de Nyquist

Interf´erence entre symboles (IES)

Cas id´eal - Filtre de Nyquist

Filtre en cosinus sur´elev´e

Filtre en racine de cosinus sur´elev´e

Filtre en cosinus sur´elev´e avec coefficient de retomb´ee

Communication Num´erique

Application : Crit`ere et Filtre de Nyquist

Interf´erence entre symboles (IES)

1 G´en´eralit´es sur les filtres

2 M´ethode de Fourier

3 M´ethode s´equentielle : Filtres RIF et RII

4 Filtrage adapt´e

5 Effet du bruit et probabilit´e d’erreur

6 Application : Crit`ere et Filtre de Nyquist

Interf´erence entre symboles (IES)

Cas id´eal - Filtre de Nyquist

Filtre en cosinus sur´elev´e

Filtre en racine de cosinus sur´elev´e

Filtre en cosinus sur´elev´e avec coefficient de retomb´ee

Communication Num´erique

Application : Crit`ere et Filtre de Nyquist

Interf´erence entre symboles (IES)

Interf´erence entre symboles (IES)

Interf´erence entre symboles :

L’interf´erence entre symboles est un ph´enom`ene qui se

produit si le niveau ´echantillonn´e `a l’instant de d´ecision

ne d´epend pas du seul symbole attendu, mais se trouve

alt´er´e par la superposition d’un ou plusieurs autres sym-

boles voisins.

Communication Num´erique

Application : Crit`ere et Filtre de Nyquist

Interf´erence entre symboles (IES)

Interf´erence entre symboles (IES)

R´eponse globale du syst`eme, avec filtre adapt´e en r´eception :

(an)

(cid:45)

h(t)

Bruit

(cid:63)

(cid:45)(cid:77)

(cid:45) h(−t)

(cid:45)y(t)

Codage en ligne

Filtrage adapt´e

On a alors,

y(t) =

(cid:88)

n

anr(t − nT ) + bruit

avec la r´eponse globale du syst`eme :

r(t) = h(t) ∗ h(−t)

Symbole

`a d´etecter

IES

bruit

Communication Num´erique

Application : Crit`ere et Filtre de Nyquist

Interf´erence entre symboles (IES)

Interf´erence entre symboles (IES)

R´eponse en sortie du filtre adapt´e :

y(t) =

(cid:88)

n

anr(t − nT ) + bruit

Echantillonnage aux instants t = kT :

y(kT ) =

(cid:88)

n

anr(kT − nT ) + bk

Symbole

`a d´etecter

IES

bruit

Communication Num´erique

Application : Crit`ere et Filtre de Nyquist

Interf´erence entre symboles (IES)

Interf´erence entre symboles (IES)

R´eponse en sortie du filtre adapt´e :

y(t) =

(cid:88)

n

anr(t − nT ) + bruit

Echantillonnage aux instants t = kT :

y(kT ) =

(cid:88)

n

anr(kT − nT ) + bk

= ak r(0) +

(cid:88)

n(cid:54)=k

anr ((k − n)T ) + bk

Communication Num´erique

Application : Crit`ere et Filtre de Nyquist

Interf´erence entre symboles (IES)

Interf´erence entre symboles (IES)

R´eponse en sortie du filtre adapt´e :

y(t) =

(cid:88)

n

anr(t − nT ) + bruit

Echantillonnage aux instants t = kT :

y(kT ) =

(cid:88)

n

anr(kT − nT ) + bk

= ak r(0)

(cid:124) (cid:123)(cid:122) (cid:125)

+

Symbole

`a d´etecter

(cid:88)

n(cid:54)=k

(cid:124)

anr ((k − n)T )

+ bk

(cid:124)(cid:123)(cid:122)(cid:125)

(cid:123)(cid:122)

(cid:125)

IES

bruit

Communication Num´erique

Application : Crit`ere et Filtre de Nyquist

Interf´erence entre symboles (IES)

Interf´erence entre symboles (IES)

Communication Num´erique

Application : Crit`ere et Filtre de Nyquist

Interf´erence entre symboles (IES)

Interf´erence entre symboles (IES)

On appelle distortion maximale, le ratio :

|anr(nT )|

|r(0)|

|r(nT )|

(cid:88)

n(cid:54)=0

(cid:88)

n(cid:54)=0

|r(0)|

,

si an ∈ {−1, +1}

Dmax =

=







Dmax ≥ 1 =⇒ IES provoque une erreur de d´etection

Dmax < 1 =⇒ Condition n´ecessaire pour la bonne

r´eception du message

Communication Num´erique

Application : Crit`ere et Filtre de Nyquist

Interf´erence entre symboles (IES)

Diagramme de l’œil

Communication Num´erique

Application : Crit`ere et Filtre de Nyquist

Interf´erence entre symboles (IES)

En l’abscence d’IES, l’œil est completement “ouvert” a l’instant de

d´ecision ; tous les trajets passsent par deux points seulement (en

binaire, M points en M-aires).

(a) Ouverture verticale : immunit´e au bruit

(b) Ouverture horizontale : immununit´e au d´ephasage d’horloge

Communication Num´erique

Application : Crit`ere et Filtre de Nyquist

Cas id´eal - Filtre de Nyquist

1 G´en´eralit´es sur les filtres

2 M´ethode de Fourier

3 M´ethode s´equentielle : Filtres RIF et RII

4 Filtrage adapt´e

5 Effet du bruit et probabilit´e d’erreur

6 Application : Crit`ere et Filtre de Nyquist

Interf´erence entre symboles (IES)

Cas id´eal - Filtre de Nyquist

Filtre en cosinus sur´elev´e

Filtre en racine de cosinus sur´elev´e

Filtre en cosinus sur´elev´e avec coefficient de retomb´ee

Communication Num´erique

Application : Crit`ere et Filtre de Nyquist

Cas id´eal - Filtre de Nyquist

Cas id´eal - Filtre de Nyquist

C’est le cas Dmax = 0.

Cela revient `a :

(cid:40) r(kT ) = 0 , ∀k (cid:54)= 0

r(0) (cid:54)= 0

Dans ce cas, le filtre, de R.I. r(t), est dit de Nyquist.

Remarque : La condition de Nyquist est trivialement satisfaite

lorsque l’impulsion h(t) est de dur´ee plus petite

que T , et donc |Supp(h)| ≤ 2T

Communication Num´erique

Application : Crit`ere et Filtre de Nyquist

Cas id´eal - Filtre de Nyquist

Crit`ere de Nyquist fr´equentiel

Le crit`ere de Nyquist implique que :

(cid:88)

n

r(t − nT ) = r(t)

(cid:88)

n

δ(t − nT ) = r(0)δt

soit, dans le domaine fr´equentiel :

(cid:98)r(f ) ∗

1

T

(cid:88)

(cid:16)

δ

f −

n

(cid:17)

n

T

= r(0)

soit,

(cid:16)

(cid:88)

n

T

c’est-`a-dire, (cid:98)r doit ˆetre constant sur une largeur de bande B ≥ 1

2T .

On appelle bande de Nyquist la largeur de bande minimale :

= T r(0)

f −

(cid:98)r

n

(cid:17)

Bmin =

1

2T

Communication Num´erique

Application : Crit`ere et Filtre de Nyquist

Cas id´eal - Filtre de Nyquist

Choix le plus simple :

R(f ) = T r(0) Rect1/T (f ) =

(cid:26) 1 , si |f | ≤ 1

2T

0 , sinon

On a alors,

r(t) = r(0) sinc

(cid:19)

(cid:18) t

T

Communication Num´erique

Application : Crit`ere et Filtre de Nyquist

Cas id´eal - Filtre de Nyquist

Inconv´enients des filtres de Nyquist

A l’instant d’´echantillonnage exact t = kT , on a

r(kT ) = sinc(kT ) = 0 , mboxet r(0) = 0

c’est-`a-dire, Dmax = 0.

Mais, si l’instant d’´echantillonnage est nettement moins pr´ecis `a la

r´eception : t = kT + ε, avec ε (cid:54)= 0, alors,

(cid:16)

(cid:12)

(cid:12)

(cid:12)sinc

kπ +

πε

T

(cid:17)(cid:12)

(cid:12)

(cid:12) = +∞

(cid:88)

k

=⇒ Aucune tol´erance vis-`a-vis de l’instant d’´echantillonnage

Communication Num´erique

Application : Crit`ere et Filtre de Nyquist

Filtre en cosinus sur´elev´e

1 G´en´eralit´es sur les filtres

2 M´ethode de Fourier

3 M´ethode s´equentielle : Filtres RIF et RII

4 Filtrage adapt´e

5 Effet du bruit et probabilit´e d’erreur

6 Application : Crit`ere et Filtre de Nyquist

Interf´erence entre symboles (IES)

Cas id´eal - Filtre de Nyquist

Filtre en cosinus sur´elev´e

Filtre en racine de cosinus sur´elev´e

Filtre en cosinus sur´elev´e avec coefficient de retomb´ee

Communication Num´erique

Application : Crit`ere et Filtre de Nyquist

Filtre en cosinus sur´elev´e

Filtre en cosinus sur´elev´e

Si ak+1 = −ak, alors,

(k + 1)T ,

le cas optimal ´etant :

(cid:88)

n

(cid:88)

n

an r(t − nT ) doit s’annuler entre kT et

anr(t − nT ) = 0 pour t = (cid:0)k + 1

2

(cid:1) T

1`ere solution : r (cid:0)(cid:0)k + 1

2

(cid:1) T (cid:1) = 0 =⇒ r(t) = sinc

(cid:19)

(cid:18) 2πt

T

2`eme solution : On impose

r(t) =







r(0)

2

0

,

si t = ±

T

2

sit = ±T, ±

3

2

T, ±2T, . . . , ±

kT

2

Communication Num´erique

Application : Crit`ere et Filtre de Nyquist

Filtre en cosinus sur´elev´e

De cette fa¸con, on a, en t = (cid:0)k + 1

2

(cid:1) T







si ak+1 = −ak ,

si ak+1 = ak , ±

r(0)

−

2

(cid:18) r(0)

2

r(0)

2

r(0)

2

+

= 0

(cid:19)

= ±r(0)

La fonction

(cid:20)

r(t) =

sinc

(cid:19)

(cid:18) 2πt

T

+

1

2

sinc

(cid:18) 2π

T

(cid:18)

t +

T

2

(cid:19)(cid:19)

+

1

2

sinc

(cid:18) 2π

T

(cid:18)

t −

T

2

(cid:19)(cid:19)(cid:21)

v´erifie ce crit`ere, et on a :

r(t) = r(0)

sinc (cid:0) 2πt

T

1 − (cid:0) 2t

T

(cid:1)

(cid:1)2 = r(0) sinc

(cid:19)

(cid:18) πt

T

cosc

(cid:19)

(cid:18) πt

T

Communication Num´erique

Application : Crit`ere et Filtre de Nyquist

Filtre en cosinus sur´elev´e

avec la fonction cosinus cardinal : cosc(x) =

=⇒ On a alors une d´ecroissance en

1

n2 (et

cos x

1 − x2

1

n2 < +∞)

(cid:88)

n

Dans le domaine fr´equentiel, fonction de trnasfert associ´ee est :

R(f ) =

T r(0)

2

[1 + cos(πf T )]

,

|f | ≤

1

T

“1 + cos” : Filtre en cosinus sur´elev´e

Communication Num´erique

Application : Crit`ere et Filtre de Nyquist

Filtre en racine de cosinus sur´elev´e

1 G´en´eralit´es sur les filtres

2 M´ethode de Fourier

3 M´ethode s´equentielle : Filtres RIF et RII

4 Filtrage adapt´e

5 Effet du bruit et probabilit´e d’erreur

6 Application : Crit`ere et Filtre de Nyquist

Interf´erence entre symboles (IES)

Cas id´eal - Filtre de Nyquist

Filtre en cosinus sur´elev´e

Filtre en racine de cosinus sur´elev´e

Filtre en cosinus sur´elev´e avec coefficient de retomb´ee

Communication Num´erique

Application : Crit`ere et Filtre de Nyquist

Filtre en racine de cosinus sur´elev´e

Filtre en racine de cosinus sur´elev´e

Probleme : r(t) ainsi calcul´e est la R.I. globale du systeme,

r(t) = h(t) ∗ h(−t)

−→ D´etermination de h(t) ?

R(f ) =

T r(0)

2

[1 + cos(πf T )] = T r(0) cos2

(cid:19)

(cid:18) πf T

2

=⇒ H(f ) = (cid:112)T r(0) cos

(cid:19)

(cid:18) πf T

2

tel que R(f ) = |H(f )|2. Alors,

H(f ) = (cid:112)T r(0)

ei πf T

2 + ei πf T

2

2

Rect2/T (f )

Communication Num´erique

Application : Crit`ere et Filtre de Nyquist

Filtre en racine de cosinus sur´elev´e

La transform´ee de Fourier inverse donne alors la R.I.

h(t) =

(cid:112)T r(0)

2

(cid:20)

sinc

(cid:18) 2t

T

−

(cid:19)

1

2

+ sinc

(cid:19)(cid:21)

(cid:18) 2t

T

+

1

2

soit aussi,

h(t) =

2

π

(cid:112)T r(0) cosc

(cid:19)

(cid:18) 2t

T

−→ Probleme : h(t) ne v´erifie pas le critere de Nyquist...

Communication Num´erique

Application : Crit`ere et Filtre de Nyquist

Filtre en cosinus sur´elev´e avec coefficient de retomb´ee

1 G´en´eralit´es sur les filtres

2 M´ethode de Fourier

3 M´ethode s´equentielle : Filtres RIF et RII

4 Filtrage adapt´e

5 Effet du bruit et probabilit´e d’erreur

6 Application : Crit`ere et Filtre de Nyquist

Interf´erence entre symboles (IES)

Cas id´eal - Filtre de Nyquist

Filtre en cosinus sur´elev´e

Filtre en racine de cosinus sur´elev´e

Filtre en cosinus sur´elev´e avec coefficient de retomb´ee

Communication Num´erique

Application : Crit`ere et Filtre de Nyquist

Filtre en cosinus sur´elev´e avec coefficient de retomb´ee

Filtre de Nyquist : R0(f )

Filtre en cosinus sur´elev´e : R1(f )

En pratique, on utilise un compromis entre R0 et R,

Rα , avec 0 ≤ α ≤ 1 , et







Rα = R0 , pour α = 0

Rα = R1 , pour α = 1

Communication Num´erique

Application : Crit`ere et Filtre de Nyquist

Filtre en cosinus sur´elev´e avec coefficient de retomb´ee

On remarque que pour α = 1, on a

r(t) = sinc

(cid:19)

(cid:18) πt

T

cosc

(cid:19)

(cid:18) πt

T

= rO(t)

=⇒ R(f ) = R0(f ) ∗ C(f )

avec, C(f ) = T.F.

cosc

(cid:18)

(cid:19)(cid:19)

(cid:18) πt

T

On remplace alors C(f ) par

1

α

C

Rα = R0(f ) ∗

πT

2

(cid:19)

,

=

(cid:18) f

α

1

α

(cid:19)

(cid:18) f

α

C

cos (πf T ) Rect1/T (f )

Communication Num´erique

Application : Crit`ere et Filtre de Nyquist

Filtre en cosinus sur´elev´e avec coefficient de retomb´ee

En temporel, on a alors,

rα(t) = r0(t) cosc

(cid:19)

(cid:18) αt

T

= sinc

(cid:19)

(cid:18) πt

T

cosc

(cid:19)

(cid:18) αt

T

et donc le compromis :

• Tol´erance au bruit α = 0

• Tol´erance `a l’instant d’´echantillonnage α = 1