Chapitre 26 de Maths niveau Maths SPE PC / PC*

Exercice 1 - Résolution d'un système diagonalisable sur ℝ

Question unique - Intégration du système différentiel (S)

Le système différentiel (S) s'écrit : dx/dt = -x + y + z dy/dt = x - y + z dz/dt = x + y - z

Il s'agit d'un système différentiel linéaire à coefficients constants sans second membre, composé de 3 équations à 3 inconnues. L'ensemble des solutions sur ℝ est donc un espace vectoriel de dimension 3.

Écriture matricielle : On pose le vecteur colonne X(t) = [x(t), y(t), z(t)]ᵀ et la matrice A du système telle que dX/dt = A.X.

    [ -1   1   1 ]
A = [  1  -1   1 ]
    [  1   1  -1 ]

Note sur le document source : L'énoncé extrait présente des altérations typographiques sur la matrice diagonale A' (absence des signes négatifs) et dans les puissances de l'exponentielle de l'étape intermédiaire. Les calculs qui suivent corrigent ces erreurs pour aboutir au résultat mathématiquement exact qui coïncide avec la solution finale de la source.

Recherche des valeurs propres : La matrice A est symétrique et réelle, elle est donc diagonalisable sur ℝ. Calculons son polynôme caractéristique P(λ) = det(A - λI) :

P(λ) = | -1-λ 1 1 | | 1 -1-λ 1 | | 1 1 -1-λ |

En ajoutant les colonnes 2 et 3 à la première colonne (C₁ ← C₁ + C₂ + C₃) : P(λ) = | 1-λ 1 1 | | 1-λ -1-λ 1 | | 1-λ 1 -1-λ |

On factorise (1-λ) sur la première colonne, puis on soustrait la première ligne aux deux autres (L₂ ← L₂ - L₁ et L₃ ← L₃ - L₁) : P(λ) = (1 - λ) × | 1 1 1 | | 0 -2-λ 0 | | 0 0 -2-λ |

En développant, on obtient P(λ) = (1 - λ)(-2 - λ)². Les valeurs propres de A sont donc λ₁ = 1 (multiplicité 1) et λ₂ = -2 (multiplicité 2).

Recherche des vecteurs propres : Pour la valeur propre -2 : L'équation A.V = -2V se traduit par -x + y + z = -2x, soit x + y + z = 0. C'est l'équation d'un plan. On choisit deux vecteurs indépendants vérifiant cette équation : V₁ = [-1, -1, 1]ᵀ n'est pas utilisé dans la source, prenons ceux générés par la matrice de passage P de l'énoncé. La source utilise la matrice de passage P suivante :

    [ -1  -1   1 ]
P = [  1   0   1 ]
    [  0   1   1 ]

Vérifions ces vecteurs :

• V₁ = [-1, 1, 0]ᵀ : somme des coordonnées = 0, c'est un vecteur propre pour -2.
• V₂ = [-1, 0, 1]ᵀ : somme des coordonnées = 0, c'est un vecteur propre pour -2.
• V₃ = [1, 1, 1]ᵀ : pour la valeur propre 1. A.V₃ = [-1+1+1, 1-1+1, 1+1-1]ᵀ = [1, 1, 1]ᵀ. C'est correct.

Diagonalisation et résolution : Dans la nouvelle base définie par P, on pose X' = [X, Y, Z]ᵀ tel que X = P.X'. La matrice diagonale A' = P⁻¹.A.P est :

     [ -2   0   0 ]
A' = [  0  -2   0 ]
     [  0   0   1 ]

Le système dans cette nouvelle base s'écrit dX'/dt = A'.X', ce qui donne 3 équations différentielles découplées : dX/dt = -2X dY/dt = -2Y dZ/dt = Z

Les solutions générales sont (avec λ, μ, ν des constantes réelles) : X(t) = λ.exp(-2t) Y(t) = μ.exp(-2t) Z(t) = ν.exp(t)

Retour à la base initiale : Pour trouver x, y et z, on calcule X = P.X' : x(t) = -X(t) - Y(t) + Z(t) y(t) = X(t) + Z(t) z(t) = Y(t) + Z(t)

En remplaçant X, Y et Z par leurs expressions, on obtient la solution générale du système : x(t) = -(λ + μ).exp(-2t) + ν.exp(t) y(t) = λ.exp(-2t) + ν.exp(t) z(t) = μ.exp(-2t) + ν.exp(t)

Exercice 2 - Résolution d'un système diagonalisable sur ℂ mais pas sur ℝ

Question unique - Étude du système différentiel (S) sur ℝ

Le système différentiel (S) avec pour variable indépendante x s'écrit : y₁' = y₁ - 2y₂ y₂' = 2y₁ + y₂

Note concernant le texte source : L'énoncé imprimé de la seconde équation affiche "y₂' = y₁ + y₂", mais la matrice A qui en découle utilise le coefficient 2. Il s'agit d'une coquille dans le texte source que nous avons corrigée pour respecter la logique mathématique.

Écriture matricielle : On pose le vecteur colonne Y(x) = [y₁, y₂]ᵀ et la matrice A :

    [ 1  -2 ]
A = [ 2   1 ]

Recherche des valeurs propres dans ℂ : Calculons le polynôme caractéristique : det(A - λI) = (1 - λ)² - (-2 × 2) = (1 - λ)² + 4 Les racines vérifient (1 - λ)² = -4, soit 1 - λ = ±2i. Les valeurs propres complexes conjuguées sont λ₁ = 1 + 2i et λ₂ = 1 - 2i. La matrice n'ayant pas de valeurs propres réelles, elle n'est pas diagonalisable sur ℝ.

Recherche d'un vecteur propre complexe : Cherchons un vecteur propre complexe associé à la valeur propre λ₁ = 1 + 2i : L'équation A.V = (1 + 2i)V donne pour la première ligne : x - 2y = (1 + 2i)x -2ix - 2y = 0 y = -ix

Un vecteur propre est donc V₁ = [1, -i]ᵀ. La matrice de passage P dans ℂ s'écrit :

    [  1   1 ]
P = [ -i   i ]

Construction des solutions réelles : La solution complexe Z₁(x) associée à la valeur propre λ₁ s'écrit : Z₁(x) = exp((1 + 2i)x) . V₁

En utilisant la formule d'Euler (exp(a+ib) = exp(a)[cos(b) + i.sin(b)]) : Z₁(x) = exp(x)[cos(2x) + i.sin(2x)] . [1, -i]ᵀ Z₁(x) = exp(x) . [ cos(2x) + i.sin(2x), -i.cos(2x) - i²sin(2x) ]ᵀ Z₁(x) = exp(x) . [ cos(2x) + i.sin(2x), sin(2x) - i.cos(2x) ]ᵀ

Pour obtenir une base de solutions réelles, on extrait la partie réelle et la partie imaginaire de ce vecteur solution Z₁ : Re(Z₁) = exp(x) . [ cos(2x), sin(2x) ]ᵀ Im(Z₁) = exp(x) . [ sin(2x), -cos(2x) ]ᵀ

L'ensemble des solutions réelles est engendré par la combinaison linéaire de ces deux vecteurs avec deux constantes réelles λ et μ. Solution générale : Y(x) = λ.Re(Z₁) + μ.Im(Z₁)

Ce qui se traduit par le système final : y₁(x) = exp(x) . (λ.cos(2x) + μ.sin(2x)) y₂(x) = exp(x) . (λ.sin(2x) - μ.cos(2x))

Méthode

Pour résoudre un système différentiel linéaire à coefficients constants X' = A.X :

1. Extraction de la matrice : Identifiez la matrice A associée au système d'équations.
2. Recherche des valeurs propres : Calculez le polynôme caractéristique det(A - λI) et déterminez ses racines.
3. Traitement selon le corps de diagonalisation :
   • Cas 1 : Diagonalisable sur ℝ (Exercice 1) Trouvez une base de vecteurs propres. Écrivez la matrice de passage P et la matrice diagonale A'. Résolvez le système élémentaire X' = A'.X (les solutions sont de la forme C.exp(λt)), puis revenez à la base d'origine via X = P.X'.
   • Cas 2 : Valeurs propres complexes (Exercice 2) Si les coefficients de A sont réels, les valeurs propres complexes vont par paires conjuguées (a ± ib). Prenez la valeur propre a + ib, trouvez un vecteur propre complexe associé V. Formez la solution complexe Z(t) = exp((a+ib)t).V, puis développez-la avec la formule d'Euler. Les parties réelle Re(Z) et imaginaire Im(Z) constituent alors une base directe pour l'ensemble des solutions réelles.