Cinématique du point

Ce cours traite de la cinématique du point, une branche fondamentale de la mécanique qui étudie les mouvements des points matériels dans l’espace et le temps. Destiné aux étudiants en sciences industrielles et en classes préparatoires aux grandes écoles d’ingénieurs, il présente les notions de repères spatiaux et temporels, le calcul des vecteurs position, vitesse et accélération, ainsi que les changements de repères et leurs conséquences sur ces vecteurs.

Repère d’espace et repère de temps

L’espace physique

L’espace physique est modélisé par un repère affine à trois dimensions noté ℜi = (Oi, xi, yi, zi), où Oi est un point appelé origine du repère. Ce repère est associé à une base orthonormée directe (xi, yi, zi) formant un repère vectoriel.

Un vecteur quelconque V dans cet espace s’écrit :

V = a xi + b yi + c zi

où (a, b, c) sont les coordonnées cartésiennes du vecteur dans la base (xi, yi, zi).

Il est important de distinguer l’espace affine, qui contient des points, de l’espace vectoriel, qui contient uniquement des vecteurs. Par exemple, le vecteur nul 0 peut être représenté graphiquement par un point, mais ce point n’a pas de position spatiale précise dans l’espace vectoriel.

Propriétés des espaces vectoriels

Un espace vectoriel peut contenir des sous-espaces vectoriels, tels que des plans ou des droites. L’intersection de deux espaces vectoriels contient toujours au minimum le vecteur nul, élément neutre de l’addition vectorielle.

Le temps

Le temps est modélisé par un espace affine unidimensionnel noté (T, τ0), où τ0 est un instant initial arbitraire. La durée entre deux instants τ1 et τ2 est un vecteur durée τ21 = τ2 - τ1, exprimé en secondes (s).

La seconde est définie comme la durée de 9 192 631 770 périodes de la radiation correspondant à la transition entre deux niveaux hyperfins de l’atome de césium 133.

Déplacement d’un solide dans l’espace physique

Pour modéliser le déplacement d’un point M dans l’espace physique, on associe à l’espace affine temps un repère affine d’espace ℜi. Le vecteur position de M par rapport à l’origine Oi s’écrit :

OM(t) = x(t) xi + y(t) yi + z(t) zi

où x(t), y(t), z(t) sont les coordonnées cartésiennes dépendant du temps.

Le repère espace-temps est donc formé par la combinaison des espaces affine d’espace et de temps.

La mécanique newtonienne, enseignée en classes préparatoires, utilise ces repères vectoriels pour étudier les mouvements des solides.

La cinématique du point

Le changement de repère

Considérons deux repères affines orthonormés directs ℜi = (Oi, xi, yi, zi) et ℜk = (Ok, xk, yk, zk). Le repère ℜk est en mouvement par rapport à ℜi.

Le point M peut être décrit dans les deux repères, et il est essentiel de comprendre comment les vecteurs position, vitesse et accélération se transforment lors du changement de repère.

Vecteur vitesse d’un point M par rapport à un repère R

Par définition, la vitesse du point M dans le repère Ri est :

V(M/Ri) = d(OM)/dt en Ri

et dans le repère Rk :

V(M/Rk) = d(OM)/dt en Rk

La relation de Chasles permet d’écrire :

OM = OO + OM

En dérivant, on obtient la formule du changement de repère pour la vitesse :

V(M/Ri) = V(O/Ri) + V(M/Rk) + Ω(Rk/Ri) ∧ OM

où :

• V(M/Ri) est la vitesse absolue du point M pour un observateur lié à Ri,
• V(M/Rk) est la vitesse relative du point M pour un observateur lié à Rk,
• V(O/Ri) est la vitesse du point Ok (origine de Rk) dans Ri,
• Ω(Rk/Ri) est le vecteur taux de rotation instantané du repère Rk par rapport à Ri,
• ∧ désigne le produit vectoriel.

Exemple de calcul de vitesse

Soit un point M appartenant à un solide Sk lié au repère Rk, en mouvement par rapport au repère Ri. Si le point Ok est fixe dans Rk, alors :

V(O/Rk) = 0

La vitesse de M dans Ri s’écrit :

V(M/Ri) = V(O/Ri) + Ω(Rk/Ri) ∧ OM + V(M/Rk)

Si M est fixe dans Rk (donc V(M/Rk) = 0), alors :

V(M/Ri) = V(O/Ri) + Ω(Rk/Ri) ∧ OM

Propriétés du vecteur vitesse d’entraînement

Première propriété : antisymétrie

Le vecteur vitesse d’entraînement vérifie :

V∈(M/Ri)k = - V∈(M/Rk)i

Cette relation exprime que la vitesse d’entraînement du point M du repère Rk par rapport à Ri est l’opposée de celle de Ri par rapport à Rk.

Seconde propriété : existence d’un torseur cinématique

Le vecteur vitesse d’entraînement peut s’exprimer sous la forme :

V∈(M/Rk)i = V(O/Rk)i + Ω(Rk/Ri) ∧ OM

où le point Ok est fixe dans Rk. Cette relation vectorielle montre l’existence d’un champ antisymétrique modélisé par un torseur cinématique :

{Ω(Rk/Ri), V(O/Rk)i}_Ok

Ce torseur représente le mouvement d’entraînement du solide Sk (lié à Rk) par rapport à Ri.

Point coïncidant Mi(t)

Un point M appartenant au solide Sk en mouvement par rapport à Ri coïncide à chaque instant avec un point Mi(t) du repère Ri. Ce point Mi(t) est appelé point coïncidant à l’instant t.

Dans le modèle, on distingue :

• Le point M, modélisé comme un point matériel,
• Le point M lié au solide Sk, donc au repère Rk.

Champ des vecteurs-accélération

Le vecteur accélération absolue du point M dans Ri est la dérivée temporelle de sa vitesse :

Γ(M/Ri) = dV(M/Ri)/dt en Ri

En utilisant la formule du changement de repère pour la vitesse, on obtient :

Γ(M/Ri) = Γ(O/Ri) 
          + dΩ(Rk/Ri)/dt ∧ OM 
          + 2 Ω(Rk/Ri) ∧ V(M/Rk) 
          + Ω(Rk/Ri) ∧ (Ω(Rk/Ri) ∧ OM) 
          + Γ(M/Rk)

où :

• Γ(M/Ri) est l’accélération absolue du point M dans Ri,
• Γ(M/Rk) est l’accélération relative du point M dans Rk,
• Γ(O/Ri) est l’accélération du point Ok dans Ri,
• Le terme 2 Ω ∧ V(M/Rk) est appelé accélération de Coriolis.

Vecteur accélération d’entraînement

Pour un point M appartenant au solide Sk (lié à Rk), on a :

V(M/Rk) = 0

et donc :

Γ(M/Ri) = Γ(O/Ri) 
          + dΩ(Rk/Ri)/dt ∧ OM 
          + Ω(Rk/Ri) ∧ (Ω(Rk/Ri) ∧ OM)

Ce champ d’accélération n’est pas antisymétrique, il n’existe donc pas de torseur d’accélération pour modéliser le mouvement d’entraînement.

Glossaire des termes clés

• Repère affine : ensemble formé d’un point origine et d’une base vectorielle, permettant de localiser des points dans l’espace.
• Repère vectoriel : base orthonormée directe associée à un repère affine.
• Vecteur position : vecteur allant de l’origine du repère à un point M.
• Vecteur vitesse : dérivée temporelle du vecteur position, représentant la vitesse instantanée d’un point.
• Vecteur accélération : dérivée temporelle du vecteur vitesse, représentant l’accélération instantanée d’un point.
• Changement de repère : transformation des coordonnées et vecteurs d’un repère à un autre en mouvement relatif.
• Vecteur taux de rotation instantané Ω(Rk/Ri) : vecteur décrivant la rotation instantanée du repère Rk par rapport à Ri.
• Vecteur vitesse d’entraînement : vitesse du point M appartenant au repère Rk observée depuis Ri.
• Torseur cinématique : couple formé du vecteur taux de rotation et de la vitesse d’un point de référence, modélisant le mouvement d’entraînement d’un solide.
• Point coïncidant : point Mi(t) du repère Ri coïncidant instantanément avec un point M du solide Sk.
• Accélération de Coriolis : terme d’accélération lié à la rotation du repère et à la vitesse relative du point dans ce repère.

Points clés à retenir

• La cinématique du point étudie les vecteurs position, vitesse et accélération dans différents repères.
• Le changement de repère introduit un vecteur taux de rotation Ω qui modifie la vitesse et l’accélération observées.
• Le vecteur vitesse d’entraînement est antisymétrique et peut être modélisé par un torseur cinématique.
• Le vecteur accélération d’entraînement n’est pas antisymétrique et ne peut pas être représenté par un torseur.
• La notion de point coïncidant permet de relier un point mobile dans un solide à un point fixe dans un autre repère.
• L’accélération de Coriolis apparaît dans le calcul de l’accélération absolue lors du changement de repère.