Chapitre 18 de Maths niveau Maths SPE PC / PC*

Ce document traite des endomorphismes en algèbre linéaire, plus précisément des réductions, propriétés, diagonalisation et applications des endomorphismes dans un espace vectoriel de dimension finie. Il s'adresse aux étudiants en classes préparatoires scientifiques, spécialité Physique-Chimie (PC / PC*), souhaitant approfondir la théorie et les méthodes liées à la diagonalisation des endomorphismes.

Généralités sur les endomorphismes

Soit E un espace vectoriel sur un corps K, et u un endomorphisme de E (u ∈ L(E)).

• Familles de vecteurs propres : Toute famille de p vecteurs propres associés à des valeurs propres distinctes est une famille libre.
• Sous-espaces propres : La somme de p sous-espaces propres associés à des valeurs propres distinctes est une somme directe.

On définit un polynôme de l'endomorphisme u à partir d'un polynôme P ∈ K[X], P(X) = ∑_k=0^p a_k X^k, par :

P(u) = ∑k=0p a_k u^k, avec u^0 = Id.

L'ensemble K[u] = {P(u) | P ∈ K[X]} est une partie de L(E). On dit que u annule P si P(u) = 0 (l'endomorphisme nul).

• L'application P ↦ P(u) est un morphisme d'algèbre de K[X] dans L(E).
• Si λ ∈ sp(u) (spectre de u), alors P(λ) ∈ sp(P(u)).
• Si P est un polynôme annulateur de u, alors le spectre de u est inclus dans l'ensemble des zéros de P.

Cas de la dimension finie

Lorsque E est de dimension finie n, on définit le polynôme caractéristique de u :

Pu(λ) = det(u – λ·IE).

• Les valeurs propres de u sont les racines du polynôme caractéristique Pu : sp(u) = {zéros de Pu}.
• La multiplicité d'une valeur propre λ est sa multiplicité en tant que zéro de Pu.

Si Pu est scindé (par exemple si K = ℂ), alors en comptant chaque valeur propre avec sa multiplicité :

n = ∑i=1n multiplicité(λi)

et

det(u) = ∏i=1n λi.

Remarque : Pour une valeur propre λ de multiplicité r, la dimension de son sous-espace propre E_λ vérifie :

1 ≤ dim Eλ ≤ r.

Diagonalisation

Définition : Un endomorphisme u de E (dim E = n) est diagonalisable si la somme directe de ses sous-espaces propres est égale à E.

Caractérisations équivalentes :

1. u est diagonalisable.
2. Il existe une base de E formée de vecteurs propres de u.
3. Il existe une base de E dans laquelle la matrice de u est diagonale.
4. La somme des dimensions des sous-espaces propres est égale à dim E.

Condition suffisante : Si le polynôme caractéristique Pu est simplement scindé (scindé avec toutes les racines simples), alors u est diagonalisable.

Diagonalisation des matrices : Une matrice carrée U d'ordre n est diagonalisable si et seulement si l'endomorphisme u associé est diagonalisable. Cela revient à dire qu'il existe une matrice inversible P telle que :

U' = P-1 · U · P

avec U' diagonale. U' est appelée matrice réduite de U, et P est la matrice de passage à une base de vecteurs propres.

Condition nécessaire et suffisante :

1. Si u est diagonalisable, alors u annule le polynôme

P = ∏λ ∈ sp(u) (X – λ).

2. Réciproquement, si u annule un polynôme simplement scindé, alors u est diagonalisable.

Remarque : Ce polynôme P divise le polynôme caractéristique Pu, mais n'est pas forcément égal à Pu.

Théorème de Cayley-Hamilton : Tout endomorphisme u annule son polynôme caractéristique :

Pu(u) = 0.

Propriété hors programme : Toute matrice symétrique réelle est diagonalisable sur ℝ, et on peut choisir une base orthonormale de vecteurs propres pour le produit scalaire canonique.

Méthodes pratiques pour diagonaliser un endomorphisme

1. Rechercher des valeurs propres apparentes. Si on en trouve (n – 1), utiliser la trace pour trouver la dernière.
2. Chercher un polynôme annulateur, si possible simplement scindé.
3. Si la matrice A s'écrit sous la forme A = a·I + b·J avec b ≠ 0, étudier la diagonalisation de J. Si J est diagonalisable, alors on déduit celle de A par :

A = P · A' · P-1 avec A' = a·I + b·J'.

4. Si on peut écrire A = ∑_k=0^p a_k J^k et si J est diagonalisable, alors A est diagonalisable et on en déduit une diagonalisation de A.

Propriété : Si u est diagonalisable et F un sous-espace stable par u, alors l'endomorphisme induit sur F est aussi diagonalisable.

Applications de la diagonalisation des endomorphismes

Calcul de la puissance n-ième d'une matrice A :

1. Si A = a·I + b·J avec J nilpotente et I, J commutent, on applique la formule du binôme de Newton.
2. Si A est diagonalisable, deux méthodes :

• Utiliser un polynôme annulateur de A.
• Utiliser la décomposition A = P·A'·P^-1 et calculer Aⁿ = P·(A')ⁿ·P^-1.

Étude de suites récurrentes

Soient deux suites (u_n) et (v_n) définies par :

un+1 = a·un + b·vn
vn+1 = c·un + d·vn

On pose :

Xn = ( un )
           ( vn ),  A = ( a  b )
                                   ( c  d )

Alors :

Xn = Aⁿ · X0.

Cette formulation permet d'utiliser la diagonalisation de A pour étudier le comportement des suites.

D'autres applications incluent la recherche du commutant d'une matrice ou la résolution d'équations différentielles.

Glossaire des termes clés

• Endomorphisme : Application linéaire d'un espace vectoriel dans lui-même.
• Vecteur propre : Vecteur non nul v tel que u(v) = λv, où λ est une valeur propre.
• Valeur propre : Scalaire λ tel que u – λ·Id n'est pas inversible.
• Sous-espace propre : Ensemble des vecteurs propres associés à une même valeur propre.
• Polynôme caractéristique : Polynôme Pu(λ) = det(u – λ·Id) dont les racines sont les valeurs propres de u.
• Multiplicité d'une valeur propre : Multiplicité du zéro λ dans le polynôme caractéristique.
• Diagonalisation : Existence d'une base de vecteurs propres, permettant d'écrire u sous forme diagonale.
• Polynôme annulateur : Polynôme P tel que P(u) = 0.
• Polynôme simplement scindé : Polynôme dont toutes les racines sont simples (multiplicité 1).
• Matrice réduite : Matrice diagonale obtenue par conjugaison d'une matrice diagonalisable.
• Base de vecteurs propres : Base formée uniquement de vecteurs propres de l'endomorphisme.
• Nilpotente : Matrice J telle que J^k = 0 pour un certain entier k.

Points clés à retenir

• Les vecteurs propres associés à des valeurs propres distinctes forment une famille libre et leurs sous-espaces propres forment une somme directe.
• Le polynôme caractéristique permet de déterminer les valeurs propres et leurs multiplicités.
• Un endomorphisme est diagonalisable si et seulement si il existe une base de vecteurs propres, ce qui équivaut à annuler un polynôme simplement scindé.
• Le théorème de Cayley-Hamilton garantit que tout endomorphisme annule son polynôme caractéristique.
• La diagonalisation facilite le calcul des puissances de matrices et l'étude de suites récurrentes.
• Les matrices symétriques réelles sont toujours diagonalisables avec une base orthonormale.