Sciences Indusrielles
TD 1 : Enoncé
CINETIQUE DES SYSTEMES MATERIELS
BALANCE GYROSTATIQUE DE KELVIN
1 DESCRIPTION
Le mécanisme dont le schéma cinématique est donné sur la figure 1 représente une balance gyrostatique
constituée de 5 solides S1, S2, S3, S4, et S5.
Les liaisons entre les différents solides
sont données ci dessous :
1
r
)z,A(
1
L50: Pivot glissant d’axe
L34 : Pivot d’axe
L35 : Pivot d’axe
L10 : Pivot d’axe
L21 : Pivot d’axe
L23 : Pivot d’axe
r
)x,A(
3
r
)y,A(
1
r
)z,O(
0
r
)y,O(
1
r
)y,B(
1
2 PARAMETRAGE
Le paramétrage angulaire du est
donné sur la figure 2.
Le paramétrage vectoriel est donné ci
dessous :
→
OB
→
AG
=
r
2za2
r=
3xa
=θ
1
r=
1zz
→
AB
=
r
3xa2
→
OA
π
2
θ−
3
O
A
3x
4
2z
1x
2
B
5
1z
Figure 1 : Schéma cinématique
y1
y0
x2
x1
x1
x0
ψ
z3
z1
θ1
z0=z1
x3
x1
y1=y3
z
θ
y1=y2
z4
z3
y
φ
x4=x3
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TD 1 : Enoncé
CINETIQUE DES SYSTEMES MATERIELS
3 CARACTERISTIQUES D’INERTIE DES SOLIDES
lide
So
Ba
rre
1S
Ba
rre S2
Ba
rre S3
Vo
lant S4
M
Centre
asse
d'inertie
Caractéristiques d'inertie
OG
1
1G avec
r=
za
1
2G
(O,rz1)
3G
G
C1: moment d’inertie de S1 autour de l’axe
Barre homogène longueur 2a
Barre homogène longueur 2a
Matrice d’inertie du volant 4, au point G,
exprimée dans la base B4
[
)4,G(I
=
]
A
4
0
0
0
0
B
0
BB0
4
4
4
4 TRAVAIL DEMANDE
Question 1 : Déterminer les éléments de réduction, exprimés dans le repère R3, au point G, du
torseur cinématique du solide 4 dans son mouvement par rapport à R0.
Question 2 : Ecrire le vecteur
Γr
)R/G(
0
accélération du point G par rapport au repère R0.
Question 3 : Déterminer les éléments de réduction, au point G, du torseur cinétique du solide 4
dans son mouvement par rapport à R0.
Question 4 : Déterminer les éléments de réduction, au point G, du torseur dynamique du solide 4
dans son mouvement par rapport à R0.
Question 5 : Déterminer l’énergie cinétique du solide 4 dans son mouvement par rapport à R0.
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TD 1 : Correction
CINETIQUE DES SYSTEMES MATERIELS
BALANCE GYROSTATIQUE DE KELVIN
Question 1 : Déterminer les éléments de réduction, exprimés dans le repère R3, au point G, du
torseur cinématique du solide 4 dans son mouvement par rapport à R0.
Par définition
Calcul de
Ωr
)R/4(
0
r
Ω
)R/4(
0
donc
Calcul de
r
)R/4,G(V
0
{
V
}
G)R/4(
0
=
)R/4(
0
r
Ω
r
)R/4,G(V
0
r
Ω=
)R/R(
0
4
r
Ω=
)R/R(
3
4
r
Ω+
)R/R(
1
3
r
Ω+
)R/R(
0
1
r
Ω
)R/4(
0
r
θ+ϕ=
x
3
1
r&
y
&
r
=ψ+
z
&
1
3
θ
1
=
ψ−ϕ
sin
&
&
θ
&
1
cos
ψ
&
θ
1
ψ−ϕ
&
&
θ−
&
sin
ψ
&
cos
θ
θ
B
3
r
=
)R/G(V)R/4,G(V
0
r
0
=
→
OGd
dt
0R
avec
→
OG
→
OB
+
→
BG
=
=
za2
r −
2
r
xa
3
d'où
r
)R/G(V
0
=
a2
r
zd
2
dt
)
r
∧ψ+
z
1
&
−
a
r
xd
3
dt
R
0
r&
θ=
x
2
ψ+
&
sin
r
θ
y
2
R
0
r
z
2
(
r&
θ
y
2
(
r&
θ
y
1
2
)
r
∧ψ+
z
1
&
r
x
3
r&
θ=
z
ψ+
&
sin
3
r
θ
y
3
or
r
zd
2
dt
r
xd
Publicité
3
dt
R
0
R
0
=
=
soit
r
)R/G(V
0
=
=
=
[
r&
θ
ψ+
xa2
&
2
]
+θ−θ
)
]
+θ
1
2sin
[
r
θ
a2x
cos(
&
3
[
r
θ
a2x
&
3
]
r
θ
sin
y
2
[
r
ψ
ay
sin
&
3
[
r
ψ
ay
&
3
[
r&
θ−
za
]
+θ
]
+θ
sin
]
ψ+
sin
&
3
[
r
θ
a2z
&
3
[
r
θ
a2z
&
3
cos
sin(
r
θ
y
3
θ−θ−θ
)
&
]θ−θ
a
&
2
a
1
]
r
)R/G(V
0
=
−
a4
θ
θ
sin
&
ψ
a
&
θ
sin
&
sin
2
a4
θ
cos
θ
θ+θ
a
&
R
3
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TD 1 : Correction
CINETIQUE DES SYSTEMES MATERIELS
Question 2 : Ecrire le vecteur
Γr
)R/G(
0
accélération du point G par rapport au repère R0.
r
=
)R/G(V)R/4,G(V
0
r
0
=
→
OGd
dt
0R
r
Γ
)R/G(
0
=
r
Γ
)R/G(
0
=
soit
r
)R/G(Vd
0
dt
0R
=
r
)R/G(Vd
0
dt
3R
r
Ω+
∧
)R/G(V)R/R(
0
3
0
r
a4
θ
&&
sin
θ
cos
+θ
a4
θ
&
2
ψ−θ−θ
2
&
&
a
a
2
sin
2
θ
2
cos
ψ
a
&&
2
sin
sin
θ
−θ
2
2
sin
+θ
θ
a4
&
θψ+θ
a
cos
&&
ψ−θ+θ
a
&&
&
θ
a4
&
ψθ+θ
a
&&
sin
a
2
cos
2
2
sin
θ
cos
θ
cos
−
a4
θ
&&
sin
2
θ−θ
a8
&
+θ
a4
θ
&
2
sin
θ
cos
θ
R
3
r
Γ
)R/G(
0
=
a4
θ
&&
sin
θ
−
a4
θ
&&
sin
2
−θ
cos
ψ
a
&&
θ
a4
&
−θ
2
2
2
θ
&
ψ−θ
a
&
θ
a4
sin
θψ+θ
&&
a2
cos
ψ−θ+θ
a
&&
&
cos
θ
a
sin
2
sin
2
θ
sin
2
sin
θ
cos
θ
R
3
Question 3 : Déterminer les éléments de réduction, au point G, du torseur cinétique du solide 4
dans son mouvement par rapport à R0.
Par définition,
{
}
G)R/4(C
0
=
r
σ
r
)R/G(Vm)R/4(P
0
=
r
4
0
)R/4,G(
0
=
[
]
R)4,G(I
3
[
r
Publicité
Ω
]
R)R/4(
0
3
Calcul de
r
)R/4(P
0
Calcul de
σr
)R/4,G(
0
r
m)R/4(P
0
=
4
cos
θ
θ
a4
θ
sin
&
ψ
a
&
−θ
sin41(a
&
sin
2
θ
)
θ
R
3
r
σ
)R/4,G(
0
=
[
)4,G(I
]
3R
[
r
Ω
)R/4(
0
]
3R
[
σr
)R/4,G(
0
]
=
A
4
0
0
0
0
B
0
4
B0
3R4
ψ−ϕ
&
&
θ−
&
sin
ψ
&
θ
cos
θ
3R
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d’où
CINETIQUE DES SYSTEMES MATERIELS
(A
4
r
σ
)R/4,G(
0
=
ψ−ϕ
&
&
−
B
ψ
&
cos
θ
&
4
sin
θ
4
B
θ
)
R
3
Question 4 : Déterminer les éléments de réduction, au point G, du torseur dynamique du solide 4
dans son mouvement par rapport à R0.
Par définition,
{
}
)R/4(D
0
G
=
r
δ
r
=
)R/G(m)R/4(R
0
r
Γ
d
0
4
)R/4,G(
0
=
d
dt
[
r
σ
]
R)R/4,G(
0
0
Calcul de
δr
)R/4,G(
0
Calcul de
δr
)R/4,G(
0
Si on pose
r
m)R/4(P
0
=
4
cos
θ
θ
a4
θ
sin
&
ψ
a
&
−θ
sin41(a
&
sin
2
θ
)
θ
R
3
r
δ
)R/4,G(
0
=
dP
dt
r
x
3
+
r
y
dQ
dt
avec
r
σ
=
)R/4,G(
0
+
dR
dt
r
z
+
3
3
[
r
xP
P
r
+
yQ
3
r
xd
Rdt
3
]
r
zR
3
r
yd
Rdt
Q
3
+
+
3
0
+
R
3
r
zd
Rdt
0
0
r
xd
3
dt
r
yd
3
dt
r
zd
3
dt
R
0
R
0
R
0
r
δ
)R/4,G(
0
=
=
(AP
4
(
r&
θ
y
=
1
θ
ψ−ϕ
&
&
cos
)
r
∧ψ+
z
1
&
2
Q)
−=
B
4
θ
&
BR
ψ=
&
4
sin
θ
r
x
3
=
r&
θ
z
3
ψ+
&
sin
r
θ
y
3
=
=
(
r&
θ
y
1
2
)
r
Publicité
∧ψ+
z
1
&
r
y
3
r
ψ−=ψ−=
x
&
&
1
sin
r
θ
x
3
ψ−
&
cos
r
θ
z
3
(
r&
θ
y
1
2
)
r
∧ψ+
z
1
&
r
z
3
=
r&
θ−
x
3
ψ+
&
cos
r
θ
y
3
ψ−ϕ
cos
(A
&&
&&
4
ψ−ϕ
(A
&
&
4
ψ−ϕ
cos
&
&
θψ+θ
&&
ψθ
)
cos
&
+θθ
&
)
(A
4
sin
sin
−
θ
)
−θ
B
ψθ
&&
4
cos
B
B
+θ
ψθ
&&
sin
4
ψ+θ
&&
B
&
4
4
ψ
+θ
sin
&&
(B
4
ψθ
&&
4
θ
cos
sin
θψ+θ
&&
B
2
θ
sin
θ
cos
θ
)
R
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CINETIQUE DES SYSTEMES MATERIELS
r
δ
)R/4,G(
0
=
A
ψϕ
&&
4
(A
4
θψ+θ
&&
−
ψ−ϕ
(A
cos
&&
&&
4
+θ
−θ
B
&&
4
+θθ
)
&
cos
B(
4
ψ
&&
(B
4
sin
sin
ψ−ϕ
&
&
sin
θ
)
2
θ
ψ
)A
sin
&
4
θψ+θ
2
&&
cos
cos
θ
)
θ
R
3
Question 5 : Déterminer l’énergie cinétique du solide 4 dans son mouvement par rapport à R0.
Par définition,
soit
)R/4(T
0
=
1
2
{
)R/4(V
0
} {
⊗
})R/4(C
0
)R/4(T
0
=
1
2
r
2
)R/4,G(Vm
0
[
1
r
t
Ω+
2
)R/4(
0
]
3R
[
)4,G(I
]
3R
[
r
Ω
)R/4(
0
]
3R
)R/4(T
0
[
a16m
1
2
=
+
2
2
θ
&
sin
2
θ
2
cos
ψ+θ
a
&
2
2
sin
2
+θ
2
2
θ
&
a
[
(A
4
1
2
ψ−ϕ
&
&
cos
+θ
2
)
B
4
2
ψ+θ
B
&
&
4
2
+
sin41(
]θ
2
sin
]
2
2
θ
)
)R/S(T
=
[
B
4
2
θ
&
2
+
2
16(ma
sin
2
θ
2
cos
++θ
sin41(
2
θ
2
))
]
+
2
ψ
&
2
[
B(
4
+
2
sin)ma
2
+θ
A
4
2
cos
]
θ
+
1
2
A
−ϕ
2
&
4
A
ϕψ
&&
4
cos
θ
Finalement,
)R/S(T
=
[
B
4
2
θ
&
2
+
2
1(ma
+
24
sin
2
]
+θ
)
[
B(
4
2
ψ
&
2
+
2
sin)ma
2
+θ
A
4
2
cos
]
θ
+
1
2
A
−ϕ
2
&
4
A
ϕψ
&&
4
cos
θ
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