Chapitre 26 de Maths niveau Maths SPE PC / PC* © Archi 2002 __________________________________________________________________________________________
SSyyssttèèmmeess DDiifffféérreennttiieellss
1 – Généralités :
Définition : 1°)
On considère un système différentiel linéaire à coefficients constants sans second membre, +
+
=
x 1
'
a
1,1
.
x 1
...
a ,1
n
.
x
n
c'est-à-dire un système de la forme : (S)
!""""!
1, n Où les ai,j sont des constantes données et où x1,…,xn sont n fonctions inconnues d'un intervalle de I dans K. Une solution de (S) est la donnée de n fonctions x1,…,xn de I dans K pour lesquelles (S) est vérifié.
, nn
n
n
x
=
'
a
.
x 1
+
+
...
a
.
x
2°)
Ecriture matricielle de (S) :
On pose A = (aij)i,j∈Mn(K) et X =
x 1 !
nx
. Alors X ' =
'1 x !
nx
'
et (S) ↔ X ' = A.X
Propriété : ( Théorème de Cauchy ) En reprenant les notations précédentes, ∀ t0∈I , ∀ X0∈K n , il existe une et une seule solution du
système (S) : I→K n , t # X(t) =
)(1 tx !
)( tx n
vérifiant la condition initiale : X(t0) = X0.
Corollaire : ( Structure de l'ensemble des solutions ) L'ensemble des solutions sur un intervalle I de (S) est un K-espace vectoriel de dimension n.
2 – Résolution pratique dans le cas où A est diagonalisable :
Exercice :
Intégrer le système différentiel (S)
dx dt dy dt dz dt
−−+= x
y
z
−+−= x
y
z
+−−= x
y
z
On reconnaît un système différentiel linéaire à coefficients constants de 3 équations à 3 inconnues. Donc l'ensemble s des solutions de (S) est un espace vectoriel de dimension 3.
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Posons X =
x
y
z
Publicité
et A =
1 −
1
−
1
−
1
1 −
1
−
−
1 1
1
. Alors (S) ↔
dX dt
.=
XA
A étant une matrice symétrique réelle, est diagonalisable sur R et après quelques calculs, on trouve :
A' =
02
20
00
0
0 − 1
et A' = P-1.A.P, en prenant par exemple P =
1 −
1
0
1
0 −
1
1
.
11
On se place sur la nouvelle base de vecteurs propres définie par P. On pose X' =
coordonnées de
x
y
z
dans cette base. On a : X = P.X '
x
'
'
y '
z
les nouvelles
Dans la nouvelle base, le système s'écrit :
Donc : (S) ↔
dX dt dY dt dZ dt
=
.2
X
=
2 Y
↔
−=
Z
dX dt dY dt dZ dt
=
'. A
X
Y
Z
X
Y
Z
=
=
=
Publicité
λ . µ . ν .
exp(
).2 t ).2 exp( t − )
exp(
t
, (λ,μ,ν)∈R3.
On revient ensuite à la base initiale. X = P.X '. D'où finalement la solution générale du système :
)( tx )( ty )( tz
=
( −= −=
µλ + ). λ . µ .
exp( exp(
).2 exp( t ν + . ν + .
).2 t ).2 t
+
ν .
exp( exp(
exp( − t − t
) )
−
t
)
3 – Résolution dans le cas où K = R et où A est diagonalisable sur C mais pas sur R :
Exercice :
Etude du système différentiel (S) :
y
'
1
y
'
2
=
y 1 −= 2
+
y
1
y 2 +
y
2
sur R.
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1
'
'
y
y
=A.
y 1 y
1 −
. Alors
On pose A =
1 12
Finalement, comme dans le précédent exercice, on arrive à : λ − .
On diagonalise A sur C : A' =
0 2. i
2. i 0
exp[( 1
exp[( 1
).2
2 +
µ .
−
+
+
=
1
1
]
y
x
i
2
1
Publicité
y
2
=
.2. i
λ .
exp[( 1
+
i
).2
x
]
−
.2. i
i µ .
).2
x
]
exp[( 1
−
i
).2
x
]
= P-1.A.P , avec P =
i
1
1
2
−
i
2
.
Cependant on ne peut se satisfaire de ce résultat vu que l'on cherche les solutions sur R.
En posant Z =
y 1 y
2
, on a : Z = λ.Z1 + μ.Z2 , avec Z1 =
exp[( 1
+
])2. i x
.2. i
exp[( 1
+
])2. i x
et Z2 =
1Z .
Ainsi, (Re(Z1),Im(Z1)) est une base de sR. D'où la solution générale sur R : ( λ . ).
exp(
=
x
y
1
cos( ( − .2).
λ .
y
2
=
exp(
x
).2 x
+
µ .
sin(
).2 x
)
cos(
).2 x
+
µ .
sin(
).2 x
)
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