Communication Num´erique

(xk)

(cid:45)

A

R.I. : h

(cid:45)(yk)

La relation générale s’écrit alors (convolution discrète) :

yk =

l=+∞

(cid:88)

l=−∞

hl xk−l

ou, (hn) est la réponse impulsionnelle (discrete) du filtre.

Communication Numérique

Méthode séquentielle : Filtres RIF et RII

Transformation discrète de Fourier :

(cid:98)yk =

(cid:88)

n

yk e−2iπf n

(cid:88)

=

n

(cid:88)

=

hl

l

(cid:88)

=

hl

(cid:32)

(cid:88)

(cid:33)

hl xn−l

e−2iπf n

l

(cid:32)

(cid:88)

n

(cid:32)

(cid:88)

(cid:33)

xn−l e−2iπf n

(cid:33)

e−2iπf (n(cid:48)+l)

l

n(cid:48)

(cid:88)

=

hl e−2iπf l

l

(cid:33)

e−2iπf n(cid:48)

(cid:32)

(cid:88)

n(cid:48)

Communication Numérique

Méthode séquentielle : Filtres RIF et RII

On retrouve ainsi la relation,

(cid:98)yk = (cid:99)hk (cid:99)xk

Filtre à réponse impulsionnelle finie : RIF (FIR)

Ce sont des filtres tels que Supp h borné,

c’est-à-dire hn = 0 si n /∈ [n1; n2]

On a alors,

et d’autre part,

(cid:98)h(f ) =

n=n2(cid:88)

n=n1

hn e−2iπf n

yk =

l=n2(cid:88)

l=n1

hl xk−l

Communication Numérique

Méthode séquentielle : Filtres RIF et RII

Schéma d’un filtre RIF

{xi, xi+1, . . . , xk}

ak

Tk

ak−1

Tk−1

(cid:80) yk

· · ·

· · ·

...

hn définit ainsi un filtre

passe-bas.

Communication Numérique

Méthode séquentielle : Filtres RIF et RII

Exemple simple de filtre numérique

h tel que h0 = h1 =

1

2

C’est-à-dire,

, et hn = 0 si n (cid:54)= 0 et n (cid:54)= 1.

(cid:88)

yk =

hl xk−l =

(xk + xk−1)

1

2

l

yk est une moyenne locale du signal xk d’entré.

On a alors,

(cid:98)h(f ) =

(cid:88)

n

hn e−2iπf n =

1

2

+

1

2

e−2iπf = e−iπf cos(πf )

et donc,

|(cid:98)h(f )|2 = cos2(πf ) ∼ 1 , f → 0

∼ 0 , f → ±π

Communication Numérique

Méthode séquentielle : Filtres RIF et RII

Exemple simple de filtre numérique

h tel que h0 = h1 =

1

2

C’est-à-dire,

, et hn = 0 si n (cid:54)= 0 et n (cid:54)= 1.

(cid:88)

yk =

hl xk−l =

(xk + xk−1)

1

2

l

yk est une moyenne locale du signal xk d’entré.

On a alors,

(cid:98)h(f ) =

(cid:88)

n

hn e−2iπf n =

1

2

+

1

2

e−2iπf = e−iπf cos(πf )

et donc,

|(cid:98)h(f )|2 = cos2(πf ) ∼ 1 , f → 0

∼ 0 , f → ±π

hn définit ainsi un filtre

passe-bas.

Communication Numérique

Méthode séquentielle : Filtres RIF et RII

Les filtres FIR ne sont en général pas suffisants (trops restrictifs).

On définit alors les filtres à Réponse Impulsionnelle Infinie (RII, ou

IIR), pour lesquels on a :

(cid:98)h(f ) =

n=+∞

(cid:88)

n=−∞

hne−2iπf n , hn (cid:54)= 0

En pratique, il est impossible d’implémenter des suites de longueur

infinie.

On introduit alors ces filtres de manière récursive :

yk =

M

(cid:88)

n=0

βn xk−n −

N

(cid:88)

n=1

αn yk−n

yk est calculé à partir de l’entrée xk et des valeurs antérieures de

yk : c’est un calcul itératif

Communication Numérique

Méthode séquentielle : Filtres RIF et RII

Schéma d’un filtre RII

{xi, . . . , xk}

ak

Tk

bk

Tk

ak−1

Tk−1

bk−1

· · · · · ·

(cid:80)

yk

· · ·

· · ·

...

{yi, · · · , yk}

Communication Numérique

Méthode séquentielle : Filtres RIF et RII

En réordonnant, on obtient, en posant α0 = 1,

α0 yk =

M

(cid:88)

n=0

βn xk−n −

N

(cid:88)

n=1

αn yk−n ⇐⇒

N

(cid:88)

n=0

αn yk−n =

M

(cid:88)

n=0

βn xk−n

soit, en prenant la transformée de Fourier,

(cid:32) N

(cid:88)

n=0

(cid:33)

αn e−2iπf n

(cid:98)y(f ) =

(cid:32) M

(cid:88)

n=0

(cid:33)

βn e−2iπf n

(cid:98)x(f )

d’où, la fonction de transfert,

H(f ) = (cid:98)h(f ) = (cid:98)y(f )

(cid:98)x(f )

=

M

(cid:88)

n=0

N

(cid:88)

n=0

βn e−2iπf n

αn e−2iπf n

=⇒ Les fréquences de coupure sont les racines de P .

=⇒ Problème de stabilité du filtre, si le dénominateur s’an-

nule (racines de Q)

=⇒ En général, existence d’un domaine de stabilité qu’il faut

respecter.

Communication Numérique

Méthode séquentielle : Filtres RIF et RII

En utilisant une transformée en z (z = e−2iπf ),

H(f ) = (cid:101)H(z) =

M

(cid:88)

n=0

N

(cid:88)

n=0

βn zn

αn zn

=

βM zM + · · · + β1z + β0

αN zN + · · · + α1z + α0

=

P (z)

Q(z)

Communication Numérique

Méthode séquentielle : Filtres RIF et RII

En utilisant une transformée en z (z = e−2iπf ),

H(f ) = (cid:101)H(z) =

M

(cid:88)

n=0

N

(cid:88)

n=0

βn zn

αn zn

=

βM zM + · · · + β1z + β0

αN zN + · · · + α1z + α0

=

P (z)

Q(z)

=⇒ Les fréquences de coupure sont les racines de P .

=⇒ Problème de stabilité du filtre, si le dénominateur s’an-

nule (racines de Q)

=⇒ En général, existence d’un domaine de stabilité qu’il faut

respecter.

Communication Numérique

Filtrage adapté

1 Généralités sur les filtres

2 Méthode de Fourier

3 Méthode séquentielle : Filtres RIF et RII

4 Filtrage adapté

5 Effet du bruit et probabilité d’erreur

6 Application : Critère et Filtre de Nyquist

Interférence entre symboles (IES)

Cas idéal - Filtre de Nyquist

Filtre en cosinus surélevé

Filtre en racine de cosinus surélevé

Filtre en cosinus surélevé avec coefficient de retombée

Communication Numérique

Filtrage adapté

Soit un signal codé avec la forme d’onde g(t) (formant du code en

ligne), et bruité :

x(t) = g(t) + w(t) , t ∈ [0; Tb]

où w est un BBAG de densité spectrale W (f ) =

N0

2

On cherche le filtre en reception h(t) :

y(t) = h(t) ∗ x(t) = g0(t) + n(t)

tel que le RSB en t = T (instant de décision) :

η =

|g0(T )|2

E(n2(t))

soit maximal

Communication Numérique

Filtrage adapté

On a :

g0(T ) = h(t) ∗ g(t) =

(cid:90)

IR

H(f ) G(f ) e2iπf T df

E(n2(t)) =

(cid:90)

IR

|H(f )|2 |W (f )|2 df =

N0

2

(cid:90)

IR

|H(f )|2 df

et,

d’où,

(cid:12)

(cid:90)

(cid:12)

(cid:12)

(cid:12)

IR

η =

2

(cid:12)

(cid:12)

(cid:12)

(cid:12)

H(f ) G(f ) e2iπf T df

N0

2

(cid:90)

IR

|H(f )|2 df

Communication Numérique

Filtrage adapté

Par Cauchy-Schwarz, on a :

2

N0

avec égalité si et seulement si,

η ≤

(cid:90)

IR

|G(f )|2 df

H(f ) = k G(f ) e−2iπf T , k ∈ C

soit, pour des filtres réels,

h(t) = g(T − t)

Le filtre h(t) = g(T − t) est le filtre optimal, ou filtre adapté,

à la détection du signal g(t) bruité.

Communication Numérique

Effet du bruit et probabilité d’erreur

1 Généralités sur les filtres

2 Méthode de Fourier

3 Méthode séquentielle : Filtres RIF et RII

4 Filtrage adapté

5 Effet du bruit et probabilité d’erreur

6 Application : Critère et Filtre de Nyquist

Interférence entre symboles (IES)

Cas idéal - Filtre de Nyquist

Filtre en cosinus surélevé

Filtre en racine de cosinus surélevé

Filtre en cosinus surélevé avec coefficient de retombée

Communication Numérique

Effet du bruit et probabilité d’erreur

Effet du bruit et probabilité d’erreur

Le filtre adapté est le filtre optimal pour la détection du signal

utile.

La mesure de la performance du filtrage (adapté ou non) est

donnée par la probabilité d’erreur :

probabilité de décider qu’un bit 1 à était reçu alors

qu’un bit 0 a été envoyé, ou inversement.

Communication Numérique

Effet du bruit et probabilité d’erreur

Exemple de calcul de la probabilité d’erreur

On considère un signal polaire NRZ :

x(t) =

(cid:40) +A + w(t) , si bit émis = +1

−A + w(t) , si bit émis = +0

D’apres le théoreme de Bayes, on a

pe = p(0|1) p1 + p(1|0) p0

avec,

(cid:40) p0, p1 les probabilités d’avoir un 0 ou un 1

p(0|1), p(1|0) les probabilités conditionnelles

Communication Numérique

Effet du bruit et probabilité d’erreur

Soit Y la sortie du filtre adapté :

Y = g(−t) ∗ x(t) =

1

Tb

(cid:90) Tb

0

x(t) dt

et donc, si un 0 a été envoyé,

Y = −A +

1

Tb

(cid:90) Tb

0

w(t) dt

d’où la densité de probabilité conditionnelle,

TY |0 =

√

1

2πσ2

(cid:18)

exp

−

(cid:19)

(y + A)2

2σ2

avec la variance σ du bruit w(t) gaussien : σ2 =

N0

2Tb

Communication Numérique

Effet du bruit et probabilité d’erreur

On obtient alors, avec un seuil de décision λ,

p(1|0) = pY |0(Y ≥ λ) =

(cid:90) +∞

λ

T (Y |0) dz =

(cid:32)

1

2

erfc

A + λ

(cid:112)N0/Tb

(cid:33)

avec la fonction d’erreur complémentaire :

erfc(u) =

2

√

π

On trouve de même,

(cid:90) +∞

e−s2

ds

u

(cid:32)

(cid:33)

A − λ

(cid:112)N0/Tb

p(0|1) =

1

2

erfc

Communication Numérique

Effet du bruit et probabilité d’erreur

Au total, on obtient,

(cid:32)

p1

2

erfc

Dans le cas où, p0 = p1 =

alors,

, alors pe est minimum pour λ = 0 et

(cid:33)

+

p0

2

erfc

(cid:33)

(cid:32)

A + λ

(cid:112)N0/Tb

A − λ

(cid:112)N0/Tb

1

2

pe =

1

2

erfc

(cid:33)

(cid:32)

A

(cid:112)N0/Tb

et donc, si on pose εb = A2 Tb, l’énergie par bit (impulsion

d’amplitude A de durée Tb), alors,

pe =

1

2

erfc

(cid:19)

(cid:18)(cid:114) εb

N0

Communication Numérique

Effet du bruit et probabilité d’erreur

pe =

1

2

erfc

(cid:19)

(cid:18)(cid:114) εb

N0

(cid:114) εb

N0

Communication Numérique

Application : Critère et Filtre de Nyquist

1 Généralités sur les filtres

2 Méthode de Fourier

3 Méthode séquentielle : Filtres RIF et RII

4 Filtrage adapté

5 Effet du bruit et probabilité d’erreur

6 Application : Critère et Filtre de Nyquist

Interférence entre symboles (IES)

Cas idéal - Filtre de Nyquist

Filtre en cosinus surélevé

Filtre en racine de cosinus surélevé

Filtre en cosinus surélevé avec coefficient de retombée

Communication Numérique

Application : Critère et Filtre de Nyquist

Interférence entre symboles (IES)

1 Généralités sur les filtres

2 Méthode de Fourier

3 Méthode séquentielle : Filtres RIF et RII

4 Filtrage adapté

5 Effet du bruit et probabilité d’erreur

6 Application : Critère et Filtre de Nyquist

Interférence entre symboles (IES)

Cas idéal - Filtre de Nyquist

Filtre en cosinus surélevé

Filtre en racine de cosinus surélevé

Filtre en cosinus surélevé avec coefficient de retombée

Communication Numérique

Application : Critère et Filtre de Nyquist

Interférence entre symboles (IES)

Interférence entre symboles (IES)

Interférence entre symboles :

L’interférence entre symboles est un phénomène qui se

produit si le niveau échantillonné à l’instant de décision

ne dépend pas du seul symbole attendu, mais se trouve

altéré par la superposition d’un ou plusieurs autres sym-

boles voisins.

Communication Numérique

Application : Critère et Filtre de Nyquist

Interférence entre symboles (IES)

Interférence entre symboles (IES)

Réponse globale du système, avec filtre adapté en réception :

(an)

(cid:45)

h(t)

Bruit

(cid:63)

(cid:45)(cid:77)

(cid:45) h(−t)

(cid:45)y(t)

Codage en ligne

Filtrage adapté

On a alors,

y(t) =

(cid:88)

n

anr(t − nT ) + bruit

avec la réponse globale du système :

r(t) = h(t) ∗ h(−t)

Symbole

à détecter

IES

bruit

Communication Numérique

Application : Critère et Filtre de Nyquist

Interférence entre symboles (IES)

Interférence entre symboles (IES)

Réponse en sortie du filtre adapté :

y(t) =

(cid:88)

n

anr(t − nT ) + bruit

Echantillonnage aux instants t = kT :

y(kT ) =

(cid:88)

n

anr(kT − nT ) + bk

Symbole

à détecter

IES

bruit

Communication Numérique

Application : Critère et Filtre de Nyquist

Interférence entre symboles (IES)

Interférence entre symboles (IES)

Réponse en sortie du filtre adapté :

y(t) =

(cid:88)

n

anr(t − nT ) + bruit

Echantillonnage aux instants t = kT :

y(kT ) =

(cid:88)

n

anr(kT − nT ) + bk

= ak r(0) +

(cid:88)

n(cid:54)=k

anr ((k − n)T ) + bk

Communication Numérique

Application : Critère et Filtre de Nyquist

Interférence entre symboles (IES)

Interférence entre symboles (IES)

Réponse en sortie du filtre adapté :

y(t) =

(cid:88)

n

anr(t − nT ) + bruit

Echantillonnage aux instants t = kT :

y(kT ) =

(cid:88)

n

anr(kT − nT ) + bk

= ak r(0)

(cid:124) (cid:123)(cid:122) (cid:125)

+

Symbole

à détecter

(cid:88)

n(cid:54)=k

(cid:124)

anr ((k − n)T )

+ bk

(cid:124)(cid:123)(cid:122)(cid:125)

(cid:123)(cid:122)

(cid:125)

IES

bruit

Communication Numérique

Application : Critère et Filtre de Nyquist

Interférence entre symboles (IES)

Interférence entre symboles (IES)

Communication Numérique

Application : Critère et Filtre de Nyquist

Interférence entre symboles (IES)

Interférence entre symboles (IES)

On appelle distortion maximale, le ratio :

|anr(nT )|

|r(0)|

|r(nT )|

(cid:88)

n(cid:54)=0

(cid:88)

n(cid:54)=0

|r(0)|

,

si an ∈ {−1, +1}

Dmax =

=







Dmax ≥ 1 =⇒ IES provoque une erreur de détection

Dmax < 1 =⇒ Condition nécessaire pour la bonne

réception du message

Communication Numérique

Application : Critère et Filtre de Nyquist

Interférence entre symboles (IES)

Diagramme de l’œil

Communication Numérique

Application : Critère et Filtre de Nyquist

Interférence entre symboles (IES)

En l’abscence d’IES, l’œil est completement “ouvert” a l’instant de

décision ; tous les trajets passsent par deux points seulement (en

binaire, M points en M-aires).

(a) Ouverture verticale : immunité au bruit

(b) Ouverture horizontale : immununité au déphasage d’horloge

Communication Numérique

Application : Critère et Filtre de Nyquist

Cas idéal - Filtre de Nyquist

1 Généralités sur les filtres

2 Méthode de Fourier

3 Méthode séquentielle : Filtres RIF et RII

4 Filtrage adapté

5 Effet du bruit et probabilité d’erreur

6 Application : Critère et Filtre de Nyquist

Interférence entre symboles (IES)

Cas idéal - Filtre de Nyquist

Filtre en cosinus surélevé

Filtre en racine de cosinus surélevé

Filtre en cosinus surélevé avec coefficient de retombée

Communication Numérique

Application : Critère et Filtre de Nyquist

Cas idéal - Filtre de Nyquist

Cas idéal - Filtre de Nyquist

C’est le cas Dmax = 0.

Cela revient à :

(cid:40) r(kT ) = 0 , ∀k (cid:54)= 0

r(0) (cid:54)= 0

Dans ce cas, le filtre, de R.I. r(t), est dit de Nyquist.

Remarque : La condition de Nyquist est trivialement satisfaite

lorsque l’impulsion h(t) est de durée plus petite

que T , et donc |Supp(h)| ≤ 2T

Communication Numérique

Application : Critère et Filtre de Nyquist

Cas idéal - Filtre de Nyquist

Critère de Nyquist fréquentiel

Le critère de Nyquist implique que :

(cid:88)

n

r(t − nT ) = r(t)

(cid:88)

n

δ(t − nT ) = r(0)δt

soit, dans le domaine fréquentiel :

(cid:98)r(f ) ∗

1

T

(cid:88)

(cid:16)

δ

f −

n

(cid:17)

n

T

= r(0)

soit,

(cid:16)

(cid:88)

n

T

c’est-à-dire, (cid:98)r doit être constant sur une largeur de bande B ≥ 1

2T .

On appelle bande de Nyquist la largeur de bande minimale :

= T r(0)

f −

(cid:98)r

n

(cid:17)

Bmin =

1

2T

Communication Numérique

Application : Critère et Filtre de Nyquist

Cas idéal - Filtre de Nyquist

Choix le plus simple :

R(f ) = T r(0) Rect1/T (f ) =

(cid:26) 1 , si |f | ≤ 1

2T

0 , sinon

On a alors,

r(t) = r(0) sinc

(cid:19)

(cid:18) t

T

Communication Numérique

Application : Critère et Filtre de Nyquist

Cas idéal - Filtre de Nyquist

Inconvénients des filtres de Nyquist

A l’instant d’échantillonnage exact t = kT , on a

r(kT ) = sinc(kT ) = 0 , mboxet r(0) = 0

c’est-à-dire, Dmax = 0.

Mais, si l’instant d’échantillonnage est nettement moins précis à la

réception : t = kT + ε, avec ε (cid:54)= 0, alors,

(cid:16)

(cid:12)

(cid:12)

(cid:12)sinc

kπ +

πε

T

(cid:17)(cid:12)

(cid:12)

(cid:12) = +∞

(cid:88)

k

=⇒ Aucune tolérance vis-à-vis de l’instant d’échantillonnage

Communication Numérique

Application : Critère et Filtre de Nyquist

Filtre en cosinus surélevé

1 Généralités sur les filtres

2 Méthode de Fourier

3 Méthode séquentielle : Filtres RIF et RII

4 Filtrage adapté

5 Effet du bruit et probabilité d’erreur

6 Application : Critère et Filtre de Nyquist

Interférence entre symboles (IES)

Cas idéal - Filtre de Nyquist

Filtre en cosinus surélevé

Filtre en racine de cosinus surélevé

Filtre en cosinus surélevé avec coefficient de retombée

Communication Numérique

Application : Critère et Filtre de Nyquist

Filtre en cosinus surélevé

Filtre en cosinus surélevé

Si ak+1 = −ak, alors,

(k + 1)T ,

le cas optimal étant :

(cid:88)

n

(cid:88)

n

an r(t − nT ) doit s’annuler entre kT et

anr(t − nT ) = 0 pour t = (cid:0)k + 1

2

(cid:1) T

1ère solution : r (cid:0)(cid:0)k + 1

2

(cid:1) T (cid:1) = 0 =⇒ r(t) = sinc

(cid:19)

(cid:18) 2πt

T

2ème solution : On impose

r(t) =







r(0)

2

0

,

si t = ±

T

2

sit = ±T, ±

3

2

T, ±2T, . . . , ±

kT

2

Communication Numérique

Application : Critère et Filtre de Nyquist

Filtre en cosinus surélevé

De cette façon, on a, en t = (cid:0)k + 1

2

(cid:1) T







si ak+1 = −ak ,

si ak+1 = ak , ±

r(0)

−

2

(cid:18) r(0)

2

r(0)

2

r(0)

2

+

= 0

(cid:19)

= ±r(0)

La fonction

(cid:20)

r(t) =

sinc

(cid:19)

(cid:18) 2πt

T

+

1

2

sinc

(cid:18) 2π

T

(cid:18)

t +

T

2

(cid:19)(cid:19)

+

1

2

sinc

(cid:18) 2π

T

(cid:18)

t −

T

2

(cid:19)(cid:19)(cid:21)

vérifie ce critère, et on a :

r(t) = r(0)

sinc (cid:0) 2πt

T

1 − (cid:0) 2t

T

(cid:1)

(cid:1)2 = r(0) sinc

(cid:19)

(cid:18) πt

T

cosc

(cid:19)

(cid:18) πt

T

Communication Numérique

Application : Critère et Filtre de Nyquist

Filtre en cosinus surélevé

avec la fonction cosinus cardinal : cosc(x) =

=⇒ On a alors une décroissance en

1

n2 (et

cos x

1 − x2

1

n2 < +∞)

(cid:88)

n

Dans le domaine fréquentiel, fonction de trnasfert associée est :

R(f ) =

T r(0)

2

[1 + cos(πf T )]

,

|f | ≤

1

T

“1 + cos” : Filtre en cosinus surélevé

Communication Numérique

Application : Critère et Filtre de Nyquist

Filtre en racine de cosinus surélevé

1 Généralités sur les filtres

2 Méthode de Fourier

3 Méthode séquentielle : Filtres RIF et RII

4 Filtrage adapté

5 Effet du bruit et probabilité d’erreur

6 Application : Critère et Filtre de Nyquist

Interférence entre symboles (IES)

Cas idéal - Filtre de Nyquist

Filtre en cosinus surélevé

Filtre en racine de cosinus surélevé

Filtre en cosinus surélevé avec coefficient de retombée

Communication Numérique

Application : Critère et Filtre de Nyquist

Filtre en racine de cosinus surélevé

Filtre en racine de cosinus surélevé

Probleme : r(t) ainsi calculé est la R.I. globale du systeme,

r(t) = h(t) ∗ h(−t)

−→ Détermination de h(t) ?

R(f ) =

T r(0)

2

[1 + cos(πf T )] = T r(0) cos2

(cid:19)

(cid:18) πf T

2

=⇒ H(f ) = (cid:112)T r(0) cos

(cid:19)

(cid:18) πf T

2

tel que R(f ) = |H(f )|2. Alors,

H(f ) = (cid:112)T r(0)

ei πf T

2 + ei πf T

2

2

Rect2/T (f )

Communication Numérique

Application : Critère et Filtre de Nyquist

Filtre en racine de cosinus surélevé

La transformée de Fourier inverse donne alors la R.I.

h(t) =

(cid:112)T r(0)

2

(cid:20)

sinc

(cid:18) 2t

T

−

(cid:19)

1

2

+ sinc

(cid:19)(cid:21)

(cid:18) 2t

T

+

1

2

soit aussi,

h(t) =

2

π

(cid:112)T r(0) cosc

(cid:19)

(cid:18) 2t

T

−→ Probleme : h(t) ne vérifie pas le critere de Nyquist...

Communication Numérique

Application : Critère et Filtre de Nyquist

Filtre en cosinus surélevé avec coefficient de retombée

1 Généralités sur les filtres

2 Méthode de Fourier

3 Méthode séquentielle : Filtres RIF et RII

4 Filtrage adapté

5 Effet du bruit et probabilité d’erreur

6 Application : Critère et Filtre de Nyquist

Interférence entre symboles (IES)

Cas idéal - Filtre de Nyquist

Filtre en cosinus surélevé

Filtre en racine de cosinus surélevé

Filtre en cosinus surélevé avec coefficient de retombée

Communication Numérique

Application : Critère et Filtre de Nyquist

Filtre en cosinus surélevé avec coefficient de retombée

Filtre de Nyquist : R0(f )

Filtre en cosinus surélevé : R1(f )

En pratique, on utilise un compromis entre R0 et R,

Rα , avec 0 ≤ α ≤ 1 , et







Rα = R0 , pour α = 0

Rα = R1 , pour α = 1

Communication Numérique

Application : Critère et Filtre de Nyquist

Filtre en cosinus surélevé avec coefficient de retombée

On remarque que pour α = 1, on a

r(t) = sinc

(cid:19)

(cid:18) πt

T

cosc

(cid:19)

(cid:18) πt

T

= rO(t)

=⇒ R(f ) = R0(f ) ∗ C(f )

avec, C(f ) = T.F.

cosc

(cid:18)

(cid:19)(cid:19)

(cid:18) πt

T

On remplace alors C(f ) par

1

α

C

Rα = R0(f ) ∗

πT

2

(cid:19)

,

=

(cid:18) f

α

1

α

(cid:19)

(cid:18) f

α

C

cos (πf T ) Rect1/T (f )

Communication Numérique

Application : Critère et Filtre de Nyquist

Filtre en cosinus surélevé avec coefficient de retombée

En temporel, on a alors,

rα(t) = r0(t) cosc

(cid:19)

(cid:18) αt

T

= sinc

(cid:19)

(cid:18) πt

T

cosc

(cid:19)

(cid:18) αt

T

et donc le compromis :

• Tolérance au bruit α = 0

• Tolérance à l’instant d’échantillonnage α = 1