Chapitre 2 : Modulation Numérique – Bande Infinie

Ce chapitre traite de la modulation numérique en bande infinie, en se concentrant sur la réception et la démodulation des différents types de modulations numériques. Il s'inscrit dans un cours avancé de communication numérique et présente les architectures des récepteurs pour les modulations M-PAM, M-PSK, QAM et M-FSK, ainsi que les performances associées à ces modulations.

Modélisation de la chaîne de transmission

La chaîne de transmission numérique est modélisée par un émetteur qui génère un signal s(t) transmis à travers un canal bruité. Le signal reçu r(t) est affecté par un bruit additif blanc gaussien (BBAG) noté n(t), de moyenne nulle et de densité spectrale de puissance :

γn(f) = N0 / 2

Ce bruit est caractéristique des canaux de communication et influence la qualité de la réception.

Récepteur d’une modulation d’amplitude M-PAM

Le récepteur d’une modulation M-PAM comprend deux étapes principales :

• Étape 1 : Transposition du spectre
  Le signal reçu r(t) est multiplié par une porteuse cos(2πf0t) afin de ramener le signal en bande de base. Cette opération produit :

r(t) cos(2πf0t) = (1/2) A(t) + (1/2) A(t) cos(4πf0t)

Un filtre passe-bas adapté g(t) = h(t0 - t) est ensuite appliqué pour éliminer la composante haute fréquence, donnant :

y(t) = (1/2) A(t) g(t) (à t = t0)

• Étape 2 : Décodage
  Le signal filtré y(t0) est utilisé pour estimer le symbole émis Ak. Le décodage est similaire à celui d’un code en bande de base, où le symbole reçu est proportionnel à (1/2) Ak Eh.

Récepteur d’une modulation M-PSK et QAM

Le récepteur pour les modulations M-PSK et QAM suit une architecture proche de celle du M-PAM, avec également deux étapes :

• Étape 1 : Transposition du spectre
  Le signal reçu r(t) est multiplié par une porteuse cos(2πf0t + φ0) et une porteuse sin(2πf0t + φ0) pour obtenir les composantes en phase (I) et en quadrature (Q). Ces signaux sont ensuite filtrés par un filtre adapté g(t) = h(t0 - t).
• Étape 2 : Décodage
  Le décodage consiste à estimer le symbole complexe émis Ak e^(iθk). Le symbole reçu est proportionnel à (1/2) Ak Eh e^(iθk), permettant de récupérer la phase et l’amplitude du symbole.

Récepteur d’une modulation M-FSK

Pour la modulation M-FSK, la démodulation repose sur la mesure de corrélations entre le signal reçu s(t) et les M signaux possibles correspondant aux différentes fréquences porteuses fk :

• On calcule M corrélations entre s(t) et cos(2πfkt) pour k = 0, 1, ..., M.
• La fréquence fn qui maximise la corrélation indique la porteuse utilisée et donc le symbole envoyé.

Cette méthode permet de distinguer les symboles par leur fréquence porteuse.

Performances des modulations numériques

Les performances des différentes modulations sont évaluées par les probabilités d’erreur, notamment la probabilité d’erreur sur les symboles PM et la probabilité d’erreur sur les bits Pb.

Démodulation BPAM

Pour la modulation binaire PAM (BPAM), la probabilité d’erreur Pe est donnée par :

Pe = (1/2) erfc(d² Eh / 2 N0) = (1/2) erfc(Eb / N0)

où erfc est la fonction complémentaire d’erreur, Eb l’énergie par bit, et N0 la densité spectrale de bruit.

Démodulation BPSK

La probabilité d’erreur pour la modulation BPSK est :

Pe = (1/2) erfc(Eb / N0)

Démodulation BFSK

Pour la modulation BFSK, la probabilité d’erreur est :

Pe = (1/2) erfc(Eb / 2 N0)

Modulations M-aires

Pour les modulations M-aires, deux probabilités d’erreur sont importantes :

• La probabilité d’erreur sur les symboles PM
• La probabilité d’erreur sur les bits Pb

Ces probabilités sont reliées sous deux conditions :

• Utilisation d’un code de Gray, garantissant que si un symbole est erroné, alors un seul bit est erroné.
• Le rapport signal sur bruit Eb/N0 est très grand.

La relation entre l’énergie par bit et la probabilité d’erreur est :

Eb = PM / n avec n = log2(M)

Démodulation QPSK

La probabilité d’erreur pour la modulation QPSK est :

P4 = erfc(Eb / N0) + (1/4) erfc²(Eb / N0)

Si Eb / N0 ≫ 1, alors :

P4 ≈ erfc(Eb / N0)

et la probabilité d’erreur sur les bits est :

Pb = (1/2) erfc(Eb / N0)

Démodulation M-PSK

Pour la modulation M-PSK, la probabilité d’erreur sur les symboles est donnée par :

PM = (M - 1) / M erfc(√(n Eb / N0) sin(π / M))

Si Eb / N0 ≫ 1 et M > 4, on a :

PM ≈ erfc(√(n Eb / N0) sin(π / M))

Démodulation M-PAM

Pour la modulation M-PAM, la probabilité d’erreur est :

PM = erfc(√(3 n Eb / (M² - 1) N0))

Cette expression est valable lorsque Eb / N0 est grand.

Points clés

• La chaîne de transmission est affectée par un bruit additif blanc gaussien (BBAG) de densité spectrale N0/2.
• La démodulation M-PAM repose sur une transposition du spectre suivie d’un filtrage adapté et d’un décodage en bande de base.
• Les modulations M-PSK et QAM utilisent une démodulation en phase et quadrature, avec une transposition du spectre et un filtrage adapté.
• La démodulation M-FSK est basée sur la mesure de corrélations entre le signal reçu et les différentes fréquences porteuses.
• Les performances sont mesurées par les probabilités d’erreur sur les symboles et sur les bits, avec des expressions spécifiques pour BPAM, BPSK, BFSK, QPSK, M-PSK et M-PAM.
• L’utilisation d’un code de Gray permet de relier la probabilité d’erreur sur les symboles à celle sur les bits, en minimisant les erreurs bit à bit.