CINETIQUE DES SYSTEMES MATERIELS

Ce travaux pratiques porte sur la cinétique des systèmes matériels appliquée à une balance gyrostatique de Kelvin. Il permet d’étudier les torseurs cinématique, cinétique et dynamique d’un solide en mouvement, ainsi que le calcul de l’énergie cinétique. Pour réaliser ce TP, il est nécessaire de maîtriser les notions de base en mécanique du solide, notamment les torseurs et les paramètres angulaires, ainsi que les calculs vectoriels dans différents repères.

Objectifs

• Déterminer les éléments de réduction du torseur cinématique d’un solide dans un repère donné.
• Exprimer le vecteur accélération d’un point matériel dans un repère galiléen.
• Calculer les éléments de réduction des torseurs cinétique et dynamique d’un solide.
• Évaluer l’énergie cinétique d’un solide en rotation complexe.

Prérequis et matériel

• Connaissances en mécanique des solides : torseurs, moments d’inertie, repères mobiles et galiléens.
• Maîtrise des calculs vectoriels et différentiation dans différents repères.
• Schéma cinématique de la balance gyrostatique de Kelvin avec les solides S1 à S5 et leurs liaisons (pivots glissants et pivots d’axe).
• Paramétrage angulaire et vectoriel des solides, notamment les angles θ, ψ, φ et les vecteurs position OB, AG, OA, AB.
• Caractéristiques d’inertie des solides, en particulier la matrice d’inertie du volant S4 au point G dans la base B4.

Étape 1 : Détermination du torseur cinématique du solide 4 au point G

Il s’agit de calculer les éléments de réduction du torseur cinématique du solide 4 par rapport au repère R0, exprimés dans le repère R3 au point G. Cette étape permet de connaître la vitesse angulaire et la vitesse linéaire du solide 4.

On commence par définir le vecteur vitesse angulaire :

rΩ)R/4(0 = rΩ)R/R(0 4 = rΩ)R/R(3 4 + rΩ)R/R(1 3 + rΩ)R/R(0 1

avec

rθ + φ = x3& y& = ψ + z&

Le vecteur vitesse du point G s’obtient par dérivation temporelle du vecteur position →OG :

r)V)R/4,G(0 = d/dt(→OG)R0 = d/dt(→OB + →BG)R0

Après calculs, on obtient :

r)V)R/4,G(0 = [
  -a/4 θ& sin ψ a θ& sin θ + a/4 θ& sin θ cos ψ
]

Un résultat correct est un torseur cinématique exprimé dans R3 avec les composantes angulaires et linéaires cohérentes avec les paramètres angulaires θ, ψ, φ et leurs dérivées.

Étape 2 : Expression du vecteur accélération du point G

Cette étape consiste à écrire le vecteur accélération Γr)R/G(0 du point G du solide 4 par rapport au repère galiléen R0. Cela permet d’analyser les forces dynamiques agissant sur le solide.

Le vecteur accélération est la dérivée temporelle du vecteur vitesse :

r)Γ)R/G(0 = d/dt(r)V)R/4,G(0)

Le calcul détaillé donne :

r)Γ)R/G(0 = [
  a/4 θ&& sin θ - a/4 θ&& sin 2θ - cos ψ a θ&& a/4 θ&² sin 2θ cos ψ + ...
]

Un résultat correct doit contenir les termes en accélérations angulaires secondes θ&&, ψ&&, ainsi que les produits des vitesses angulaires θ&, ψ&.

Étape 3 : Calcul du torseur cinétique du solide 4 au point G

Le torseur cinétique associe la quantité de mouvement linéaire et la quantité de mouvement angulaire du solide. Il est calculé à partir de la matrice d’inertie et du vecteur vitesse angulaire :

{C}G)R/4(0 = {
  σ = [I] × rΩ,
  P = m × rV
}

Avec la matrice d’inertie du volant S4 :

[I] = 
[
  A4  0   0
  0   B4  0
  0   0  B0
]

Le calcul conduit à :

rσ)R/4,G(0 = [I] × rΩ)R/4(0

Un résultat correct montre la relation entre les composantes du vecteur vitesse angulaire et le torseur cinétique, avec les moments d’inertie A4, B4, B0.

Étape 4 : Détermination du torseur dynamique du solide 4 au point G

Le torseur dynamique correspond à la dérivée temporelle du torseur cinétique. Il exprime les efforts dynamiques (forces et moments) nécessaires pour produire le mouvement observé :

{D}G)R/4(0 = {
  δ = d/dt(σ),
  dP/dt = m × rΓ
}

Le calcul détaillé fait intervenir les dérivées des moments d’inertie et des vitesses angulaires :

rδ)R/4,G(0 = d/dt(rσ)R/4,G(0)

Un résultat correct doit contenir les termes en dérivées secondes des angles, ainsi que les produits des vitesses angulaires et des moments d’inertie.

Étape 5 : Calcul de l’énergie cinétique du solide 4

L’énergie cinétique est donnée par :

)R/4(T0 = 1/2 {V} × {C}

Soit :

)R/4(T0 = 1/2 (m × ||rV||² + rΩᵗ × [I] × rΩ)

Après développement, on obtient une expression en fonction des vitesses angulaires θ&, ψ&, φ& et des moments d’inertie A4, B4, ainsi que des paramètres géométriques a et m.

Un résultat correct doit refléter la contribution de la rotation et de la translation à l’énergie cinétique totale.

Résultats attendus

• Un torseur cinématique exprimé dans le repère R3 avec des composantes cohérentes en fonction des angles θ, ψ, φ et leurs dérivées.
• Un vecteur accélération du point G comportant les termes en dérivées secondes des angles et produits des vitesses angulaires.
• Un torseur cinétique calculé à partir de la matrice d’inertie et des vitesses angulaires, avec des composantes précises selon les moments d’inertie A4, B4, B0.
• Un torseur dynamique exprimé par la dérivée temporelle du torseur cinétique, intégrant les accélérations angulaires et les variations des moments d’inertie.
• Une expression de l’énergie cinétique combinant les termes de translation et de rotation, en fonction des paramètres géométriques et des vitesses angulaires.

Pièges courants

• Confondre les repères R0, R3 et R4 lors des calculs vectoriels, ce qui conduit à des résultats incohérents.
• Oublier les produits vectoriels dans les dérivées temporelles, notamment lors du calcul des accélérations.
• Ne pas appliquer correctement la matrice d’inertie dans le calcul du torseur cinétique.
• Ignorer les termes en dérivées secondes des angles dans le torseur dynamique, ce qui fausse les résultats dynamiques.
• Mal gérer les signes et les angles dans les expressions trigonométriques, notamment pour les fonctions sin et cos des combinaisons d’angles.