Cinématique du point

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Cinématique du point

1REPERE D'ESPACE ET REPERE DE TEMPS ........................................................................2

1.1L'ESPACE PHYSIQUE.......................................................................................................................2 1.1.1 Représentation géométrique d’un espace affine ..............................................................................2 1.1.2 Propriétés des espaces vectoriels.....................................................................................................2 1.1.3 Représentation géométrique d’un espace affine ..............................................................................3 1.2LE TEMPS ......................................................................................................................................3 1.2.1 Représentation géométrique de l’espace affine « Temps » ..............................................................3 1.3DEPLACEMENT D'UN SOLIDE DANS L’ESPACE PHYSIQUE ................................................................3 1.3.1 Le repère ESPACE – TEMPS...........................................................................................................3 1.3.2 Remarque liée à la mécanique .........................................................................................................3

2LA CINEMATIQUE DU POINT .................................................................................................4

2.1LE CHANGEMENT DE REPERE.........................................................................................................4 2.2VECTEUR VITESSE D'UN POINT M PAR RAPPORT A UN REPERE R....................................................4

→

2.2.1 Propriétés du vecteur vitesse d'entraînement

→

→

V

∈

(M

/RR k

...............................................................5

)

i

V

V= -

∈

2.2.1.1 Première propriété :

(M

) 2.2.1.2 Seconde propriété : Existence d'un torseur cinématique pour modéliser le mouvement d’entraînement.....6 2.2.1.2.1 Point coïncidant Mi(t) ............................................................................................................................6 2.3CHAMP DES VECTEURS-ACCELERATION.........................................................................................7 2.3.1 Changement de repère .....................................................................................................................7

/RR k

/RR i

(M

)

k

i

.......................................................................................5

∈

2.3.2 Vecteur accélération d'entraînement

→

∈Γ (M

)R/R i

k

............................................................................8

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1

REPERE D'ESPACE ET REPERE DE TEMPS

1.1 L'espace physique

ℜ

i

r

L’espace physique est modélisé par un repère affine à trois dimensions, noté où Oi est un point quelconque mais souvent appelé origine du repère affine. )z,y,x,O( i i r de base orthonormée directe

rr i

)z,y,x(R i i

rr i

i

i

A ce repère affine, on associe un repère vectoriel B

r

i

r= r )z,y,x( i i r r = x y,1

(

i

i

i

, c’est à dire : =

r z,1

1

=

i

rr y.xet i

=

rr z.x,0 i

i

=

rr z.y,0 i

i

i

=

0

et

pour

r x finir

∧

r y

i

i

=

r z

i

).

1.1.1 Représentation géométrique d’un espace affine

Le repère affine

ℜ

i

)z,y,x,O( i i

i

i

r

r

r

est représenté géométriquement en noir sur la figure

ci-contre.

Le vecteur

vecteur AO i

dans la base

r x.aAOV i

=

=

+

+

r y.b r )z,y,x(B

i r

i r

ou (a,b,c) sont les coordonnées cartésiennes du

r z.c

i

.

i

i

i

i

zi

c

V

Oi

D

a

V

A

b

yi

C

xi

Remarque : en prenant un vecteur CD r= 0AO

et

CD

CD

∧

=

tel que

AO i

i

AO i

( CD est colinéaire à ) dans l’espace affine ce sont deux vecteurs différents (voir figure). Par contre dans l’espace vectoriel , les coordonnées cartésiennes )z,y,x(R i i

rr i

r

i

du vecteur sont identiques.

V

=

CD

=

r x.a

i

+

r y.b

i

+

r z.c

i

, ils

1.1.2 Propriétés des espaces vectoriels

vectoriel

Un espace vectoriel peut être composé de sous espace vectoriels. Ainsi, l’espace et de la droite r ou )x(D i1 i

est composé du plan vectoriel

)z,y,x(R i i

rr i

ou

r

i

rr rr )y,x(P )z,y(P i i i1 i i2 i vectorielle tel que r )z(D i2 i

.

zi

c

V

0

a

xi

b

yi

affines

montre

espaces

Le cours de mathématiques et sur les que vectoriels sous- l’intersection de deux de espaces r ne peut jamais être )z,y,x(R i i vide et contient au minimum l’élément neutre pour l’addition vectorielle, c’est à dire le vecteur r nul noté : 0

vectoriels

rr i

.

i

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1.1.3 Représentation géométrique d’un espace affine

r

)z,y,x(R i i

rr i

Dans l’espace vectoriel

i r A titre de représentation graphique, le vecteur nul 0 Ce point n’a pas de position spatiale précise et tous les vecteurs appartenant à l’espace doivent passer obligatoirement par la représentation ponctuelle du

peut être dessiné par un point.

)z,y,x(R i i

rr i

r

, il n’y a plus de point, il n’y a que des vecteurs.

passent donc par le seul point de la représentation géométrique et

vectoriel i vecteur nul. rrr z,y,x i i i

r Vet

graphique de l’espace vectoriel

1.2 Le temps

r

)z,y,x(R i i

rr i

i

.

Le temps est modélisé par un espace affine r )t(T

est associé à

rττ )t, ( 0

.

rττ )t, ( 0

de dimension 1. Cet espace vectoriel

1.2.1 Représentation géométrique de l’espace affine « Temps »

τ est un point appelé instant initial. La position de l’instant 0 sauf pour dater des événements par rapport à une origine du temps fixe.

0

τ n’a aucune importance,

Le vecteur

vecteur durée,

ττ 21

ττ 21

est appelé le vecteur durée, plus communément durée. La norme du

est exprimé en seconde (s).

τ0

τ1

τ2

Définition : La seconde est équivalent à la durée de 9 192 631 770 périodes de la radiation correspondant à la transition entre deux niveaux hyper fins de l’état fondamental de l’atome de césium 133.

1.3 Déplacement d'un solide dans l’espace physique

1.3.1 Le repère ESPACE – TEMPS

Pour modéliser le déplacement d’objets ou de personnes dans l’espace physique, il est associé à l’espace affine temps

utilisé un espace affine de dimension trois rττ )t, ( 0

i . Ces deux espaces affines sont distincts, mais pour modéliser le déplacement d’un

)z,y,x,O( i i

rr i

ℜ

r

i

point M dans l’espace physique, on donne le vecteur

r = x)t(xMO

i

+

r y)t(y

i

+

r )z)t(z i

i

où x(t),

y(t) et z(t) sont des coordonnées cartésiennes du vecteur MO i vectoriel

)z,y,x(R i i

rr i

.

r

i

projetées dans le repère

L’ensemble des deux espaces affine

ℜ

i

ESPACE-TEMPS.

1.3.2 Remarque liée à la mécanique

)z,y,x,O( i i

rr i

r

i

rττ )t, ( 0

et

forme le repère

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La modélisation des déplacements d’objets ou de personnes dans l’espace physique est

appelée "Etude des mouvements".

La théorie nommée "Mécanique" englobe cette modélisation. En Classe préparatoire aux grandes écoles d’ingénieurs (C.P.G.E. P.S.I et M.P), la mécanique est limitée à la mécanique newtonienne des solides.

Les outils de calculs en Mécanique du solide sont vectoriels. C’est pourquoi, nous souvent assimiler à

)z,y,x(R i i

rr i

travaillerons essentiellement dans des repères vectoriels leur base

rr )z,y,x( i i

r=

.

b

r

i

i

i

2 LA CINEMATIQUE DU POINT

La cinématique du point se limite à la recherche du vecteur position, du vecteur vitesse et

du vecteur accélération d’un point M par rapport à deux repères Ri et Rk.